2017届高考数学一轮复习 第八章 立体几何 文（学案+单元检测）（打包6套）北师大版.zip

1课时 40 平面的基本性质与推论（课前预习案）班级 姓名： 1、高考考纲要求1.理解平面的概念，掌握平面的性质并会确定平面．2．理解直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，会利用定理判定它们之间的关系．3．会进行文字语言、图形语言、符号语言之间的转化并能进行一些简单问题的证明.二、高考考点回顾1．基本性质 1：____________________________________________________即： 概念解读：（1）由性质 1 可知，直线在平面内，或平面经过直线；（2）性质 1 的作用可以用来判断一条直线是否在一个平面内。2．基本性质 2：__________________________________________________即： 概念解读：（1）有——存在性；只有——唯一性；（2） “有且只有一个平面”亦可叙述为“确定一个平面” 。3．基本性质 3：____________________________________________________________________________即： 概念解读：（1）两个平面公共点的集合是一条直线；（2）如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交。5．平面 基本性质的推论推论 1 _________________________________________。推论 2 ________________________________________。推论 3 _______________________________________。6．平面（1）平面是无限延展的面，是没有边界的。（2）几何画法：通常用_______________来表示平面。（3）表示方法：如平面______，平面________，平面____________ （4）相交平面的画法：ABAB CAaAB CAB CAB C2画相交平面时，虚线实线要清楚。请练习相交平面的画法：7．空间两条直线的位置关系异面直线定义：________________________________________空间两条直线的位置关系有：_______、__________、_________（1）从公共点的数目来看可分为：___________________________________________________（2）从平面的性质来讲可分为：①在同一个平面内________②不在同一平面内____________（3）异面直线的画法：8．空间四边形：___________________________三、课前自测1.如果空间 几个点或几条直线都在同一平面内，那么就说它们 。2.如果两条直线共面，那么它们 。3.我们把既不平行也不相交的直线叫做 。4.我们把空间看作 的集合，直线和平面都是空间的 ，直线是 的子集。位置关系 符号语言点 P 在直线 l上3点 P 不在直线 l上点 M 在平面 内点 M 不在平面 内直线 AB 与直线 BC 交于点 B直线 l在平面 内直线 l不在平面 内平面 与平面 交于直线 l问题：（1）要把一根木条固定在墙上需要钉几个钉子？为什么？这个例子说明了什么？（2）测量架有几条腿？这说明了什么？（3）两个点能确定一个平面吗？任意三点能确定几个平面？课内探究案班级 姓名： 考点一、证明共面问题【典例1】已知A、B、C ，求证：直线AD、BD、CD共面.l【变式 1】证明：两两相交且交于不同点的三条直线必在同一个平面内.4考点二、证明共线问题【典例 2】已知三角形 ABC 的三条边 AB、BC、AC 与平面 分别交于 P、Q、R,求证：P、Q、R 共线.考点三、证明共点问题【典例 3】如图，三棱锥 A-BCD 中，E、G 分别是 BC、AB 的中点，F 在 CD 上，H 在 AD 上，且有DF:FC=DH:HA=2:3；求证：EF、GH、BD 交于一点．ABCDEGFHBAQRCP5【当堂检测】1.两个不重合的平面有公共点，则公共点的个数是（ ）A.2 个 B.有无数个且在一条直线上C.1 个或无数个 D.1 个2.已知不重合的三点 A,B,C,不重合的量平面 ， ,直线 ,下列推理中，错误的是（ ）lA. Al， Bl， ， BlB. ， ， A， ABC.l， lD. C、 、 ， ，且 A、B、C 不共线 与 重合、 3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）A.5 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分课后巩固案班级 姓名 : ____________ 完成时间：30 分钟1． 下列图形中，不一定是平面图形的是 ( )A．三角形 B．菱形C．梯形 D．四边相等的四边形2． 空间中，可以确定一个平面的条件是 ( )A．两条直线 B．一点和一条直线C．一个三角形 D．三个点3． 已知平面 α 与平面 β 、 γ 都相交，则这三个平面可能的交线有 ( )A．1 条或 2 条 B．2 条或 3 条C．1 条或 3 条 D．1 条或 2 条或 3 条如图所示，四边形 ABCD 中，已知 AB∥ CD， AB， BC， DC， AD(或延长线)分别与平面 相交于 E， F， G， H，求证： E， F， G， H 必在6同一直线上．参考答案课前自测1.共面2.平行或相交3.异面直线4.点；子集；平面.； ； ； ； ； ； ； .PllMABClll问题（1）2 个；两点确定一条直线.（2）3 条；不共线的三点确定一个平面.（3）不能；1 个或无数.【典例 1】略【变式 1】略【典例 2】略【典例 3】略【当堂检测】1.B2.C3.C1.D2.C3.D7解：∵ AB∥ CD，∴ AB， CD 确定一个平面 β．