1、阳春一中 2018 届高三级月考(9)理科数学一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合 ，由函数的值域化简集合 ，根据集合并集的定义求解即可.详解： ，故选 C.点睛：集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合
2、形式有数轴、坐标系和 图2. 复数 在复平面内的对应点关于虚轴对称的点的坐标为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用复数乘方与除法的运算法则化简 ，可得其坐标，关于虚轴对称即可得即可.详解： ，对应点 关于虚轴对称点的坐标为 ，故选 D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. “不等式 在 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A. B. C. D. 【答案】
3、C【解析】不等式 x2xm0 在 R 上恒成立，则 14m .“不等式 x2xm0在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是 m0.4. 九章算术是我国古代数学名著，书中有如下问题:“今有勾五步股一十二步，问勾中容圆.径几何?其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为 5 步和 12 步，问其内切圆的直径为多少步?”现从该三角形内随机取一点则此点取自内切圆内的概率是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用三角形内角相等求出内切圆半径，从而求得内切圆面积，利用几何概型概率公式可得结果.详解：由勾股定理得弦长为 ，设内切圆半径为，由等积法可知，内切圆面积为 ，三角形面积为 ，此点取
4、自内切圆内的概率是 ，故选 C.点睛：本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.5. 已知定义在 上的偶函数 在 上单调递减则函数 的解析式不可能为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由偶函数的性质可得 ，即有 是 上的偶
5、函数，且 在单调递减，对照选项，一一判断奇偶性和单调性，即可得到结果.详解：因为函数 是 上的偶函数，所以 ，解得 ，即有 是 上的偶函数，且 在 单调递减，对于 ， 为偶函数，且在 递减；对于 ， ，可得 为偶函数，且在 递增，不符合题意；对于 ， 为偶函数，且在 递减；对于 ， 为偶函数，且在 递减，故选 B.点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性
6、的定义，以及奇、偶函数图象的对称性（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.6. 已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由直线 与渐近线 垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得结果.详解： 双曲线 的渐近线方程为 ，又直线 可化为 ，可得斜率为 ，双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，得到 ，双
7、曲线的离心率 ，故选 C.点睛：本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出 ，从而求出;构造 的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解7. 若 的展开式的各项的系数和为 32，则 的展开式的常数项为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由 的展开式的各项的系数和为 ，可得 ，展开式通项为 的系数分别为 ，从而可得结果.详解： 的展开式的各项的系数和为 ，令 ，展开式通项为 的系数分别为 ，的展开式的常数项为 ，故选 A.点睛：本题主要考查二项展
8、开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数） （2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.8. 如图给出的是计算 的程序框图，判断框和处理框应分别填的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：分析程序中各变量，各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是累加并输出 的值，由已知中程序的功能，结合循环变量的初值及步长，分析出循环终值，可得到循环的条件.详解：因为计算 时，每项分母
9、依次增加 ，所以处理框应填 ，程序运行过程中，各变量值如图所示：第一次循环： ；第二次循环： ；第三次循环： ，第 次循环： ，依次类推，第 次循环： ，退出循环，判断框内应填入的条件是： ，故选 D.点睛：算法是新课程中新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视，程序填空也是重要的考试典型，这种题考试的重点有：分支的条件；循环的条件；变量的赋值；变量的输出，其中前两点考试的概率更大，此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误.9. 某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则 最大值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】依题意，题中的几何体是三
10、棱锥 P ABC(如图所示)，其中 ABC 是直角三角形， AB BC， PA平面 ABC，BC2 ， PA2 y210 2，(2 )2 PA2 x2，因此 xy x 当且仅当 x2128 x2，即 x8 时取等号，因此 xy 的最大值是 64故答案为：C。10. 将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则函数 的图象的对称中心是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：逆用二倍角的余弦公式，两角和的正弦公式化简 ，由可得结果.详解： ，向右平移 得到，令 ，得 ，的图象的对称中心是 ，故选 C.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数 可求得函数
