湖北省襄阳市第四中学2017届高三七月第二周周考试题（全科）.zip

1湖北省襄阳市第四中学 2017 届高三理综七月第二周周考试题（扫描版）23456789101112131415161718192021221湖北省襄阳市襄阳四中 2017 届高三七月第二周周考数学（理科）试题（7.20）时间：120 分钟 分值 150 分第 I 卷（选择题共 60 分） 一、选择题（本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1．已知集合 ，集合 ，则（ 1|,1MyxRx2|30Nx）A． B．NRCNC． D．R2．复数 z 为纯虚数，若 （为虚数单位） ，则实数 的值为（ ）3izaiaA．﹣3 B．3 C．﹣ D．3．下列函数中，既是偶函数，又在（0， ）上是单调减函数的是（ ）A． B． 2xy12yxC． D．ln1cos4．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n 的比值 ＝（ ）mA．1 B． C． D．1329385．给出下列命题，其中真命题的个数是( )①存在 ，使得 成立;0xR007sincosin24x②对于任意的三个平面向量 、 、 ，总有 成立;ab()()abc③相关系数 ( )， 值越大，变量之间的线性相关程度越高.r|1|rA．0 B．1 C．2 D．36．由曲线 ，直线 及 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）xyxy2A． B． C．4 D．63163107．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的所有棱中最长的是（ ）A． B． C． D．58．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 k的值是（ ）A． 4 B． 5 C． 6 D． 79．将 函 数 f（ x） ＝ 3sin（ 4x＋ ） 图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍 ， 再 向 右 平 移6个 单 位 长 度 ， 得 到 函 数 y＝ g（ x） 的 图 象 ． 则 y＝ g（ x） 图 象 的 一 条 对 称 轴 是 （ ）6A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝12 3310．过双曲线21(0,)yab的右顶点 A作斜率为 1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 ,BC，若 ,三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．321023311．已知变量 x，y 满足约束条件 142yx，则目标函数 z＝3x－y 的取值范围是A． 623-， B． -3， C． 6,- D． 236-，12．已知函数 ，若函数 有且只有两个零点，则21,0()ln()xf()Fxfkxk 的取值范围为（ ）A． B． C． D．(0,1)1(0,)21(,)2(1,)第 II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共 4 个小题，每题 5 分，满分 20 分）13．设 0(sinco)xd，若 ，则a 82108)1( xaxax= ．821014．在直径 AB＝2 的圆上有长度为 1 的动弦 CD，则 的最大值是 ．ACBD15．已知直三棱柱 的 6 个顶点都在球 的球面上,若 ,ABCO34AC，,AB,则球 的表面积为________．12O16． 3,2,45,=abBA中 ， 则 _________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．共 70 分.17． （本题 12 分）已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足：nanS（其中 为常数） ．2*11,nnSkatN≥ ,kt（1）若 ， ，数列 是等差数列，求 的值；4na1a（2）若数列 是等比数列，求证： ．nakt18． （本题 12 分）某单位员工 人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第组50，第 组 ,第 组 ,第 组 ,第 组 ，得到的频率5,30334045,504分布直方图如图所示.（1）下表是年龄的频率分布表，求正整数 的值；,ab区间 25,30,3540,45,0人数 1b（2）现在要从年龄较小的第 组中用分层抽样的方法抽取 人 ，年龄在第 组抽1,261,23取的员工的人数分别是多少？（3） 在（2） 的前提下，从这 人中随机抽取 人参加社区宣传交流活动，求至少有人62年龄在第 组的概率.19． （本题 12 分）如图，在梯形 ABCD中, ∥ , aCBDA,60ABC,平面 FE平面 ,四边形 FE是矩形, ,点 M在线段EF上．（Ⅰ）求证: BC平面 AFE；（Ⅱ）当 EM为何值时, ∥平面 BD?证明你的结论；（Ⅲ）求二面角 的平面角的余弦值．20． （本题 12 分）已知椭圆 的离心率为 ，且 a2=2b．