1、辽宁省鞍山市第一中学 2018届高三上学期第二次模拟考试（期中）数学（理）试题 (1)第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 集合 的真子集个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】所以真子集的个数为 ，故选 C2. 若 为实数，且 ，则 （ ）A. -4 B. -3 C. 3 D. 4【答案】D【解析】试题分析： ，选 D考点：复数相等，复数运算3. 下面程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” ，执行该程序框图，若输入的 分别为 14,18，则输出的
2、 为（ ）A. 0 B. 2 C. 4 D. 14【答案】B【解析】由 a=14，b=18，ab，则 b变为 1814=4，由 ab，则 a变为 144=10，由 ab，则 a变为 104=6，由 ab，则 a变为 64=2，由 ab，则 b变为 42=2，由 a=b=2，则输出的 a=2故选 B 点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.4. 一个四面体的三视图如下图所示，则该四面体的表面积是（ ）A. B.
3、C. D. 【答案】C【解析】由三视图还原几何体如图所示：三棱锥 OABC,OE底面 ABC,EA=ED=1,OE=1,AB=BC= AB BC，可判断; OAB OBC的直角三角形，S OAC=S ABC= 21=1，S OAB=S OBC= ，该四面体的表面积： ，本题选择 C选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理5. 已知命题“ ，使 ”是假命题，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析
4、】原命题是假命题，所以其否定“ ， ”是真命题，解得 ，故选 B6. 已知 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，故选 A7. 设向量 满足 ， ，则 （ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 5【答案】A【解析】试题分析： ，展开后得： ，两式相减得，得到 ，故选 A考点：向量数量积8. 设 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）A. -3 B. 4 C. 2 D. 5【答案】B【解析】作出 x,y满足的区域如图(阴影部分),由目标函数对应直线的斜率与边界直线斜率的关系知目标函数在点(1,1)处取得最大值 4. 故选 B点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思
5、想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.9. 由曲线 与直线 ， 所围成的封闭图形面积为（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】D【解析】根据题意作出所围成的图形，如图所示，图中从左至右三个交点分别为 ，所以题中所求面积为，故选 D10. 设 ， ， ，则 大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ， ，所以有 。故选 B点晴：本题考查的是指数式，对数式的大小比较。解决本题的关键是利用指、对数函数的单调性比较大小，当指、对函数
6、的底数大于 0小于 1时，函数单调递减，当底数大于 1时，函数单调递增；另外由于指数函数过点（0，1） ，对数函数过点（1，0） ，所以还经常借助特殊值 0,1比较大小11. 等差数列 满足 ， ， ，则使前 项和 成立的最大正整数 是（ ）A. 2016 B. 2017 C. 4032 D. 4033【答案】C【解析】试题分析： 在等差数列中， ， ，则 ，由因为，所以 ， ，故选 C考点：1、等差数列的性质;2、等差数列前 项和12. 若存在正数 ，使 成立，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由 ，得 ，所以 ，设 ，则函数 在 上单调递增，所以
7、当 时， ，所以若存在正数 ，使得成立，则 考点：函数的最值及其性质的应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的最值及其性质的应用，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的最值、不等式的恒成立问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、以及推理与运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题，本题的解答中构造新函数 ，利用新函数的单调性是解答的关键.第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13. 等差数列 的公差为 2，若 成等比数列，则数列 的前 项 _【答案】【解析】 成等比数列, ,可得 ,解得 ,的前 项 = 14. 直线 被圆 截得的弦长为
8、 ，则直线的倾斜角为_【答案】 或15. 函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，其中 均大于 0，则 的最小值为_【答案】【解析】函数 的图象恒过定点 A(-3,-1),则 ,即 .16. 在锐角 中， 分别是角 所对的边， 的面积 ，且满足，则 的取值范围是_【答案】【解析】在锐角 ABC中, a,b,c分别为角 A,B,C所对的边,满足 acosB=b(1+cosA)，sin AcosB=sinB+sinBcosA,sin(AB)=sinB， AB=B,即 A=2B B B ,故选 A三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17.
