（全国通用）2017高考数学一轮复习 不等式选讲 理（课件+习题）（打包4套）选修4-5.zip

1选修4-5 不等式选讲 第一节 绝对值不等式[基础达标] 一、填空题(每小题5分,共25分)1.若不等式 A={x||3x+2|1},B={x||x-2|≤3},则 A∩ B= . 【解析】解不等式 |3x+2|1得3 x+21,解得 x- ,则 A=;解不等式 |x-2|≤3得 -3≤ x-2≤3,则 -1≤ x≤5,则 B={x|-1≤ x≤5},所以 A∩ B= .2.(2015·肇庆统测) 不等式 |x-2|+|x+1|≤5的解集为 . [-2,3] 【解析】不等式 |x-2|+|x+1|≤5⇔ 解得 -2≤ xa2解集为R,则( |x+2|+|x-2|)mina2.又 |x+2|+|x-2|≥ |(x+2)-(x-2)|=4,所以 a22的解集;(2)若对于∀ x∈R, f(x)≥ t2- t恒成立,求实数 t的取值范围 .【解析】(1) f(x)=当 x2,x2,x ,∴ 2,x-2,∴x ≥2 .综上所述 .(2)易得 f(x)min=f(-1)=-3,若对于∀ x∈R, f(x)≥ t2- t恒成立 ,3则只需 f(x)min=-3≥ t2- t⇒2t2-7t+6≤0⇒ ≤ t≤2,综上所述 ≤ t≤2 .8.(2015·河南实验中学质检) 设函数 f(x)=|x-1|+ |x-3|.(1)求不等式 f(x)2的解集;(2)若不等式 f(x)≤ a 的解集非空,求实数 a的取值范围 .【解析】(1)函数 f(x)=方程 f(x)=2的根为 x1= ,x2=3,由函数 f(x)的图象知 f(x)2的解集为 .(2)设 g(x)=a ,g(x)表示过点 ,斜率为 a的直线,f(x)≤ a 的解集非空,即 y=f(x)的图象在 g(x)图象下方有图象,或与 g(x)图象有交点,由图象可知 a0,且∀ x∈R, f(x)≥5恒成立 ,求 a的取值范围 .【解析】(1)当 a=2时, f(x)=|x-1|+|x+2|,由 f(x)≥4得 |x-1|+|x+2|≥4 .当 x≤ -2时,不等式化为 -x-2-x+1≥4,其解集为 .当 -21时,不等式化为 x+2+x-1≥4,其解集为 .综上得 f(x)≥4的解集为 .5(2)因为 a0,所以 f(x)=|x-1|+|x+a|=因此 f(x)的最小值为 a+1,由 f(x)≥5恒成立,即 a+1≥5恒成立,解得 a≥4,所以当 a0时,对于∀ x∈R,使 f(x)≥5恒成立的 a的取值范围是 [4,+∞ ).[高考冲关] 1.(5分)集合 A=[1,5],集合 B={x∈R‖ x+3|+|x-2|≤ a+2},且 A⊆B,则实数 a的取值范围是 . [9,+∞ ) 【解析】由题意可得当 x∈[1,5]时,关于 x的不等式 |x+3|+|x-2|≤ a+2恒成立,则( |x+3|+|x-2|)max≤ a+2,又 |x+3|+|x-2|= 所以当 x=5时, |x+3|+|x-2|取得最大值11,故 a+2≥11,解得 a≥9 .2.(5分) (2015·重庆调研) 设函数 f(x)=|x-1|+|2x-a|,若关于 x的不等式 f(x)≥ a2+1对 x∈R恒成立,则实数 a的取值范围是 . [-2,0] 【解析】当 1,a2时, f(x)= f(x)min=fa-1≥ a2+1,无解;当 a=2时,不成立 .综上可得实数 a的取值范围是[ -2,0].63.(10分) (2015·包头测试) 设函数 f(x)=|x-1+a|+|x-a|.(1)若 a≥2, x∈R,证明 f(x)≥3;(2)若 f(1)1时, f(1)=a+(a-1)=2a-1,由 f(1)k(x-1)- 恒成立,求实数 k的取值范围 .【解析】(1) ∵| 2a+b|+|2a-b|≥ |2a+b+2a-b|=4|a|,∴ ≥4 .7(2)记 h(x)=|2x+1|-|x+1|=如图,若不等式 |2x+1|-|x+1|k(x-1)- 恒成立,则函数 h(x)的图象在直线 g(x)=k(x-1)- 的上方,又 g(x)的图象恒过定点 ,即 g(x)的图象只能在图中阴影区域内,可得 k∈ .5.(10分) (2015·银川二中二模) 已知函数 f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.