1、习 题 六 6-1 推导非 均匀、各 向同 性、线性 媒质 中，正弦 电 磁场应 该满 足的 波动 方程 及亥姆 霍兹方程。解：非 均匀 的各 向同 性线 性媒质 中，正弦 电磁 场应 该满足 的麦 克斯 韦方 程如 下：0EHH J EttHE，分别对 上面 两旋 度式 的两 边再取 旋度，利 用矢 量公 式2()A A A，得 222)E H J EEt t t 222H E HHJtt 则相应 的亥 姆霍 兹方 程为 22jjEE E H J 6-2 设真空 中 0 z 平面上 分布 的表面 电流0 sin sJ xJ t，试求 空间 电 场强度、磁场强度及 能流 密度。解：0 z 平面
2、上 分布 的表 面电 流将产 生向 z 和 z 方向传 播的 两个平 面波。设 0区域中 的电 场和 磁场 分别 为1()E z,t，1()H z,t，传播 方向 为 z；而 0 同理可得 20()sin2yH z,t J t kz，z 0 020()sin2E z,t x J t kz，z 0 22 02 2 2 0()()()sin4S z,t E z,t H z,t z J t kz，z 0。6-3 简 单 媒 质 中 的 时 谐 均 匀 平 面 波，其 电 场 强 度 和 磁 场 强 度 分 别 表 示 为00(),(),jk r jk rE r E e H r H e 试证明 无源
3、区的 麦克 斯韦 方程可 简写 成下 列形 式：k E H，k H E，0 kE，0 kH。证明：0 0 0 0 0()()jk r jk r jk r jk r jk rE e E e e E jke E jk E e 0 0 0 0 0()()jk r jk r jk r k r k rE e E e E e jE ke jk E e 可见，jk。所 以，在无 源区 的麦克 斯韦 方程 化为 H j E k j，E j H k j，0 jk E，0 jk H 即 k E H，k H E，0 kE，0 kH。6-4 在 理 想 介 质（0 0 r，）中 一 均 匀 平 面 波 的 电 场 强
4、 度 为8(,)5cos2(10)V m E z t x t z。试 求：（1）自由 空间 中 波长和 介质 中波 长；（2）介质的 相对介电 常数；（3）写 出磁 场强度 的瞬 时表 示式。解：（1）已知82 2 10 f，所以810 Hz f，而80 83 10m 3m10cf；因为22 k，所以 1m；（2）0r，209r；（3）8011 5cos 2 10rH t z E z x t z 881 cos 2 10 0.0398cos 2 10(A/m)8y t z y t z 6-5 某一自由空传播 的电 磁波，其电 场强度复 矢量 为/4 V/mj kzE x y e。试求：（1）磁
5、场 强度 复矢 量；（2）平均 功率 流密 度。解：（1）3 4411 2.65 10 A/m377j kz j kzH z E z x y e x y e(b)310 65.2 21Re21Re y x y x H E Sav 322.65 10 W/m z 6-6 频 率 为 500kHz 的 均 匀 平 面 波 在 无 耗 媒 质 中 传 播，其 复 振 幅 4 2 kV/m 6 18 3 kA/mmmE x y z H x y z(),()。试求：（1）波的 传播 方向；（2）平均 功率流密 度；（3）设=1，是 多少？解：（1）33 24 78 S E H x y z，2 2 2 3
6、33 24 78 10 S，0.375 0.273 0.886Ss x y zS；（2）21 Re 44.01 kW/m2avS E H s；（3）238.42EH，0120=2.5238.42r。6-7 频率为 550kHz 的广 播 信号通 过一 导电 媒质，r=2.1，r=1，/=0.2，试求：（1）衰减常 数和 相位 常数；（2）相速 和相 位波 长；（3）波阻抗。解：（1）0.520.53281 2 11 1 2 550 10 1 0.2 12 3 10 2 31.66 10 Np/m 0.50.523 2 11.04 11 1 1.66 10 1.68 10 m2 1.04 1(2