11、的周期为 ；由 可得对称轴方程；由 可得对称中心横坐标.11. 已知点 在棱长为 1 的正方体 的体对角 线上运动，当异面直线 与所成的角取得最小值时， 的长度为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由正方体的性质可得 是 与 成的角，利用直线与其射影成的角是与平面内所有直线所成角的最小角，集合相似三角形的性质可得结果.详解：因为 是平行四边形，所以 是 与 成的角，作 于 ，可得 为 中点，则 面 ，是 与平面 内所有直线所成的最小值角，连接 与 交于 ，则 与 成的角最小，由相似三角形的性质可得 ，故选 D.点睛：求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特
12、殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.12. 已知函数 的导函数为 ，若 ，且 ，则不等式的解集为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：构造函数 ，由 可判定 在 上递增，原不等式等价于 ，从而可得结果.详解：令 ，则 ，在 上递增，化为 ，即 ， ，即不等式 的解集为 ，故选 B.点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数解不等式,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题
13、，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状” ；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 命题“ ，使得 ”的否定形式是_【答案】 ，使得【解析】分析：运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等式的变化，即可得到所求命题的否定.详解：因为全称命题的否定为特称命题，所以命题“ ，使得 ”，的否定形式：“ ，使得 ”，故
14、答案为 ，使得 .点睛：本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.14. 已知 满足不等式组 ，则 的取值范围为_【答案】【解析】作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示（包含边界）,由图可知, ,所以目标函数 可化为 ,记 ,所以 表示可行域内的点与定点P（2,0）连线的斜率,由 解得 所以 B（1,2 ）,由 解得 所以 C（1,3.5）,所以 ,结合图形可得 即 所以即 的取值范围为 .15. 已知
15、抛物线 以原点 为顶点，以 轴为对称轴，且 与圆 相交于两点若这两点间的距离为 3，则 的焦点到其准线的距离为_【答案】【解析】分析：由勾股定理求出圆心 到直线 的距离，利用点到直线距离公式求出直线 的斜率， 求得过 与 垂直的直线方程，两直线交点就是 中点，从而可得 点坐标，代入抛物线方程可得 ，进而可得结果.详解：圆与抛物线都过原点，设另一个交点为 ，则圆心 到直线 的距离为 ，设直线 ，则 ，得 舍去） ，过 与 垂直的直线方程为 ，由得， ， 中点坐标 ，点坐标 代入 ，得 ，即 的焦点到其准线的距离为 ，故答案为 .点睛：本题主要考查抛物线与圆的位置关系、圆的弦长公式，已知点在抛物线
16、上求抛物线方程，抛物线的几何性质，意在转化与划归思想以及考查计算能力，综合应用所学知识解决问题的能力，属于难题.16. 已知在 中， 为其外心，且满足 ，则 的值为_【答案】【解析】分析：分别在 两边乘以 ，利用平面向量数量积数量积公式联立方程组即可的结果.详解：取 中点 中点 ，并连接 ，则 ， ，两式相除可得 ，故答案为 .点睛：本题主要考查向量基本定理及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是 ，二是 ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时 往往用坐标形式求解） ；（2）求投影，在 上的投影是 ；（3） 向量垂直则 ;(4)求向量 的模（平方后需求
17、 ）.三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共 70 分. 17. 已知 是各项都为正数的数列，其前 项和为 ，且 为 与 的等差中项.(1)求证:数列 为等差数列；(2)设 ，求 的前 项和 .【答案】 （1）见解析（2）【解析】分析：(1)由题意得 ，即 ，将 ，整理可得得，从而可得数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列；(2) (1)可得，列是各项都为正数， ， ，对 分奇数偶数讨论两种情况，分别求和，从而可得结果.详解：(1)由题意得 ，即当 时，有 ，代入上式得 整理得 .又当 时， 解得 ；数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列.(2)由(1)可得 ，数列是
18、各项都为正数， ，当 时， 又 满足上式，.当 为奇数时，当 为偶数时，数列 的前 项和点睛：本题主要考查等差数列的定义、等差数列通项公式以及数列求和，属于难题.判定一个数列为等差数列的常见方法是：(1) 定义法： （ 是常数） ，则数列 是等差数列(2) 等差中项法： （ ） ，则数列 是等差数列；(3) 通项公式：( 为常数)， 则数列 是等差数列；(4) 前 n 项和公式： ( 为常数) ， 则数列 是等差数列.本题先利用方法(1)判定出数列 是等差数列后再进行解答的.18. 已知四棱锥 ，底面 为菱形， ， 为 上的点，过 的平面分别交于点 ，且 平面(1)证明: (2)当 为 的中点
19、， ， 与平面 所成的角为 ，求二面角的余弦值.【答案】 （1）见解析（2）【解析】 【试题分析】 （1）连结 交 于点 ，连结 根据菱形有 ，根据等腰三角形有 ，所以以 平面 ， .利用线面平行的性质定理有 ，故，所以 .（2）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，通过计算平面 和平面 的法向量来计算二面角的余弦值.【试题解析】（1）证明：连结 交 于点 ，连结 因为 为菱形，所以 ，且 为 、的中点，因为 ，所以 ，因为 且 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 因为 平面 ， 平面 ，且平面 平面 ，所以 ，所以 （2）由（1）知 且 ，因为 ，且 为 的中点，所以 ，所以 平面 ，所以