（1）求椭圆的方程；（2）直线 l：x﹣y+m=0 与椭圆交于 A，B 两点，是否存在实数 m，使线段 AB 的中点在圆x2+y2=5 上，若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由．21． （本题 12 分）函数 其图像与 轴交于 两点，),()(Raxefx)0,(,21xBA且 .21（1）求 的取值范围；a（2）证明： ；（ 为 的导函数；）0)('21xf )('xff5（3）设点 C 在函数 图像上，且△ABC 为等腰直角三角形，记 求)(xf ,12tx的值.)1(ta）（请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑．22． （本题 10 分）选修 4—1: 几何证明选讲如图， 是圆 外一点， 是圆 的切线， 为切点，割线 与圆 交于 ， ，POPAOAPBCOC，AC2为 中点， 的延长线交圆 于点 ，证明：DE OPEDCBA（Ⅰ） ；（Ⅱ） ．2PA23． （本小题满分 10 分） 【选修 4 一 4：坐标系与参数方程】已知在直角坐标系 x0y 中，曲线 ： （ 为参数） ，在以平面直角坐1C3cosinxy标系的原点）为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，曲线 ：2C．sin()16（1）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；C2C（2）曲线 上恰好存在三个不同的点到曲线 的距离相等，分别求这三个点的极坐标．1 224． （本题 10 分）选修 4—5: 不等式选讲已知 ，且 ．,abcR221abc（Ⅰ）求证： 3（Ⅱ）若不等式 对一切实数 恒成立，求 的取值范围．21xc,abcx参考答案61．D【解析】试题分析： ；11[3,)(,1]yxMx，因此 ，2|30[,]N{1,}N， ， ，故选 D.(,)(,1)RC(,3)RCR考点：集合包含关系【名师点睛】本题重点考查集合间关系，容易出错的地方是审错题意，由求函数值域，易忽视小于零的情况，导致错求集合 M.属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合题要关注区间端点开与闭，强化对集合关系正确的理解.2．D【解析】试题分析：设复数 , ，化为 ，即0zbi3izai3ibai， ，3bia1故选 D. 3．A【解析】试题分析：B，C 是非奇非偶函数，D 不是恒单调递减，故选 A．考点：函数单调性与奇偶性．4．D【解析】试题分析：由茎叶图可知乙的中位数是 ，甲、乙两组数据中位数相同所以324，所以甲的平均数为 ，甲、乙两组数据平均数也相同，所以3m379解得 ，所以 ＝4208n8mn8考点：由茎叶图求中位数及平均数．5．B【解析】试题分析：因为 ， ，故①为sinco2sin24xx7sin2si4假命题，对于②向量的数量积不满足结合律，故为假命题，③由相关性判断方法可知，为真命题，综上可知，真命题的个数为，故选Ｂ．考点：命题真假判断．6．A【解析】7试题分析：由 解得 ，故面积为2yx4,2y．34 400 163|xdx考点：定积分．7．B【解析】试题分析：本题只要画出原几何体，理清位置及数量关系，由勾股定理可得答案．解：由三视图可知原几何体为三棱锥，其中底面△ABC 为俯视图中的直角三角形，∠BAC 为直角，其中 AC=3，AB=4，BC=5，PB⊥底面 ABC，且 PB=4，由以上条件可知，∠PBC 为直角，最长的棱为 PC，在直角三角形 PBC 中，由勾股定理得， ，故选：B考点：由三视图求面积、体积．8．A【解析】试题分析：根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：是否继续循环 S K循环前/0 0第一圈 是 1 1第二圈 是 3 2第三圈 是 11 3第四圈 是 2059 4第五圈 否∴最终输出结果 k=4，故答案为 A．考点：程序框图．9．C【解析】试题分析：横坐标伸长到原来的两倍，得到 ，再向右移动 得到3sin(2)6yx68，注意到 ，故对称轴为 ．3sin(2)6yxsin(2)1363x考点：三角函数图象变换．10．C【解析】由题意， ．双曲线的渐近线方程为 ．(,0)Aabyxa由 ，解得 ；由 ，解得 ．()yxba2Bxb()2C由题意 ，即 ，整理得 ．2BACx22()aa3ba所以 ，故 ．故选 C．10c10e【命题意图】本题主要考查双曲线的性质以及直线方程、等比数列等基础知识，考查基本的运算能力等．11．A【解析】试题分析：线性约束条件对应的可行域为直线 围成的区2,4,1xyxy域，顶点为 ，目标函数 z＝3x－y 在点 处取得最小值 ，在10,2,31,332点 处取得最大值 62,3z考点：线性规划问题12．C【解析】试题分析： ，画出函数图象如下图所示．令()0,()Fxfkxfkx，这是双曲线的一支，其渐近线方程为 ．由图象可221,41yy 12yx知，渐近线 与 图象只有一个交点．令 ，xf ' '0ln(),,|xy故函数 在 处的切线方程为 ．从而 的 的取值范围是ln()y0, xfk．1(,)29考点：1．函数导数；2．零点问题．【思路点晴】零点问题一种解法是变为两个函数图象的交点，如本题中的的零点问题，转化为 左右两边函数图象有两个交点．我们只()Fxfkx()fxk需要画出函数图象，就可以解决这个问题．在函数的第一段中，，由此可知该图象为双曲线的一支，其渐近线方程为221,41yy．另一段求取其过 的切线方程， 的范围就在这两条直接的斜率之间．