7、)3822 550 102.06 10 m/s1.68 10pv 222374 m1.68 10(3)00377 2601 1.01 5.65 2.1 1 0.2 1rj j j/65.5 257 6-8 对高速 固态 电路 中常 用的砷 化镓（GaAs）基片，若样 品足 够大，通 过 10GHz 均匀平面波，r=12.9，r=1，tan e=5104，试求：（1）衰 减常 数（Np/m）；（2）相速；（3）波阻抗。解：（1）取 1 tan e,则 0.521122 481010 529.1210 3110 2 51.19 10 Np/m(2)10552 105.28 10 m/s1.19 1
8、0pv(3)4441 377 11/12.95 10jjceej 332.0 1 469.04j ej 6-9 平面波 在导 电媒 质中 传播，=1950MHz，媒质 r=r=1，=0.11 S/m。试求：（1）波在该 媒质 中的 相速 和波 长；（2）=10-2V/m 点的磁 场强度；（3）波行 进多 大 距离后，场 强衰减为 原来 的 1/1000？解：1/22/2 1/1 1/220.111 1 1.1012 1.95/36 2 c c 883 10m/s 2.72 10 m/s1.101 1.101pcv 892 2.72 10m 0.14m1.95 10pvf(2)003771/1/
9、1 1.0154 j jj 7.22 3167.22 194.1377 2510.16 10 22.7 A/m316 22.7EH(c)1/221/221 1 1 1.0154 12 2 c 982 1.95 100.652 18.8 Np/m3 10 2 令 100000Ee El 得 1 6.91ln1000 0.367 m18.8l 6-10 证明电 磁波 在良 导体 中传播 时，每波 长内 场强 的衰减 约 为 55dB。证明：在良 导体 中,2。设原电 场强 度为0zEe，传 播一 个波长 后变 为()0zEe。若衰 减量 用 A 表 示，则()00/zzE e E e A 所以 2
10、220lg dB 40 lg dB 55 dB A e e e e e 故每波 长内 场强 的衰 减约为 55dB。6-11 铜导 线的 半径=1.5mm，求它在=20MHz 时 的单位 长度 电阻 和单 位长 度直流 电阻。（注：只要（集 肤深度），计算 电阻 时可 把 导线近 似为 宽 2 的 平面 导体。）解：铜 的电 导率75.80 10 S/m,损耗角650.0661 0.0661 20 10 1.48 10 m f 35 710 17.110 48.1 10 8.51 1sR 单位长度射频电阻 31 31.17 100.124/m2 2 1.5 10SRRa 单位长 度直 流电 阻
11、 30 2 7 2 6112.44 10/m5.8 10 1.5 10Ra 可见，射频 电阻 大于 直流 电阻，而且 频率 越高 射频 电阻越 大。6-12 若要求 电子 仪器 的铝 外壳至 少 为 5 个 集肤 深度 厚，为防 止 20kHz 至 200MHz 的无线电干 扰，铝外 壳应 取多 厚？解：20kHz:f 41 3 7 722m 5.98 10 m2 20 10 4 10 3.54 10 200MHz:f 625.98 10 m 取 4315 5 5.98 10 m 2.99 10 m 3mm h 6-13 若 10MHz 平 面波 垂 直射入 铝层，设 铝层 表面 处磁场 强度
12、 振 幅 0=0.5A/m，试求：（1）铝表 面处 的电 场强 度 0，传播 5 倍集 肤深 度 的距离 后的 电场 强度；（2）铝层 每单 位面积吸收 的平 均功 率。解：(1)77 710 54.3 210 4 10 2121 j j Zs 45 10 493.1 10 056.1 13 3j 34000.5 1.493 10 45 7.47 10 45 V/msE H Z 155 5 61 0 0 05.03 10 45 V/m E E e E e E e(2)5.0 10 47.721Re21Re45 40j ave H E S 4 4 217.47 10 cos 45 1.32 10
13、 W/m4 6-14 判断以 下各 式表 示的 是什么 极化 波？（1）kz t E y kz t E x E cos sin 0 0；（2）kz t E y kz t E x E cos 2 cos 0 0；（3）00 cos/4 cos/4 E xE t kz yE t kz；（4）00 sin/4 cos/3 E xE t kz yE t kz。解：（1）左 旋圆 极化 波；（2）线 极化 波；（3）右旋 圆 极化波；（4）右 旋椭 圆极 化波。6-15 试证下面的线极化 平面波都可以分解为两个旋转方向相反的圆极化波：(1)jkze E x E0；(2)jkz jkze E y e E
