1、丹东市五校协作体 2018 届联考文科数学试卷第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合 ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得 ，所以 。选 D。2. 设复数 满足 ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得 ，所以 。选 B。3. 设 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】 是定义在 上的奇函数， 。选 C。4. 已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】画出不等式组表示的可行域如图所示，由 得 。平移直线
2、 ，由图形可得当直线经过可行域内的点 A 时，直线 在 y 轴上的截距最大，此时 取得最大值。由 ，解得 ，故点 A 的坐标为（2，-1） 。 。选 B。5. 已知数列 的通项公式是 ，前 项和为 ，则数列 的前 11 项和为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意知数列 为等差数列， 。 ，数列 的前 11 项和为 。选 D。6. 向量 ， ，且 ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ， ， ， ， 。选 C。7. 执行如图所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的 属于A. B. C. D. 【答案】B【解析】当 时， ，所以 ；当 时， 。综上可得输出的 的范围为 。选 B
3、。8. 九章算术中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其意：“已知直角三角形两直角边长分别为 步和 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为 17，由等面积，可得内切圆的半径为：落在内切圆内的概率为 ，故落在圆外的概率为9. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是三棱锥的三视图，则此三棱锥的体积是A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据三视图画出几何体直观图为如图所示的三棱锥 ，其中底面为两直角边分别为 2,6的直角三角形，棱
4、锥的高为 4。故其体积为 。选 A。10. 已知双曲线 （ ）的一条渐近线被圆 截得的弦长为 2，则该双曲线的离心率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得圆方程即为 ，故圆心为（3,0） ，半径为 2.双曲线的一条渐近线为 ，即 ，故圆心到渐近线的距离为 。渐近线被圆截得的弦长为 2， ，整理得 。 。选 D。点睛：双曲线几何性质是高考考查的热点，其中离心率是双曲线的重要性质，求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 的方程或不等式，利用 和转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围11. 是 所在平面上的一点，满足 ，若
5、 ，则 的面积为A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， ， ，且方向相同。 ， 。选 A。12. 设函数 ，其中 ， ，存在 使得 成立，则实数 的值是A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得，函数 表示动点 和动点 间的距离的平方。其中动点在函数 的图象上，动点 在直线 上。问题可转化为求直线 上的动点到曲线 的最小距离。由 得 。令 ，解得 。故曲线 上的点 到直线 的距离最小，且最小距离为 ，由题意可得。根据题意存在 使得 成立，则 ，此时点 恰好为垂足，由，解得 。选 A。点睛：本题从所给函数的几何意义出发，将问题转化为曲线上的点到直线的最小距离来处理，根据导数的几何
6、意义求得最小距离后，又将条件中给出的能成立的问题转化为恰成立的问题，从而根据两点间连线的斜率求得参数值。解题中要根据题目中给出的条件进行适当的转化，以使问题得到解决。第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第2223 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。13. 已知 为各项都是正数的等比数列，若 ，则 _【答案】8.【解析】 ，又 ， ， 。答案：814. 已知 ，则 _【答案】 .【解析】 ， 。.答案：15. 如图，多面体 ， 两两垂直， ， ，则经过 的外接球的表面积是_【答案】 .【解析】根据 两两垂
7、直构造如图所示的长方体，则经过 的外接球即为长方体的外接球，故球的直径为长方体的体对角线的长。设 ,由题意得 ，解得 。所以球半径为 ，球的表面积为 。答案： 点睛：与圆有关的组合体的有关计算是高考的重要考点，解答此类问题时要注意组合体的形式，并根据组合体的特点确定出球心的位置，从而求出球半径的大小。对于球的外接问题，若在条件中出现了过同一点的三条两两垂直的线段，可由此构造出一个长方体，则该长方体的体对角线即为外接球的直径。16. 设数列 的前 n 项和为 若 且 则 的通项公式 _【答案】 .【解析】 ， , ，即 。又 ，解得 。故 。数列 从第二项起是公比为 3 的等比数列，故当 时，
8、。 。答案：点睛：已知 求 的三个步骤(1)先利用 求出 ；(2)用 n1 替换 中的 n 得到一个新的关系，利用 (n2)便可求出当 n2 时的表达式；(3)对 n1 时的结果进行检验，看是否符合 n2 时 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n1 与 n2 两段来写三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. 已知 内接于单位圆，角且 的对边分别为 ，且 .（）求 的值；（）若 求 的面积【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：本题考查正余弦定理的应用及三角形的面积公式。 （）根据条件及余弦定理可得 ，两边约去 即为所求。 （）由（）可
