1、学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司一、选 择 题：本 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的“顶尖计划”2 0 2 3 届高中毕业班第一次考试文科数学。1.已知集合 2 2 3,18 40 0 A x x n n B x x x N,则 A B 中的元素个数为A.8 B.9 C.10 D.112.已知复数33i2 iz,则|z A.1 B.35C.3 55D.33.已知非零向量,a b 满足|a b,且(2)a b b,则,a bA.6B.3C.23D.564.在区间(2
2、,2)内任取一实数 x，则12log 3 x 成立的概率为A.132B.116C.18D.145.我国古代经典 数学名著 九章算术中有一段表述:“今有圆堡壔(d o),周四丈八尺,高 一丈一尺”,意思是有一个圆柱,底面周长为 4 丈 8 尺,高为 1 丈 1 尺.则该圆柱的表面积约为(注:1 丈=10尺,取 3)A.1088 平方尺 B.912 平方尺 C.720 平方尺 D.656 平方尺6.已知不等式组452x yax yx ay，表示的平面区 域不包含点(3,1)则实数 a 的取值范围是A.(,1)B.,2 C.2,D.(1,)7.设数列 na 满足11,1nnnaaa且112a，则20
3、22aA.2 B.13 C.12D.38.已知函数()2sin 3cos f x x x 在 x 处取得最大值,则 cos A.3 1313B.2 1313C.2 1313 D.3 13139.已知定义域为 R 的偶函数()f x 满足()(4)0 f x f x,且当 2,2)x 时,2()4 f x x,则(2021)f A.3 B.1 C.1 D.3学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司10.已知角 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点(,4)m,其中 0 m,若7cos 225,则 tan2m A.2 B.12 C.43 D.3411.设抛物线2:2(0)C
4、y p x p 的焦点为 F，点 A、B 在抛物线上，若 A F x 轴，且 2 B F A F，则A F B A.56 6 或 B.23 3 或 C.34 4 或 D.212.已 知 双 曲线2 22 2:1(0,0)x yC a ba b 的 离 心 率为 2,直 线 l 与 C 交 于,P Q 两 点,D 为 线 段 P Q 的 中点,O 为坐标原点.则 l 与 O D 的斜率的乘积为A.2 B.3 C.4 D.6二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分.13.小明从雪糕店购买了 10 种不同的雪糕，这些雪糕的价格（单位：元）如茎叶图所示，则小明购买的雪糕价格的中位数为
5、_.0 1,2,3,3,4,6,81 0,2,514.写出一个同时具有下列性质的函数:()f x _.1 2 1 2f x x f x f x;当(0,)x 时,()f x 单调递减;()f x 为偶函数.15.已知等差数列 na 的前 n 项和为3 4 11,1,11nS a a S,则nn S 的最大值为_.16.已知圆锥 A O 和 B O 的底面重合(O 为底面圆圆心),点 A 与 B 不重合,且,A B 和底面圆周都在同一个半径为 2 的球面上,设圆锥 A O 的体积为1V,圆锥 B O 的体积为2V,若1 2V V 的最大值为 V,则当1 24VV V 时,1 2V V _.(用数
6、值作答)三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分.17.(12 分)在 A B C 中，角,A B C 所对的边为,a b c，已知 2,4,2sin 3sin 2 b c A C.(I)求 a(II)设 A 的平分线与 B C 交于点 D，求 A D 的长.18.(12 分)学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司某工厂共有甲、乙两个车间,为了比较两个车间的生产水平,分别从两个车间生产的同一种零件中各随机抽取了 100 件,它们的质量指标值
7、m 统计如下:质量指标值 m 0,20 20,40 40,60 60,80 80,100甲车间（件）15 20 25 31 9乙车间（件）5 10 15 39 31(I)估计该工厂生产这种零件的质量指标值 m 的平均数;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(II)根据所给数据,完成下面的 2 2 列联表(表中数据单位:件),并判断是否有99%的把握认为甲、乙两个车间的生产水平有差异.60 m 60 m 甲车间乙车间附:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d,其中 n a b c d.2P K k0.05 0.01 0.001k 3.841 6.635 10
8、.8281 9.(1 2 分)如 图,在 直 三 棱 柱1 1 1A B C A B C 中,190,2 4,A C B A A A C B C M 为 棱1A A 上 靠 近1A 的 三 等 分 点,N 为 棱 A C 的 中 点,点 P 在 棱 B C 上,且 直 线/P N 平 面1B M C.(I)求 P C 的 长;(II)求 点 A 到 平 面 M B P 的 距 离.2 0.(1 2 分)已 知 函 数21()ln2f x a x x.(I)若 1 a，求()f x 的 极 值.(II)若 方 程()1 f x 在 区 间 1,2 上 有 解，求 实 数 a 的取值范围.2 1.
9、(1 2 分)过 椭 圆2 2:14 3x yC 上 任 意 一 点 P 作 直 线:l y k x p(I)证 明:2 23 4 p k;(II)若 0,p O 为 坐 标 原 点,线 段 O P 的 中 点 为 M,过 M 作 l 的 平 行 线,l l 与 C 交 于,A B 两 点,求 A B P 面 积 的最 大 值.学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司(二)选考题：共 10 分.请考生在 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分.22.选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分)在直角坐标系 x O y 中,曲线 C 的参数方程为2(cos sin),(,0),(cos sin)x m my m 为 参 数以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴 建立极坐标 系,直线 l 的极坐标 方程为 2 sin 5 04.(I)写出 l 的直角坐 标方程;(II)若 l 与 C 只有 一个公共点，求 m 的值.23.选修 4-5:不等式选讲(10 分)已知,a b c 均为正实数,且 1 a b c.(I)求1 2 4a b c 的 最小值;(II)证明:2 2 2bc a c abb c a c a b.
