江苏省江阴市山观高级中学2016届高考数学一轮复习 函数 第1-10课时教学案（打包10套）.zip

- 1 -第 10 课时 函数模型及其应用1．抽象概括：研究实际问题中量，确定变量之间的主、被动关系，并用 x、 y 分别表示问题中的变量；2．建立函数模型：将变量 y 表示为 x 的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；3．求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示是：例 1. 如图所示，在矩形 ABCD 中，已知 AB=a，BC=b（b＜a）,在 AB，AD，CD，CB 上分别截取 AE，AH，CG，CF 都等于 x，当 x 为何值时，四边形 EFGH 的面积最大？并求出最大面积.解： 设四边形 EFGH 的面积为 S，则 S△AEH =S△CFG = 21x2,S△BEF =S△DGH = （a-x）（b-x），∴S=ab-2［ x212+ （a-x）（b-x）］=-2x2+（a+b）x=-2（x- )4ba2+ ,8)(2由图形知函数的定义域为{x|0＜x≤b}.又 0＜b＜a,∴0＜b＜ 2,若 ≤b,即 a≤3b 时，则当 x= 4a时，S 有最大值 8)(2ba;若 b＞b,即 a＞3b 时，S（x）在（0,b］上是增函数，此时当 x=b 时，S 有最大值为-2(b- 4ba)2+ 8)(2=ab-b2,综上可知，当 a≤3b 时，x= 4ba时，四边形面积 Smax= 8)(2,典型例题基础过关实际问题 函数模型抽象概括实际问题的解函数模型的解还原说明运用函数的性质- 2 -当 a＞3b 时，x=b 时，四边形面积 Smax=ab-b2.变式训练 1：某商人将进货单价为 8 元的某种商品按 10 元一个销售时，每天可卖出 100 个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨 1 元，销售量就减少 10 个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值. 解：设每个提价为 x 元（x≥0），利润为 y 元，每天销售总额为（10+x）（100-10x）元，进货总额为 8（100-10x）元，显然 100-10x＞0,即 x＜10,则 y=（10+x）（100-10x）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4) 2+360 (0≤x＜10).当 x=4 时，y 取得最大值，此时销售单价应为 14 元，最大利润为 360 元.例 2. 据气象中心观察和预测：发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间 t（h）的函数图象如图所示，过线段 OC 上一点 T（t，0）作横轴的垂线 l，梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t（h）内沙尘暴所经过的路程 s（km）.（1）当 t=4 时，求 s 的值；（2）将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若 N 城位于 M 地正南方向，且距 M 地 650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城？如果不会，请说明理由.解：（1）由图象可知：当 t=4 时，v=3×4=12,∴s= 2×4×12=24.（2）当 0≤t≤10 时，s= 21·t·3t= 23t2，当 10＜t≤20 时，s= ×10×30+30（t-10）=30t-150；当 20＜t≤35 时，s= 21×10×30+10×30+(t-20)×30- 21×(t-20)×2(t-20)=-t2+70t-550.综上可知 s=.35,20,570113,,22tttt(3)∵t∈［0，10］时，s max= 2×102=150＜650.t∈（10，20］时，s max=30×20-150=450＜650.∴当 t∈（20，35］时，令-t 2+70t-550=650.解得 t1=30,t2=40,∵20＜t≤35,∴t=30，所以沙尘暴发生 30 h 后将侵袭到 N 城.变式训练 2：某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为 0.5 万元，但每生产 100 台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25 万元.市场对此产品的年需求量为 500 台，销售的收入函数为 R（x）=5x- 2x（万元）(0≤x≤5)，其中 x 是产品售出的数量（单位：百台）.- 3 -（1）把利润表示为年产量的函数；（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？解：（1）当 x≤5 时，产品能售出 x 百台；当 x＞5 时，只能售出 5 百台，故利润函数为 L（x）=R（x）-C（x）= ).5(25.01,0.74)5()2.05()5(.2 2xxx(2)当 0≤x≤5 时，L（x）=4.75x-2-0.5，当 x=4.75 时，L(x) max=10.781 25 万元.