14、x E 0 0。证明：（1）对于 线极 化波jkze E x E0，jkz jkz jkzeER L eEy j x y j x e E x E 2 2 0 00 式中，2/,2/y j x R y j x L 分别 为左 旋和 右旋 圆极化 波的 电场 强度 单位矢量，得证。（2）对于 线极 化波jkz jkze E y e E x E 0 0，jkz jkzeEy x j y x j y j x y j x e E y x E 2 00 00440 1122 Rejkz jkzjjjkzEEL R jL jR e L j R j eLe E e 显然，上式 中有 旋向 相反 两个圆 极化
15、波。6-16 试证一 个椭 圆极 化平 面波可 以分 解为 两个 旋转 方向相 反的 圆极 化平 面波。证明：任一 椭圆 极化 平面 波均可 表示 为 jx y x yE xE yE E E 令2 1E E Ex，2 1E E Ey，即)(211 y xE E E，)(212 y xE E E 那么前 式可 展开 为 1 2 1 2()j()E x E E y E E 此式又 可改 写为 1 1 2 2()()E xE jyE xE jyE 显然，上式 表示 两个 旋转 方向相 反的 圆极 化波。6-17 均匀平面 从空气垂直入射于一介质 墙上。在此墙前方测得的电 场振幅分布如 习 题图 6-
16、1 所示，试 求：（1）介 质墙的)1(r r；（2）电磁 波频 率；（3）有 百分 之几 的功 率 进入介质 墙？习题图 6-1 电场振幅分布 解：读 图知，合 成场 的驻 波比为11.531 0.5RSR，所 以 0.5,0.5,RR 根据2121R，这里02 1 0,r，所 以21，由21210.5，得 9 r（2）读图 知，两个 波腹 间 的距离 等 于 2m=0/2，所 以电磁 波波 长 0=4m，可得 803 10Hz 75MHz4cf；（3）进入 介质 墙的 总功 率 为221(1)P P R，所 以，进入 介质 墙的 功率百 分比 为 21 0.75 75%R 6-18 平面波
17、 从空 气向 理想 介质（r=1，=0）垂直 入射，在分界 面上0E=16V/m，0H=0.1061A/m。试求：（1）入射波、反 射波 和透 射波 的电磁 场；（2）空气 中的 驻波 比 S。解：(1)000150.8 6.25rrEH（2）0000/6.250.429/6.25R 0 0 0(1)28iiE R E E V/m，所以 000 0 0 028 V/m,jk z jk ziiE E e e k 000280.0743 A/m377jk z jk z iiEH e e 00002222000 2 2 2 0 0012(V/m)120.0318 A/m37716 V/m,2.50.
18、1061 A/mjk z jk zrijk z jk zrrjk z jk zt t rjk z jk zttE RE e eEH e eE E e e k k kH H e e(2)11 0.4292.51 1 0.429RSR 6-19 设 一 均 匀 平 面 波 电 场10(2)jk ziE E x j y e 从 媒 质 1(1 0 1 0 1,0)垂直入射到 媒 质 2(2 0 2 2 0 2,0r)，界面为 平 面。试 求：（1）反 射波 和透 射波的 电场，并指明 极化 状态；（2）若 进入媒 质 2 中的 功率 占比 为 96%，求 媒质 2 的 相对 介电常 数。解：先 求界
19、 面上 的反 射系 数和透 射系 数:0 2 0 2 2121 0 2 0 2/1/1rrrrR 02 221 0 2 0 22/2 2/1rrrT 所以 02021(2)1jk z rrirE RE E x j y e，0 0 0k 2022(2)1jk ztirE TE E x j y e，2 0 2 2 0 rkk 可见，反射 波是 左旋 椭圆 极化，透射 波是 右旋 椭圆 极化；（2）由题 意知21 96%R，0.2 R 又212121,R，所 以 2210.21rrR 解得 22.25r 6-20 电场强 度振 幅为 i0=0.1V/m 的平面 波由 空气 垂直入 射于 理想 导体
