1、上海市静安区 2016 学年度第二学期期中教学质量检测高三数学试卷 一、填空题（55 分）本大题共有 11 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得 5 分，否则一律得零分1. 已知集合 ， ，则 _【答案】【解析】 ，点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2. 若实数 ， 满足约束条件 则 的最大值等于_【答案】12【解析】由约束条件 ，作出可行域如图，联立方程组 ，解得：A（3
2、，3） ，化目标函数 z=x+3y 为 y= + ，由图可知，当直线 y= + 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，对应 z 最大；此时 z=3+33=12故答案为：12点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.3. 已知 展开式中 的系数为 84，则正实数 的值为_.【答案】2考点：二项式定理.4. 盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球，其中红
3、色球 3 个，黄色球 2 个若从中随机取出 2 个球，则所取出的 2 个球颜色不同的概率为_【答案】【解析】试题分析：从 5 个球中任选 2 个，共有 种选法.2 个球颜色不同，共有种选法.所以所求概率为 .考点：古典概型及组合数的计算.视频5. 设 为 R 上的奇函数当 时， ( 为常数)，则 的值为_【答案】【解析】试题分析： 因为 为定义在 上的奇函数，那么可知 f(0)=0,b=-1,当 x0,f(-x)= - ,f(x)= ,进而得到 f(-1)=-3.也可以通过 f(-1)=-f(1)=-(b+4)=-3,故答案为-3考点：本题主要考查了函数奇偶性和解析式的求值运用。点评：解决该试
4、题的关键是利用奇偶性的对称性，求解当 x0 时的解析式，以及简接法来求解函数 f(-1)=-f(1)得到结论。6. 设 分别为直线 （ 为参数）和曲线 C： （ 为参数）的点，则 的最小值为_【答案】【解析】由题意，曲线 C： ，消去参数 ：可得曲线 C 的普通方程为：（x1） 2+（y+2） 2=5直线 （t 为参数） ，消去参数 t，可得直线的普通方程为： 2x+y6=0由曲线 C 的普通方程为：（x1） 2+（y+2） 2=5可知圆心为（1，2） ，半径 r= 那么：圆心到直线的距离 d= =可得|PQ|的最小值为：dr= = ；故答案为：7. 各项均不为零的数列 的前 项和为 对任意
5、，都是直线 的法向量若 存在，则实数 的取值范围是 _【答案】【解析】由题意，数列的公比 q 满足 0|q|1，对任意 ， 都是直线 的法向量，k= = + ，k（，1）（0，+） ，故答案为（，1）（0，+） 8. 已知正四棱锥 的棱长都相等，侧棱 、 的中点分别为 、 ，则截面 与底面 所成的二面角的余弦值是_【答案】【解析】如图，正四棱锥 PABCD 中，O 为正方形 ABCD 的两对角线的交点，则 PO面 ABCD，PO 交 MN 于 E，则 PE=EO，又 BDAC，BD面 PAC，过 A 作直线 lBD，则 lEA，lAO，EAO 为所求二面角的平面角又 EO= AO= a，AO=
6、 a，AE= acosEAO= 截面 AMN 与底面 ABCD 所成的二面角的余弦值是 9. 设 ，若对于任意的 ，都有 ，则 的取值范围是_【答案】【解析】对于任意的 x0，都有 ，得到 ，因为 ，所以，解得 a ；故答案为： ） 点睛：恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若 恒成立，转化为 ;10. 若适合不等式 的 的最大值为 3，则实数 的值为_【答案】8【解析】因为 x 的最大值为 3，故 x30，原不等式等价于|x 24x+k|x+35，即x2x 24x+kx+2，则 x 25x