当 x＞5 时，L（x）=12-0.25x 为减函数，此时 L（x）＜10.75(万元）.∴生产 475 台时利润最大.（3）由 .025.1,05.27.4,0x，x或得 x≥4.75- 6.1=0.1(百台）或 x＜48(百台).∴产品年产量在 10 台至 4 800 台时，工厂不亏本.例 3. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过 4 吨时，每吨为 1.80 元，当用水超过 4 吨时，超过部分每吨 3.00 元，某月甲、乙两户共交水费 y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为 5x，3x 吨.（1）求 y 关于 x 的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.解：（1）当甲的用水量不超过 4 吨时，即 5x≤4，乙的用水量也不超过 4 吨，y=（5x+3x）×1.8=14.4x;当甲的用水量超过 4 吨，乙的用水量不超过 4 吨时，即 3x≤4 且 5x＞4,y=4×1.8+3x×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8.当乙的用水量超过 4 吨时，即 3x＞4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6，所以 y=)34(6.924.580)0(.1xxxx(2)由于 y=f(x)在各段区间上均为单调递增，当 x∈［0， 5］时,y≤f（ 5）＜26.4;当 x∈（ 4， 3］时，y≤f（ 34）＜26.4;- 4 -当 x∈（ 34,+∞）时，令 24x-9.6=26.4,解得 x=1.5,所以甲户用水量为 5x=7.5 吨，付费 S1=4×1.8+3.5×3=17.70（元);乙户用水量为 3x=4.5 吨，付费 S2=4×1.8+0.5×3=8.70（元).变式训练 3：1999 年 10 月 12 日“世界 60 亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.（1）世界人口在过去 40 年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？（2）我国人口在 1998 年底达到 12.48 亿，若将人口平均增长率控制在 1%以内，我国人口在 2008 年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：数 N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000对数 lgN 0.004 3 0.006 5 0.007 3 0.117 3 0.301 0数 N 3.000 5.000 12.48 13.11 13.78对数 lgN 0.477 1 0.699 0 1.096 2 1.117 6 1.139 2解：（1）设每年人口平均增长率为 x，n 年前的人口数为 y，则 y·(1+x)n=60，则当 n=40 时，y=30，即 30(1+x)40=60，∴(1+x) 40=2， 两边取对数，则 40lg(1+x)=lg2，则 lg（1+x）= 402lg=0.007 525，∴1+x≈1.017，得 x=1.7%. （2）依题意，y≤12.48（1+1%） 10 ，得 lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.139 2,∴y≤13.78，故人口至多有 13.78 亿. 答 每年人口平均增长率为 1.7%，2008 年人口至多有 13.78 亿. 解决函数应用问题应着重注意以下几点：1．阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；2．建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域；3．求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值等，注意发挥函数图象的作用.4．还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论，作出回答.小结归纳- 1 -函数概念与基本初等函数（一）函数1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。 4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值.6．会运用函数图像理解和研究函数的性质.（二）指数函数1．了解指数函数模型的实际背景。2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。4．知道指数函数是一类重要的函数模型。（三）对数函数1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.3．