9、得 ，从而根据正弦定理和外接圆的半径可得 ，再由余弦定理得到 后可求得三角形的面积。试题解析：（）又所以 ，即 （）由（）知 ，由余弦定理得 ，。 18. 某县政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过 12 吨时，按 4 元/吨计算水费；若用水量超过 12 吨且不超过 14 吨时，超过 12 吨部分按 6.60 元/吨计算水费；若用水量超过14 吨时，超过 14 吨部分按 7.80 元/吨计算水费为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了 100 户居民的月用水量（单位：吨） ，将数据按照 ， ，分成
10、8 组，制成了如图 1 所示的频率分布直方图.（图 1） （图 2）（）通过频率分布直方图，估计该市居民每月的用水量的平均数和中位数（精确到 0.01） ；（） 求用户用水费用 (元)关于月用水量 （吨）的函数关系式；（）如图 2 是该县居民李某 2017 年 16 月份的月用水费 (元)与月份 的散点图，其拟合的线性回归方程是 . 若李某 2017 年 17 月份水费总支出为 294.6 元，试估计李某7 月份的用水吨数【答案】(1) 平均数 7.96，中位数 8.15;(2) ;(3)13.【解析】试题分析：本题考查频率分布直方图的应用及线性回归方程的应用。 （）根据用频率分布直方图估计平
11、均数、中位数的方法计算即可。 （）结合题意可用分段函数表示出 与 的关系。 （）先由样本中点过回归直线的结论求得 16 月份月用水费约为 7 月份的水费为元，再根据回归方程求得 7 月份的用水吨数。试题解析：（）由频率分布直方图可得该市居民每月的用水量的平均数为。设中位数为 ，则 ，解得 。（）设居民月用水量为 吨，相应的水费为 元，则由题意得即 （）设李某 2017 年 16 月份月用水费 （元）与月份 的对应点为 ，它们的平均值分别为 ， ，则 ，又点 在直线 上，所以 ，因此 ，所以 7 月份的水费为 元由（2）知，当 时， ，所以李某 7 月份的用水吨数约为 13 吨. 点睛：（1）用
12、频率分布直方图估计总体特征数字的方法：众数：最高小长方形底边中点的横坐标；中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和。（2）对于线性回归方程要注意回归直线一定经过回归中心 ；根据线性回归方程进行预测时得到的只是估计值，而不是精确值。19. 如图，在四棱锥 中， ， ， ,平面 平面 ，为等腰直角三角形， .（）证明： ；（）若三棱锥 的体积为 ，求 的面积【答案】(1)见解析；（2） 【解析】试题分析：本题考查空间中的垂直关系及体积、面积的有关计算。 （）由平面 平面 可得平面 ，从而可得 平面
13、，所以 ，又 ，故可得 平面 ，因此 。 （）设 ，则 ，作辅助线，即过 作 于 ，可得 。根据 可求得 ，所以 ， .试题解析：（）因为平面 平面 ，平面 平面 = ，平面 .又 ，平面 .平面 ，又 为等腰直角三角形，又 ，平面 ，又 平面（）设 ，则 ，过 作 于 ，则 .又平面 平面 ，平面 平面 =平面 .又 .，在 中， .中， .20. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，若 的周长为 ，且点 到直线 的距离为 .（）求椭圆 的方程；（）设 是椭圆 长轴的两个端点，点 是椭圆 上不同于 的任意一点，直线 交直线 于点 ，求证：以 为直径的圆过点 .【答案】 （1） ；
14、（2）见解析.【解析】试题分析：本题考查椭圆方程的求法及椭圆中的证明问题。 （）结合题意得到关于 的关系式，求得便可得到椭圆的方程。 （）设 ，可得 。由条件求出，计算得 ，故结论成立。试题解析（）解：设 、 ，由已知可得 又 可求得直线 ，由题意得 ，即 又 ，由可求得所以椭圆 的方程为 。 （）证明：由题意知 .设 ， 则直线 ，当 时， . 所以又点 在椭圆 C 上，所以因为。所以 ，因此以 为直径的圆过点 。点睛：向量在解析几何中的应用有两个方面：（1）通过向量的形式给出条件，解题时要通过向量给出的点与点、点与线或线与线之间的位置关系，进而转化为它们之间的坐标关系。（2）在解题中把向量
15、当做解题的工具，借助于向量的共线和数量积的运算可解决解析几何中的角度问题、垂直问题等。21. 已知函数 （）若 在 处取极值，求 在点 处的切线方程；（）当 时，若 有唯一的零点 ，求证：【答案】 （1） ；（2）见解析.【解析】试题分析：本题考查导数的几何意义及导数在研究函数单调性、极值中的应用。 （）根据函数在 处取极值可得 ，然后根据导数的几何意义求得切线方程即可。 （）由（）知，令 ，可得 在 上单调递减，在 上单调递增。结合函数的单调性和函数值可得 在 上有唯一零点，设为 ，证明 即可得结论。试题解析：（） ， 在 处取极值， ，解得 .,又 . 在点 处的切线方程为 ,即 （）由（
16、）知 ，令 ，则由 ，可得在 上单调递减，在 上单调递增。又 ，故当 时， ；又 ，故 在 上有唯一零点，设为 ，从而可知 在 上单调递减，在 上单调递增，因为 有唯一零点 ，故 且22. 极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点，极轴为 x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同已知曲线 C 的极坐标方程为 ， （）求曲线 C 的直角坐标方程；（）在曲线 C 上求一点 ，使它到直线 （ 为参数）的距离最短，写出 点的直角坐标.【答案】 （1） ；（2）点 的坐标为 .【解析】试题分析：本题考查极坐标与参数方程。 （）根据极坐标与直角坐标间的转化关系可得结果。 （）将参数方程化为普通方程，可
17、得直线和圆相离，设点 ，根据曲线 在点 处的切线与直线 平行可得关于 的方程组，解方程组可得所求点的坐标。试题解析：（） ， ，将 代入上式可得 。曲线 的直角坐标方程为 。 （）由 消去 ，得 的普通方程为 ，故圆 与直线 相离。设点 ，且点 到直线 的距离最短，则曲线 在点 处的切线与直线 平行，又或 ， 。结合图形可得点 的坐标为 。 23. 函数 （）当 时，求不等式 的解集；（）若对任意 ，不等式 的解集为空集，求实数 的取值范围【答案】 （1）不等式 解集为 ；（2） .【解析】试题分析：试题解析：（）当 即为 。当 时，不等式化为 ，无解当 时，不等式化为 ，解得当 时，不等式化为 恒成立，故 。综上可得不等式 解集为 （）因为 （当且仅当 时，等号成立）。设 ， ，设 ，当 等号成立。要使 的解集为 ,则实数 的取值范围为 。
