1、13.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课后篇巩固探究A组 基础巩固1. =( )( 12- 12)( 12+ 12)A.- B.- C. D.32 12 12 32解析原式 =cos2 -sin2 =cos ,12 12 6=32故选 D.答案 D2.若 tan = 3,则 的值等于( )22A.2 B.3 C.4 D.6解析 =2tan =23=6.22=22答案 D3.已知 sin ,则 cos 的值为( )(4-)=35 ( 2-2)2A. B. C. D.1925 1625 1425 725解析 cos =cos (2-2) 2(4-)=1-2sin2 =1-2 .(4-) (35
2、)2=725答案 D4.若 为锐角,3sin =tan = tan ,则 tan 2 等于( )2A. B. C.- D.-34 43 34 43解析因为 为锐角,3sin =tan ,所以 cos = ,则 tan =2 ,即 tan =2,所以 tan 2 =13 2=- .21-243答案 D5.若 ,则 tan 2= ( )+-=12A.- B. C.- D.34 34 43 43解析等式 左边分子、分母同时除以 cos (显然 cos 0),得 ,+-=12 +1-1=12解得 tan =- 3, tan 2= .21-2=34答案 B6.已知 ,sin = ,则 tan 2= .
3、(2,) 55解析由 ,sin = ,得 cos =- ,tan = =- ,tan 2= =- .(2,) 55 255 12 21-243答案 -4337.化简: = . 221+222解析原式 = =tan 2.222222答案 tan 28.若 cos(75+ )= ,则 sin(60+2 )= . 13解析依题意,cos(75 + )= ,则 cos(150+2 )=2cos2(+ 75)-1=2 -1=- ,sin(60+2 )13 (13)2 79=-cos(90+60+2 )=-cos(150+2 )= .79答案799.求下列各式的值:(1) ;22-12(4-)2(4+)(
4、2)2 tan 15+tan215;3(3)sin 10sin 30sin 50sin 70.解(1)原式 =22(4-)2(2-4-)=22(4-)2(4-)=22(4-)(4-)=2(24-2)= =1.22(2)原式 = tan 30(1-tan215)+tan21534= (1-tan215)+tan215=1.333(3)(方法一)sin 10sin 30sin 50sin 70= cos 20cos 40cos 80=12.220204080420=404080420 =8080820 =11616020=116(方法二)令 x=sin 10sin 50sin 70,y=cos 1
5、0cos 50cos 70.则 xy=sin 10cos 10sin 50cos 50sin 70cos 70= sin 20 sin 100 sin 14012 12 12= sin 20sin 80sin 4018= cos 10cos 50cos 70= y.18 18y 0, x= .18从而有 sin 10sin 30sin 50sin 70= .11610.已知 sin +cos = , ,sin , .355 (0,4) (-4)=35 (4,2)(1)求 sin 2 和 tan 2 的值;(2)求 cos( +2 )的值 .解(1)由题意得(sin +cos )2= ,即 1+
6、sin 2 = , sin 2 = ,又易知 2 ,95 95 45 (0,2) cos 2 = , tan 2 = .1-22=35 22=43(2) , - ,sin ,(4,2) 4(0,4) (-4)=355 cos ,(-4)=45 sin 2 =2sin cos .(-4) (-4) (-4)=2425又 sin 2 =-cos 2 , cos 2 =- .(-4) 2425又易知 2 , sin 2 = .(2,) 725又 cos2 = , cos = , sin = ,1+22 =45 255 55 cos( +2 )=cos cos 2 -sin sin 2 = =- .2
7、55(-2425)5572511525B组 能力提升1.4sin 80- =( )1010A. B.- C. D.2 -33 3 2 2解析 4sin 80-1010=41010-1010=220-1010 =2(30-10)-1010= =- .2(3010-3010)-1010 3答案 B2.若 ,且 cos2 +cos ,则 tan = ( )(0,2) (2+2)=310A. B. C. D. 或 -712 14 13 13解析 cos2 +cos =cos2 -sin 2 =cos2 -2sin cos =(2+2),整理得 3tan2 +20tan -7=0,解得 tan = 或
8、tan 2-22+2 =1-22+1=310 13 =-7.又 ,所以 tan = ,故选 C.(0,2) 136答案 C3.若 tan = ,则 tan = . 12 (2+4)解析 tan = , tan 2 = .12 21-2=2121-14=43 tan =-7.(2+4)=2+41-24=43+11-43答案 -74.已知角 , 为锐角,且 1-cos 2 =sin cos ,tan( - )= ,则 = . 13解析由 1-cos 2 =sin cos ,得 1-(1-2sin2 )=sin cos ,即 2sin2 =sin cos . 为锐角, sin 0, 2sin =co
9、s ,即 tan = .12(方法一)由 tan( - )=-1+=-121+12= ,得 tan =1. 为锐角 , = .13 4(方法二)tan =tan( - + )=(-)+1-(-)= =1. 为锐角, = .13+121-1312 47答案45.已知函数 f(x)= .44-22-1(4+)(4-)(1)求 f 的值;(-1112)(2)当 x 时,求函数 g(x)= f(x)+sin 2x的最大值和最小值 .0,4) 12解(1) f(x)=(1+2)2-22-1(4+)(4-)=22(4+)(4+)= =2cos 2x,222(2+2)=2222所以 f =2cos =2co
10、s .(-1112) (-116) 6=3(2)g(x)=cos 2x+sin 2x= sin .2 (2+4)因为 x ,所以 2x+ ,0,4) 44,34)所以当 x= 时, g(x)max= ,8 2当 x=0时, g(x)min=1.6.已知函数 f(x)=4tan xsin cos .(2-) (-3)3(1)求 f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论 f(x)在区间 上的单调性 .-4,48解(1) f(x)的定义域为 .|2+, f(x)=4tan xcos xcos(-3)3=4sin xcos(-3)3=4sin x(12+32)3=2sin xcos x+2 sin2x-3 3=sin 2x+ (1-cos 2x)-3 3=sin 2x- cos 2x=2sin .3 (2-3)所以 f(x)的最小正周期 T= = .22(2)令 z=2x- ,函数 y=2sin z的单调递增区间是 ,kZ .由 - +2k2 x-3 -2+2,2+2 2+2k,得 - +k x +k, kZ .32 12 512设 A= ,B= x - +k x +k, kZ ,易知 A B= .所以,当 x-4,4 12 512 -12,4时, f(x)在区间 上单调递增,在区间 上单调递减 .-4,4 -12,4 -4,-12