知道对数函数是一类重要的函数模型.4．了解指数函数 与对数函数 互为反函数（ ）。（四）幂函数1．了解幂函数的概念。2．结合函数 的图像，了解它们的变化情况。（五）函数与方程1．了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。2．理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.（六）函数模型及其应用1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。知识网络考纲导读- 2 -定义 定 义 域 区 间对 应 法 则值 域 一 元 二 次 函 数一 元 二 次 不 等 式映射函数 性质 奇 偶 性单 调 性周 期 性 指数函数 根 式 分 数 指 数指 数 函 数 的 图 像 和 性 质 指 数 方 程对 数 方 程反函数 互 为 反 函 数 的函 数 图 像 关 系 对数函数 对 数 对 数 的 性 质积 、 商 、 幂 与根 的 对 数对 数 恒 等 式和 不 等 式常 用 对 数自 然 对 数对 数 函 数 的 图 像 和 性 质函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.第 1 课时 函数及其表示一、映射1．映射：设 A、B 是两个集合，如果按照某种对应关系 f，对于集合 A 中的 元素，在集合 B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果 f:A→B 是一个 A 到 B 的映射，那么和 A 中的元素 a 对应的 叫做象， 叫做原象。二、函数1．定义：设 A、B 是 ， f:A→B 是从 A 到 B 的一个映射，则映射 f:A→B 叫做 A 到 B 的 ，记作 .2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。3．函数的表示法有 、 、 。典型例题基础过关高考导航- 3 -例 1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.A. 1,xy B. 21,1yxyxAC. 3 D. 2|,()解：C变式训练 1：下列函数中，与函数 y=x 相同的函数是 （ ）A.y= x2B.y=( x)2 C.y=lg10x D.y= x2log解：C例 2.给出下列两个条件：（1）f( x+1)=x+2 x;(2)f(x) 为二次函数且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出 f(x)的解析式.解：（1）令 t= x+1,∴t≥1，x=（t-1） 2.则 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即 f(x)=x2-1,x∈［1，+∞).（2）设 f(x)=ax2+bx+c (a≠0),∴f(x+2)=a(x+2) 2+b(x+2)+c, 则 f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.∴ 4ba，∴ 1ba，又 f(0)=3c=3,∴f(x)=x 2-x+3.变式训练 2：（1）已知 f（ 2x）=lgx，求 f（x）；（2）已知 f（x）是一次函数，且满足 3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求 f（x）；（3）已知 f（x）满足 2f（x）+f（ x1）=3x，求 f（x）.解：(1)令 +1=t，则 x= 2t，∴f（t）=lg 1t，∴f（x）=lg 12x,x∈(1,+∞).（2）设 f（x）=ax+b，则3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，∴a=2，b=7，故 f（x）=2x+7.（3）2f（x）+f（ 1）=3x， ①把①中的 x 换成 ，得 2f（ x1）+f（x）= x3 ②①×2-②得 3f（x）=6x- 3，∴f（x）=2x- 1.例 3. 等腰梯形 ABCD 的两底分别为 AD=2a，BC=a，∠BAD=45°，作直线 MN⊥AD 交 AD 于 M，交折线ABCD 于 N，记 AM=x，试将梯形 ABCD 位于直线 MN 左侧的面积 y 表示为 x 的函数，并写出函数的定义域.解：作 BH⊥AD，H 为垂足，CG⊥AD，G 为垂足，依题意，则有 AH= 2a，AG= 3a.- 4 -（1）当 M 位于点 H 的左侧时，N∈AB，由于 AM=x，∠BAD=45°.∴MN=x.∴y=S △AMN = 21x2（0≤x≤ 2a）.（2）当 M 位于 HG 之间时，由于 AM=x，∴MN= a，BN=x- .∴y=S AMNB = 2·1a［x+（x- 2a）］= 1ax- ).23(82x（3）当 M 位于点 G 的右侧时，由于 AM=x，MN=MD=2a-x.