1、13.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标 1.了解空间向量基本定理.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标知识点一 空间向量基本定理思考 1 平面向量基本定理的内容是什么？答案 如果 e1， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1， 2，使 a 1e1 2e2，其中，不共线的 e1， e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底思考 2 平面向量的基底唯一确定吗？答案 不唯一梳理 (1)空间向量基本定理条件 三个不共面的向量 a， b， c 和空间任一向量 p结论 存在有
2、序实数组 x， y， z，使得 p xa yb zc(2)基底条件：三个向量 a， b， c 不共面结论： a， b， c叫做空间的一个基底基向量：基底中的向量 a， b， c 都叫做基向量知识点二 空间向量的坐标表示思考 平面向量的坐标是如何表示的？答案 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴， y 轴方向相同的两个单位向量 i， j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x， y，使a xi yj，这样，平面内的任一向量 a 都可由 x， y 唯一确定，我们把有序实数对( x， y)叫做向量 a 的坐标，记作 a( x， y)，其中 x 叫做 a 在
3、x 轴上的坐标， y 叫做 a 在 y 轴上的坐标设 xi yj，则向量 的坐标( x， y)就是点 A 的坐标，即若 ( x， y)，则 A 点坐标为OA OA OA (x， y)，反之亦成立( O 是坐标原点)2梳理 空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底 有公共起点 O 的三个两两垂直的单位向量，记作 e1， e2， e3空间直角坐标系以 e1， e2， e3的公共起点 O 为原点，分别以 e1， e2， e3的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量 p，存在有序实数组 x， y， z，使得p xe1 ye2 ze
4、3，则把 x， y， z 称作向量 p 在单位正交基底 e1， e2， e3下的坐标，记作 p( x， y， z)(1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示()(2)若 a， b， c为空间的一个基底，则 a， b， c 全不是零向量()(3)如果向量 a， b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有 a 与 b 共线()(4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底()类型一 基底的判断例 1 (1)下列能使向量 ， ， 成为空间的一个基底的关系式是( )MA- MB- MC- A. OM- 13OA 13OB 13OC B. MA- MB- MC- C. OM- OA OB O
5、C D. 2 MCMA- MB- (2)设 x a b， y b c， z c a，且 a， b， c是空间的一个基底，给出下列向量： a， b， x； b， c， z； x， y， a b c其中可以作为空间的基底的有( )A1 个 B2 个 C3 个 D0 个考点 空间向量基底的概念题点 空间向量基底的判断答案 (1)C (2)B解析 (1)对于选项 A，由 x y z (x y z1) M， A， B， C 四点共面知，OM- OA OB OC ， ， 共面；对于选项 B，D，可知 ， ， 共面，故选 C.MA- MB- MC- MA- MB- MC- 3(2)均可以作为空间的基底，故选
6、 B.反思与感悟 基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底(2)方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底假设 a b c，运用空间向量基本定理，建立 ， 的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底跟踪训练 1 (1)已知 a， b， c 是不共面的三个非零向量，则可以与向量p a b， q a b 构成基底的向量是( )A2 a B2 bC2 a3 b D2 a5 c(2)以下四个命题中正确的是( )A基底 a， b， c中可以有零向量B
7、空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底C ABC 为直角三角形的充要条件是 0AB AC D空间向量的基底只能有一组考点 空间向量基底的概念题点 空间向量基底的概念答案 (1)D (2)B解析 (2)使用排除法因为零向量与任意两个非零向量都共面，故 A 不正确； ABC 为直角三角形并不一定是 0，可能是 0，也可能是 0，故 C 不正确；空AB AC BC BA CA CB 间基底可以有无数多组，故 D 不正确类型二 空间向量基本定理的应用例 2 如图所示，空间四边形 OABC 中， G， H 分别是 ABC， OBC 的重心，设 a， b， c， D 为 BC 的中点试用向量
