1、4.1 等差数列（精练）（基础版）题组一 等差数列基本量的计算1（2022安徽芜湖一中）等差数列的前项和为，满足：，则（）A72B75C60D100【答案】B【解析】设等差数列的公差为，则由，得，化简得，所以，选：B2（2022内蒙古呼和浩特）记为等差数列的前n项和若，则的公差为（）ABCD【答案】C【解析】设等差数列的公差为，由可得：，即；由可得：，即；解得.故选：C.3（2022贵州）记为等差数列的前n项和，若，则的公差为（）A2B3CD【答案】A【解析】设公差为d，由题意知，解得.故选：A.4（2022全国高三阶段练习（理）若数列是等差数列，则（）AB1CD2【答案】A【解析】令.因为，
2、所以，所以.所以.所以.故选：A.5（2022上海杨浦二模）数列为等差数列，且公差，若，也是等差数列，则其公差为（）A1gdB1g2dClgD1g【答案】D【解析】因为，是等差数列，所以，所以，又因为且公差，所以，可得，所以公差，故选：D.6（2022江西宜春模拟预测（理）设为等差数列的前n项和，若，则（）ABC12D4【答案】A【解析】因为，所以，所以故选：A.7（2022全国高三专题练习）设数列an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，那么数列anbn的第37项为（）A0B37C100D37【答案】C【解析】设等差数列an，bn的公差分别为d1，d2，则(an1bn1)
3、(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2，所以数列anbn仍然是等差数列，公差为d1d2.又d1d2(a2b2)(a1b1)100(2575)0，所以数列anbn为常数列，所以a37b37a1b1100.故选：C.8（2022全国高三专题练习）已知数列 是等差数列， 是其前 项和， 若 ， 则数列 的公差是（）A1B2C3D4【答案】B【解析】因为数列 是等差数列，所以，解得，则，解得.选：B9（2022河南高三阶段练习（文）已知等差数列的前项和为，且，则_【答案】770【解析】由题意得，解得故故答案为：77010（2022江苏省昆山中学高三阶段练习）已知等差数列的各项均为正数，记为的
4、前n项和，若数列是等差数列，则_【答案】8【解析】等差数列的前n项和若数列是等差数列，则故答案为：811（2022河南）记等差数列的前n项和为 ，若 ，则_【答案】0【解析】设等差数列的公差为， ，化为：，则，故答案为：012（2022新疆石河子一中）等差数列的公差为2，前n项和为，若，构成等比数列，则_.【答案】【解析】由题设，则，可得，所以，故.故答案为：题组二 等差中项1（2022全国高三专题练习）已知等差数列的前项和为，且，则（）A38B50C36D45【答案】D【解析】故选：D2.已知数列an是等差数列，若a94，a5a6a76，则S14()A84 B70 C49D42【答案】D【解
5、析】因为a5a6a73a66，所以a62，又a94，所以S147(a6a9)42.选D.3.已知在等差数列an中，a5a64，则log2(2a12a22a10)()A10 B20 C40 D2log25【答案】B【解析】log2(2a12a22a10)log22a1log22a2log22a10a1a2a105(a5a6)5420.故选B.4.设数列an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，则a37b37等于()A0 B37 C100D37【答案】C【解析】设an，bn的公差分别为d1，d2，则(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2，所以anbn为
6、等差数列又a1b1a2b2100，所以anbn为常数列，所以a37b37100.5（2022河南汝州市第一高级中学模拟预测（文）已知等差数列的前n项和为，且，则（）A74B81C162D148【答案】B【解析】因为是等差数列，所以，即，所以.故选：B6（2022安徽合肥二模）设等差数列的前项和为，则的值为（）A10B12C13D14【答案】C【解析】设等差数列的公差为，由已知有，解得，故选：C题组三 前n项和的性质1（2022浙江）等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为（）.A70B130C140D210【答案】D【解析】设等差数列的前项和为，则成等差数列，故，解得，故选：D.