∴y=S ABCD-S△MDN = ).23(4521)4(43)()(·22222 axaxxaaxa 综上：y= axaxax2,34521.,8,02122变式训练 3：已知函数 f(x)=.0,1,,2xx（1）画出函数的图象；（2）求 f(1)，f(-1),f )1(f的值.解：（1）分别作出 f(x)在 x＞0,x=0,x＜0 段上的图象，如图所示，作法略.（2）f(1)=1 2=1,f(-1)=- ,1f)(=f(1)=1.1．了解映射的概念，应紧扣定义，抓住任意性和唯一性．2．函数的解析式常用求法有：待定系数法、换元法（或凑配法）、解方程组法．使用换元法时，要注意研究定义域的变化．3．在简单实际问题中建立函数式，首先要选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析式，还要注意定义域．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示．小结归纳- 1 -第 2 课时 函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式 的集合.2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式，就是 .② 复合函数 f [g(x)]的有关定义域，就要保证内函数 g(x)的 域是外函数 f (x)的 域.③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.二、值域：1．函数 y＝ f (x)中，与自变量 x 的值 的集合.2．常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法）例如：①形如 y＝ 21x，可采用 法；② y＝ )32(312x，可采用 法或 法；③ y＝ a[f (x)]2＋ bf (x)＋ c，可采用 法；④ y＝ x－ ，可采用 法；⑤ y＝ x－ 1，可采用 法；⑥ y＝ cos2in可采用 法等.例 1. 求下列函数的定义域：（1）y= x|)1(0; (2)y= 23251xx; (3)y= 1·x.解：（1）由题意得 ,0|x化简得 ,|即 .0x故函数的定义域为{x|x＜0 且 x≠-1}.（2）由题意可得 ,0532x解得 .53x故函数的定义域为{x|- ≤x≤ 且 x≠± }.（3）要使函数有意义，必须有 ,01x即 ,1x∴x≥1,故函数的定义域为［1，+∞）.变式训练 1：求下列函数的定义域：（1）y= 2)lg(x+(x-1)0 ; (2)y= )34lg(2x+(5x-4)0; (3)y= 25x+lgcosx;解：（1）由 01,2x得 1,32x 所以-3＜x＜2 且 x≠1.基础过关典型例题- 2 -故所求函数的定义域为（-3，1）∪(1,2).（2）由 045,13x得 54,23xx∴ 函数的定义域为 ).,54(),21(,43（3）由 0cos22x,得 ,)(22Zkxk借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为 .5,23),(23,5例 2. 设函数 y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域.（1）y=f(3x); (2)y=f( x1);(3)y=f( )3()xf; (4)y=f(x+a)+f(x-a).解：（1）0≤3x≤1,故 0≤x≤ 31,y=f(3x) 的定义域为［0, 31］.（2）仿（1）解得定义域为［1，+∞).（3）由条件，y 的定义域是 f )(x与 )31(定义域的交集.列出不等式组 ,234130xxx故 y=f )()31(fx的定义域为 ,.（４）由条件得 ,10axax讨论：①当 ,1a即 0≤a≤ 2时，定义域为［a,1-a］;②当 ,即- ≤a≤0 时，定义域为［-a,1+a］.综上所述：当 0≤a≤ 21时，定义域为［a，1-a］；当- 21≤a≤0 时，定义域为［-a，1+a］.变式训练 2：若函数 f(x)的定义域是［0，1］，则 f (x+a)·f(x-a)（0＜a＜ 21）的定义域是 （ ） A.  B.［a，1-a］ C.［-a，1+a］ D.［0，1］解：B 例 3. 求下列函数的值域：（1）y= ;12x (2)y=x- x21; (3)y= 1ex.解：（1）方法一 （配方法）- 3 -∵y=1- ,12x而 ,43)21(2 x∴0＜ ,342∴ .y∴值域为 1,.方法二 （判别式法）由 y= ,12x得(y-1) .0)1(2yx∵y=1 时, y,1.又∵ R，∴必须 =(1-y)2-4y(y-1)≥0.∴ .3y∵ ∴函数的值域为 1,3.（2）方法一 （单调性法）定义域 21|x，函数 y=x,y=- x均在 ,上递增，故 y≤ .∴函数的值域为 21,.方法二 （换元法）令 x21=t,则 t≥0，且 x= .2t∴y=- 1（t+1） 2+1≤ 1（t≥0）,∴y∈（-∞， 1］.（3）由 y= ex得,e x= .y∵e x＞0,即 y1＞0,解得-1＜y＜1.∴函数的值域为{y|-1＜y＜1}.变式训练 3：求下列函数的值域：（1）y= 52x; (2)y=|x| 21x.解：（1）(分离常数法)y=- )52(71x，∵ )5(7≠0,∴y≠- 2.