1、第三节 数列的综合 数列是一种特殊的函数，解数列题时要注意运用函数与方程、分类讨论和等价转化思想等，将复杂的数列问题化繁为简.常见的数列综合题主要有数列与函数的综合及数列与不等式的综合两类形式.题型归纳及思路提示题型87 数列与不等式的综合思路提示 数列与不等式的综合是高考的热点问题，内容主要包括两个方面：其一，不等式恒成立条件下，求参数的取值范围；其二，不等式的证明，常见方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法和数学归纳法等.一、不等式恒成立条件下，求参数的取值范围问题 利用等价转化思想将其转化为最值问题. 恒成立； 恒成立.例6.38 设数列的前项和为，. （1）求证：是等差数列； （2）设是
2、数列的前项和，求使对所有的都成立的最大正整数的值.例6.39 数列中，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求； （3）设，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立若成立？求出的值；若不存在，请说明理由.评注 本题中的的第（3）问，还可以如下表述：，故数列的前项和是关于的单调递增函数，故的最小值为，所以为的最小值，故，故的最大整数值是7.即存在最大整数，使对任意，均有.变式1 已知等差数列满足，该数列的前3项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列的前3项. （1）分别求数列，的通项公式； （2）设，若恒成立，求的最小值.例6.40 已知数列的首项为1，前项和与之间满足. （1）求证：数列
3、是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）设存在正整数，使对于一切都成立，求的最大值.变式1 设函数的定义域为R，当时，且对任意，都有成立，数列满足，且. （1）证明：在R上为减函数； （2）求的值； （3）若不等式对一切都成立，求的最大值.变式2 已知是递增数列，其前项之和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）是否存在，使得成立？若存在，写出一组符合条件的的值；若不存在，请说明理由； （3）设，若对于任意的，不等式恒成立，求正整数的最大值.二、不等式的证明（构造辅助函数法与放缩法的应用） 1.构造辅助函数（数列）证明不等式 引理：. 证明：先证不等式的左边，移项得，构造辅助函数.易知
4、，欲证明，只需证明在上单调递减即可.，故函数在上单调递减，故.再证明不等式的右边，.移项得，构造辅助函数.易知，欲证明只需证明在上单调递减，故函数在上为减函数.，故.综上所述，当时.不妨令，则上述不等式变形为：经典不等式一： 下面就利用经典不等式一来证明在有关数列与不等式综合题中所涉及的不等式证明问题.例6.41 证明不等式.变式1 证明：不等式.变式2 数列满足. （1）求证：； （2）已知不等式对成立，试证明：.变式3 设函数. （1）求函数的极值； （2）当时，若对任意的，恒有，求的取值范围； （3）求证：.变式4 已知函数，各项都小于零的数列满足. （1）求证：； （2）求证：.变式5
5、 已知函数，其中为自然对数的底数. （1）求的最小值； （2）设，且，证明：.变式6 证明：不等式.经典不等式二：.经典不等式三：.证明：令，经典不等式二可变为，移项得，构造辅助函数.，故函数在上单调递增，又，故，即.令，得.同理可将经典不等式三构造辅助函数.，故函数在上单调递增，又，故，即.令，得.例6.42 求证：对任意的，都有成立. 2.放缩法证明不等式 在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法. 放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分子（或分母）. 放缩法证不等式的理论依据是
6、：；. 放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找. 方法1：对进行放缩，然后求和. 当既不关于单调，也不可直接求和，右边又是常数时，就应考虑对进行放缩，使目标变成可求和的情形，通常变为可裂项相消或压缩等比的数列.证明时要注意对照求证的结论，调整与控制放缩的度.例6.43 求证：.评注 不同的证明方法可达不同的结论，基本原则是裂项要能相消；放缩程度越小、越精确，效果越好.此外，常用来放缩有关的问题.变式1 正项数列的前项和满足：. （1）求数列的通项公式； （2）令，数列的前项和为.证明：对于任意的，都有.例6.44 已知数列满足 （1）求； （2），是数列
7、的前项和，求证：.变式1 已知函数，数列满足. 求证：时，都有.变式2 数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列的前项和为，求证：.变式3 在数列，中，且成等差数列，成等比数列.（1） 求及，并由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；（2）.变式4 （2012广东理19）设数列的前项和为，满足,且成等差数列。（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有. 例6. 45已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）证明： .变式1已知数列满足.（1）猜想数列的单调性，并证明你的结论；（2）证明：.变式2 已知曲线，过C上一点作斜率为的直线，交曲线C于另一点，再过点 作
8、斜率为的直线，交曲线C于另一点，其中.（1）求与的关系式；（2）判断与2的大小关系，并证明你的结论；（3）求证：.变式3已知数列，满足，并且为非零实数, .（1）若成等比数列，求参数的值；（2）当时，证明：；（3）当时，证明：.方法2 添舍放缩例6. 46求证：.变式1求证：.变式2设数列满足，且对一切正整数均成立，令，判定与的大小，并说明理由.变式3 已知. 求证：.方法3 对于一边是和或者积的数列不等式，可以把另外一边的含的式子看作是一个数列的前项的和或者积，求出该数列通项后再左、右两边一对一地比较大小，这种思路非常有效，还可以分析出放缩法证明的操作方法，易于掌握. 需要指出的是，如果另外
9、一边不是含有的式子，而是常数，则需要寻找目标不等式的加强不等式，再予以证明.例6. 47求证：变式1 已知，求证：.变式2 求证：.例6. 48已知，求证：.变式1 已知，求证：.方法4：单调放缩例6. 49 等比数列的前项之和为，已知对任意的，点均在函数，的图象上.（1）求的值；（2）当时，记，求证：对任意的，不等式成立.变式1 已知曲线，从点向曲线引斜率为的切线，切点为.（1） 求数列的通项公式；（2）求证：.变式2 已知各项均为正数的数列的前项和满足，且.（1） 求数列的通项公式；（2） 设数列满足，并记为数列的前项和.求证：.变式3 已知函数记在区间上的最小值为，令.求证：.最有效训练
10、题25（限时45分钟）1. 设等差数列的前项和，且则中的最大值是（ ）A. B. C. D.2.设等差数列的前项和，已知，有下列结论：.其中正确的结论的序号是（ ）A. B. C. D. 3. 已知是等差数列，且公差不为零，其前项和是，若成等比数列，则（ ）A. B. C. D. 4. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则的值为（）A. B. C. D.5. 定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数：；. 则其中是“保等比数列函数”的序号是（）A. B. C. D. 6. 若函数，图象在点处的切线
11、为在轴、轴上的截距分别为，则数列的最大项为.7. 等差数列，其前项的和为满足，若随机从区间取实数作为该数列的公差，则使得当时最大的概率为.8. 若数列的最大项是第项，则 .9. 定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为.10. （2017天津理18）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，.（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和.11. 已知数列的前项的和为，与的等差中项是.（1）证明数列为等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.12. (2017浙江理22)已知数列满足：，.证明：当时.（1）；（2）；（3）.26