8、a， b， c 表示向量OA OB OC 和 .OG GH 考点 空间向量基底的概念题点 空间向量基本定理解 因为 ，OG OA AG 4而 ， ，AG 23AD AD OD OA 又 D 为 BC 的中点，所以 ( )，OD 12OB OC 所以 ( )OG OA 23AD OA 23OD OA ( )OA 23 12OB OC 23OA ( ) (a b c)13OA OB OC 13又因为 ，GH OH OG ( )OH 23OD 23 12OB OC (b c)，13所以 (b c) (a b c) a.GH 13 13 13所以 (a b c)， a.OG 13 GH 13反思与感悟
9、 用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求跟踪训练 2 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，设 a， b， c， E， F 分别是AB AD AA1- AD1， BD 的中点(1)用向量 a， b， c 表示 ， ；D1B- EF (2)若 xa yb zc，求实数 x， y， z 的值D1F- 考点 空间向量基底的概念题点 空间向量基本定理解 (1)如图，连接 AC， D1B- D1D- DB a b
10、c，AA1- AB AD EF EA AF 12D1A- 12AC ( ) ( ) (a c)12 AA1- AD 12AB AD 125(2) ( )D1F- 12 D1D- D1B- ( )12 AA1- D1B- ( c a b c)12 a b c，12 12 x ， y ， z1.12 12类型三 空间向量的坐标表示例 3 (1)设 e1， e2， e3是空间的一个单位正交基底，a4 e18 e23 e3， b2 e13 e27 e3，则 a， b 的坐标分别为_考点 空间向量的正交分解题点 向量的坐标答案 (4，8,3)，(2，3,7)解析 由于 e1， e2， e3是空间的一个单
11、位正交基底，所以 a(4，8,3)，b(2，3,7)(2)已知 a(3,4,5)， e1(2，1,1)， e2(1,1，1)， e3(0,3,3)，求 a 沿e1， e2， e3的正交分解考点 空间向量的正交分解题点 向量的坐标解 因为 a(3,4,5)， e1(2，1,1)，e2(1,1，1)， e3(0,3,3)，设 a e1 e2 e3，即(3,4,5)(2 ， 3 ， 3 )，所以Error! 解此方程组得Error!所以 a 沿 e1， e2， e3的正交分解为 a e1 e2 e3.76 23 32反思与感悟 用坐标表示空间向量的步骤67跟踪训练 3 (1)空间四边形 OABC 中
12、， a， b， c，点 M 在 OA 上，且OA OB OC OM2 MA， N 为 BC 的中点， 在基底 a， b， c下的坐标为_MN- 考点 空间向量的正交分解题点 向量的坐标答案 (23， 12， 12)解析 OM2 MA，点 M 在 OA 上， OM OA，23 ( )MN- MO- ON- OM- 12 OB- OC- a b c .23 12 12 ( 23， 12， 12)(2)已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面， M， N 分别是 AB， PC 的中点，并且 PA AD1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量 的坐MN 标考点 空间向量的正交分解题点 向量的坐标
13、解 因为 PA AD AB1，所以可设 e1， e2， e3.AB AD AP 因为 MN- MA- AP PN MA- AP 12PC ( )MA- AP 12PA AD DC ( )12AB AP 12 AP AD AB e3 e2，12AP 12AD 12 12所以 .MN- (0， 12， 12)81已知 i， j， k 分别是空间直角坐标系 Oxyz 中 x 轴， y 轴， z 轴的正方向上的单位向量，且 i j k，则点 B 的坐标是( )AB A(1,1，1) B( i， j， k)C(1，1，1) D不确定考点 空间向量的正交分解题点 向量的坐标答案 D解析 由 i j k 只
14、能确定向量 (1,1，1)，而向量 的起点 A 的坐标未知，AB AB AB 故终点 B 的坐标不确定2在下列两个命题中，真命题是( )若三个非零向量 a， b， c 不能构成空间的一个基底，则 a， b， c 共面；若 a， b 是两个不共线向量，而 c a b( ， R 且 0)，则 a， b， c构成空间的一个基底A仅B仅CD都不是考点 空间向量基底的概念题点 空间向量基底的概念答案 A解析 为真命题；中，由题意得 a， b， c 共面，故为假命题，故选 A.3已知点 A 在基底 a， b， c下的坐标为(8,6,4)，其中 a i j， b j k， c k i，则点 A 在基底 i，