故函数的值域是{y|y∈R,且 y≠- 21}.(2)方法一 (换元法)∵1-x 2≥0,令 x=sin,则有 y=|sincos |= |sin2|,故函数值域为［0， 21］.方法二 y=|x|· ,41)(1242 xx∴0≤y≤ ,2即函数的值域为 1,0.例 4．若函数 f（x）= 2x2-x+a 的定义域和值域均为［1，b］（b＞1），求 a、b 的值.解：∵f（x）= 1(x-1)2+a- . - 4 -∴其对称轴为 x=1，即［1，b］为 f（x）的单调递增区间.∴f（x） min=f（1）=a- 2=1 ①f（x） max=f（b）= b2-b+a=b ②由①②解得 .3,ba变式训练 4：已知函数 f(x)=x2-4ax+2a+6 (x∈R).（1）求函数的值域为［0，+∞)时的 a 的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数 f(a)=2-a|a+3|的值域.解： (1）∵函数的值域为［0，+∞),∴Δ=16a 2-4(2a+6)=02a2-a-3=0∴a=-1 或 a= 23.（2）对一切 x∈R，函数值均非负,∴Δ=8(2a 2-a-3)≤0 -1≤a≤ 23,∴a+3＞0,∴f(a)=2-a(a+3)=-a 2-3a+2=-(a+ 3)2+ 417(a 3,).∵二次函数 f(a)在 ,1上单调递减，∴f（a） min=f )2(=- 419，f（a） max=f（-1）=4，∴f(a)的值域为 4,9.1．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例 1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例 2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.小结归纳- 1 -第 3课时 函数的单调性一、单调性1．定义：如果函数 y＝ f (x)对于属于定义域 I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、 、 x2，当 x1、 x2时，①都有 ，则称 f (x)在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个 ；②都有 ，则称 f (x)在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个 .若函数 f(x)在整个定义域 l内只有唯一的一个单调区间，则 f(x)称为 .2．判断单调性的方法：(1) 定义法，其步骤为：① ；② ；③ .(2) 导数法，若函数 y＝ f (x)在定义域内的某个区间上可导，①若 ，则 f (x)在这个区间上是增函数；②若 ，则 f (x)在这个区间上是减函数.二、单调性的有关结论1．若 f (x), g(x)均为增(减)函数，则 f (x)＋ g(x) 函数；2．若 f (x)为增(减)函数，则－ f (x)为 ；3．互为反函数的两个函数有 的单调性；4．复合函数 y＝ f [g(x)]是定义在 M上的函数，若 f (x)与 g(x)的单调相同，则 f [g(x)]为 ，若 f (x), g(x)的单调性相反，则 f [g(x)]为 .5．奇函数在其对称区间上的单调性 ，偶函数在其对称区间上的单调性 .例 1. 已知函数 f(x)=ax+ 12 (a＞1)，证明：函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数.证明 方法一 任取 x1,x2∈(-1,+∞),不妨设 x1＜x 2,则 x2-x1＞0, 12xa＞1 且 1x＞0,∴ 0)(12112 aa，又∵x 1+1＞0,x 2+1＞0,∴ )1(3)( 212121212  xxxx ＞0,于是 f(x2)-f(x1)= 12xa+ 12＞0,故函数 f(x)在（-1,+∞）上为增函数.方法二 f(x)=a x+1- 13(a＞1),求导数得 )(f=axlna+ 2)(,∵a＞1,∴当 x＞-1 时，a xlna＞0, 2)1(3x＞0,)(xf＞0 在（-1，+∞）上恒成立，则 f(x)在（-1,+∞）上为增函数.方法三 ∵a＞1,∴y=a x为增函数，又 y= 132x，在（-1，+∞）上也是增函数.∴y=a x+ 在（-1，+∞）上为增函数.基础过关典型例题- 2 -变式训练 1：讨论函数 f（x）=x+ xa（a＞0）的单调性.解：方法一 显然 f（x）为奇函数，所以先讨论函数 f（x）在（0，+∞）上的单调性，设 x1＞x 2＞0,则f(x1)-f(x2) =（x 1+ a）-（x 2+ a）=(x 1-x2)·（1- 21xa）.∴当 0＜x 2＜x 1≤ 时， 21＞1,则 f（x 1）-f（x 2）＜0，即 f(x1)＜f(x 2),故 f（x）在（0， a］上是减函数.当 x1＞x 2≥ a时，0＜ 21xa＜1，则 f（x 1）-f（x 2）＞0,即 f(x1)＞f(x 2),故 f（x）在［ ，+∞）上是增函数.