1、22第四节解三角形考纲解读掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.命题趋势探究1.本节为高考的必考和重点考查内容，在选择题、填空题和解答题中都有出现，并越来越成为三角函数部分的核心考点.2.题型有三：一是解三角形出现边角互化求角、求边；二是三角形形状判定；三是最值问题.题型和分值较稳定，且有逐渐上升趋势，属中等难度.知识点精讲在中，角所对边依次为1.角的关系2.正弦定理为的外接圆的直径）.正弦定理的应用：已知两角及一边求解三角形.已知两边及其中一边的对角，求另一对角：若ab,已知角求角. 若ab,已
2、知角求角，一解（锐角）.3.余弦定理（已知两边a,b及夹角求第三边c）（已知三边求角）.余弦定理的应用：已知两边及夹角求解第三边；已知三边求角；已知两边及一边对角不熟第三边.4.三角形面积公式题型归纳及思路提示题型67正弦定理的应用思路提示（1）已知两角及一边求解三角形；（2）已知两边一对角；.（3）两边一对角，求第三边.一、利用正弦定理解三角形例4.39已知中，求及边长评注本题已知两角及一边，用正弦定理：在中，变式1在中，角所对边依次为则角的大小为.例4.40在中，角所对边依次为记若函数是常数）只有一个零点，则实数的取值范围是（）.或或评注三角形问题一般先根据题意作出图 形，抓住已知量，充分
3、想到三角形的边角关系及正弦定理，并尽可能转化和构造 直角三角形.变式1 （1）在中，已知角所对的边分别为且 如果三角形有解，则角A的取值范围是 ;(2) 在中，已知角所对的边分别为且如果三角形有解，则角B的取值范围是 ;（3）在中，已知角所对的边分别为且如果三角形有解，则角C的取值范围是 .变式2在中，内角的对边分别是，若，则为（ ）A B C D二、利用正弦定理进行边角转化例4.41 在中，若A=2B，则的取值范围为（ ）. 评注 在中，利用正弦定理，进行边与角的转化，在条件中有边也有角时，一般考虑统一成边或角的形式，再由两角和与差的公式来求解.变式1 （1）若在锐角中，若A=2B，则的取值
4、范围为 ;（2）若在直角中，若A=2B，则的取值集合为 ;（3）若在钝角中，若A=2B，则的取值集合为 .变式2 在中，则AB+2BC的最大值为 .变式3 已知分别为三个内角的对边，（1）求A； （2）若，的面积为，求.变式4 在中，角的对边分别为已知，（1）求证： （2）若，求的面积.题型68 余弦定理的应用思路提示(1)已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边.(2)已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，若余弦值一、利用余弦定理解三角形例4.42 在 中， ，则a= . 变式1在 中， ， (1)求的值； （2）求 的值. 变式2 在 中，若，则变式3 已知的三边长成公
5、比为的等比数列，则其最大角的余弦值为 .例4.43 在中，角所对边的长分别为若，则的最小值为（ ）. 变式1 在中，角所对边分别为若，求的取值范围.变式2在中，角所对边分别为若，求的最大值.二、利用余弦定理进行边角转化例4.44在中，角所对边分别为若则角B的值为（ ）. 或 或变式1在中，角所对边分别为且（1）求A的值；（2）求的最大值.变式2 在锐角三角形中，角所对边分别为若，则变式3在中，角所对边分别为且，求题型69 判断三角形的形状思路提示（1）求最大角的余弦，判断是锐角、直角还是钝角三角形.（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形.例4.4
6、5 在中，若，则此三角形必为（ ）.A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形变式1设的内角为所对边分别为若 则的形状为（ ）.A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定变式2 在中，若，则的形状为（ ）.A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定变式3已知中，则的形状为（ ）.A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.正三角形 D. 等腰直角三角形变式4（1）已知函数求的最小正周期和值域；（2）在中，角所对边分别为若且，试判断的形状.题型70 正、余弦定理与的综合思路提示 先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函
7、数形式，再利用三角函数转化求解.例4.46在中，角所对边分别为且（1）求证： （2）求边长的值；（3）若，求的面积.评注 +得平行四边形公式：平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和，即在中，.变式1 在中，则BC=（） 变式2在中，角所对边分别为(1)求C； （2）若，求变式3在中，角所对边分别为且（1）求的面积； （2），求的值.变式4在中，角所对边分别为且（1）求的值； （2）若且，求和的值.题型71 解三角形的实际应用思路提示根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解.例4.47 如图4-36所示，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种
8、路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min，在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B处匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为了130m/min，山路AC长为1260m，经测量，（1）求索道AB的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离 最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？评注 解三角形应用题问题，关键是能根据实际问题的背景建立三角形的模型，再正弦定理和余弦定理求解三角形，最后要特别注意结
9、果要符合题意，并带上单位.变式1 为了测量正在海面匀速行驶的某航船的位置，如图4-37所示，在海岸上选取距离1km的两个观测点C，D，在某天10：00观察到该航船在A处，此时测得2分钟后，该船行驶到B处，此时测得则船速为 .(km/min). 最有效训练题20（限时45分钟）1.在中，角所对边分别为若角依次成等差数列，且则 2.的三个内角所对边分别为则 3.已知的三边长分别为且面积则 4 . 在中，角，的对边分别为，且，若的面积，则的最小值为（ ）A B C D35. .在中，则A的取值范围是（ ）. 6.在锐角中，已知，则的取值范围为（ ）. 7.在中，若的面积为，则8.在中，角所对边分别为如果那么角C等于 .9. 已知，.点为延长线上一点，联结，则的面积是_，_.10.在中，角所对边分别为，若，则的最大值为 .11. 的内角，的对边分别为，已知的面积为 （1）求； （2）若，求的周长.12. 的内角的对边分别为，已知(1)求 (2)若，面积为2，求