20、 与平面 所成的角为 ，所以，所以 ，因为 ，所以 分别以 ， ， 为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设 ，则，所以 记平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，所以 ，记平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，所以 ， 记二面角 的大小为，则 所以二面角 的余弦值为 19. 某保险公司对一个拥有 20000 人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为 三类工种，从事这三类工种的人数分别为 12000，6000，2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表(并以此估计赔付概率)：工种类别赔付频率已知 三类工种职工每
21、人每年保费分别为 25 元、25 元、40 元，出险后的赔偿金额分别为100 万元、100 万元、50 万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年 10 万元.(1)求保险公司在该业务所获得利润的期望值：(2)现有如下两个方案供企业远择:方案 1:企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年 12 万元；方案 2:企业与保险公司合作，企业负责职工保费的 70%，职工个人负责保费的 30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.【答案】 （1）9（2）选
22、择方案 2.【解析】试题分析：（）设工种 职工的每份保单保险公司的收益为随机变量 ，可得其分布列，分别求解数学期望，即可得到该工资的期望值；（）分别求出方案 1 和方案 2 中企业每年安全支出与固定开支，即可作出比较得到结论试题解析：（）设工种 A、 B、 C 职工的每份保单保险公司的收益为随机变量 X、 Y、 Z，则 X、 Y、 Z 的分布列为X 25PY 25PZ 40P保险公司的期望收益为； ； ； 保险公司的利润的期望值为 ，保险公司在该业务所获利润的期望值为 9 万元 （）方案 1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为：，方案 2：企业与保险公司合作，则企业支出保险
23、金额为：， ，故建议企业选择方案 220. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 和 椭圆交 轴正半轴于，离心率 ，直线交椭圆于 两点，当直线过点 时， 的周长为 8.(1)求椭圆 的标准方程；(2)若直线经过点 ，且与椭圆 有两个交点 ，是否存在直线 (其中 )使得到 的距离 满足。 恒成立?若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）根据定义得 的周长为 ，根据三角形面积公式可得 ，解方程组可得 a,b， （2）先设直线方程，并与椭圆方程联立，根据韦达定理以及弦长公式表示 ，解得 .试题解析：（1）当直线过点 时，的周长为 ， ，由 ，可知 ，又 ，离
24、心率 ， ， ，椭圆 的标准方程为 . （2）存在 符合题意，理由如下：当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，设 ， ，联立 ，得 ，恒成立， ， . 不妨设 ， ， ，整理得 ，即 满足条件，当直线的斜率不存在时，显然 满足条件，综上， 时符合题意21. 已知函数 ，(1)当 时，讨论函数 的单调性：(2)当 时，求证:函数 有两个不相等的零点 ，且 .【答案】 （1） 在 ， 上单调递减，在 上单调递增.（2）见解析【解析】试题分析：（1）讨论函数单调区间即解导数大于零求得增区间，导数小于零求得减区间（2）函数有两个不同的零点，先分析函数单调性得零点所在的区间， 在 上单调递增，在 上单调
25、递减. ， ， ，函数 有两个不同的零点，且一个在 内，另一个在 内.不妨设 ， ，要证 ，即证 ， 在 上是增函数，故，且 ，即证 . 由 ，得，令 ， ，得 在 上单调递减， ，且， ， ，即 ，故 得证解析：（1）当 时， ，得 ，令 ，得 或 .当 时， ， ，所以 ，故 在 上单调递减；当 时， ， ，所以 ，故 在 上单调递增；当 时， ， ，所以 ，故 在 上单调递减；所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增.（2）证明：由题意得 ，其中 ，由 得 ，由 得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减. ， ， ，函数 有两个不同的零点，且一个在 内，另一个在 内.不妨设 ， ，要证
26、 ，即证 ，因为 ，且 在 上是增函数，所以 ，且 ，即证 .由 ，得 ，令 ， ，则 . ， ， ， 时， ，即 在 上单调递减， ，且 ， ， ，即 ，故 得证.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 (为参数).以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立直角坐标系.(1)求曲线 的极坐标方程；(2)过点 作倾斜角为 的直线与曲线 交于 两点，求 和 的中点 坐标.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（I）由曲线 的参数方程，得 ，再利用极坐标与直角坐标的互化，即可得到曲线 的极坐标方程；（II）设处直线 的参数方程为 （为参数） ，圆的方程联立
27、，求得即可求解 的值.试题解析：（I）由 得 ，即：圆 的极坐标方程为 .（II）设直线 的参数方程为 （为参数） ， ， 两点对应的参数分别为 ， ，直线: （为参数）和圆的方程联立得： ，所以，所以，23. 选修 4-5：不等式选讲设函数 .(1)当 时，解不等式 ；(2)若 的解集为 ， ，求证: .【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（I）当 时，不等式化为 ，分类讨论，即可求解不等式的解集；（II）根据 得 或 ，根据题意里程方程组，求得 ，得到，再利用基本不等式，即可作出证明.试题解析：（I）当 时，不等式化为不等式的解集为（II）根据 得 的解集为 故 ，所以 ， ， ，当且仅当 ， 时取等号