又∵ AB α＝ E， AB β，∴ E∈α， E∈β，即 E 为平面 α 与 β 的一个公共点．同理可证 F， G， H 均为平面 α 与 β 的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴ E， F， G， H 四点必定共线．1课时 41 空间中的平行关系（课前预习案）班级： 姓名： 一、高考考纲要求1.了解直线和平面的位置关系；2.掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理．3.了解平面和平面的位置关系；4.掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理．二、高考考点回顾1.线面平行的判定定理：①文字语言表述：平面外一条直线 ，则该直线与此平面平行。②符号语言表述： ； ③作用：线线平行 线面平行2.面面平行的判定定理：①文字语言表述：一个平面内的 与另一个平面平行，则这两个平面平行。②符号语言表述： ； ③作用：线面平行 面面平行3.线面平行的性质定理：①文字语言表述：一条直线与一个平面平行，则 ；②符号语言表述： ； ③作用：线面平行 线线平行4.面面平行的性质定理：①文字语言表述：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则 ；②符号语言表述： ； ③作用：面面平行 线线平行5.面面平行性质的推论：①文字语言表述：两个平面平行，则 ；②符号语言表述： ； ③作用：面面平行 线面平行三、课前检测1. 判断正错 （1）若 内的两条直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于 ；（2）若 外一条直线 l与 内的一条直线平行，则 l和 平行；（3）平行于同一平面的两直线平行。2（4）一条直线与一平面平行，它就和这个平面内任一直线平行。（5）与两相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个相交平面。（6）若两平行线中的一条平行于某个平面，则另一条也平行于这个平面2．已知 m、n 是不重合的直线，α、β 是不重合的平面，有下列命题①若 mα，n∥α，则 m∥n； ②若 m∥α，m∥β，则 α∥β；③若 α∩β=n，m∥n，则 m∥α 且 m∥β； 其中真命题的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3课内探究案班级： 姓名： 考点一：线线平行问题【例 1】如图所示，四面体 被一平面所截，ABCD截面 为平行四边形.求证： .EFHGGH/【变式 1】三棱柱 中，过 与点 B 的平面 1ABC1AC交平面 ABC 于直线 L,试判定 L 与 的关系，并给出证明.BFGGHEADC3考点二：线面平行问题【例 2】如图在四棱锥 中， 是平行四边形，ABCDP分别是 的中点，求证： // 平面 .NM,,MNPAD【变式 2】正方体 ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线 AB1、 BC1上分别有两点E、 F，且 B1E=C1F.求证： EF∥平面 ABCD. DDAA CCBB1111NM4考点三：面面平行问题【典例 3】 在正方体 中， 分别为 的中点.求证：平面1DCBAPNM, 11,DCB// 平面 .MNPBDA1【变式 3】如图所示，三棱柱 ， 是1CBAD的中点， 是 的中点， 为 的中点，BC1DCBE求证：平面 // 平面 .A1C1B1A1CBAAB1D1 C1A1D CB5当堂检测1． （★★）下列命题中，可以判断平面 α∥β 的是（ ）①a,b 为两条平行直线；②a，b 为异面直线， 且 b// , , //abaA ① B ② C ①② D 无2. （★★）设 m，n 是平面  内的两条不同直线， 1l， 2是平面 内的两条相交直线，则 // 的一个充分而不必要条件是（ ） A.m //  且 1l // B. m // 1l 且 n // 2l C. m // 且 n // D. m // 且 n // l3. （★★★）如图， 是平行四边形 平面外一点，SABCD,MN分别是 上的点，且 = 。 ,SABDMN求证： 平面 ./NCA B CDMNS6课后巩固案班级： 姓名： 完成时间：30 分钟1、设 l， m是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是（ ）（A）若 ， ，则 l （B）若 l， lm/，则 （C）若 l/， ，则 m/ （D）若 /， ，则 l/2、用 a、 b、 c表示三条不同的直线， y表示平面，给出下列命题：①若 ∥ ， ∥ ，则 a∥ c；②若 ⊥ b， ⊥ c，则 a⊥ ；③若 ∥ y， ∥ ，则 ∥ ；④若 a⊥ ， ⊥ y，则 ∥ b.正确的为（ ）A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④3.已知：有公共边 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在一个平面内，M，N分别是对角线 BD，AE 上的点，且 AN=DM。求证： .CBEMN平 面A셃D 셃셃셃 E셃셃71.设 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,则（ ）A．若 m∥α,n∥α,则 m∥n B．若 m∥α,m∥β,则 α∥β C．若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α D．若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β2. 