20、平面。试求：（1）入射 波的 电、磁 能密 度最大 值；（2）空气 中的 电、磁 场强 度最 大值；（3）空气中 的电、磁能密 度最 大值。解：（1）设 入射 波电 场为000 0.1(V/m)jk z jk ziiE xE e e，则 瞬时表 达式 为 0(,)0.1cos()(V/m)iE z t x t k z 能量密 度 220 0 014 3014 310.005 cos()20.005 4.427 10 J/m4.427 10 J/meemem mmE t k z（2）反射 波电 场为00.1jk zrE x e，合 成 波电场 为 100.2sin E jx k z 所以10.2
21、V/mmE，4 1105.3 10 A/mmEH；（3）对于 合成 波 220 1 0 013 3013 310.02 cos()20.02 1.7708 10 J/m1.7708 10 J/mememem mmE t k z 6-21 均匀平 面波 从空 气中 沿 方 向正 投射 到理 想导 电板上，在 理想 导电 板上 的面电 流为6cos 300()()A/m 10sJx t t,试 求入 射波 的电 场和 磁 场复矢 量。解：设 入射 电场 为0jkyiE xE e，00jkyiEH z e，反 射系数 为 R=1。反射波 的磁 场为00jkyrEH z e，合 成磁 场 瞬态 表达
22、式 为 002 cos()cosEH z ky t 理想导 电板 上（=0）的 电 流密度 为 002()cossEJ n H y z x t 对比6cos 300()()A/m 10sJx t t 得 8 0021,3 10E 所以060 E，81.5 10 Hz f,2m,2k，得 60 V/mjyiE x e，0.5 A/mi j yH z e。6-22 假设 在 电磁参数 4 r，1 r 的玻璃 表面镀上 一层透明 的介质 以消除红 外线的反射，红外 线的波 长 为 0.75 m，试求：（1）该 介质膜的 介电常 数及厚 度；（2）当波长为 0.42m 的紫外线照 射该镀膜 玻璃时，反
23、射 功 率与入射 功率之 比。解：（1）为了消除红外线反射，介质膜的介电常数应使其波阻抗 2 满足下述关系式 2 0 1 式中 0 为真 空波阻 抗，1 为玻璃的 波阻抗。已知 000，0 0 011 0 0112r 那么，介 质膜的 介电常 数 应满足下 式 002021 2 2121 12 0 20 2 r 介 质 膜 的 厚 度 应 等 于 该 红 外 线 在 其 内 传 播 时 的 波 长 的 四 分 之 一。已 知 红 外 线 的 波 长m 75.00，那么介 质膜的 厚度应 为 021 0.750.1326 m4 42rd（2）已知紫 外线的 波长 m 42.0，则其在介 质膜中
24、的波长 为2，相位常 数为 2 2 2 k，那么 893.02 475.042.02 2 kd 对于波长 m 42.0 的紫外 线，边 界 上的输入 波阻抗 为 0 12202111j tan 0.893j tan2 2(0.538 j0.191)11j tan 2j tan 0.8932 2inkdkd 那么，边 界上的 总反射 系 数为 000.462 j0.191 0.675 j0.3820.290 j0.1641.54 j0.191 2.33ininR 功率之比 等于场 强振幅 的 平方比，故反射 功率与 入 射功率之 比为 111.022 REEir。6-23 雷达天 线罩 用r4=
25、的 SiO 2 的玻璃 制成，厚 度为 10mm。雷达 发射 的电 磁波 频率 为9.375GHz，设其 垂直 入射 于天线 罩平 面上。试 计算：（1）天线 罩上 的 反 射系 数 R 和 反射 功率占发射功率的百分比；（2）若要求无反射，天线罩厚度应取多少?解：（1）在 介质 中82 92 22 2 2 3 10 0.01 59.375 10 2 4rcdk d df 0 2 22 0 02 0 2j tan 1 j0.5(0.4 j0.3)j tan 1 j2inkdkd 000.4 0.3 10.4686 219.20.4 0.3 1ininjRj 20.2196 21.96%R；（2
26、）令022020j tanj taninkdkd，则有2tan 0 kd,即 2,1,2,3.k d n n，2,1,2,3.2ndn 故可 取 n=1，得 3 092=8 10 m 8mm4 9.375 10 Hz 2rcd。6-24 电视台 发射 的电 磁波 到达某 电视 天线 处的 场强 用以该 接收 点为 原点 的坐 标表示 为 0 0,)2(H y H E z x E。已知01mA/m E，试求：(1)电磁波 的 传播方 向；(2)0H；(3)平均功 率流 密度；(4)点（,）处 的电 场强 度和 磁场 强度复 矢量，为电磁 波波 长。解：(1)因 S E H，所以(2)2=55S
