1、12.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课后篇巩固探究A组 基础巩固1.向量 a=(-1,2),b=(1,3),下列结论正确的是( )A.ab B.abC.a(a -b) D.a(a -b)解析由 a-b=(-2,-1),易得 a(a-b)=0,故 a(a -b),选 D.答案 D2.若 a=(3,4),则与 a共线的单位向量是( )A.(3,4)B.(35,45)C.(35,45)或 (-35,-45)D.(1,1)解析与 a共线的单位向量是 = (3,4),即与 a共线的单位向量是 .| 15 (35,45)或 (-35,-45)答案 C3.若平面向量 a=(3,x),b=(1,2
2、),向量 a在 b方向上的射影等于 ,则 x的值等于( )52A. B.6 C.1 D.-22解析依题意有 ,解得 x=1.|=3+25 =5答案 C4.在平行四边形 ABCD中, =(1,0), =(2,2),则 等于( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2解析如图,由向量的加减,可得 =(1,2), -= =2 =(0,2).故 =(1,2)(0,2)=0+4=4.答案 A5. 导学号 68254087在矩形 ABCD中, AB=2 ,AD=2,点 E为线段 BC的中点,点 F为线3段 CD上的动点,则 的取值范围是 ( )A.2,14 B.0,12C.0,6 D.2,8解析如图, A(
3、0,0),E(2 ,1),3设 F(x,2)(0 x2 ),所以 =(2 ,1), =(x,2),3 3 因此 =2 x+2, 3设 f(x)=2 x+2(0 x2 ),f(x)为增函数,3 3则 f(0)=2,f(2 )=14,故 2 f(x)14, 的取值范围是2,14 .3 答案 A6.设 x,yR,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 ac,bc,则 |a+b|=( )A. B. C.2 D.105 10 53解析 向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 ac,bc,则有 2x-4=0,-4-2y=0,解得 x=2,y=-2,故a+b=(3,-
4、1),故有 |a+b|= ,故选 B.32+(-1)2=10答案 B7.已知 a=(-1,3),b=(1,y).若 a与 b的夹角为 45,则 y= . 解析 ab=-1+3y,|a|= ,|b|= ,10 1+2 a与 b的夹角为 45, cos 45= .|= -1+3101+2=22解得 y=2或 y=- (舍去) .12答案 28.已知单位向量 a与向量 b=(1,-1)的夹角为 45,则 |a-b|= . 解析由已知得 |a|=1,|b|= ,ab=|a|b|cos 45=1,于是 |a-b|=2=1.(-)2=|2-2+|2答案 19.已知平面向量 a=(1,x),b=(2x+3,
5、-x)(xR) .(1)若 ab,求 |a-b|;(2)若 a与 b的夹角为锐角,求 x的取值范围 .解(1)因为 ab,所以 -x-x(2x+3)=0,解得 x=0或 x=-2.当 x=0时,a =(1,0),b=(3,0),所以 a-b=(-2,0),则 |a-b|=2.当 x=-2时,a =(1,-2),b=(-1,2),所以 a-b=(2,-4),则 |a-b|=2 .5综上, |a-b|=2或 2 .5(2)因为 a与 b的夹角为锐角,所以 ab0,即 2x+3-x20,解得 -1x3.又当 x=0时 ab,故 x的取值范围是( -1,0)(0,3) .10.已知向量 a=(1,2)
6、,b=(cos ,sin ),设 m=a+tb(tR) .4(1)若 = ,求当 |m|取最小值时实数 t的值;4(2)若 ab,问:是否存在实数 t,使得向量 a-b与向量 m的夹角为 ?若存在,求出实数 t;若不存在,4请说明理由 .解(1)当 = 时,b = ,ab= ,4 (22,22) 322| m|= ,(+)2=5+2+2=2+32+5=(+322)2+12 当 t=- 时, |m|取得最小值 .322(2)假设存在满足条件的实数 t.由条件得 cos ,4=(-)(+)|-|+| ab, | a-b|= ,(-)2=6|a+tb|= ,(+)2=5+2(a-b)(a+tb)=5