设 为直线 , 是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）lA．若 , ,则 B．若 , ,则 /l/l/C．若 , ,则 D．若 , ,则/ /ll3.如图,四棱锥 PABD中, ,ACBP, ,2CABD∥ , ,EFGMN分别为,,C的中点 求证: E∥ 平 面 .84.如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥平面 ABCD, 12AB. 证明: A1BD // 平面 CD1B1. OD1B1C1DACBA1参考答案【课前自测】1.（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）错；2.A【典例 1】略【变式 1】平行.证明略.【典例 2】略【变式 2】略【典例 3】略【变式 3】略【课当检测】1.B92.B3.略1.B2.C3.略1.C2.B3.略4.略1b课时 42 空间中的垂直关系(课前预习案)班级： 姓名： 一、高考考纲要求1.理解掌握两条直线垂直2.理解掌握直线和平面垂直3.理解掌握平面和平面垂直二、高考考点回顾1.两条直线垂直（1）定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为 ，则称这两条直线互相垂直.（2）判定：平面几何中的重要结论：①等腰三角形 中， 为 的中点，则 ABCD；②若四边形 为菱形，则 ；③已知 为圆 的直径， 为圆周上一点，则有 O；④已知 为圆 的一条弦， 为 的中点，则有 .MNPMN若 ， ，则 . /abc线面垂直的性质：若 ， ，则 .ab2.直线和平面垂直（1）定义：如果一条直线和一个平面相交于点 O，并且和 ，我们就说这条直线和这个平面垂直，记作 ，直线叫做平面的 ，平面叫做直线的 ，交点叫做垂足. （2）判定：线面垂直的判定定理： 如图（1） ；线面垂直判定定理的推论:如图（2） ；面面平行的性质：如图（3） ； 面面垂直的性质：如图（4）.An mbcbbnm图⑴ 图⑵ 图⑶ 图⑷ 3.面面垂直（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线 ，就称这两个平面互相垂直.平面 与平面 垂直，记作 . D CBACN MPBAO ba2（2）两个平面垂直的判定：三、课前检测1. 下列说法中正确的是（ ）A.如果直线 与平面 内的无数条直线垂直，则 ；llB.如果直线 与平面 内的一条直线垂直，则 ；C. 如果直线 与平面 不垂直，则平面 内没有与 垂直的直线；D. 如果直线 与平面 不垂直，则平面 内也有无数条直线与直线 垂直.l l2. 一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不确定3. 对于直线 、 和平面 、 ，能得出 的一个条件是（ ）mnA. , , B. , ,//nmnC. , , D. , ,//4. 设 b，c 表示两条直线， 表示两个平面，则下列命题正确的是（ ）,A.若 B.若,//cb则 ,//bc则C.若 D.若,c则 则5.如图所示，已知 A 是 所在平面外一点，BCD， 是 BD 的中点.,,ABE求证：平面 平面 ,平面 平面 . EABCD课内探究案班级： 姓名： 考点一：线线垂直问题EDCBA3【典例 1】如图，在直三棱柱 中， ， ， ， . 点1ABC3A4BC1A5B是 的中点，DAB（I）求证： ；1（II）求证： 面 ./D【变式 1】如图，四边形 为矩形， 平面 ， ， 平ABCDABE2ABCF面 于点 ，且点 在 上.ACEFE（1）求证： ；（2） ；D（3）设点 在线段 上，且 ，试在线段 上确定一点 ，使得 面MABMBCEN/M.AE考点二 线面垂直问题【典例 2】如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形，其中PABCDABCD.MAEBDCF4D CBAP, .2AB60D（I）求证: 平面 ；PAC（II）若 ，求四棱锥 的体积.BD【变式 2】已知 中 ， 面 ， .ABC90SABCDS求证： 面 ．DS考点三 面面垂直问题【典例 3】如图，四棱锥 的底面 为矩形，且 ， ，PABCD 1PA2BDCBAPDCBAS5， .120PAB90C（1）求证：平面 平面 ；PADB（2）求三棱锥 的体积.【变式 3】如图，在底面是矩形的四棱锥 中， 面 ， 是 的中点.PABCDABCDEP（I）求证：平面 平面 ；PDC（II）求几何体 被平面 分得的两部分的体积比 ：ABEV.AB【当堂检测】班级： 姓名： EDCBAP61.已知直线 m、 n 和平面 α 、 β ，若 α ⊥ β ， α ∩ β ＝ m， n α ，要使 n⊥ β ，则应增加的条件是A. m∥ n B. n⊥ m C. n∥ α D. n⊥ α2.已知 、 、 为三条不重合的直线，下面有三个结论：abc①若 则 ∥ ； ②若 则 ； ③若 ∥ 则 ., cab, a,bca其中正确的个数为A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 01233. 如图，直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面， 内接于圆 O，且 AB 为圆 O 的直径，点 M 为AB线段 PB 的中点．现有以下命题：① ；BCP② ；/OM平 面③点 B 到平面 PAC 的距离等于线段 BC 的长．其中真命题的序号为 。 课后巩固案班级： 姓名： 完成时间：30 分钟71. 设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面（ ）A．