1、2018 届上海市静安区高三上学期期末教学质量检测数学试题 2018.01考生注意：1本场考试时间 120 分钟试卷共 4 页，满分 150 分另附答题纸2作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号等信息3所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位在试卷上作答一律不得分4用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1. 计算： +lim(1)=n_2.计算行列式 i23 的结果是_ （其中 i为虚数单位）3与双曲线2
2、196xy的渐近线相同，且经过点 (3,2)A的双曲线的方程是_4从 5 名志愿者中选出 3 名，分别从事布置、迎宾、策划三项不同的工作，每人承担一项工作，则不同的选派方案共有_种 （结果用数值表示）5已知函数 ()2xfa（ aR）的反函数为 1()yfx，则函数 1()yfx的图像经过的定点的坐标为 6在 10()x的展开式中， 7x的系数是 15，则实数 a_7已知点 2,3A到直线 ()30ay的距离不小于 3，则实数 a的取值范围是 .8类似平面直角坐标系，我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合于 O点且单位长度相同）称为斜坐标系在斜坐标系 xOy中，若
3、12Pxey（其中 12,e分别为斜坐标系的 x轴、 y轴正方向上的单位向量， ,R） ，则点 的坐标为 (,).若在斜坐标系 xOy中，60o，点 M的坐标为 (1,2)，则点 M到原点 的距离为 .9已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为 83，则该圆锥的侧面积等于 .10已知函数(5)1,(),xaf0,1)a是实数集 R上的增函数，则实数 a的取值范围为 11.已知函数 23()sincos()2fxx，若将函数 ()yfx的图像向左平移 a个单位(0a，所得图像关于 y轴对称，则实数 a的取值集合为 .12.已知函数 2()41fx,若对任意 xR，都有 ()0fx恒成立，
4、则实数 a的取值范围为 .二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13. 已知无穷等比数列 na的各项之和为 32，首项 12a，则该数列的公比为 【 】A 13 B 23 C D 3或 14. 设全集 ,log(1),1URxyxB， 则 UAB 【 】 A 01 B 0, C 2 D ,215两条相交直线 l、 m都在平面 内，且都不在平面 内若有甲： l和 m中至少有一条直线与 相交；乙：平面 与平面 相交，则甲是乙的 【 】A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必
5、要条件16若曲线 2yx与曲线2:14xyC恰有两个不同交点，则实数 的取值范围为 【 】A ,1+（ ， ） B , C +（ ， ） D 1,0),三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）如图，在正三棱柱 1ABC中, 41A,异面直线 1BC与 A所成角的大小为 3（1）求正三棱柱 1ABC的体积； （2）求直线 1与平面 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 18 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）在 AB
6、C中，角 、 、 的对边分别是 abc、 、 ，设向量 (,cos),maB(,cos),nbA且/,mn.(1)求证： 2；(2)若 sinsinxAB ，试确定实数 x的取值范围.19 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）如图，有一块边长为 1(百米)的正方形区域 ABCD，在点 A 处有一个可转动的探照灯，其照射角PAQ始终为 45 (其中点 P， Q 分别在边 BC， CD 上)，设 ,tanPB.(1)当三点 C、 、 不共线时，求直角 C的周长；(2)设探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域 A的面积为 S(平方百米) ，试求 S 的最大值.B
7、1A1 C1A CBQCDA BP45ACPQMNxyOml20 （本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）如图,已知满足条件 3iiz（其中 i为虚数单位）的复数 z在复平面 xOy对应点的轨迹为圆C（圆心为 ）. 设复平面 xOy上的复数 (,)zxyR对应的点为 (,)，定直线 m的方程为 360xy，过 ),1(A的一条动直线 l与直线 m相交于 N点,与圆 C相交于 PQ、 两点， M是弦PQ中点. （1）若直线 l经过圆心 C，求证： l与 垂直；（2）当 23时，求直线 的方程；（3）设 tANM,试问 t是否为定值？若为
