1、第二节 基本不等式及其应用考纲解读1. 了解基本不等式的证明过程.2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.3. 利用基本不等式证明不等式.命题趋势探究基本不等式是不等式中的重要内容,也是历年高考重点考查的知识点之一,其应用范围涉及高中数学的很多章节,且常考常新,但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题.预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断,求取值范围问题.本专题知识的考查综合性较强,解答题一般为较难题目,每年分值为58分.知识点精讲1. 几个重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果则 (当且仅当“”时取“”).特例：.（3）其他变形：(沟通两和与两
2、平方和的不等关系式)(沟通两积与两平方和的不等关系式)(沟通两积与两和的不等关系式)重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).2. 均值定理已知（1）如果(定值),则(当且仅当“”时取“”).即“和为定值,积有最大值”.（2）如果(定值),则(当且仅当“”时取“”).即积为定值,和有最小值”.题型归纳及思路提示题型91 基本不等式及其应用思路提示熟记基本不等式成立的条件,合理选择基本不等式的形式解题,要注意对不等式等号是否成立进行验证.例7.5 “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件, 变式
3、1 已知且,则（ ）A. B. C. D. 变式2 (2017江苏10）某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元次，一年的总存储费用为万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 例7.6 若,则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是 （写出所有正确命题的序号）. ；.变式1 如果正数满足,那么（ ）A. ,且等号成立时的取值唯一B. ,且等号成立时的取值唯一C. ,且等号成立时的取值不唯一D. ,且等号成立时的取值不唯一题型92 利用基本不等式求函数最值思路提示（1）在利用基本不等式求最值时,要把握四个方面,即“一正各项都是正数；二定和或积为定值；三相等等号能否取到（对于不满足相
4、等的函数求最值,可考虑利用函数单调性解题）；四同时多次使用基本不等式时等号要同时取得”,求最值时,这是个方面缺一不可,若忽视了某个条件的验证,可能会出现错误.（2）利用基本不等式求函数最值常用的技巧有：1通过加减项的方法配凑成使用基本不等式的形式；2注意“1”的变换；3灵活选择和应用基本不等式的变形形式；4合理配组,反复使用基本不等式等.一、利用基本不等式求最值要注意条件的验证例7.7 （1）若,求函数的最小值；变式1 （1）求函数的值域（2）求函数的最小值；（3）求函数的最小值.二、通过代数变换凑配成使用基本不等式的形式例7.8 已知求函数的最大值.变式1 求函数的最大值.变式2 设正实数满
5、足,则当取得最大值时,最大值为（ ）A. B. C. D. 三、“1”的变换例7.9 已知,且,求的最小值.变式1 已知,则的最小值是 变式2 求函数的最小值变式3已知,证明：变式4 设,则当 时,最得最小值.四、转化思想和方程消元思想在求二元函数最值中的应用例7.10若正数满足,则：（1）的取值范围是 （2）的取值范围是 变式1 若满足,则的最小值是 变式2 若满足,则的最小值是 变式3 若满足,则的最小值是（ ） 五、灵活选择和运用基本不等式的变形形式例7.11 设,则的最大值为 变式已知,求的最小值六、合理配组,反复应用基本不等式例7.12 设,则的最小值是（ ） 变式1 若,满足的最小
6、值是（ ） 变式2 若是正数,则的最小值是（ ） 题型93 利用基本不等式证明不等式思路提示类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明.例7.13 （1）,求证：（2）,求证：（3）,且,求证：变式1若,且,求证：变式2 证明：若,则最有效训练题27（限时45分钟）1函数（）在处取得最小值,则（ ） 2已知，则的最小值是（ ） 3若,恒成立,则实数的取值范围是（ ） 4已知,且,则的最大值为（ ） 5若,且则（ ） 6若,则点必在（ ）直线的左下方 直线的右上方 直线的右上方 直线的左下方7在“+”中的“ ”处分别填上一个自然数,使他们的和最小,其和的最小
7、值为 8设，若，则的最大值为 9已知关于的不等式在上恒成立,则实数的最小值为 10（1）设，求函数的最小值为_（2）设,求函数的最小值.（3）已知,且,求的最小值（4）若正数满足,则的最小值是 11已知为正数,求证：.12提高过江大桥车辆的通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车辆速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0,当车流速度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明,当时,车流速度是车流密度的一次函数.（1）当时,求函数的表达式；（2）当车密度为多大时,车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位：辆/每小时）可以达到最大,并求出最大值（精确到1辆/小时）.10