x0,k13． 【解析】试题分析：根据题意可知， ，所以00(sinco)(csin)|axdx  2．8210a881)21考点：定积分，二项展开式．14．【解析】试题分析：以 的中点为原点， 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系 ，如图AAxxy所示：连结 和 ，则 ，设 （ ） ，则 ，CDC3021,0A， ， ，所以1,0cos,incos,sin310， ，所以Ccos1,inADcos1,sin33 1Dicoscos2，因为 ，所以1311cosinsi226202，所以当 ，即 时，6634，所以答案应填： ．max1CD2A 12考点：1、任意角的三角函数；2、平面向量的坐标运算；3、两角和与差的余弦公式；4、辅助角公式；5、三角函数的图象与性质 ．15． 69【解析】试题分析：由下图可知，球心在 的位置，球的半径为 ，O2514696R故表面积为 ．24169R考点：球的内接几何体．【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为 ，常见的图形有正三角形，直角三角形，矩形，x它们的外心可用其几何性质求；而其它不规则图形的外心，可利用正弦定理来求．若长方体长宽高分别为 则其体对角线长为；长方体的外接球球心是其体对角线中点．直棱,abc柱；有一条棱垂直于一个面的棱锥，设高为 其外接球半径 公式秒杀公式hR．2hRx16． 3或【解析】试题分析：据正弦定理可求出角 B 的正弦值，进而得到其角度值．112345baB， ， ，根据正弦定理可得：23sinAsin＝或 2.考点：正弦定理．17． （1） ；（2）证明见解析．15a【解析】试题分析：（1）已知条件是 ，这种问题一般都是再写一次即2114nnSa，两式相减变形后可得 ，注意这里有 ，但由于数列2114nnSa n 2n是等差数列，因此也有 ，代入已知 可求得 ；（2）与{}21 2114a1a（1）相同方法得 ，由数列 是等比数列，可设21()nnnakta≥ n，代入化简得 ，下面对此式分析，首先 ，naq2()1tqk≥ 0q， 不是常 数列，这样此式对 恒成立，必有 ，恒等式变为{}n 0t，不能得出什么有用结论，回到已知条件，已知变为 ，此式10k 1nSka中， ，那么只能有 ，命题得证．,naS0k试题解析：（1）由题意知， ，211(*)4nnSa，2114nnSa两式相减，得： ，221()4nnaa≥整理，得： ，11()()0()nn≥， ，0na2a≥数列 是等差数列， ，21a由 得： ， ，(*)124a5， ；105（2）由 得 ，211nnSkat21nnSkat两式相减，得： ，1()t≥12设等比数列 的公比为 ， ，naq2nnnaktqat，由已知，可知 ，2(1)1(2)tqk≥ 0， 不是常数列， ；na0t，而 且 ， ， 1nSkn1nSk．t考点：等差数列与等比数列的定义．18． （1） ， （2）人，人， 人. （3） 0a5b4145【解析】试题分析：（1）由频数等于总数乘以频率，而频率等于纵坐标乘以组距，因此， （2）由分层抽样知，按比例抽取：第，.80.502 组的人数为 ，第 组的人数为 （3） 从这 人中随机抽取 人561336462共有 15 种方法，其中年龄没人在第 组的有 1 种方法，所以至少有人年龄在第 组有 143种方法，从而所求概率为145试题解析：解：（1）由题设可知， ， .0.8520a.250b（2）因为第 组共有 人，利用分层抽样在 名员工中抽取 名,232336员工，每组抽取人数分别为：第组的人数为 ，第 组的人数为 ，610210第 组的人数为 .320643所以第 组分别抽取人，人， 人.1,（3） 设第组的位员工为 ，第 组的位员工为 ，第 组的 位员工为 ，A2B341234,,C则从六位员工为员工中的两位员工有：12341234,,,,,,,,,ABCCB共 种可能.123142234513其中 人年龄都不在第 组的有： ，共种可能.23,AB所以至少有人年龄在第 组的概率为 .145考点：分层抽样，古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法（1）列举法.（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.（4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.19． （Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ） ．3EMa10【解析】试题分析：（Ⅰ）根据已知条件，易得在等腰梯形 中， ；又 平面ABCDB平面 ，交线为 ， 平面 FE；（Ⅱ）设 ，ACFEBDACACDN连接 ，当 为 中点时， ，从而 ；（Ⅲ）以 为坐MF/N/平 面标原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，求出平面 和平面,,xyz F的法向量，从而求得 ．