8、定值，请求出 t的值；若 t不为定值，请说明理由.21 （本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 7 分，第 3 小题满分 7 分）已知数列 na的通项公式为 an，( ,N*)(1) 若 1， 2， 4成等差数列，求 的值；(2) 是否存在 k( 0且 kN*)与 ，使得 1， 3a， k成等比数列？若存在，求出 k的取值集合；若不存在，请说明理由；(3) 求证：数列 na中的任意一项 na总可以表示成数列 n中的其它两项之积静安区 2017 学年度第一学期教学质量检测高三数学解答一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712
9、题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1. 0；2. 6i；3.2419xy；4.60 种；5 (30)， ；6 127.3,7；8 7；9 42；10 ,511. 5126， ， ， ；12. ， +二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13.B；14.D；15.C；16A三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）解：（1） 1BC是异面直线 1与
10、 A所成的角，所以 1BC= 32 分因为 14A，所以 34，4 分于是，三棱柱体积 1648ABCVSH6 分（2）过 B 作 BDAC，D 为垂足，则 BD平面 1C， DB1是直线 1C与平面 1A所成的角，8 分 8,61CD， （ 127） ，所以直线 与平面 A所成的角为 43arcsin14 分B1A1 C1A CB( 37arctn， 7arcos4)18 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）解：（1） (,cs),(,cos),mBnbA且 /mn， cos0aAbB2 分又 2sinabRAiiB, 即 i2in又 C中 0,2或 即
11、 或 25 分若 B，则 ab且 cosAB， mn，mn26 分（2）由 sisinx 可得conABA8 分设 sit，则 2si()4，02341n10 分1sincotA21sicotA11 分2xtt1t在 (,上单调增 221txt实数 x的取值范围为( ,)(开区间)14 分19 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）解：（1） ,tanPAB，所以 BPt， 1Ct；QCDA BP45ACPQMNxyOml因为点 CPQ、 、 不共线，所以 01t， 1tan(45)tDQ, 1tCQ;2=21t;5 分直角 CPQ的周长=21()ttt=2
12、6 分(2) 12ttS8 分=()21t12 分当 2t时，等号成立13 分探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 最大为 2平方百米14 分20 （本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）解: (1)由已知，圆心 C)3,0(, 1mk , 2 分则 310lk .故 1lmk.所以直线 l与 垂直. 4 分（直线 经过点（-1，0）和（0，3） ，所以方程为 30xy）(2) 当直线 l与 x轴垂直时,易知 1x符合题意; 5 分当直线与 轴不垂直时,设直线 l的方程为 )1(k. 6 分由于 32PQ,所以 .CM7
13、分由 12kC,解得 34k. 9 分故直线 l的方程为 1x或 043y. 10 分(3)当 与 轴垂直时,易得 ),(M, )5,1(N,又 ),1(A，则 ),30(M)350(AN,故 tA. 11 分当 l的斜率存在时,设直线 l的方程为 )(xky,代入圆的方程 22()4xy得056)2()1( 22 kxkx.则 ,13221kM213)(yM,即 ),3(22k,13 分A222(,)=,)kk（.又由 ,061(yx得 )315,6(kN,则55(,)=1,133N.故 t 2 225(3)5(13)5(1)1kkkAMN（ ）.综上, t的值与直线 l的斜率无关,且 tA
14、MN. 16 分（3）另解:连结 C并延长交直线 m于点 B,连结 ,C由(1)知 ,m又 lCM,所以四点 N,都在以 C为直径的圆上,由相交弦定理得 5tAMA. 16 分21 （本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 7 分，第 3 小题满分 7 分）解：(1) a1， a2， ， ， 2， 4成等差数列， 142a，2 分化简得 aN*， 4 分(2) 假设存在这样的 k， a满足条件， a1， 3， ak， 1， 3， k成等比数列， 23()k，6 分去分母,展开得 296,化简得 2(9)(), aN*， (9)3,()9kaka，当 10k时, 39a;当 1k时, 2a；等等8 分一般的,设 *t, *lN,则 36t, l.9 分 aN*， ,l需为 36 的公约数, k的取值集合为369,12,469,183kl(或者列举 057， ， ， ， ， ， ， ， )11 分(3) 即证存在 k， tn，使得 tkna12 分即证： nat)1(1tktan1ktn， ka15 分令 1k，则 )()(aat对任意 ， )1(ann,即数列中的任意一项 n总可以表示成数列中的其它两项之积18 分注:直接构造出 ka与 t亦可，例如： 22()nnaa，所以 2nna.