9、 已知函数 .（1）求函数 的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数 在区间 上的最值.【答案】 （1）最小正周期为 ，对称轴方程为（2）最大值 1，最小值【解析】试题分析：（1）先根据两角和与差的正弦和余弦公式将函数 展开再整理, 可将函数化简为 的形式, 根据 可求出最小正周期, 令 ,求出 的值即可得到对称轴方程；（2）先根据 的范围求出 的范围, 再由正弦函数的单调性可求出最小值和最大值, 进而得到函数 在区间 上的值域试题解析：（1）周期 ，由 ，得 ，函数图象的对称轴方程为 （2） ， ，因为 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，所以当 时， 取最大值 1，又 ，当 时，
10、取最小值 ，所以函数 在区间 上的值域为 考点：1、三角函数的周期性及两角和与差的正弦和余弦公式；2、正弦函数的值域、正弦函数的对称性18. 已知函数 .（1）求不等式 的解集；（2）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）按零点分段法去绝对值，分别在每一段内解一次不等式求出 x的范围，然后求并集就得到不等式的解集；（2）分区间去掉绝对值，把 f(x)化为分段函数，分别求出每一段函数的值域，综合可求得函数的最小值；有解等价于 ，由此解出 a的范围即可.试题解析：解：（1）当 时，无解；当 时， ；当 时， .综上， .（2）函数 的最小值为
11、 ， ，所以 .19. 证明： 不是有理数.【答案】证明见解析；【解析】试题分析：利用反证法假设 是有理数,进而利用有理数的性质分析得出矛盾,进而得出答案.试题解析：假设 为有理数那么存在两个互质的正整数 ，使得： ，于是 ，两边平方得由 是偶数，可得 是偶数.而只有偶数的平方才是偶数，所以 也是偶数.因此可设 ， 是正整数，代入上式，得： ，即 .所以 也是偶数，这样 都是偶数，不互质，这与假设 互质矛盾.因此 不是有理数.20. 已知数列 的前 项和为 ，且 ， .（1） ，求证数列 是等比数列；（2）设 ，求证数列 是等差数列；（3）求数列 的通项公式及前 项和 .【答案】 （1）证明见
12、解析；（2）证明见解析；（3）【解析】试题分析：（1）由 ， 相减可得 ,即，从而 ， 是等比数列得证（2）由（1）可得 两边同除以 可得 ，数列 等差得证（3）由（2）可求 ，代入 可求 ，进而求出试题解析：解：（1）由题意， ， 相减，得, ， ， ，又由题设，得 ，即 ， ， 首项为 3，公比为 2的等比数列，其通项公式为（2） ，所以，数列 是首项为 ，公差为 的等差数列， .（3） .21. 如图，已知多面体 的底面 是边长为 2的正方形， 底面 ，且 .（1）记线段 的中点为 ，在平面 内过点 作一条直线与平面 平行，要求保留作图痕迹，并写出该直线与 所成角的余弦值，但不要求证明和
13、解答过程.（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：() 取线段 的中点 ，连结 ，直线 即为所求() 以点 为原点， 所在直线为 轴， 所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，求出平面 的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求直线 与平面 所成角的正弦值;试题解析：（）取线段 的中点 ，连结 ，直线 即为所求如图所示：.设平面 的法向量为 ，得 取 ，得平面 的一个法向量为，设直线 与平面 所成的角为 ， 22. 设函数（1）当 ， 恒成立，求实数 的取值范围.（2）设 在 上有两个极值点 .（A）求实数 的取值范围；（B）求证： .【答案】 （1） ；
14、（2） （A） ；（B）证明见解析；【解析】试题分析：(1)构造函数 ，求导数分 ， ， ，出函数的最值即可, (2)函数 有两个极值点 、 ,即导函数 g(x)有两个不同的实数根,对 a进行分类讨论,不妨设 ，则 ,构造函数 ， .,利用函数 的单调性证明不等式.试题解析：解：（1） ，且 ， .令 ，则 .当 时， ， 在 上为单调递增函数， 时， ，不合题意.当 时， 时， ， 在 上为单调递增函数， ， ，不合题意.当 时， ， ， 在 上为单调递减函数. 时， ，不合题意.当 时， ， ， 在 上为单调递增函数.， ， 在 上为单调递减函数. ，符合题意.综上， .（2） ， .令 ，则由已知 在 上有两个不等的实根 .（A）当 时， ， 在 上为单调递增函数，不合题意.当 时， ， 在 上为单调递减函数，不合题意.当 时， ， ， ， ，所以， ， ， ，解得 .（B）由已知 ， ， .不妨设 ，则 ，则 .令 ， .则 ， 在 上为单调递增函数，即 ， ， ， ，由（A） ， ， ， .点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