7、2（2022全国高三专题练习）已知等差数列的前项和为，若，则等于（）ABCD【答案】C【解析】由等差数列的前项和性质，得：，也成等差数列，即，又因，则解得，因此.故选：C.3（2022全国高三专题练习）设数列，都是正项等比数列，分别为数列与的前n项和，且，则（）ABCD【答案】D【解析】设正项等比数列的公比为q，正项等比数列的公比为p，数列为等差数列，公差为，为等差数列，公差为，故选D4（2022四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习（文）若等差数列的公差为，前项和为，则“”是“有最大值”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由等差数列前n项和
8、：，当时，由对应的二次函数性质：开口向下，即有最大值；若等差数列是各项为0的常数列，最大值也为0，此时；所以“”是“有最大值”的充分不必要条件.故选：A5（2022重庆二模）等差数列的公差为2，前项和为，若，则的最大值为（）A3B6C9D12【答案】C【解析】因为，且，所以，解得，则，即取最大值为9.故选：C.6（2022黑龙江哈九中高三开学考试（文）在数列中，（，），则数列的前n项和取最大值时，n的值是（）A7B8C9D10【答案】A【解析】由得，又因为，所以数列是以20为首项，以-3为公差的等差数列，所以，令，解得：，又，所以数列的前n项和取最大值时，n的值是7，故选：A.7（2022江西
9、二模）已知等差数列中，则等于（）A6B7C8D9【答案】C【解析】在等差数列中，由等差中项的定义可得：，所以故选：C8（2022云南师大附中）已知是等差数列，是的前n项和，则“对任意的且，”是“”的（）A既不充分也不必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D充要条件【答案】B【解析】因为对任意的且，当时，当时，所以成立；充分性成立当成立时，可推出等差数列的公差大于零，但“对任意的且，”未必恒成立，例如，当时，不成立，必要性不成立故选：B9（2022全国高三专题练习）在各项均为正数的等比数列中，公比，若，数列的前n项和为Sn，则取最大值时，n的值为（）A8B8或9C9D17【答案】B【解析】依题
10、意，所以所以是首项为，公差为的等差数列，所以，由，所以取最大值时，n的值为或.故选：B10（2022四川南充）设等差数列的前项和为，满足，则（）AB的最小值为CD满足的最大自然数的值为25【答案】C【解析】由于 ， ，上式中等差中项， ，即 ，故A错误；由等差数列的性质可知 ， ，即 ，故B错误；由以上分析可知C正确，D错误；故选：C.11（2022全国高三专题练习）在等差数列中，为的前n项和，则无法判断正负的是（）ABCD【答案】B【解析】设公差为，因为，可知：，且，所以，从而，不确定正负，故选：B12（2022全国高三专题练习）（多选）已知数列an是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满
11、足a1+5a3S8，下列选项正确的有（）ABC最小D【答案】AB【解析】因为an是等差数列，设公差为，由， 可得，即，即选项A正确，又，即选项B正确， 当时，则或最小，当时，则或最大，即选项C错误，又，所以，即选项D错误，故选AB.13（2022全国高三专题练习）（多选）设等差数列的前项和为，公差为.已知，则（）A数列的最小项为第项BCD时，的最大值为【答案】ABC【解析】对于C选项，由且，可知，故C正确；对于B选项，由 ，可得 ，故B正确；对于D选项，因为，所以，满足的的最大值为，故D错误；对于A选项，由上述分析可知，当且时， ；当且时，所以，当且时，当且时，当且时，.由题意可知单调递减，所
12、以当且时，由题意可知单调递减，即有， 所以，由不等式的性质可得，从而可得， 因此，数列的最小项为第 项，故A正确.故选：ABC.14（2022全国高三专题练习）（多选）等差数列与的前项和分别为与，且，则（）AB当时，CD，【答案】AB【解析】由，知：，即，故A正确.同理可得：，故C错误.当，有，则，易得，故B正确.当，有，则，则不存在，使，故D错误.故选：AB15（2022全国高三专题练习）（多选设是等差数列，是其前项的和，且，则下列结论正确的是（）ABCD与均为的最大值【答案】BD【解析】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：是等差数列，若，则，故B正确；又由得，则有，故A错误；而C选