DEF10cos试题解析：（Ⅰ）在梯形 ABC中， D/， 60,ABCaA四边形 是等腰梯形，且 120,30D 9DC又 平面 FE平面 B，交线为 ， 平面 FE（Ⅱ）当 aEM3时， /A平面 D， 在梯形 ABC中，设 N，连接 F，则 2:1:NAC ，而 aF32:1:E， A/， 四边形 M是平行四边形， NFM/又NF平面 BD， M平面 BD/平面 BDF 分14NDCA BEFM（Ⅲ） 由(Ⅰ)知,以点 为原点， CFA,所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则 )0(C, ),(aB， )0,3(a， ),(a， ),03(aE,F,EF),23(aD平面 BEF 的法向量 ，平面 EFD 的法向量为 =（0，-2，1） ， 1,0(mn所以 0||,cosn又∵二面角 B-EF-D 的平面角为锐角，即 DEFB的的余弦值为 10．考点：空间向量与立体几何．20． （1） ；（2）实数 m 不存在，理由见解析【解析】试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和 a，b，c 的关系，解方程可得 a，b，进而得到椭圆方程；（2）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，线段 AB 的中点为 M（x 0，y 0） ．联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得 M 的坐标，代入圆的方程，解方程可得 m，进而判断15不存在．解：（1）由题意得 e= ，a 2=2b，a 2﹣b 2=c2，解得 a= ，b=c=1故椭圆的方程为 ；（2）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，线段 AB 的中点为 M（x 0，y 0） ．联立直线 y=x+m 与椭圆的方程得，即 3x2+2mx+m2﹣2=0，△=（2m） 2﹣4×3×（m 2﹣2）＞0，即 m2＜3，x1+x2=﹣ ，所以 x0= ，y 0=x0+m= ，即 M（﹣， ） ．又因为 M 点在圆 x2+y2=5 上，可得（﹣ ）2 +（ ） 2=5，解得 m=±3 与 m2＜3 矛盾．故实数 m 不存在．考点：椭圆的简单性质 ．21． （1） ；（2）证明见解析；（3） .ae2【解析】试题分析：（1） ,当 时，函数单调递增，不符合题意；当 时，'xfea00a要函数图像与 轴有两个交点，则需要极小值小于零且区间端点函数值大于零，由此可求x得 ；（2）先将 两点的坐标代入函数中，求出 的值，然后求出 的ae,ABa12'()fx表达式，利用导数证明这个表达式是单调递减的，由此可证明 ；（3）根据12'()0fx已知条件有 ，利用等腰三角形求出 的坐标，代入函数解析式，1212xeaxC化简后求得 .()t（ ）试题解析：（1）∵f（x）=e x﹣ax+a，∴ =ex﹣a，f若 a≤0，则 ＞0，则函数 f（x）是单调增函数，这与题设矛盾．f16∴a＞0，令 =0，则 x=lna，当 ＜0 时， x＜lna，f（x）单调减，fx f当 ＞0 时，x＞lna，f（x）是单调增函数，于是当 x=lna 时，f（x）取得极小值，f∵函数 f（x）=e x﹣ax+a（a∈R）的图象与 x 轴交于两点 A（x 1，0） ，B（x 2，0） （x 1＜x 2） ，∴f（lna）=a（2﹣lna）＜0，即 a＞e 2，此时，存在 1＜lna，f（1）=e＞0，存在3lna＞lna，f（3lna）=a 3﹣3alna+a＞a 3﹣3a 2+a＞0，又由 f（x）在（﹣∞，lna）及（lna，+∞）上的单调性及曲线在 R 上不间断，可知 a＞e 2为所求取值范围．（2）∵ ，∴两式相减得 ．记 （ ） ，120xea21x1s0则 ，1212112 xxx sef es 设 g（s）=2s﹣（e s﹣e ﹣s ） ，则 g'（s）=2﹣（e s+e﹣s ）＜0，∴g（s）是单调减函数，则有 g（s）＜g（0）=0，而 ，∴ ．120x12xf又 f'（x）=e x﹣a 是单调增函数，且 ∴ ．1212120fx（3）依题意有 ，则 ⇒xi＞1（i=1，2） ．0iiea0ixiae于是 ，在等腰三角形 ABC 中，显然 C=90°，∴1212xx，0,即 y0=f（x 0）＜0，由直角三角形斜边的中线性质，可知 ，∴210xy，即 ，21012 2112xaex∴ ，112120ax即 211212 0xax∵x 1﹣1≠0，则 ，又 ，22111xax21xt∴ ，即 ，∴（a﹣1） （t﹣1）=2．220tttat考点：函数导数与不等式.17【方法点晴】这是一个综合性很强的题目，解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分 类讨论和数形结合思想的应用．将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．简单的分类讨论分类标准主要根据需要来制定.22． （Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）连接 ，则 ，故 ，根据弦切角等于同,ABCPDAPD弦所对的圆周角，可退出 ，所以 ；（Ⅱ）由切割线定理得：EBEC，由相交弦定理得： ，代 入已知条件，化简得PA2 ．2DEB试题解析：（Ⅰ）证明：连接 ， ,由题设知 ，ACPD故 因为： ， ，PAB由弦切角等于同弦所对的圆周角： ，所以： ，从而弧 弧 ，因此： BDEEC OPEDCBA（Ⅱ）由切割线定理得： ，因为 ，PBA2 DCPA所以： ，PDC2由相交弦定理得： DC所以： 2EA考点：几何证明选讲．23． （1） ， ；（2） ， ， ．