7、+k20 且 x23x+k+20 解的最大值为 3，设 x 25x+k2=0 的根分别为 x1和 x2，x 1x 2，x23x+k+2=0 的根分别为 x3和 x 4，x 3x 4则 x2=3，或 x 4=3若 x2=3，则 915+k2=0，k=8，若 x4=3，则 99+k+2=0，k=2当 k=2 时，原不等式无解，检验得：k=8 符合题意，故答案为：8【答案】【解析】由题意， ， ，且 ，a 3= ，a 5= ，a 7= ，a 9= ，a 2017= ， ，a n+4=f（a n+2） ，a n+4= =an，即数列的周期为 4a20=a18=t，则 t= ，t 2+2t1=0，t0，
8、t= 1，a 2016= 1，a 2016+a2017= 1+ = ，故答案为： 二、选择题本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.12. 已知 则 是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】a，bR，则“log 3alog 3b”ab0， ，ab，“log 3alog 3b”“ ，反之则不成立，“log 3alog 3b”是“ 的充分不必要条件，故选 A13. 已知复数 满足 （ 是虚数单位） ，则 的虚部为（
9、 ） A. B. 1 C. 1 D. 【答案】C【解析】复数 z 满足 （i 是虚数单位） ，1+z=iiz，z= 则 z 的虚部为 1故选：C14. 当 时，方程 的根的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】作出 y= 与 y=k（x+1）的函数图象，如图所示：显然当 k0 时，两图象在（，0）上必有一交点，设 y=k（x+1）与 y= 相切，切点坐标为（x 0，y 0） ，则 ，解得 k= ，x 0=1，y 0=1当 时，直线 y=k（x+1）与 y= 有两个交点，直线 y=k（x+1）与 y= 有三个交点故选：C点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法
10、和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解15. 曲线 为：到两定点 、 距离乘积为常数 的动点 的轨迹以下结论正确的个数为（ ） （1）曲线 一定经过原点；（2）曲线 关于 轴对称，但不关于 轴对称；（3） 的面积不大于 8；（4）曲线 在一个面积为 60 的矩形范围内A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】设 P（x，y） ，则 ，（1） （0，0）代入，方程不成立，即曲线 C 一
11、定经过原点，不正确；（2）以x 代替 x，y 代替 y，方程成立，即曲线 C 关于 x、y 轴对称，不正确；（3）x=0，y= ，MPN 的最大面积= ，故正确；（4）令 y=0，可得 x=2 ，曲线 C 在一个面积为 的矩形范围内，不正确故选 B点睛：本题主要考查直接法求动点的轨迹方程，化简后利用方程判断曲线的对称性，考查三角形的面积公式.利用直接法求动点的轨迹方程的基本过程是：设出动点的坐标 ，利用题目的已知条件建立关于 的方程，化简这个方程即可得到动点的轨迹方程.三、解答题（本题满分 75 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤16. 如
12、图，等腰 ， ，点 是 的中点， 绕 所在的边逆时针旋转一周（1）求 旋转一周所得旋转体的体积 和表面积 ；（2）设 逆时针旋转至 ，旋转角为 ，且满足 ，求 【答案】 （1） ， ；（2） 。【解析】试题分析：（1）利用体积、表面积公式，即可求ABC 旋转一周所得旋转体的体积V 和表面积 S；（2）如图建立空间直角坐标系，利用 ACBD， ，即可求 试题解析：（1） ;（2）如图建立空间直角坐标系，得， ，由三角比定义，得 则， ， ，得 ， ， 所以，17. 设函数 （1）求函数 的最大值和最小正周期；（2）设 、 、 为 的三个内角，若 ， ，求 【答案】 （1）函数 的最大值为 ，最小
13、正周期 ；（2） 。【解析】试题分析: （1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（x+）的形式，再利用周期公式和正弦型函数的性质，即可求函数的最小正周期和最大值，（2）根据 ， ，求解得出 C，即可得 sinA 的值试题解析（1）因为， 所以，函数 的最大值为 ，最小正周期 （2）由 ，得 ，解得， 或 （舍去）因此，点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变