15、 j， k下的坐标是( )A(12,14,10) B(10,12,14)C(14,12,10) D(4,3,2)考点 空间向量的正交分解题点 向量的坐标答案 A解析 设点 A 在基底 a， b， c下对应的向量为 p，则p8 a6 b4 c8 i8 j6 j6 k4 k4 i12 i14 j10 k，故点 A 在基底 i， j， k下的坐标为(12,14,10)4已知 a e1 e2 e3， b e1 e2 e3， c e1 e2 e3， d e12 e23 e3，若d a b c，则 ， ， 的值分别为_9考点 空间向量的正交分解题点 空间向量在单位正交基底下的坐标答案 ，1，52 12解析
16、 d (e1 e2 e3) (e1 e2 e3) (e1 e2 e3)( )e1( )e2( )e3 e12 e23 e3，Error! Error!5如图，已知 PA平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形， G 为 PDC 的重心， i， j， k，试用基底 i， j， k表示向量 ， .AB AD AP PG BG 考点 空间向量的正交分解题点 向量在单位正交基底下的坐标解 延长 PG 交 CD 于点 N，则 N 为 CD 的中点， PG 23PN 2312PC PD ( )13PA AB AD AD AP i j k.13AB 23AD 23AP 13 23 23 BG BC CN
17、NG BC CN 13NP AD 12DC 13PN AD 12AB (16AB 13AD 13AP ) 23AD 23AB 13AP i j k.23 23 131基底中不能有零向量因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量2空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三10条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标3用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则逐步向基
18、向量过渡，直到全部用基向量表示一、选择题1下列说法中不正确的是( )A只要空间的三个向量的模为 1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底B竖坐标为 0 的向量平行于 x 轴与 y 轴所确定的平面C纵坐标为 0 的向量都共面D横坐标为 0 的向量都与 x 轴上的基向量垂直考点 空间向量基底的概念题点 空间向量基底的概念答案 A解析 单位正交基底除要求模为 1 外，还要求三个向量两两垂直2在空间直角坐标系 Oxyz 中，下列说法中正确的是( )A向量 的坐标与点 B 的坐标相同AB B向量 的坐标与点 A 的坐标相同AB C向量 的坐标与向量 的坐标相同AB OB D向量 的坐标与 的坐标相同A
19、B OB OA 考点 空间向量的正交分解题点 向量的坐标答案 D3已知点 O， A， B， C 为空间不共面的四点，且向量 a ，向量OA OB OC b ，则与 a， b 不能构成空间基底的向量是( )OA OB OC A. B.OA OB C. D. 或OC OA OB 考点 空间向量基底的概念题点 11答案 C解析 a b 且 a， b 不共线，OC 12 12 a， b， 共面， 与 a， b 不能构成一组空间基底OC OC 4已知 A(3,4,5)， B(0,2,1)， O(0,0,0)，若 ，则 C 的坐标是( )OC 25AB A. B.(65， 45， 85) (65， 45，
20、 85)C. D.(65， 45， 85) (65， 45， 85)考点 空间向量的正交分解题点 向量的坐标答案 A解析 设点 C 坐标为( x， y， z)，则 ( x， y， z)OC 又 (3，2，4)， ，AB OC 25AB x ， y ， z .65 45 855 a， b， c为空间的一个基底，且存在实数 x， y， z 使得 xa yb zc0，则 x， y， z的值分别为( )A0,0,1 B0,0,0C1,0,1 D0,1,0考点 空间向量基底的概念题点 空间向量基底的概念答案 B解析 若 x， y， z 中存在一个不为 0 的数，不妨设 x0，则 a b c， a， b，
21、 c 共yx zx面这与 a， b， c是基底矛盾，故 x y z0.6设 a， b， c 是三个不共面向量，现从 a b， a b c 中选出一个使其与 a， b 构成空间的一个基底，则可以选择的是( )A仅 B仅C D不确定考点 空间向量基底的概念题点 空间向量基底的概念答案 B12解析 对于 a b 与 a， b 共面， a b 与 a， b 不能构成空间的一个基底对于 a b c 与 a， b 不共面， a b c 与 a， b 构成空间的一个基底7设 O-ABC 是四面体， G1是 ABC 的重心， G 是 OG1上的一点，且 OG3 GG1，若 x y z ，则( x， y， z)
22、为( )OG OA OB OC A. B.(14， 14， 14) (34， 34， 34)C. D.(13， 13， 13) (23， 23， 23)考点 空间向量的正交分解题点 向量的坐标答案 A解析 如图所示，连接 AG1交 BC 于点 E，则点 E 为 BC 的中点， ( )AE 12AB AC ( 2 )，12OB OA OC ( 2 )，AG1- 23AE 13OB OA OC 3 3( )，OG GG1- OG1- OG ( )OG 34OG1- 34OA AG1- 34(OA 13OB 23OA 13OC ) ，故选 A.14OA 14OB 14OC 二、填空题8.如图所示，在