27、x z y z xsS(2)36005510 5.93 10 A/m377 377HE(3)9200 2 1 25 6.63 10 W/m255avz x z xS E H(4)2 2 2 6 35 3 5z x x y zk r s x y z 3 12306 1230 2 2 10 V/m 5.93 10 A/mjk r jPjk r jPE x z E e x z eH yH e y e 6-25 一 均 匀 平 面 波 从 空 气 入 射 到=0 处 理 想 导 体 表 面，入 射 电 场 为(3 4)(mV/m)j x ziE ye。试 求（1）波 长和 入射 角；（2）写出 反射
28、波电 场和 磁场；（3）写出空间合 成电 场瞬 时式。解：(1)221.257m5ik，入射波 传播 方向 345ixzs，114cos 36.875(2)反射 波传 播方 向 345rxzs，对垂 直极化 波=1，所以 34j x zrE ye 340 43 mA/m600j x zrrrxzsEHe(3)34(3 4)3=2jsin4zj x z j x z j xirE E E y e e y e 3 j t Re 2jsin4z=2sin 4 sin 3 mV/mjxE t y e e y z t x 6-26 一均匀 平面 波由 空气 向理想 导体 表面（=0）斜 入射，入射 电场
29、为(6 8)(8)V/m j x ziE x Cz e。试求：（1）入 射线 传播 方 向和空 气中 波长；（2）入 射角和 常数；（3）理 想导 体表 面 电流密 度。解：(1)226 8 6 8 10iik r x z k 0220.2m10 k i 68 0.6 0.810iik xzs x zk(2)0.6 0.8 tan 0.75 36.9i i is x z 9.36 i 0(0.6 0.8)(8)0iis E x z x zC，C=6(3)先求入 射波磁 场：(6 8)01(0.6 0.8)(A m)12j x z iiEH x z y e/反射波矢 量：0.6 0.8rs x
30、z 10(0.6 0.8)6 8rrk s r x z r x z 因为入射 波为平 行极化 波，所以/=1 R，反射波磁 场(6 8)(6 8)0/0R(A m)12j x zj x z rrE eH y e y/合成波的磁场(6 8)(6 8)1(A m)12j x z j x zi ree H H H y/所以 61 A/m6jxsJ z H x e。6-27 试证：当平 面波 向理 想介质 边界 斜投 射时，布 鲁 斯特角 与相 应的 折射 角之 和为/2。证明:考 虑到 大多 数介 质 的磁导 率相 同，此时 只有 平行极 化波 才可 能发 生全 反射和 无反射。已 知平 行极 化波
31、 的反 射系数 为 12/12cos coscos cosititR 又由折 射定 律1212sinsin kkti，对平 行极 化波而 言要 使 0/R，则 12cos cosit，即t i cos cos1 2 解得 2 12sin B，2 11sin t 因B sin 1 sin 1 cos2 122 11 2 t t，可 见 2 t B 6-28 当 平 面 波 自 空 气 向 无 限 大 的 介 质 平 面 斜 投 射 时，若 平 面 波 的 电 场 强 度 振 幅 为1(V/m)，入射 角为 60，介 质的电 磁参 数为 3,1 rr，试求：（1）对 于水 平和 垂直 两种 极化平
32、面 波形 成的 反射 波及 折射波 的电 场振 幅；（2）单位面 积上 透射 功率。解：（1）对于 平行 极化 波，因603 13arcsin B，可见60 B i，故此 时发生无 反射，即 透射 波的 电场振 幅为 1V/m。此 时，在界面 上为 表面 波，没有 功率进 入介 质空间。对于垂 直极 化波 i ii iR 21 221 2sin cossin cos 5.05.1 3 5.05.1 3 5.0 i iiT 21 2sin coscos 2 5.0 故反射 波和 透射 波的 电场 振幅均 为 0.5V/m。（2）透射 波的 磁场 振幅 为 30=2.290.5 0.7 10 A/
