1、圆的最小覆盖唐高翼(B01151140) 指导老师: 林磊摘 要 本论文探讨了用 n 个圆去覆盖一个圆的最小覆盖问题,给出了 n 从 1 到 6 时子圆的最小半径。关键词 圆的覆盖, 最小半径, 正弦定理Abstract In this paper we research that a circle is covered by n smaller circles, and what is the minimal radius of circles. We find out the minimal radius when n is from 1 to 6.Keyword circle cover
2、ed by circles, the minimal radius, the sine theorem. 在现代化农业生产中，为了使灌溉自动化。农民们需要在农田里铺设水管，在水管的某处安装喷水笼头。为了更好地利用水资源，必须对喷水笼头的个数，位置进行合理的安排。固定的一块农田，因喷水笼头的个数不同，安装不同，喷水范围不同。抽象到数学中，就是用 n 个圆去覆盖一个圆,用 n 个圆去覆盖正方形,长方形,等等.例如用 n 个大小不同的圆去覆盖一个圆,那么这些圆的半径会是多少呢?为了计算方便,我们不妨设用 n 个大小相同的圆来覆盖.设被覆盖的圆为母圆,半径设为 1。假定要去覆盖母圆的子圆的半径为 r。
3、显然 r=1 时是成立的.那么我们不禁去思考 r= ,r= 时子圆还能覆盖母圆吗? r 的最小时又可以等于多32少呢?下面我们研究一下 n 为 1,2,3,4,5,6 时的最小覆盖问题。一. n=1 时,这时只有一个子圆,显然 r =1。min二. n=2 时,这时有两个子圆覆盖母圆,那么必有一个子圆至少覆盖母圆的 圆周,这时母21圆的直径是子圆的一条弦,所以 2r 2。因此 r =1。min三. n=3 时,这时有三个子圆覆盖母圆,则必定要覆盖圆周,故至少有一个子圆要覆盖至少的圆周,因此半径至少为 ,但可找到 r= 的三子圆覆盖。 （如图） 。将母圆圆周三等312323分，得 A,B,C 三
4、点,分别以 AB,BC,AC 中点为圆心， 弦长为半径分别画圆即得。1图四. n=4 时,这时有四个子圆覆盖母圆,则四个子圆要覆盖圆周,故至少有一圆要覆盖至少的圆周,因此半径至少为 ,可找到 r= 的四子圆覆盖。 （如图） 。将母圆圆周四等分，4122得 A,B,C,D 四点，分别以 AB,BC,CD,DA 的中点为圆心， 弦长为半径分别画圆即得。21图 2五. n=5 时,这时有五个子圆覆盖母圆,依照母圆圆心与子圆的位置关系,可将五个子圆的排列方式分为:圆心在一个子圆的内部;圆心在三个子圆的边界;圆心在四个子圆的边界;圆心在五个子圆的边界。对于,又可分为两种情况:包含母圆圆心的子圆与母圆圆周
5、不相交,这时只有四个子圆覆盖母圆的圆周,故至少有一个圆要覆盖至少 圆周,因此半径至少为 。 （如图 3） 。先412将母圆圆周四等分，得 A,B,C,D 四点，分别以 AB,BC,CD,DA 的中点为圆心， 弦长为半径画1圆，再以母圆圆心为圆心， 弦长为半径画圆即得。21图 3包含母圆圆心的子圆与母圆圆周相交（略）. 圆心在三个子圆的边界。 （如图 4） 。因为五个子圆半径相等,所以与母圆圆心相交的子圆所覆盖的母圆圆周相等,设这些母圆圆周所对的圆心角为 ,由此可得相交圆的半径为 r= 。那么剩下的母圆圆周为(2 -3 ),它由两个子圆覆盖,故至少有一圆要覆盖至少12cos的圆周。因此半径至少为
6、 r = 。3223cos1因为五个子圆半径相等,所以 r =r , 由此得 ,r= 。128.6909在母圆上取一点 A，将它绕圆心旋转 角两次，得到 B,C 两点，再在圆周另一边取一8.69点 D，使它与 C 在圆周上相隔 1.313，然后让它绕圆心旋转 ，得到 E，AB,BC,DE 与圆心.可分别一圆。又分别以线段 AE,CD 的中点为圆心，A,D 为圆上的一点可画圆。图 4 圆心在四个子圆的边界,（如图 5） 。设与母圆圆心相交的子圆所覆盖的母圆圆周所对的圆心角为 。则相交子圆的半径为 r = 。不与母圆圆心相交的子圆所覆盖的母圆12cos圆周为(2 )。这时半径至少为 r = =si