14、形的方向，如遇到分式要通分等.18. 某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为 70 万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚 3 万元，以后每月增加 2 万元如果从今年一月起投资500 万元添加回收净化设备（改造设备时间不计） ，一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本据测算，添加回收净化设备并投产后的前 5 个月中的累计生产净收入是生产时间 个月的二次函数 （ 是常数） ，且前 3 个月的累计生产净收入可达309 万，从第 6 个月开始，每个月的生产净收入都与第 5 个月相同同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励 100 万元（1）求前
15、8 个月的累计生产净收入 的值；（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入【答案】 （1） ；（2）经过 9 个月投资开始见效。【解析】试题分析: （1）根据 g（3）得到 k，再计算 g（5）和 g（5）g（4） ，而 g（8）=g（5）+3g（5）g（4），从而得到结果；（2）求出投资前后前 n 个月的总收入，列不等式解出 n 的范围即可试题解析（1）据题意 ，解得 ， 第 5 个月的净收入为 万元， 所以， 万元（2）即要想投资开始见效，必须且只需，即 当 时，即 不成立；当 时， 即 ， 验算得， 时， 所以，经过 9 个月投资开始见效。19. 设点
16、、 是平面上左、右两个不同的定点， ，动点 满足：（1）求证：动点 的轨迹 为椭圆；（2）抛物线 满足：顶点在椭圆 的中心；焦点与椭圆 的右焦点重合设抛物线 与椭圆 的一个交点为 问：是否存在正实数 ，使得 的边长为连续自然数若存在，求出 的值；若不存在，说明理由【答案】 （1）见解析；（2）存在实数 ，使得 的边长为连续自然数。【解析】试题分析: （1）根据题意，分两种情况讨论：点 P、F 1、F 2构成三角形，点P、F 1、F 2不构成三角形，每种情况下分析可得|PF 1|+|PF2|=4m，由椭圆的定义分析可得答案；（2）根据题意，由（1）可得，动点 P 的轨迹方程，分析可得抛物线的焦点
17、坐标，假设存在满足条件的实数 m，结合椭圆与抛物线的性质分析可得 m 的值，即可得答案试题解析（1）若点 构成三角形则， 整理得 ，即 若点 不构成三角形，也满足 所以动点 的轨迹为椭圆（2）动点 的轨迹方程为 抛物线的焦点坐标为 与椭圆的右焦点 重合假设存在实数 ，使得 的边长为连续自然数因为 ，不妨设| ， 由抛物线的定义可知 ，解得 ， 设点 的坐标为 ，整理得 ，解得 或 所以存在实数 ，使得 的边长为连续自然数20. 已知等差数列 的前 项和为 ， ， 为整数，且对任意 都有 （1）求 的通项公式；（2）设 ， 求 的前 项和 ；（3）在（2）的条件下，若数列 满足 是否存在实数 ，
18、使得数列 是单调递增数列若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由【答案】 （1） ；（2） ；（3） 。【解析】试题分析: （1）根据条件 SnS 5可知 ， ，列出不等式组得出 d，即可得出通项公式；（2）n 为偶数时， 利用此性质再根据 n 的奇偶性计算 Tn；（3） 对任意 都成立，分离参数得出 关于 n 的不等式，根据数列的单调性得出 的最值即可得出 的取值范围试题解析（1）设 的公差为 ，由题意得 ， （2）当 为偶数时， 当 为奇数时 ，当 时也符合上式 当 为偶数时， （3）由题意得， 对任意 都成立，当 为奇数时， ，当 时， ，当 为偶数时， ，当 2 时， ， 综上：点睛：本题考查了数列的递推公式，数列求和及与数列有关的含参问题，涉及分类讨论，属于难题根据数列前 项和与数列的项的递推关系求通项公式时，注意分析 ，在处理涉及 的数列问题，一般要考虑分 为奇数和偶数来分类讨论，含参的的恒成立，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小值问题来处理