若 m∥α,n∥α,则 m∥n B．若 m∥α,m∥β,则 α∥β C．若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α D．若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β2. 设 为直线 , 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ）lA．若 , ,则 B．若 , ,则 /l/l/C．若 , ,则 D．若 , ,则/ /ll3.设 、 、 是三个互不重合的平面， mn、 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是A． ,若 ， 则 B． /,,//m若 则C． ,/m若 ， 则 D． n若 ， 则4.如图，三棱柱 中，侧棱垂直底面， ， ，D 是1BAC90AC 12BCA棱 的中点.1A(1) 证明：平面 平面 ；D1（2）平面 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.1BC如图, .ABOPAOCO是 圆 的 直 径 ， 垂 直 圆 所 在 的 平 面 ， 是 圆 上 的 点8(1)求证: BCPA平 面 ；(2)设 /.QGOCQGPBC为 的 中 点 ， 为 的 重 心 ， 求 证 ： 平 面参考答案课前检测1.D92.B3.C4.D5.略【典例 1】略【变式 1】略【典例 2】 （1）略；（2） .43【变式 2】略【典例 3】 （1）略；（2） .6【变式 3】 （1）略；（2）1:3.【当堂检测】1.B2.B3.①②③1.C2.B3.B4.（1）略；（2）1:1.略- 1 -课时 43 空间几何体的三视图与直观图（课前预习案）班级： 姓名： 一、高考考纲要求1.能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的模型.2.会用斜二测画法画出它们的直观图。3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空图形的共同表现形式.二、高考考点回顾1.空间几何体的三视图是指____________，__________，___________.2.三视图的排列规则是_________放在正视图的下方，长度与正视图一样，______放在正视图的右面，高度与正视图一样，宽度与俯视图的宽度一样.3.三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从________、__________、_______观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形.4.表示空间图形的_______________________________叫做空间图形的直观图.5.用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段，在直观图中分别画成_______于 轴、 轴或 轴的线段，平行于 x 轴和 z 轴的线段，在直观图中长度_________;平行于 y 轴的线段，'x'y'z长度变为原来的_______.6.平行投影的投影线互相_____________,三、课前检测1．已知 的水平放置直观图 是边长为 的正三角形,那么 的的面积为( ) ABC''ABCaABCA． B． C． D． 23a234a26262．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位 cm)，可得这个几何体的体积为( )A． B．340cm380cC． D．243、用斜二测画法画水平放置的等腰梯形的直观图。课内探究案班级： 姓名： - 2 -2 2 2 2 2 考点一 与三视图有关的计算问题【典例 1】 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积.【思路分析】解决三视图问题须先规定物体的长、宽、高尺寸方向。强调正对主视图的水平方向为物体的长度方向，然而，其宽度和高度方向就自然地确定下来了 。【变式 1】 （1） 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )A.23 B. 423 C. D. 正(主)视图 侧(左)视图俯视图（2）若某几何体的三视图（单位： ） ，如图所示，则此 几何体的体积cm是 ．3cm【规律总结】1、 主视图反映物体的 长 、 高 ； 不反映 宽 。 （原因：宽方向与主视的投射方向重合）俯视图反映物体的 长 、宽 ； 不反映 高 。 （原因：高方向与俯视的投射方向重合）左视图反映物体的 高 、宽 ； 不反映 长 。 （原因：长方向与左视的投射方向重合）由此可见：（1）每一视图只能反映物体两个方向的尺寸。（2）每两个视图反映的相同方向尺寸，具有尺寸等量的内在联系。- 3 -2、归纳口诀： 主视、俯视 长对正主视、左视 高平齐 左视、俯视 宽相等考点二 投影、直观图斜二侧画法问题【典例 2】 （1）如图所示，E、F 分别是正方体的面 ADD1A1、面 BCC1B1的中心，则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的正投影可能是 .（把可能的图的序号都填上）（2）若线段 AB 平行于投影面，O 是 AB 上一点，且 ，O 的平行投影 分 AB 的平行投影::mn的长度之比为 AB【思路分析】考察平行投影及其应用。 （1）四边形 BFD1E 在面 ADD1A1和面 BCC1B1的投影为③，在其他面上的投影为②；因为 AB 平行于投影面，所以 AB 与 平行且相等， 的相对位置不变。 