23、长方体 ABCD A1B1C1D1中建立空间直角坐标系已知AB AD2， BB11，则 的坐标为_， 的坐标为AD1- AC1- _考点 空间向量的正交分解题点 向量的坐标答案 (0,2,1) (2,2,1)解析 根据已建立的空间直角坐标系，知 A(0,0,0)， C1(2,2,1)， D1(0,2,1)，则 的坐AD1- 13标为(0,2,1)， 的坐标为(2,2,1)AC1- 9在四面体 O ABC 中， a， b， c， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，则OA OB OC _.(用 a， b， c 表示)OE 考点 空间向量基底的概念题点 空间向量基本定理答案 a b c1
24、2 14 14解析 ( )OE OA 12AD OA 12 12AB AC ( )OA 14OB OA OC OA a b c.12OA 14OB 14OC 12 14 1410若四边形 ABCD 为平行四边形，且 A(4,1,3)， B(2，5,1)， C(3,7，5)，则顶点 D的坐标为_考点 空间向量的正交分解题点 向量的坐标答案 (5,13，3)解析 由四边形 ABCD 是平行四边形知 ，AD BC 设 D(x， y， z)，则 ( x4， y1， z3)， (1,12，6)，AD BC 所以Error! 解得Error!即 D 点坐标为(5,13，3)三、解答题11.如图所示，正方体
25、 OABC O A B C，且 a， b， c.OA OC OO- (1)用 a， b， c 表示向量 ， ；OB- AC- (2)设 G， H 分别是侧面 BB C C 和 O A B C的中心，用 a， b， c 表示 .GH 考点 空间向量基底的概念题点 空间向量基本定理解 (1) OB- OB BB- a b c.OA OC OO- 14 AC- AC CC- AB AO AA- b c a.OC OO- OA (2) GH GO OH OG OH ( ) ( )12OB- OC 12OB- OO- (a b c b) (a b c c) (c b)12 12 1212.已知 ABCD
26、 A1B1C1D1是棱长为 2 的正方体， E， F 分别为 BB1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出 ， ，DB1- DE 的坐标DF 考点 空间向量的正交分解题点 空间向量的坐标解 设 x， y， z 轴的单位向量分别为 e1， e2， e3，其方向与各轴的正方向相同，则 2 e12 e22 e3，DB1- DA AB BB1- (2,2,2)DB1- 2 e12 e2 e3，DE DA AB BE (2,2,1) e2， (0,1,0)DE DF DF 13在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别在 B1B 和 D1D 上，且 BE BB1， DF
27、DD1.13 23(1)证明： A， E， C1， F 四点共面；(2)若 x y z ，求 x y z 的值EF AB AD AA1- 考点 空间向量基底的概念题点 空间向量的基本定理(1)证明 因为 AC1- AB AD AA1- AB AD 13AA1- 23AA1- (AB 13AA1- ) (AD 23AA1- )( )( ) ，AB BE AD DF AE AF 所以 A， E， C1， F 四点共面15(2)解 因为 ( )EF AF AE AD DF AB BE ，AD 23DD1- AB 13BB1- AB AD 13AA1- 所以 x1， y1， z ，所以 x y z .
28、13 13四、探究与拓展14已知四面体 ABCD 中， a2 c， 5 a6 b8 c， AC， BD 的中点分别为 E， F，则AB CD _.EF 考点 空间向量基底的概念题点 空间向量基本定理答案 3 a3 b5 c解析 如图所示，取 BC 的中点 G，连接 EG， FG，则 EF GF GE 12CD 12BA 12CD 12AB (5a6 b8 c) (a2 c)3 a3 b5 c.12 1215已知正四面体 ABCD 的棱长为 1，试建立恰当的坐标系并表示出向量 ， ， 的坐AB AC AD 标考点 空间向量的正交分解题点 向量的坐标解 过点 A 作 AG 垂直平面 BCD 于点
29、G，所以 G 为 BCD 的中心，过点 G 作 GF CD，延长 BG 交 CD 于点 E，则 E 为 CD 的中点以 G 为坐标原点， GF， GE， GA 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Gxyz，因为 BCD 的边长为 1，所以 BE ， GE ，又 ，32 36 GFCE 23所以 GF ，又 BG ，23 12 13 33所以 AG .12 (33)2 6316设单位正交基底为 e1， e2， e3，则 e2 e3 ，AB GB GA 33 63 (0， 33， 63) AC GC GA GE EC GA e2 e1 e3 ，36 12 63 (12， 36， 63) AD GD GA GE ED GA e2 e1 e3 .36 12 63 ( 12， 36， 63)