24xy30xy1π6， 52， π3，【解析】试题分析：本题主要考查参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离、两直线间的距离等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先将曲线 的方程平方，利用平方关系，消去参数 ，得到1C曲线 的普通方程，将曲线 的方程利用两角和的正弦公式展开，再利用 ，1C2 siny代换，得到曲线 的直角坐标方程；第二问，结合第一问知，曲线 为圆，曲cosx 1C线 为直线，画出图形，通过图形分析得这三个点分别在平行于直线 的两条直线 ，2 2l18上，通过直线的位置得到直线 和 直线 的方程，再与圆的方程联立，得到三个点2l 1l2lE、F、G 的坐标．试题解析：（1）由题意，得2223cosin3sicoixy，，∴曲线 的普通方程为 ．1C24∵曲线 ： ，2π31sinsincos62∴曲线 的直角坐标方程为 ．2C0xy（2）∵曲线 为圆 ，圆心 ，半径为 ，曲线 为直线，111(,)C2r2C∴圆心 C1到直线 的距离 ，2d∵圆 上恰好存在三个不同的点到直线 的距离相等，1 2∴这三个点分别在平行于直线 的两条直线 ， 上，2C1l2如图所示，设 与圆 相交于点 E，F，1l1C设 与圆 相切于点 G，2l∴直线 ， 分别与直线 的距离为 ，1l2221rd∴ ： ，l30xy： ．2l4由 得 或230xy，， 31xy， 3xy，，19即 ， ；(31)E， (31)F，由 得 即 ，240xy， ， xy， ， (13)G，∴E，F，G 这三个点的极坐标分别为 ， ， ．π26， 5， π23，考点：参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离、两直线间的距离．【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线 C 的普通方程 化为参数方程的关(,)0Fxy键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．24． （Ⅰ）证 明见解析；（Ⅱ ） ．3(,][,)2【解析】试题分析：（Ⅰ）由于 222()()abcbcabcabc，所以 ；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知不等式222( 3abc 3，利用零点分段法去绝对值，可求得 的取值范围是|1||3xx．(,][,)2试题解析：（Ⅰ） 因为 ，且 ，所以,abcR221abc22222 22()()()()3abcaabccc所以 当且仅当 时取得等号2()3||abab方法 2：由柯西不等式 222()(1)()3||3ccabc （Ⅱ）由（Ⅰ）可知若不等式 ，|1||x20|1||xy12x从而解得 3(,][,)考点：不等式选讲．1湖北省襄阳市襄阳四中 2017 届高三七月 第二周周考数学（文科）试题（7.20）时间：120 分钟 分值 150 分第 I 卷（选择题共 60 分） 一、选择题（本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1．已知复数 31iza是纯虚数，则实数 a＝（ ）A．3 B．﹣3 C． 13 D． 132．已知集合 ，则 为（ ）|2,0,|lgxMyNxyMNA． B．0,1C． D．,3．无穷等比数列 中， “ ”是“数列 为递减数列”的（ ）na12anaA．充分而不必要条件 B．充分必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形，令边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩形面积小于 32cm2的概率为( )A. 23 B.13 C. 16 D. 455．为了解凯里地区的中小学生视力情况，拟从凯里地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到凯里地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 （ ）A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样 D．系统抽样6．如图为一个求 20 个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为（ ）A． B． C． D．20i20i20i20i27．下列函数是偶函数，且在 上单调递增的是0,1A. B.cos2yx2cosyxC. D. in8．下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y=10lgx的定义域和值域相同的是（A）y=x （B）y=lgx （C）y=2 x （D）1yx9．已知函数 在 上有两个零点，则 的取值范围为（ sin26fxm0,2m）A． B． C． D．1,21,21,2,10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ） 1112（A） （B） （C） （D）82121421511．已知二次函数 、 的两个零点分别在 与 内，则()(fxmn)R(0,),2的取值范围是（ ）22(1)(mnA． B． C． D．[,5],5)[2,](,5)12．