ABO【变式 2】某几何体的一条棱长为 7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a+b 的最大值为（ ）A． 2 B． 23 C． 4 D． 25【规律总结】图形的平行投影与投影面和投影线所成角度有关，在掌握平行投影性质的同时，利用好“长方体”这一空间模型，从而达到事半功倍的效果。考点三 根据三视图解决线面关系问题【典例 3】已知四棱锥 的三视图及直观图如下图，其中俯视图为正方形，点 为棱 的中点，PABCD EAD在棱 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求线段 的长度；PCFEPBCF若不存在，说明理由；【规律总结】以三视图为背景的立体几何解答题是近几年高考解答题的热点之一，其关键是根据已知三视图的1、在对齐的前提下，自然就有等量关系。2、对正、平齐就是不可以将两图错位含义：B CDPA E 22正视图22侧视图22俯视图- 4 -情况，充分挖掘出立体图形中的长度、角度、平行、垂直等线面关系，然后再选择适当的方法以达到解决问题的目的。【当堂检测】1.如图(1)放置的一个机器零件，若其主视图如图(2)，则其俯视图是（ ）2.如图是小玲在九月初九“重阳节”送给她外婆的礼盒，图中所示礼盒的主视图是（ ）3.一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其主视 图和左视图如图所示，则这个几何体最多可由多少个这样的正方体组成？ （ ）Ａ．12 个 Ｂ．13 个 Ｃ．14 个 Ｄ．18 个课后巩固案班级： 姓名： 完成时间：30 分钟1. ．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（ ）- 5 -A． B. C． D．18020202402. ．一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是 ， ， ， ，Oxyz(1,)(,)(0,1)(,0)画该四面体三视图中的正视图时，以 平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）z3. ．某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为（ ）A． B． C． D．1688168164. ．已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是一个面积为 的矩形,则该正方体的2正视图的面积等于 （ ）A． B．1 C． D．32221.下列三视图所对应的直观图是（ ）- 6 -A． B． C． D．2.如图，这是一幅电热水壶的主视图，则它的俯视图是（ ）3.一个多面体的直观图及三视图如图所示（其中 M、 N、 Q分别是 AF、 BC、 FC 的中点）.（I）求证：MQ⊥BF;（II）求证： MN∥平面 CDE;（Ⅲ）求多面体 A—CDEF 的体积.4.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为8、高为 4 的等腰三角形，左视图是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形。(1)求该几何体的体积 V；(2)求该几何体的侧面积 S；参考答案- 7 -【课前自测】1.C2.B3.略【典例 1】表面积为 ；体积为 .2(483)cm316c【变式 1】 （1）C；（2）18【典例 2】 （1）②③；（2） .:n【变式 2】C【典例 3】存在. .EF【当堂检测】1.D2.A3.B1.D2.A3.A4.D1.C2.D3.略4.（1）64；（2） .4021课时 44 几何体的表面积与体积(课前预习案)班级： 姓名： 一、高考考纲要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.二、高考考点回顾1. 多面体与旋转体的结构特征结 构 特 征 结 构 特 征 图例棱柱（1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形；（2）侧棱平行且相等.圆柱（1）两底面相互平行；（2）侧面的母线平行于圆柱的轴；（3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱锥（1）底面是多边形，各侧面均是三角形；（2）各侧面有一个公共顶点.圆锥（1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱台（1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分.圆台（1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分.球（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.2.特殊的多面体（1）直棱柱：侧棱与底面 .（2）正棱柱：底面为 ;侧棱与底面 .（3）正棱锥：底面为 ，顶点和底面中心的连线与底面 .2.几何体的表面积与体积公式面积公式： 表面积相关公式 表面积相关公式棱柱 2S侧全 底 圆柱 （ r：底面半径， h：高）2Srh上棱锥 上 圆锥 （ r：底面半径， l：母线l上长）棱台 SS上 圆台2('')Srl上（ ：下底半径， ：上底半径， ：母线l长）球 2=4R上体积公式：体积公式 体积公式棱柱 VShA上 圆柱 2Vrh2棱锥 13VShA上 圆锥 21=3Vrh棱台 ('')圆台 ('')球 34=VR上4.组合体的表面积与体积：注意组合体表面与体积的构成，将其分割为多个规则几何体求解.三、课前检测1. 一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ）A.