1、 2011-2012 学暑期五年级讲义 (2012 年 7 月)第四讲 棋盘中的数学问题(一)所谓棋盘,常见的有中国象棋棋盘(下图(1) ) ,围棋盘(下图(2) ) ,还有国际象棋棋盘(下图(3) ) 以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题,就叫做棋盘中的数学问题解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识,统称棋盘中的数学一、知识要点1棋盘中的图形与面积;2棋盘中的覆盖问题:(1)概念:用某种形状的卡片,按一定要求将棋盘覆盖住,就是棋盘的覆盖问题。实际上,这里并不要求一定是某种棋盘,只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题,就是棋盘的覆盖问题。(2)分类:
2、棋盘的覆盖问题可以分为三类,一是能不能覆盖的问题,二是最多能用多少种图形覆盖的问题,三是有多少种不同的覆盖方法问题。(3)重要结论: mn 棋盘能被 21 骨牌覆盖的条件是 m、n中至少有一个是偶数 2n 的方格棋盘能用 形骨牌覆盖的条件是 3n二、典型例题(一)棋盘中的覆盖问题:1、能不能覆盖的问题,例 1一种骨牌是由形如 的一黑一白两个正方形组成,则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖?(A)34 (B)35 (C)44 (D)45 (E)63例 2要不重叠地刚好覆盖住一个正方形,最少要用多少个右图所 示的图形?例 3 在下图(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)四个图形中:可
3、以用若干块 和 拼成的图形是第几号图形例 4下图中的 88 棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格,问能否用 31 个 21 的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住?例 5 88 的棋盘能否用 15 个 形骨牌和 1 个 形骨牌覆盖例 6能不能用 9 个 14 的长方形卡片拼成一个 66 的正方形?2、最多能用多少种图形覆盖的问题例 7一种游戏机的“方块”游戏中共有如下图所示的七种图形,每种图形都由 4 个面积为 1 的小方格组成现用 7 个这样的图形拼成一个 74 的长方形(可以重复使用某些图形) 那么,最多可以用上几种不同的图形? 例 8用 11,22,33 的小正方形拼成一个 1111 的大正方形,
4、最少要用 11 的正方形多少个?3、有多少种不同的覆盖方法问题。例 9用七个 12 的小长方形覆盖右下图,共有多少种不同的覆盖方法?例 10有许多边长为 1 厘米、2 厘米、3 厘米的正方形硬纸片。用这些硬纸片拼成一个长 5 厘米、宽 3 厘米的长方形的纸板,共有多少种不同的拼法?(通过旋转及翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法)(二) 、棋盘中面积及其他。例 11 这是一个中国象棋盘, (下图中小方格都是相等的正方形, “界河”的宽等于小正方形边长) 黑方有一个“象” ,它只能在1,2,3,4,5,6,7 位置中的一个,红方有两个“相” ,它们只能在 8, 9, 10, 11, 12, 13
5、, 14 中的两个位置问:这三个棋子(一个黑“象”和两个红“相” )各在什么位置时,以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大?例 12如右图是一个国际象棋棋盘,A 处有只蚂蚁,蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走,已经走过的格子不能第二次进入请问,蚂蚁能否从 A 出发,经过每个格子最后返回到 A 处?若能,请你设计一种路线,若不能,请你说明理由例 13国际象棋的棋盘有 64 个方格,有一种威力很大的棋子叫“皇后” ,当它放在某格上时,它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子,如下左图上虚线所示如果有五个“皇后”放在棋盘上,就能把整个棋盘都“管”住,不论对方棋子放在哪一格,都
6、会被吃掉请你想一想,这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘?例 14小明有 8 张连在一起的电影票(如右图) ,他自己要留下 4 张连在一起的票,其余的送给别人。他留下的四张票可以有多少种不同情况?例 15在 88 的方格棋盘中,如下图所示,填上了一些数字 1,2,3,4试将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块,并且每块中都恰有 1、2、3、4 四个数字三、练习题1、在 44 的正方形中,至少要放多少个形如 所示的卡片,才能使得在不重叠的情形下,不能再在正方形中多放一个这样的卡片?(要求卡片的边缘与格线重合)答案与提示:3 个。提示:右图是一种放法。2、下列图中哪几个能用若干个 或 拼成