7、n2 。4 )42cos(因为五个子圆半径相等,所以 r =r , 由此得 ,r= 。1208.7161在母圆上取一点 A，将它绕圆心旋转角 角四次，得到 B,C,D,E 四点，相临两点和圆心可画一圆，又以线段 AE 中点为圆心，以 A 为圆上一点又可画一圆。图 5 圆心在五个子圆的边界。 （如图 6） 。这时可知至少有一圆要覆盖至少母圆的 圆周。51即子圆要覆盖 的扇形。因此半径至少为 r= 。526180图 6在母圆上取一点 A，将它绕圆心旋转 角四次，得到 B,C,D,E 四点，则52AB,BC,CD,DE,EA 与圆心可分别画一圆。综上,当五个圆要覆盖一个圆时，其最小半径小于等于 。6
8、09六n6 时，这时有六个子圆覆盖母圆，类似 n5 时，可将母圆圆心与子圆位置关系分为：母圆圆心在一个子圆的内部；在三个子圆的边界；四个子圆的边界；五个子圆的边界；六个子圆的边界。对于， （如图 7） 。包含母圆圆心的子圆与母圆无交点，因此 5 个子圆要覆盖母圆的圆周，故至少有一个子圆要覆盖母圆的至少 圆周，半径至少为 0.618。51在五. 的基础上,只需再画一个圆心在母圆圆心，半径为 的圆即得。6180图 7对于， （如图 8） 。类似于 n5 时，与母圆圆心相交的子圆要覆盖角为 的扇形，因此r = 。剩下的三个子圆要覆盖母圆的至少为(2 -3 )的圆周，故至少有一个子圆要12cos覆盖母
9、圆的至少为 的圆周。r = 。32 32cos1因为六个子圆半径相等，所以 r =r , 由此得 ,r= 。123.5270将母圆圆周三等分，得到 A,B,C 三个三等分点。将它们分别绕圆心旋转 角，得352D,E,F。则 AD,BE,CF 与圆心可画一圆，又以线段 DB,EC,FA 中点为圆心，A,B,C 为圆上一点分别画一圆。图 8对于，如图 9。类似于 n5 时，与母圆圆心相交的子圆要覆盖角为 的扇形，因此 r= 。剩下的两个子圆要覆盖母圆的至少为(2 )的圆周，12cos4故至少有一个子圆要覆盖母圆的至少为 的圆周2r = =cos 。2 )24cos(1因为六个子圆半径相等，所以 r
10、 =r , 由此得 ,r= 。126.550在母圆上取一点 A，将它绕圆心旋转 角两次，得到 B,C 两点，则将 A 绕圆心旋转65角，得到 D 点，再将 D 绕圆心旋转 角两次，得到 E,F 点，则 AB,BC,DE,EF 与圆心180 可画一圆，又以 CD,FA 中点为圆心，A,D 为圆上一点又可分别画一圆。图 9对于， （如图 10） 。类似于 n5 时，与母圆圆心相交的子圆要覆盖角为 的扇形，因此 r = 。剩下的一个子圆要覆盖母圆的至少为(2 )的圆周，r =12cos 52。)5(因为六个子圆半径相等，所以 r =r , 由此得 ,r= 。1207.5852在母圆圆周上取一点 A，
11、将它绕圆心旋转 角五次，得到 B,C,D,E,F 五点，AB,BC,CD,DE,EF 与圆心可分别画一圆。又以 AF 中点为圆心，A 为圆上一点又可画一圆。图 10 对于母圆圆心在六个子圆的边界，如图 11。由于这六个子圆要覆盖母圆的圆周，故至少有一个子圆要覆盖母圆的 扇形，半径至少为 ，但可找到半径为 ( 0.577)的子6133圆覆盖母圆。在母圆圆周上取一点 A，将它绕圆心旋转 角，得到 B,C,D,E,F 五点，60AB,BC,CD,DE,EF,FA 可与圆心分别画一圆。图 11综上，当六个相同的圆要覆盖一个圆时，其最小半径约为 。570参考文献1 董培仁，一个最优化问题的多角度探求，数学通报J，2005 年 2 期。2 袁震东，数学建模与中学数学，数学教学J，2005 年 1 期 3 王玉娇，几何中分类思想的运用，http:/