底面是正方形有两个侧面是矩形 B.底面是正方形，两个侧面垂直于底面C.底面是菱形且有一个顶点处的两条棱互相垂直D.底面是正方形，每个侧面都是全等矩形的四棱柱2. 底面半径为 2 的圆柱的表面积为 ，则其母线长为（ ）16A.1 B.4 C.2 D.63.一个棱柱，其侧面为矩形，底面是菱形，且菱形的两条对角线长分别是 6cm 和 8cm，侧棱长是 5cm，则这个直棱柱的侧面积是（ ）A. 100 cm2 B. 200 cm2 C. cm2 D. cm240804.将底面半径和高均为 3cm 的圆柱状铜块熔化后铸成一个正方体铜块，则该正方体的棱长等于（ ） A. B. C. D.3335．已知圆台的上下底面半径分别是 2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.3课内探究案班级： 姓名： 考点一：简单几何体的表面积与体积【典例 1】已知直四棱柱的底面为菱形，两个对角面的面积分别为、 ，侧棱长为 ，求其体积. 2cm232cm【变式 1】 （1）(2013 江苏)如图，在三棱柱 中， ， ， 分别为 ， ， 的中点，1ABCDEFABC1设三棱锥 体积为 ，三棱柱 的体积为 ，则 . FADE1V2V12:(2)已知 是球 的直径 上一点， ， 平面 ， 为垂足， 截球 所得截面的面HOB::HHO积为 ，则球 的表面积为_______.O1OD1 C1B1A1D CBA4考点二：组合体的表面积与体积【典例 2】如图几何体中，正四棱柱的底边边长为 2，高为 1，半球的下底面内切于正四棱柱的上底面，试求该几何体的表面积和体积.【变式 2】 （1）三角形 中， ，以边 所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周ABC90,3,1ABC AB而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A. B. C. D.2（2）如图正三棱柱的底面边长和高均为 2，D、E 分别是 与 的中点.试求截面 ADE 右侧六面体的体积.11C1B1A1 EDCBA532正 视 图俯 视 图侧 视 图考点三：三视图与几何体的表面积与体积【典例 3】 （1）如图是一个几何体的三视图，侧视图是一个等边三角形，根据尺寸（单位： ）可知这个几何体的表面积为（ ）cmA. B. 2(83)213cC. D.21c2(6)m（2）若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是 cm 3.【变式 3】 （1）已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是________________cm 3. （2）某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 . 6【当堂检测】班级： 姓名： 1.已知正方体的外接球的体积是 ，则这个正方体的棱长是（ ）32A. B. C. D.32434322. 一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( )A. B. 4343C. D. 82863. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆，求其体积.7课后巩固案班级： 姓名： 完成时间：30 分钟1.若圆锥的侧面展开图是圆心角为 、半径为 l 的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积的比是（ ）120A.3∶2 B.2∶1 C.4∶3 D.5∶32.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为 2 的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）.A. B. 42343C. D.683.某简单几何体的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图的面积分别是1，2，4，则这个几何体的体积为 .4. （2013 天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为 , 92则正方体的棱长为 .5. 如图有一个外表为圆柱形的容器，其内部表面圆柱内接四棱柱 ，其底面是正方形，已知该四棱柱的底面1AC边长为 ，圆柱的侧面积为 ，求该容器的容积.52cm210cm 俯视图 主视图 左视图81. 一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A． 209B． 18C． 4D． 02.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示,则该四棱锥侧面积和体积分别是A. B. 45,8845,3C. D. (1)33.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .参考答案课前自测1.D2.C93.A4.C5. 297【典例 1】 3cm【变式 1】 （1） ；（2） .49【典例 2】表面积为 ；体积为 .6243【变式 2】 （1）A：（2） .1【典例 3】 （1）C；（2）16.【变式 3】 （1） ；（2） .3【当堂检测】1.C2.D3. .31.C2.B3. 434. 5.2501.A2.B3.16()1第八章 检测试题立体几何一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．