13、项，即，可得，又由且，则，必有，显然C选项是错误的.，与均为的最大值，故D正确；故选：BD.16（2022云南昭通）等差数列的前n项和分别为，则的公差为_.【答案】8【解析】可得，又，所以，即的公差为8.故答案为：8.17（2022全国高三专题练习）已知两个等差数列和的前n项和分别为，且，则_.【答案】设等差数列的首项为，公差为，等差数列的首项为，公差为，则，故又已知不妨令且解得且故故答案为：.18（2022全国高三专题练习）已知等差数列，的前项和分别为，若，则_【答案】【解析】因为等差数列，的前项和分别为，且，所以，又，所以，所以故答案为：19（2022全国高三专题练习（文）在等差数列中，求
14、_【答案】【解析】由等差数列片段和的性质有，.故答案为：20（2022全国高三专题练习）已知等差数列和的前项和分别为和，且有，则的值为_【答案】【解析】因为为等差数列，则有，所以故答案为：21（2022黑龙江齐齐哈尔二模（理）在数列中，为的前n项和，则的最小值为_【答案】【解析】因为，所以是以为首项，2为公差的等差数列，是以为首项，2为公差的等差数列.当为奇数时，当为偶数时，所以，当为偶数时，故当时，的最小值为；当为奇数时，故当或时，取最小值.综上，的最小值为.故答案为：.22（2022浙江台州二模）已知等差数列的各项均为正数，且数列的前项和为，则数列的最大项为_.（用数字作答）【答案】1【解
15、析】由题，等差数列的各项均为正数，所以，且，所以数列是递增数列，又，所以，即是递减数列，所以当时，得到数列的最大项为，故答案为：123（2022辽宁丹东一模）在等差数列中，已知，则_.【答案】【解析】由题意在等差数列中，设公差为d,则所以，于是，故答案为：1024（2022安徽蚌埠三模（文）设等差数列的前项和为，已知，则_.【答案】48【解析】因为等差数列的前项和为，所以成等差数列，所以，因为，所以，解得，故答案为：48题组四 等差数列定义及其运用1（2022全国高三专题练习）已知数列的通项公式为，则（）A数列为等差数列，公差B数列为等差数列，公差C数列为等比数列，公比D数列为等比数列，公比【
16、答案】B【解析】数列的通项公式为，故数列为等差数列，且公差.故选：B.2（2022全国高三专题练习）下列命题中正确的个数是 若a，b，c成等差数列，则一定成等差数列；若a，b，c成等差数列，则可能成等差数列；若a，b，c成等差数列，则一定成等差数列；若a，b，c成等差数列，则可能成等差数列A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】对于选项：取，由等差数列的定义可知，选项错误；对于选项：例如，即与a，b，c都是公差为的等差数列，故选项正确；对于选项：，b，c成等差数列，即一定成等差数列，故选项正确；对于选项：，即是公差为等差数列，故选项正确.故选：C3（2022全国高二课时练习）对于数列，“”是
17、“数列为等差数列”的（）A充分非必要条件；B必要非充分条件；C充要条件；D既非充分又非必要条件.【答案】C【解析】若数列的通项公式为，则(为常数)，由等差数列的定义可得数列为等差数列；若数列为等差数列，设首项为，公差为，则通项公式为，令，则数列的通项公式可写为，为常数，.所以对于数列，“”是“数列为等差数列”的充要条件.故选：C.4（2022全国高三专题练习）已知数列的前项和，则下列结论正确的是（）A数列是等差数列 B数列是递增数列C，成等差数列 D，成等差数列【答案】D【解析】，时，时，时，不满足数列不是等差数列；，因此数列不是单调递增数列；，因此，不成等差数列成等差数列故选：D5（2022
18、全国高三专题练习）（多选）已知，成等差数列，则（）A，一定成等差数列B，可能成等差数列C，（为常数）一定成等差数列D，可能成等差数列【答案】BCD【解析】对于A，取，则，此时，不成等差数列，故A错误；对于B，令，则，此时，是公差为0的等差数列，故B正确；对于C，成等差数列，（为常数）又，（为常数），（为常数）为等差数列，故C正确；对于D，令，则，此时，是公差为0的等差数列，故D正确故选：BCD6（2022黑龙江哈九中二模）已知数列满足，证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；【答案】证明见解析，【解析】当时，得，当时，有，相除得整理为：，即，为等差数列，公差，首项为；所以，整理为：.7（20
19、22辽宁丹东高三期末）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列.证明：是等差数列.【答案】证明见解析；【解析】设数列的公差为（为常数）. 是等差数列，当时， 当时，由得，经检验，当时也满足，当时，是等差数列.8（2022全国高三专题练习）已知数列满足，求证：是等差数列；【答案】证明见解析；【解析】由，又，故，且，是首项、公差均为的等差数列.9（2022全国高三专题练习）已知数列满足，设数列(1)求证数列为等差数列；(2)求数列的通项公式；【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)因为，所以，所以又因为，所以， ， ，（为常数）所以数列是公差为的等差数列；(2)由（1）知：，所以，所以，.1