7、?答案与提示:图(2) 。图(1)的小方格数不是 3 的倍数;图(3)的小方格数是 3 的倍数但拼不成;图随心家教张老师简介:中国农业大学 教育学 2004 年入读 数学金牌教师,曾在多家大型教育机构担任数学部主管及数学带头教师。从 2009 年开始从事清华龙校,101 中学,十一学校,北大附中,北大资源等学校的小升初奥数辅导,先后有张博涵等十多位同学被点招。张老师家教优势: 1.专业优势:曾任教多家龙校、101 专业辅导机构,专业性强、教学经验丰富。2.价格优势:花较少的钱请到专业老师,上门家教,省去了机构花的冤枉钱,同时省掉了奔波之苦。3.课程优势:免费试听,家长可跟踪听课,费用可以一次课
8、一结,既安全又保证学习效果。4.教学优势:历年真题(清华龙校,101 中学,十一学校,北大附中,北大资源) ,完善的专业教学体系,学习有力保障。5.学习优势:可以根据学生程度制定详细、系统学习规划。6.免费测评:真题测试,让你了解孩子的真是水平。7.阶段测试:阶段了解学生学习状况。张老师辅导范围:学习形式:一对一,一对二,不超过 6 人小班。学习内容:校内小学数学辅导、复习及拓展;小升初奥数提高分班及衔接;初中数学辅导。小升初辅导学校:清华龙校,101 中学,十一学校,北达资源,北大附中,师达学校等。张老师联系方式:民间海淀小升初家长交流群扣扣:423032421,邀请各位家长加入 民间小升初
9、家长交流群扣扣:426423182,邀请各位家长加入张老师电话:13439349193张老师 qq:3151179861张老师博客:http:/ 9 个形如 的卡片覆盖 66 的棋盘?答案与提示:不能。右图中黑、白格各 18 个,每张卡片盖住的黑格数是奇数,9 张卡片盖住的黑格数之和仍是奇数,不可能盖住 18 个黑格。4.有若干个边长为 1、边长为 2、边长为 3 的小正方形,从中选出一些拼成一个边长为 4 的大正方形,共有多少种不同拼法?(只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法)答案与提示: 6 种。用小正方形拼成边长为 4 的大正方形有 6 种情形:(1)1 个 33,7 个 11
10、;(2)1 个 22,12 个 11;(3)2 个 22,8 个 11;(4)3 个 22,4 个 11;(5)4 个 22;(6)16 个 11。5、用 6 个形如 的卡片覆盖右图,共有多少种不同的覆盖方法?答案与提示:5 种。盖住 A 有下图所示的 5 种方法,其中左下图所示的 3 种都无法覆盖;下中图中,放好后,左下方和右上方各有 2 种放法,共有 4 种覆盖方法;右下图只有 1 种覆盖方法。6把 A、B、C、D 四个棋子放在 44 的棋盘的方格里,使每行每列只能出现一个棋子问共有多少种不同的放法?答案与提示:不妨先考虑棋子 A 的情况,共有 16 种不同的放法,不妨设 A 就放在左上角
11、然后考虑棋子 B 的放法,由于 A 所在的行及所在列不能再放棋子,所以棋子 B 只能有 9 种不同放法,不妨设棋子 B 在右图中位置类似地 C 只有4 种不同放法,D 只有一种放法,总计共有 16941576 种不同放法7中国象棋规定马走“日”字定义:在中国象棋盘上从点 A 到 B 马走的最少步数称为 A 与 B 的马步距离,记作AB m如下图在 33 的棋盘格中,标出了 A、B、C、D、E 五个点,则在AB m,AC m,AD m,AE m中最大者是多少?最小者是多少?答案与提示:最大的是AEm4,最小的是ACm28、能否用 17 个形如 的卡片将右图覆盖?答案与提示:左上图共有 34 个小
12、方格,17 个12 的卡片也有 34 个小方格,好象能覆盖住。我们将左上图黑白相间染色,得到右上图。细心观察会发现,右上图中黑格有 16 个,白格有 18 个,而 12 的卡片每次只能盖住一个黑格与一个白格,所以 17 个 12 的卡片应当盖住黑、白格各 17 个,不可能盖住左上图。9 、由 11、 22、33 的小正方形拼成一个 2323 的大正方形,在所有可能的拼法中,利用 11 的正方形最少个数是多少? 答案与提示:用 11 的正方形至少一个第一步:中心放一个 11 的正方形,剩下的 4 个 1112 的矩形,是可以用 6 个 22 正方形和 12 个 33 正方形拼成的,如右下图所示第二步:不用 11 而只用 22 与 33 的正方形是拼不成的将 2323的大正方形的 1,4,7,10,13,16,19,22 各行染红色,其余各行染蓝色如下图任意 22 或 33 正方形都将包含偶数个蓝色小格,但蓝格总数是2315,是个奇数,矛盾所以不用 11 的小正方形是拼不成 2323 棋盘的。综上所述,要拼成 2323 棋盘,至少要用一个 11 的小正方形