7、-t, .5-65+2=22t 2+5t-5=0,且 t5,得 t= .-5352 存在 t= 满足条件 .-535211.已知 A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),判断由此四点构成的四边形的形状 .解因为 =(4,0)-(1,2)=(3,-2), =(8,6)-(5,8)=(3,-2), 所以 ,所以四边形 ABCD是平行四边形 .=D因为 =(5,8)-(1,2)=(4,6),所以 =34+(-2)6=0,所以 ,所以四边形 ABCD是矩形 .5因为 | |= ,| |=2 ,| | | |, 13 13 所以四边形 ABCD不是正方形 .综上,四边形 ABCD是矩形
8、.B组 能力提升1.已知 O为坐标原点,向量 =(3sin ,cos ), =(2sin ,5sin - 4cos ), , (32,2)且 ,则 tan 的值为 ( )A.- B.- C. D.43 45 45 34解析由题意知 6sin2+ cos (5sin - 4cos )=0,即 6sin2+ 5sin cos - 4cos2= 0,等式两边同时除以 cos2 ,得 6tan2+ 5tan - 4=0,由于 ,所以 tan 0,解得 tan (32,2)=- ,故选 A.43答案 A2.已知在直角梯形 ABCD中, AD BC, ABC=90,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内
9、一点 P满足=2 ,则 =( )+A.- B.-12C.-2 D.-2 2解析建立如图所示的平面直角坐标系,因为 AD BC, ABC=90,AB=BC=2,AD=1,所以 B(0,0),A(0,2),C(2,0),D(1,2),所以 =(0,2), =(2,0),因为 =2 ,所以 2 =(0,2)+(2,0)=(2,2),故 + =(1,1),故 P(1,1), =(0,1), =(1,-1),所以 =01+1(-1)=-1. 答案 B3.已知向量 a=( ,1),b是不平行于 x轴的单位向量,且 ab= ,则 b= . 3 3解析设 b=(x,y).| b|= =1,x 2+y2=1.2
10、+26 ab= x+y= ,3 3x 2+ (1-x)2=1.3 4x2-6x+2=0. 2x2-3x+1=0.x 1=1,x2= ,y 1=0,y2= .12 32 (1,0)是与 x轴平行的向量, b= .(12,32)答案 (12,32)4.已知 a,b,c均为单位向量,且 |a+b|=1,则(a-b)c 的取值范围是( )A.0,1 B.-1,1C.- D.0, 3, 3 3解析由 a,b为单位向量和|a+b| =1的几何意义,可知 |a-b|= ,设 a-b与 c的夹角为 ,则(a-3b)c=|a-b|c|cos = cos , cos -1,1,3 (a-b)c的取值范围为 - .
11、3, 3答案 C5. 导学号 68254088已知三个点 A(2,1),B(3,2),D(-1,4).(1)求证: AB AD;(2)若四边形 ABCD为矩形,求点 C的坐标及矩形 ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值 .(1)证明 A (2,1),B(3,2),D(-1,4), =(1,1), =(-3,3). 又 =1(-3)+13=0, ,AB AD.(2)解 ,四边形 ABCD为矩形, .=7设点 C的坐标为( x,y),则 =(x+1,y-4).又 =(1,1), +1=1,-4=1,解得 =0,=5. 点 C的坐标为(0,5) . =(-2,4), =(-4,2), | |=2 ,|
12、 |=2 =8+8=16. 5 5,设 的夹角为 ,与 则 cos = .|=162525=45故矩形 ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为 .456.如图,在 ABC中, =0,| |=8,| |=6,l为线段 BC的垂直平分线, l与 BC交于点 D,E为 l 上异于 D的任意一点 .(1)求 的值;(2)判断 的值是否为一个常数 ,并说明理由 .解(1)以点 D为坐标原点, BC所在直线为 x轴,直线 l为 y轴建立平面直角坐标系,由题意易知 |BC|=10,则 D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A ,(75,245)此时 =(-10,0),=(-75,-245),所以 =- (-10)+ 0=14.75 (-245)8(2)是一个常数 .理由如下:设点 E的坐标为(0, y)(y0),此时 ,=(-75,-245)所以 =- (-10)+ 0=14,为常数,故 的值是一个常数 .75 (-245)
