1、第五节 直线与圆锥曲线考纲解读 掌握直线与圆锥曲线的位置关系，能熟练运用函数与方程，数形结合，等价转化和分类讨论思想解题。命题趋势探究 从内容上看，直线与圆锥曲线位置关系问题是高考的热点，涉及直线与圆锥曲线关系中的求弦长，焦点弦长及弦中点，取值范围和最值等问题。 从形式上看，以解答题为主，难度较大 从能力上看，要求考生具备数形结合，分析转化及分类讨论的能力 预测在2019年高考中： 题目主要以解答题的形式出现，这类问题的综合性强，注重与一元二次方程的判别式，韦达定理，不等式相结合，重在考查学生的基本数学素质和数学运算能力，具有较高的区分度，关注与向量综合的探索性题目，分值基本保持在12-14分
2、。知识点精讲一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断 判断直线与圆锥曲线的位置关系时,通常将直线的方程 代入圆锥曲线的方程 ,消去(也可以消去)得到关系一个变量的一元二次方程,即 ,消去后得 (1)当时,即得到一个一元一次方程,则与相交,且只有一个交点,此时,若为双曲线,则直线与双曲线的渐近线平行;若为抛物线,则直线与抛物线的对称轴平行 (2) 当时, ,直线与曲线有两个不同的交点; ,直线与曲线相切,即有唯一的公共点(切点); ,直线与曲线二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线 ,曲线为与的两个不同的交点,坐标分别为,则是方程组 的两组解,方程组消元后化为关于的一元二次方程(
3、) ,判别式 ,应有 ,所以是方程的根,由根与系数关系(韦达定理)求出 , 所以两点间的距离为 ,即弦长公式,弦长公式也可以写成关于的形式三, 已知弦的中点,研究的斜率和方程 (1) 是椭圆的一条弦,中点,则的斜率为 ,运用点差法求的斜率;设 ,都在椭圆上,所以 ,两式相减得 所以即，故 （1） 运用类似的方法可以推出；若是双曲线的弦，中点，则；若曲线是抛物线 ，则题型归纳及思路提示题型147 直线与圆锥曲线的位置关系思路提示 （1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中 ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共
4、点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到。 （2）直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切。例10.35已知两点，给出下列曲线方程 在曲线上存在点满足的所有曲线方程是 。（写出所以正确的编号）变式1 对于抛物线，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线与抛物线的位置关系是 变式2 设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是 例10.36 如图10-26所示，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条直线垂直于 轴的直线分别与线段和
5、直线交于两点.（1） 若 ，求的值（2） 若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线。变式1 （2017课标II，文20）设O为坐标原点，动点M在椭圆C 上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足 (1)求点P的轨迹方程；(2)设点在直线上，且.证明过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F. 图 10-28题型148 中点弦问题思路提示直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的重要内容之一，也是高考的一个热点问题.这类问题一般有以下3种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）对称问题，但凡涉及到弦的中点斜率的问题。首先要考虑是点差法.即设出弦的端点坐标，根据端点在
6、曲线上，结合中点坐标公式，寻找中点坐标与弦的斜率之间的联系.除此之外，最好也记住如下结论：在椭圆中，中点弦的斜率为，满足.在双曲线中，中点弦的斜率为，满足.（其中为原点与弦中点连线的斜率）.在抛物线中，中点弦的斜率为，满足（为中点纵坐标）.例10.37已知过点M的直线与椭圆交与A,B两点，且(O为坐标原点)，求直线的方程.变式1 已知椭圆方程为.（1）求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；（2）过点P(2,1)的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点的轨迹方程. 例10.38如图10-29所示，在平面直角坐标系中，已知椭圆，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足
7、为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为.求证：对任意0，都有PAPB.例10.39已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线,椭圆C上有两个不同的点关于这条直线对称.变式1如图10-30所示，已知椭圆E经过点A(,3),对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在轴上，离心率.（1）求椭圆E的方程；（2）求F1AF2的角平分线所在直线的方程；（3）在椭圆E上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，请说明理由.变式2已知A,B,C是椭圆上的三个点，O是坐标原点.（1）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（2）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是
8、否可能为菱形，并说明理由.题型149 弦长面积问题思路提示在弦长有关的问题中，一般有三类问题：（1）弦长公式：.（2）与焦点相关的弦长计算，利用定义；（3）涉及到面积的计算问题.例10.40过抛物线的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的长为8，则_.变式1已知椭圆，过椭圆C的左焦点F且倾斜角为的直线与椭圆C交与A,B，求弦长.例10.41已知椭圆，过点作圆的切线交椭圆G与A,B两点. （1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将表示为的函数，并求出的最大值.变式1已知椭圆经过点，其离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线：()与椭圆C相交于A,B两点，以线段OA, O
9、B为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为原点，求的取值范围.变式2已知椭圆的右顶点，离心率为, O为坐标原点.（1）求椭圆C的方程；（2）已知P (异于点A)为椭圆C上一个动点，过O作线段AP的垂线交椭圆C于点E，D. 如图10-31所示，求的取值范围.例10.42已知F1, F2是椭圆的左右焦点，AB是过点F1的一条动弦，求ABF2的面积的最大值.变式1已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为.（1）求椭圆M的方程；（2）设直线交椭圆M交与点A，B，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求ABC面积的最大值.例10.43（2017福建三明5月质检）已知
10、椭圆的右焦点，椭圆的左，右顶点分别为过点的直线与椭圆交于两点，且的面积是的面积的3倍（）求椭圆的方程；（）若与轴垂直,是椭圆上位于直线两侧的动点，且满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由最有效训练题46（限时45分钟）1. 已知椭圆的左右焦点分别为F1, F2,过F2且倾斜角为45的直线交椭圆于点A，B，以下结论中：ABF1的周长为8；原点到的距离为1；，正确结论的个数为（ ）.A. 3 B. 2 C. 1 D. 02. 斜率为2的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 3.抛物线的焦点为F，过F且倾斜角等于60的直线
11、与抛物线在轴上方的曲线交于点A，则AF的长为（ ）.A. 2 B. 4 C. 6 D. 84.过点P(0,2)的直线与抛物线交于点A,B，则弦AB的中点M的轨迹方程为（ ）.A. (0或4) B. C. D. (0)5.椭圆的一条弦被A(4,2)平分，那么这条弦所在的直线方程是（ ）.A. B. C. D. 6.已知A,B,P是双曲线上不同的三点，且A, B连线经过坐标原点，若直线PA, PB的斜率乘积,则该双曲线的离心率为（ ）.A. B. C. D. 7.椭圆与直线交于A,B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为_.8.已知抛物线，过点P(4,0)的直线与抛物线交于，两点，则的
12、最小值是_.9.抛物线与直线相交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为5，又抛物线C的焦点到直线的距离为，则_.10（2017江苏，17）如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线,过点作直线的垂线.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.F1OF2xy(第10题)11.【2017课标1，文20】设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程12. (2017课标3，理20)已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.