每小题中只有一项符合题目要求)1、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（ ）A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台2、一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为①矩形；②直角三角形；③圆；④椭圆.其中正确的是A.① B.② C.③ D.④3 ．设 m.n 是两条不同的直线,α.β 是两个不同的平面, （ ）A．若 m∥α,n∥α,则 m∥n B．若 m∥α,m∥β,则 α∥β C．若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α D．若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β4．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是（ ）22A． 16B． 13C． 23D． 15 ．在空间，下列命题正确的是 （ ）A．平行直线在同一平面内的射影平行或重合 B. 垂直于同一平面的两条直线平行C. 垂直于同一平面的两个平面平行 D. 平行于同一直线的两个平面平行6、一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（ ）A． 45,8B． 845,3C． 84(51),3D．8,87、如图所示，正四棱锥 P－ ABCD 的底面积为 3，体积为 ， E 为侧棱 PC 的中点，则 PA 与 BE 所成22的角为( )A. B. C. D.π 6 π 4 π 3 π 28、如图是不锈钢保温饭盒的三视图，根据图中数据（单位：cm）， 则该饭盒的表面积为A． 102cm B． 902cm C． D． 6 9、已知三棱柱 1ABC的 6 个顶点都在球 O的球面上,若 34ABC， ,, 12,则球 O的半径为 （ ）3A． 3172B． 210C132D． 310 10．圆台上、下底面面积分别是 π、4π，侧面积是 6π，这个圆台的体积是( )A、 π B、2 π C、 π D、 π233 3 736 73311、若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为 1S、 2,则 1: 2S= . 1:1. . 2:1. C. 3:2. D. 4:1.12、在棱长为 1的正方体 1AB中， 1P， 2分别为线段 AB， 1（不包括端点）上的动点，且线段 2P平行于平面 D，则四面体 1的体积的最大值是 A． 4 B． 1 C． 6 D． 2二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上)13、已知正四棱锥 OAD的体积为 32，底面边长为 3，则以 O为球心， A为半径的球的表面积为________。14、某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为________. 15、已知球与棱长均为 2 的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 .16．(2013 湖北 文 16)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量是__________寸. (注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分 10 分)在直三棱柱 1CBA中, , D为棱 1C上任一点.(1)求证：直线 1AB∥平面 D；(2)求证：平面 ⊥平面 1.418．(本小题满分 12 分) 如图, .ABOPAOCO是 圆 的 直 径 ， 垂 直 圆 所 在 的 平 面 ， 是 圆 上 的 点(1)求证: BCP平 面 ；(2)设 /.QGCQGPB为 的 中 点 ， 为 的 重 心 ， 求 证 ： 平 面19．(本小题满分 12 分)如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥平面 ABCD, 12AB. 5OD1B1C1DACBA1(Ⅰ) 证明: 平面 A1BD // 平面 CD1B1; (Ⅱ) 求三棱柱 ABD-A1B1D1的体积. 20．(本小题满分 12 分)如图 1,在边长为 1 的等边三角形 ABC中, DE分别是 ,ABC边上的点,ADE,F是 BC的中点, AF与 DE交于点 G,将 F沿 折起,得到如图 2 所示的三棱锥 ,其中 2.(1) 证明: //平面 ;(2) 证明: CF平面 AB;(3) 当 23D时,求三棱锥 DEG的体积 FDEGV.图 1 图 2621．(本小题满分 12 分)如图，在直三棱柱 1ABC中， 90BAC， 1AC，且E是 BC中点.（1）求证： 1/A平面 1EC；（2）求证： 平面 .722．(本小题满分 12 分) 已知四边形 ABCD 为平行四边形， BC⊥平面 ABE， AE⊥ BE， BE = BC = 1， AE = 3， M 为线段 AB 的中点， N 为线段 DE 的中点， P 为线段 AE 的中点。（1）求证： AE⊥ MN；（2）求四棱锥 M – ADNP 的体积。参考答案一、选择题1、【答案】D 【解析】由三视图可知，该几何体为圆台.2、【答案】C【解析】当俯视图为圆时，由三视图可知为圆柱，此时主视图和左视图应该相同，所以俯视图不可能是圆，选 C.3、【答案】C 8【解析】平行的传递性只有在线线和面面之间成立，其他的线面混合的不成立，所以 A,B 错误。两条平行线中的一条直线垂直于某个平面，则另一条也垂直该平面，所以 C 正确.4、【答案】B 【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为 2，则 ，选 B.11233V5、【答案】B【解析】A 中的射影也有可能是两个点，错误。