平面直角坐标系中，点 、 是方程PQ表示的曲线 上不同两点，且以 为2222778xyxyCPQ直径的圆过坐标原点 ，则 到直线 的距离为（ ）O3A．2 B． C．3 D．65125第 II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共 4 个小题，每题 5 分，满分 20 分）13．已知定义在 上的偶函数满足： ，且当 时， 单R(4)(2)fxf[0,2]x()yfx调递减，给出以下四个命题：① ；(2)0f② 为函 数 图象的一条对称轴；4x()yfx③ 在 单调递增；()yf[8,10]④若方程 在 上的两根为 、 ，则fxm6,21x2128.x以上命题中所有正确命题的序号为___________．14．若函数 在其定义域内的一个子区间 内存在极值，则实21()lnfx(,1)a数 的取值范围 ．a15．有两个等差数列 2，6，10，…，190，及 2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为___________．16．已知四棱椎 的底面是边长为 6 的正方形，且该四棱椎的体积为 96，则点PABCD到面 的距离是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．共 70 分.17． （本题 12 分）在 ABC 中，记角 A，B，C 的对边为 a，b，c，角 A 为锐角，设向量，且 ．(cos,in)mA(cos,in)12m（1）求角 A 的大小及向量 与 的夹角；（2）若 ，求 ABC 面积的最大值．5a18． （本题 12 分） （本小题 8 分）全国人民代表大会在北京召开，为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了 16 名男记者和 14 名女记者担任对外翻译工作．调查发现，男、女记者中分别有 10 人和 6 人会俄语．（1）根据以上数据完成以下 列联表：2会俄语 不会俄 语 总计男女 4总计（2）能否在犯错的概率不超过 0.10 的前提下认为性别与会俄语有关？19． （本题 12 分） 是 的直径，点 是 上的动点，过动点 的直线 垂直于ABO:CO:CV所在的平面， 分别是 的中点．O:,DE,V（1）试判断直线 与平面 的位置关系，并说明理由 ；DEVBC（2）若已知 当三棱锥 体积 最大时，求点 到面 的距离．2,AACVBA20． （本题 12 分）已知抛物线 C: 2742xy, 过抛物线 C 上点 M 且与 M 处的切线垂直的直线称为抛物线 C 在点 M 的法线。⑴若抛物线 C 在点 M 的法线的斜率为 1，求点 M 的坐标 0,yx；⑵设 Pa,2为 C 对称轴上的一点，在 C 上是否存在点，使得 C 在该点的法线通过点 P。若有，求出这些点，以及 C 在这些点的法线方程；若没有，请说明理由。21． （本题 12 分）某 商品每件成本 5 元，售价 14 元，每星期卖出 75 件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数 与商品单价的降低值 （单位：元，mx）的平方成正比，已知商品单价降低 1 元时，一星期多卖出 5 件.90x（1）将一星期的商品销售利润 表示成 的函数；yx（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑．22． （本题 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图， 的外接圆为 ，延长 至 ，再延长 至 ，使得ABCCBQAP．2Q5（1）求证： 为 的切线；QA（2）若 恰好为 的平分线， ，求 的长度．CBP6,12ABCQA23． （本题 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为 为参数)，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极tyx(213x轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 ．C)6sin(4（1）求圆 的直角坐标方程；（2）若 是直线与圆面 的公共点，求 的取值范围．),(yxP)i(yx324． （本题 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函数 ．235fx（1）求不等式 的解集；4f（2）若 的解集不是空集，求实数 的取值范围．xaa参考答案1．A【解析】试题分析：由条件， ，是虚数，所以 ，所以23131iaaizi 2301a6，故选 A.3a考点：复数的运算与复数的概念.2．B【解析】试题分析： |,0|1,|lg|0,|1xMyyNxyxMNx，故选 B.考点：集合的运算.3．C【解析】试题分析：若公比 ,尽管 ,则数列 为递减数列不成立；反之,若,则对任意0q12ana正整数都有 ,则取 也必有 成立,应选 C.1na12考点：充分必要条件．4．A【解析】试题分析：令 ,则 .矩形面积为 .当,012Cx12CBx12Sx时解得 或 ,即 或 .则所求概率为123Sx48x048.故 A 正确.(40)8)P考点：几何概型概率.5．C【解析】试题分析：本题总体是由差异明显的三个学段组成的，因此选择按学段分层抽样．考点：分层抽样．6．