33、m/53 4200=5.743 110 W/m2avS E H 6-29 一均匀 平面 波从 空气 入射到 2.7,1 rr 的介 质表 面（=0 平 面），入射 电场 强度为)(0)2(z x jie E j y z x E。试 求：（1）入射 波磁 场强度；（2）反 射波 电场 强度和 磁场强度；（3）反 射波 是什 么极化 波？解：（1）入 射波 传播 方向 为 2ik x zsk 反射波 传播 方向 为 2rrrk xzsk 000 2()j x ziiis E EH y z x j e（2）反射 波包 含平 行极 化 和垂直 极化 两部 分，/r r rE E E 入射角 等于 反射
34、 角145，透射角225.49，2cos 0.9027 2 1 1 2/2 1 1 2cos cos0.1255cos cosrrrrR 1 1 2 21 1 2 2cos cos0.3544cos cosrrrrR 0 0.1255 2 0.3544j x zrE x z yj E e 00 2 0.1255 0.3544j x zrEH y x z j e（3）反 射波 电场 的 y 分量落 后 z x 分量 90，且 大小 不 相 等，所 以 反 射波 是右 旋椭圆极化 波。6-30 某 90 角反射 器如 习 题图 6-2 所示，它 由二 正 交的导 体平 面构 成，一 均 匀平面 波
35、以 角入射。试证合成电场为04 sin(cos)sin(sin)E z E kx ky。习题 图 6-2 角反射器 解：图 中共 有四 种射 线，其单位 矢量 分别 为(cos sin)is x y，(cos sin)rs x y，cos sinus x y，cos sinvs x y，这四种 电场 分别 是(cos sin)0jk x yiE zE e，(cos sin)0jk x yrE zE e(cos sin)0jk x yuE zE e，(cos sin)0jk x yvE zE e 合成场 为 cos cos000 2 sin(sin)2 sin(sin)4sin(cos)sin(
36、sin)i u r vjkx jkxE E E E EzE e j ky zE e j kyzE ky ky 6-31 一线极化 平面 波由 自 由空间 入射 于r=4，r=1 的介 质分界 面。若入 射波 电场 与入射面 夹角 是 45。试 问：（1）反射 波只 有垂 直极 化 波时的 入射 角是 多少？（2）此 时反 射波的实功 率是 入射 波的 百分 之几？解：入 射波 电场 可分 解为 垂直极 化和 平行 极化 两个 分量，二者 大小 相等。（1）若 入射角 等于布 儒斯 特角，平 行极 化波发 生全 透射，无 反射。此时，反 射波只 有垂直极 化波，所以 11 21tan tan 2
37、 63.44iB（2）211 1 1 2 221 1 2 211cos sin cos cos0.6cos coscos sinrrnnRnn 所以 2 110.036 18%22avraviSRS。6-32 一均匀 平面 波自 空气 入射 于 z=0 处的r=9，r=1 理 想介质 表面，入 射电 场为 ikx yrkvkukikrko2/)3(02)3(z x jieEz x E 试求：（1）入 射波 传播 方 向，入 射角、折射 角；（2）入射 波磁 场强 度和 反射 波电场 强度，并算出分界面上单位面积反射功率占入射功率的百分比；（3)欲使分界面上单位面积的反射功率百分 比为零，应如
38、何选 择入射 角？（4）试 证明该 入射角 时分界 面上单 位面 积的透 射功率百分比 为 100%。解：（1）已知 32iik xzsk，所以113 cos 302isz，因2112sin 11sin 3rnn，所以21arcsin 9.596；（2）(3)/2 000 3(3)22j x z iiiEE xzH s x z e 320120j x z Eye 2 1 1 2/2 1 1 2cos cos 3cos30 cos9.590.45cos cos 3cos30 cos9.59nnRnn 3 2 3 200 3 3 0.2252j x z j x zrREE x z e x z E e 2/20.25%R；（3）令入 射角 等于 布儒 斯 特角，111tan tan 3 71.57r；（4）当171.57 时，21arcsin sin 71.57 18.443 2 1 1 2/2 1 1 2cos cos 3cos71.57 cos18.440cos cos 3cos71.57 cos18.44nnRnn 所以2/1 100%R。