20、0（2022福建泉州高三开学考试）已知数列的通项公式为，数列的首项为.(1)若是公差为3的等差数列，求证：也是等差数列；(2)若是公比为2的等比数列，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析.(2).【解析】(1)因为数列的首项为，是公差为3的等差数列，所以，所以，所以，所以数列是以6为公差的等差数列；(2)因为是公比为2的等比数列，又数列的首项为，所以，所以，又因为，所以，所以，解得，所以，所以数列的前项和为.12（2022全国高二单元测试）记数列的前项和为，.证明数列为等差数列，并求通项公式；【答案】证明见解析，【解析】证明：，则，即，解得，所以，即，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数
21、列，故.题组五 等差数列的实际应用1（2022四川省广汉中学高一阶段练习（理）新广中上月开展植树活动以来，学校环境愈发美丽.尤其是黄花风铃木，金黄的花朵挂满枝头，好不烂漫，俨然成了师生的热门打卡景点.书院数学兴趣小组的同学们通过调查发现：我校的黄花风铃树主要分布在孔子行教像旁（处）、一食堂旁（处）、高二教学楼旁（C处），如果把处的5株移到处，则A，B，C三处的株数刚好构成等差数列，已知处现有11株，那么这三处共有黄花风铃树（）A36株B41株C48株D51株【答案】C【解析】设A，B，C三处的株数刚好构成等差数列为，则由题意可知，由等差中项，知，.所以三处共有黄花风铃树为株.故选：C.2（20
22、22陕西西安二模（理）九章算术中有一道“良马、驽马行程问题”若齐国到长安的路程为里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行良马第一天行里，之后每天比前一天多行里，驽马第一天行里，之后每天比前一天少行里，若良马和驽马第天相遇，则的最小整数值为（）ABCD【答案】D【解析】设驽马、良马第天分别行、里，则数列是以为首项，以为公差的等差数列，数列是以为首项，以为公差的等差数列，由题意可得，整理可得，解得（舍）或，而，故的最小整数值为.故选：D.3（2022江西）2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫，倒计时依次为：大寒小寒冬至大雪小雪立冬霜降寒露秋
23、分白露处暑立秋大暑小暑夏至芒种小满立夏谷雨清明春分惊蛰雨水立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至立冬秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，冬至到处暑等九个节气的日影长之和为85.5寸，问夏至的日影长为（）A4.5寸B3.5寸C2.5寸D1.5寸【答案】D【解析】因为从冬至到夏至的日影长等量减少，所以构成等差数列，由题意得：，则，则，所以公差为，所以，故选：D4（2022全国高三专题练习（理）某公园有一块等腰梯形状的空地，现准备在空地上铺上大理石，使它成为一个运动场地，若第一排需要大理石8片，从第二排开始后面每一排比前一排多2片，共需铺10排，则这块空地共需大理石（）A160片B170片
24、C180片D190片【答案】B【解析】因为这10排大理石片数构成一个首项为8，公差为2的等差数列，所以故选：B5（2022广东梅州市梅江区梅州中学高三开学考试）对于一个给定的数列，从第二项开始，每一项减去前一项得出第二个数列，又将第二个数列从第二项开始，每一项减去前一项得出第三个数列，这样一直做下去，假如减了次之后，得到了一个非零常数列，那么我们就称第一个数列为阶等差数列，即为高阶等差数列南宋数学家杨辉在详解九章算术和算法通变本末中研究了高阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为
25、（）A99B131C139D141【答案】D【解析】由题意知，如图，可得：，解得，解得，故选：D6（2022全国高三专题练习）大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前项依次是，则下列说法正确的是（）A此数列的第项是 B此数列的第项是C此数列偶数项的通项公式为 D此数列的前项和为【答案】B【解析】观察此数列，偶数项通项公式为，奇数项是后一项减去后一项的项数，即，由此可得，A错误，B正确，C错误，是一个等差数列的前项，而题中数列不是等差数列，不可能有，D错误，故选：B.