A【解析】试题分析：从所给算法流程的伪代码语言可以看出:当 时,运算程序仍在继续,当20i时,运算程序就结束了,所以应选 A.20i考点：算法流程的伪代码语言及理解．7．D【解析】试题分析：因为 是奇函数，所以选项 A 不正确；cos=2yxsinx因为 是偶函数，其单调递增区间是 ，214,24kkz所以选项 B 不正确；是偶函数，在 上单调递减，所以选项 C 不正大确；2yx0,7因为 是偶函数，且在区间 上为增函数，所以选项sinyxsinix0,2D 正确.考点：1、三角函数的图象和性质；2、三角函数的诱导公式.8．D【解析】试题分析： ，定义域与值域均为 ，只有 D 满足，故选 D．lg10xy0,【考点】 函数的定义域、值域，对数的计算【名师点睛】对于基本初等函数的定义域、值域问题 ，应熟记图象，运用数形结合思想求解.9．B【解析】试题分析：因 ,故 ,由于函数 在20x656x )62sin(xy上单调递增；在 上单调递减,且 ,故当 时,]2,6[]5[ 1)5)(ff 1m函数 的图象与直线 有两个交点,应选 B.)(xfymy考点：三角函数的图象与性质．10．B【解析】试题分析：根据三视图可知，该几何体为一个直四棱柱，底面是直角梯形，两底边长分别为 ，高为，直四棱柱的高为 ，所以底面周长为 ，故该几1,222114何体的表面积为 ，故选 B．1(4)2考点：1．三视图；2．几何体的表面积．11．D【解析】试题分析：由题意得 ，即 ,画出可行域如图 ,不包含边(0)12ff01+n24mABC界， 的几何意义为：可行域内的点到点（-1，2）的距离的平方，故取2(1)()mn值范围是 .,58nmOm+n+1=02m+n+4=0（-3,2） (-1,2)。（-2，0 ） (-1,0)AB C考点：一元二次方程根的分布及线性规划12．D【解析】试题分析：由题设可得 ,注意到 ,由椭8)7()7( 22yxyx 72圆的定义可知动点 的轨迹 是以 焦点,长轴长为 的椭圆,,yMC)0(,21F8所以其标准方程为 .因为 是椭圆上点,且以 为直径的圆过坐标原点 ,9162xQPPQO所以 ,设 ,将这两点坐标代OQP )2sin(),2cos(),sin,co(21 rrr入 可得 , ,所以1962yx9629co16i2.即 也即 ,设原点 到直线 的距离21r1521r521rOPQ为 ,则 ,即 ,应选 D.dd22 21r考点：椭圆的标准方程和参数方程．【易错点晴】本题以方程的形式为背景考查的是圆锥曲线的几何性质与运用.解答本题的难点是如何建立两个动点 的坐标的形式,将两点之间的距离表示出来,以便求坐标原点到QP这条直线的距离.解答时充分利用题设条件,先运用椭圆的定义将其标准方程求出来,再将两动点 的坐标巧妙地设为 ,这也是P )2sin(),2cos(),sin,co(211 rrQr解答本题的关键之所在.进而将这两点的坐标代入椭圆的方程并进行化简求得 的长OQP9度之间的关系 .最后运用等积法求出了坐标原点 到直线 的距离.12521r OPQ13．①②④【解析】试题分析：∵ 是定义在 R 上的偶函数，∴ ，可得 ，在()fx()fxf(2)ff中，令 ，得 ，(4)2fx2x2()∴ ，2(0f∴ ，∴函数 是周期为 4 的周期函数，又当 时，)fx()fx[0,2]x单调递减，结合函数的奇偶性画出函数 的简图，如图所示，从图中可以得(y ()fx出；② 为函数 图象的一条对称轴；4x()yfx③函数 在 单调递减；()f[8,10]④若方程 在 上的两根为 ，则 ，xm6212,x128x故答案为：①②④．考点：命题的真假判断与应用、函数单调性的判断与证明；函数奇偶性．14． )23,1[【解析】试题分析：函数的定义域为 ，令 解得 或),0(0214)(xxf 21x（不在定义域内舍） ，所以要使函数在子区间（a-1，a+1）内存在极值等价于21x10即 ，解得 ，答案为 ．),0()1,(2a210a23a)23,1[考点：导数与极值15． 1472【解析】试题分析：因数列 的首项为 公差为 ,故通项为 ;因数列190,6,24)1(42nan的首项为 公差为 ,故 ,由题设可得 ,故20,148, )1(6mbn 3,即数列 中的奇数项构成新的数列,首项为 公差为 ,等差35m4,82数列,其和为 .721561S考点：等差数列的定义和通项公式．【易错点晴】数列的本质是将数按一定的顺序进行排列,本题考查的是将两个数列中的相同项进行从新组合而得一个新的数列,求的问题是这个新数列的各项之和.求解时是探求两个数列的项数 之间的关系.探求出其关系是 后,再对正整数 进行取值,从mn, 312nmmn而探究求出新数列中的新数的特征是第二个数列中的所有奇数项所组成的.于是运用等差数列的求和公式求出这个数列的各项之和.16．8【解析】试题分析：由体积公式 得 ，点 到面 的距离是 813VSh9638hPABCD考点：棱锥体积17． （1）， ；（2）6A,mn5()4【解析】试题分析：（1）由数量积的坐标表示得 ，根据221cosincos2nAA，求 A；（2）三角形 中，知道一边 和对角 ，利用余弦定理0BC5a6得关于 的等式，利用基本不等式和三角形面积公式 得 ABC 面积的最大,bc 1si2Sbc值．试题解析：（1） 22cosincosmnAA11因为角 为锐角，所以 ，A23A6根据 1||cos,mnmn,3(2)因为 ，5a6A得：22cosb5(23)bc15(3)sin4Sc即 面积的最大值为ABC(2)考点：1、平面向量数量积运算；2、余弦定理和三角形面积公式．