C 中两个平面也可能相交，错误。D 中的两个平面也有可能相交，错误。所以只有 B 正确。6、【答案】B 【解析】由三视图可知四棱锥的底面边长是 2，高为 2，斜高是 5，所以1184254,33SV侧，故选 B.7、答案 C解析 连结 AC、 BD 交于点 O，连结 OE，易得 OE∥ PA.∴所求角为∠ BEO.由所给条件易得 OB＝ ， OE＝ PA＝ ， BE＝ ，62 12 22 2∴cos∠ OEB＝ ，∴∠ OEB＝ ，选 C.12 38、B由三视图可知，该饭盒是一个圆柱和半球的组合体，圆柱的底面半径为 10cm，高为 30cm，半球的半径为 10cm，则 S 圆柱 = .S 半球= =200 ，所以这个饭盒的表面积为270rh2r90 cm2.9、【答案】C 【解析】由球心作平面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 中点 M。计算 AM= 52，由垂径定理，OM=6，所以半径 R= 2513()6,选 C.10、答案 D解析 上底半径 r＝1，下底半径 R＝2.∵ S 侧 ＝6π，设母线长为 l，则π(1＋2)· l＝6π，∴ l＝2，∴高 h＝ ＝ ，∴ V＝ π· (1＋1×2＋2×2)l2－  R－ r 2 313 3＝ π. 故选 D.73311、【答案】C12、【答案】A9【解析】过 2P作 O底面于 O,连结 1P, 则 1OAB，即 1P为三棱锥 21AB的高，设10Ax，，则由题意知 /D,所以有 ，即 Ox。所以 四面体2B的体积为 1 2()()()33264APBSxx ，当且仅当x，即 2x时，取等号，所以四面体 12PAB的体积的最大值为1，选 A. 二、填空题13、【答案】 24【解析】设正四棱锥的高为 h，则 213()h，解得高 32h。则底面正方形的对角线长为 236，所以 226()(OA,所以球的表面积为 24(6).14、【答案】  【解析】 由三视图可知，该几何体是一个半径 r=1 的半个球体。其表面积为 3212r。15、【答案】 2【解析】将该三棱锥放入正方体内，若球与三棱锥各棱均相切等价于球与正方体各面均相切，所以 ,R,则球的表面积为 214SR.16、【答案】3 10【解析】本题考查圆台的体积公式。做出圆台的轴截面如图 ,由题意知，14BF（单位寸，下同）， 6OC, 18,9FG,即 是中点，所以 GE为梯形的中位线，所以 102GE，即积水的上底面半径为 10.所以盆中积水的体积为(103636)958。盆口的面积为 21496，所以 5831，即平地降雨量是 3 寸。⊥三、解答题17、(1)证明:由直三棱柱 1CBA,得 1/AB,而 ,所以直线 ∥平面 D.1,ABD平(2)因为三棱柱 1C为直三棱柱,所以 1,又 C,而 1, 1BC,且 B,所以 1B1平平 A平又 ,所以平面 AD⊥平面 .AB18、证明：(1)由 AB 是圆 O 的直径，得 AC⊥BC.由 PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，得 PA⊥BC.又 PA∩AC＝A，PA⊂平面 PAC，AC⊂ 平面 PAC，所以 BC⊥平面 PAC.(2)连结 OG 并延长交 AC 于 M，连结 QM，QO，由 G 为△AOC 的重心，得 M 为 AC 中点，由 Q 为 PA 中点，得 QM∥PC. 又 O 为 AB 中点，得 OM∥BC.因为 QM∩MO＝M，QM⊂平面 QMO. MO⊂ 平面 QMO，BC∩PC＝C，BC⊂ 平面 PBC，PC⊂平面 PBC，所以平面 QMO∥平面 PBC. 因为 QG⊂平面 QMO，所以 QG∥平面 PBC.19、解: (Ⅰ) 设 11DB线 段 的 中 点 为 . 在正方体 AG 中有 BD∥B 1D1,A1O1∥OC11∴平面 A1BD∥平面 CD1B1.∴平面 A1BD∥平面 CD1B1. 1,ODCO(Ⅱ) ∵A 1O∥O 1C.且 平. 在正方形 AB CD 中,AO = 1 ..111 △ OAOART 中，在 A三棱柱 A1B1D1-ABD 的体积 VA1B1D1-ABD=S△ABD ·A1O= × ×1=1.221)(121 OASBDADB的 体 积三 棱 柱. 所以, 11的 体 积三 棱 柱 . 20、解：(1)在等边三角形 C中, E ADEBC,在折叠后的三棱锥 ABF中 也成立, / , D平面 , 平面 F, /平面 ; (2)在等边三角形 中, 是 C的中点,所以 BC①,12F. 在三棱锥 ABF中,2, 22② CA平 面; (3)由题意可知 /GE,结合(2)可得 GEDF平 面 . 1131323224FDEFVD 21、解：(I) 连接 AC1交 1于点 O，连接 E因为四边形 为正方形，所以 为 AC1中点，又 E为 B中点，所以 E为 1B的中位线，12所以 1/EOAB 又 平面 C， 1平面 1AEC,所以 1/平面 . (2)因为 AB，又 为 B中点，所以 B 又因为在直三棱柱 1CA中， 1底面 AC，又 E底面 , 所以 E, 又因为 1B，所以 平面 1B.又 C平面 1，所以 AC. 在矩形 1B中, 112tantanBE,所以 11CBE，所以 190CE，即 11C 又 1AE，所以 平面 ,22、解： （1） ,/BMPAE 又 BC平面 ， AE平面 ， BC,N为 D的中点， 为 的中点， ,/DNBCPA/,/， , 又 ,M平面 PM.NAENE,,平 面平 面  （2）由（1）知 AEP,且 21B./,ADBC平 面, MP平 面, MPD,DNE平 面,, AN平 面 /ABE平 面， ,又 ,ADNPP四 边 形 为直角梯形 PNMADCBE13， 21MP,1328ADNPS平四棱锥 M的体积 .31826ADNPVS平