1、构造相似三角形解题/初寸教 l 学教与学.11.:l_构造相似三角张金仁李锦林形解题(江苏省泰州市寺巷中学,225300)相似三角形作为一种基本图形,在求解,推证角及线段的数量关系中应用十分广泛.现举例说明如下,供同学们参考.一,证角相等例 1 如图 1,在直角梯形申,AD/BC,ADC=BCD=90.对角线 AC 与BD 相交于 0,OE-l-CD,垂足为 E.求证:1=L2.分析与简证 AD由 AD/OE/BC,有 1=3,2=4.要证 1=2,只要证明3=L4.BC图 1由 AD/BC=;OE/Bc=.?.=.于是 RrZxADERtBCE,L3=L4.问题得证.注本题主要利用相似三角形
2、对应角相等和平行线传递角的功能.二,证线段 c成比例例 2 如图 2,E在/xABC 中,CAB=90,ABfAD 上 BC,垂足图 2为 D,E 是 AC 的中点,直线 E1)与直线 AB 的延长线交于点 F.求证:=.分析与简证由分析可知,所证四条线段 AB,AC,DF,AF 不能构成相似三角形 ,所l0?2003 年以考虑转换线段比.由 RtADBRtC=,从而问题转化为证=.显然四条线段位于/xADF 和/XDBF 中,只需证 AADF/xDBF 即可.因为 DE 为RtZkCDA 斜边上的中线,有 ED=EC,所以2=C,而 C=L3,所以 L1=L2=C=L3.又因为 DFB=AF
3、D,所以/XADFDBF,问题得证.注在证明线段成比例时所给线段比往往不能直接证得,这时首先要通过中间比的传递,再利用相似三角形对应线段成比例来证明.三,证线段相等例 3 如图 3,已知 F 是/XABC 的边 BC的延长线上一点,FD 交 Ac 于 E,且=.求证:D 是 AB 的中点.分析与简证本题即证 AD=DB,而主要条件只有丽 AE=BF,考虑用比C图 3例式证线段相等,故过 C 作 CG/AB.显然,/XADE/xG,GGF/xBDF. 所以,一AD:笪:.所以 AD:BD.CGECCFCG 一一一.IuL,注证两条线段相等,可以利用比例线段来证.一般将所证两条线段转化为两个线段比
4、中的分子,且分母相同(或相等),然后证两个比相等.四,求线段的长或比值t镑*l 蟊,l照Fll;.:ll;lp,ltllltl|.第 2 聊例 4 如图 4,直线 DF 交ABC 的边 AC于 F,交于 E,交的延长线于 D,且篙=ED2_求:.一一 司:EC分析与简证由图形可知,已知与所求线段之间没有直接的图关系,所以考虑作辅助线 FM/BC 交 AB 于M,有=面 DE=号;=号,所以BE=吾,则=号.问题得解 .注本题也可过 E 点作 AC 的平行线或过 E 点作 AB 的平行线,但总的思路是通过辅助线在已知和未知之间建立联系,而后利用比的传递性和性质求解.例 5 如图 5,一块三角形的
5、铁皮,BC 边的长为 4cm,BC 边上的高 AD 为 3cm,要将它加工成一块矩形铁皮,使矩形的一边 FG 在.练习与测试.初中 j 学教与学BC 上,其余两个顶点 E,H 分别在 AB,AC 上,且矩形的面积是三角形面积的一半,求这个矩形的长和宽各是多少?分析与简证设矩形的长EHZCTn,宽EF=ycm.则 z,Y 由两方面的条件来限制:一是图 5它的面积;-是图形本身的特征.EH/BC,.AAEHGOABC,.一墨日 n 一互ADBC“34.又因为矩形 EFGHl 的面积等于三角形面积的一半,所以 xy=3.两式联立可解得 z=2cm,=1.5cm,问题得解.注在利用相似形的求值问题中,
6、主要是利用相似三角形所提供的对应元素之间的关系,再结合图形的特征进行求解.初一数学寒假练习(总分 150 分,时间 120 分钟)一,填空题(每空 2 分,共 44 分)1.一 1 专与互为相反数,一 0.25 的倒数是.2.已知 z,Y 为有理数 ,且 zy,则+Y 一定是数.3.设甲数为 n,乙数为 b,则甲数的两倍的倒数与乙数的一半的差用代数式表示为4.某种商品原价为 a 元,现以八五折出售 ,现价是.5.将数 704900 用四舍五人法取近似值,精确到万位表示为,它有个有效数字.6.比较大小:一了 4一号;一一3.7.计算:(一 2)+(一 2):;(号)l0(一 1-5)一 1)=8.单项式一 zYz 的系数是;次数是.一9.把多项式一 2x+53x 一 4x 按 x 的降幂排列后,它的首项是,第三项的系数是.1O.在括号内填上适当的项:一 n+2bC:一()=(bc)一 ()l1.图中阴影部分的面积 S=.第 l1 题图12.已知:5 一 4y 一=12;用含 z 的代数式表?11