18．详见解析【解析】试题分析：（1）根据要求填入数字；（2）首先根 据所给公式，代入 列联表中的数2字，计算 ,然后对照表，找到 下的数字 ，比较 与 的大小，如果大于2K1.0706.22k706.就是能认为有关，如果小于则不能认为有关.试题解析：（1）会俄语 不会俄语 总计男 10 6 16女 6 8 14总计 16 14 30（2）解：假设：是否会俄语与性别无关.由已知数据可求得.230(186)1.57206)(K所以在犯错的概率不超过 0.10 的前提下不能判断会俄语与性别有关考点：1.独立性检验；2. .列联表19． （1）证明见解析；（2） .5【解析】试题分析：（1）运用线面垂直的判定定理推证；（2）借助题设条件和基本不等式等知识求解.试题解析:（1）证明：∵ ，,VCAAB12∴ 面 ，ACVB∵ 分别为 中点，ED、 A、∴ ，/∴ 面 ．（说明：若只说明 与面 相交给 2 分）C（2）设 ，则 ，,bB24a，13Va∴ 当且仅当 时取等号232b∴体积最大时 ．ACB， 面积为 ，6VV5设所求的距离为 ，由等体积法知 ．d325=VdS考点：空间直线与平面的垂直关系及点 面距离的计算．【易错点晴】立体几何是高中数学的重要内容之一,也历届高考必考的题型之一.本题考查是空间的直线与平面的垂直问题和点与平面的距离的计算问题.解答时第一问充分借助已知条件与判定定理,探寻直线 与 平行,再推证 与平面 垂直即可.关 于第二问DEACDEVBC中的最值问题,解答时巧妙运用基本不等式,探求出三棱锥 的体积取得最大值时成A立的条件,然后运用等积法求出点 到平面 的距离.VB20．（1） （ ， 2）（2）略【解析】解：⑴函数 2742xy的导数 42/xy，点 0,y处切线的斜率 k0= 420x.∵过点 0,的法线斜率为1，∴ （ 0）= 1，解得 10， 0y。故点 M 的坐标为（ 1， 2） 。⑵设 M0,yx为 C 上一点，若 20，则 C 上点 M2,处的切线斜率 k=0,13过点 M21,的法线方程为 2x，次法线过点 Pa,2;若 0x，则过点 M0,y的法线方程为：00041xy。若法线过点 P a,2，则000241xx，即 a20。若 0a，则 x，从而 0ay，代入得 2ay， 02ax。若 ，与 0x矛盾，若 0，则无解。综上，当 a时，在 C 上有三点（ a2，1） ， （ a2，1）及21,，在该点的法线通过点 P，法线方程分别为 02ayx， 02ayx， 2x。当 0a时，在 C 上有一点1,，在该点的法线通过点 P，法线方程为 。21． （1） ；（2）当 即商品每件定价为 93254756yxx)90(x5x元时，可使一个星期的商品销售利润最大 .8may【解析】试题分析：（1）先写出多卖的商品数，则可计算出商品在一个星期的获利数，再依题意：“商品单价降低 1 元时，一星期多卖出 5 件”求出比例系数，即可得一个星期的商品销售利润表示成 的函数；（2）根据（1）中得到的函数，利用导数研究其极值，也就是求出x函数的极大值，从而得出定价为多少元时，能使一个星期的商品销售利润最大.试题解析：（1）依题意，设 ，由已知有 ，从而2kxm21k53 分25xm)57)(4(2xy7 分623x)90(14（2） 9 分)5(17590152  xxy由 得 ，由 得 或0y可知函数 在 上递减，在 递增，在 上递减 11 分y,,9,从而函数 取得最大值的可能位置为 或是0x5，675)0(80)(当 时， 13 分xmaxy答：商品每件定价为 9 元时，可使一个星期的商品销售利润最大 14 分.考点：1.函数模型及其应用；2.导数的实际应用.22． （1）证明见解析；（2） .8【解析】试题分析：（1）运用相似三角形和圆幂定理推证；（2）借助题设条件和圆幂定理求解.试题解析:（1）证明：∵ ，2QCABC∴ ，即 ，2QA于是 ，AB∴ ，QC:∴ ，根据弦切角定理的逆定理可得 为 的切线．QA（2）∵ 为 的切线，QA∴ ，而 恰好为 的平分线，PCBCBP∴ ，于是 ，12∴ ，①21又由 得 ，②QA::::6QA联合①②消掉 ，得 ．C8考点：圆中的有关定理及运用．23． （1） ；（2） ．0322yxy[,]【解析】15试题分析：（1）根据 ， ，再对极坐标方程作三角恒等变形，即可cosxsiny得到直角坐标方程；（2）利用直线的参数方程 可得到 ，tyx2133zxyt再根据直线过圆心，圆的半径是 ，即可求解的范围．2试题解析：（1）∵圆 的极坐标方程为 ，∴C)6sin(4，)co21sin3(4)6sin(42 又∵ ， ， ，∴ ，22yxcsiyxyx232∴圆 的普通方程为 ；（2）设 ，C032xz故圆 的 方程 ，4)()1(22yyyx∴圆 的圆心是 ，半径是 ，将 代入 得 ，)3,1(2tyx23yxz3tz又∵直线过 ，圆 的半径是 ，∴ ，∴ ，即 的),(Ct2tyx取值范围是 ．]2[考点：1．极坐标方程与直角方程的相互转化；2．直线的参数方程．24． （1） ；（2） .4|53x或 7a【解析】试题分析：（1）运用分类整合的方法去掉绝对值求解；（2）借助题设条件和不等式恒成立的等价条件求解.试题解析:（1）由题意： ．①38,52,xfx16∴ 解得： 或 ，4fx5x43所以不等式的解集为： ．|x或（2）由题意： ，minafx由（1）式可知： 时， 时 ， 时， ，537,52fx72f3x72fx∴ min72fx∴ 的范围为： ．a考点：绝对值不等式及有关知识的运用．