(1)解不等式 |g(x)|5;(2)若对任意 x1∈R,都有 x2∈R,使得 f(x1)=g(x2)成立,求实数 a的取值范围 .【解析】(1)由‖ x-1|+2|5,得 -5|x-1|+25,∴- 7|x-1|3,-2x4,∴ 不等式 |g(x)|5的解集为( -2,4).(2)∵ 对任意 x1∈R,都有 x2∈R,使得 f(x1)=g(x2)成立,∴ {y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)},又 f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥ |(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+2≥2,则 |a+3|≥2,8解得 a≥ -1或 a≤ -5,即实数 a的取值范围为( -∞ ,-5]∪[ -1,+∞ ).1第二节 不等式的证明[基础达标] 解答题(每小题10分,共40分)1.(2015·湖南高考) 设 a0,b0,且 a+b= .证明:(1)a+b≥2;(2)a2+a0,b0,得 ab=1.(1)由基本不等式及 ab=1,有 a+b≥2 =2,即 a+b≥2 .(2)假设 a2+a0得0 bc,求证: .【解析】(1)原不等式可化为 |x+1|≥1,由此可得 x≥0或 x≤ -2.故不等式 f(x)≤ |x+1|+x的解集 A为{ x|x≥0或 x≤ -2}.(2)由2=2+ ≥4,所以 ,即 成立 .当 ,即 a+c=2b时取等号 .3.(2015·河南六市联考) 设不等式 -20,故 |1-4ab|24|a-b|2,即 |1-4ab|2|a-b|.4.已知 a是常数,对任意实数 x,不等式 |x+1|-|2-x|≤ a≤ |x+1|+|2-x|都成立 .(1)求 a的值;(2)设 mn0,求证:2 m+ ≥2 n+a.【解析】(1)设 f(x)=|x+1|-|2-x|,3则 f(x)=∴f (x)的最大值为3 .∵ 对任意实数 x,|x+1|-|2-x|≤ a都成立,即 f(x)≤ a,∴a ≥3 .设 h(x)=|x+1|+|2-x|=∴h (x)的最小值为3 .∵ 对任意实数 x,|x+1|+|2-x|≥ a都成立,即 h(x)≥ a,∴a ≤3 .∴a= 3.(2)由(1)得 a=3.∵ 2m+ -2n=(m-n)+(m-n)+ ,又 ∵mn 0,∴ (m-n)+(m-n)+ ≥3 =3.∴ 2m+ ≥2 n+a.[高考冲关] 1.(5分)设 a,b∈R,给出下列不等式: ① lg(1+a2)0;②a 2+b2≥2( a-b-1);③a 2+3ab2b2;④ ,其中所有恒成立的不等式序号是 . 4② 【解析】 ①a= 0时不成立; ②∵a 2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立; ③a=b= 0时不成立; ④a= 2,b=1时不成立,故恒成立的只有 ②.2.(10分) (2015·银川质检) 已知 a,b,c∈R,且 a2+b2+c2=1.(1)求证: |a+b+c|≤ ;(2)若不等式 |x-1|+|x+1|≥( a+b+c)2对一切实数 a,b,c恒成立,求 x的取值范围 .【解析】(1)因为 a,b,c∈R, a2+b2+c2=1,所以( a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≤ a2+b2+c2+2=a2+b2+c2+2(a2+b2+c2)=3,所以( a+b+c)2≤3,即 |a+b+c|≤ ,当且仅当 a=b=c时取得等号 .(2)由(1)可知不等式 |x-1|+|x+1|≥3,从而解得 x的取值范围为 .3.(10分) (2014·新课标全国卷 Ⅰ )若 a0,b0,且 .(1)求 a3+b3的最小值;(2)是否存在 a,b,使得2 a+3b=6?并说明理由 .【解析】(1)由 ,得 ab≥2,且当 a=b= 时等号成立,故 a3+b3≥2 ≥4 ,且当 a=b= 时等号成立 .所以 a3+b3的最小值为4 .(2)由(1)知 ab≥2,则2 a+3b≥2 ≥4 ,由于4 6,从而不存在 a,b,使得2 a+3b=6.4