∵f（x）是奇函数，∴f（x）分别在（-∞，- a］、［ ，+∞）上为增函数；f（x）分别在［- ，0）、（0， ］上为减函数.方法二 由 )(xf=1- 2a=0可得 x=± a当 x＞ a或 x＜- 时， )(xf＞0∴f（x）分别在（ a，+∞）、（-∞，- a］上是增函数.同理 0＜x＜ 或- a＜x＜0 时， )(f＜0即 f（x）分别在（0， ］、［- a，0）上是减函数.例 2. 判断函数 f(x)= 12x在定义域上的单调性.解： 函数的定义域为{x|x≤-1 或 x≥1},则 f(x)= 12x,可分解成两个简单函数.f(x)= )(,xu =x2-1的形式.当 x≥1 时，u(x)为增函数， )(xu为增函数.∴f（x）= 12在［1，+∞)上为增函数.当 x≤-1 时，u（x)为减函数， )(xu为减函数，∴f(x)= 2在（-∞,-1］上为减函数.变式训练 2：求函数 y= 21log（4x-x 2）的单调区间.解： 由 4x-x2＞0，得函数的定义域是（0，4）.令 t=4x-x2，则 y= 21logt.∵t=4x-x 2=-（x-2） 2+4，∴t=4x-x 2的单调减区间是［2，4），增区间是（0，2］.又 y= 21logt在（0，+∞）上是减函数，- 3 -∴函数 y= 21log（4x-x 2）的单调减区间是（0，2］，单调增区间是［2，4).例 3. 求下列函数的最值与值域：（1）y=4- 23x; (2)y=x+ x4;(3)y= 4)2(12xx.解：（1）由 3+2x-x2≥0 得函数定义域为［-1，3］，又 t=3+2x-x2=4-(x-1)2.∴t∈［0，4］， t∈［0，2］，从而，当 x=1时，y min=2，当 x=-1或 x=3时，y max=4.故值域为［2，4］.(2)方法一 函数 y=x+ x4是定义域为{x|x≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x＞0 时,即可知 x＜0 时的最值.∴当 x＞0 时,y=x+ ≥2 x=4，等号当且仅当 x=2时取得.当 x＜0 时，y≤-4,等号当且仅当 x=-2时取得.综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值.方法二 任取 x1,x2,且 x1＜x 2,因为 f(x1)-f(x2)=x1+ -(x2+ )= ,)4)(21x所以当 x≤-2 或 x≥2 时，f(x)递增,当-2＜x＜0 或 0＜x＜2 时，f(x)递减.故 x=-2时，f(x) 最大值 =f(-2)=-4,x=2时，f(x) 最小值 =f(2)=4,所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值.（3）将函数式变形为y= 2222 )0()()10()( xx ,可视为动点 M（x,0）与定点 A（0，1）、B（2，-2）距离之和，连结 AB，则直线 AB与 x轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点.ymin=|AB|= 3)21()0(2，可求得 x= 3时，y min= 13.显然无最大值.故值域为［ ，+∞）.变式训练 3：在经济学中，函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf（x）=f（x+1）-f（x）.某公司每月最多生产 100台报警系统装置，生产 x（x＞0）台的收入函数为 R（x）=3 000x-20x 2 (单位：元)，其成本函数为 C（x）=500x+4 000（单位：元），利润是收入与成本之差.（1）求利润函数 P（x）及边际利润函数 MP（x）；（2）利润函数 P（x）与边际利润函数 MP（x）是否具有相同的最大值？解：（1）P（x）=R（x）-C（x）=（3 000x-20x 2）-（500x+4 000）=-20x 2+2 500x-4 000（x∈［1，100］且 x∈N,）MP（x）=P（x+1）-P（x）=-20（x+1） 2+2 500（x+1）-4 000-（-20x 2+2 500x-4 000）=2 480-40x （x∈［1，100］且 x∈N）.（2）P（x）=-20(x- )252+74 125，当 x=62或 63时，P(x) max=74 120（元）.因为 MP（x）=2 480-40x 是减函数，所以当 x=1时，MP(x) max=2 440(元）.因此，利润函数 P（x）与边际利润函数 MP（x）不具有相同的最大值.例 4．（2009·广西河池模拟）已知定义在区间（0，+∞）上的函数 f(x)满足 f( )21x=f(x1)-f(x2)，- 4 -且当 x＞1 时，f(x)＜0.（1）求 f(1)的值；（2）判断 f(x）的单调性；（3）若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)＜-2.解：（1）令 x1=x2＞0,代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故 f(1)=0.（2）任取 x1,x2∈(0,+∞)，且 x1＞x 2,则 2＞1,由于当 x＞1 时，f(x)＜0,所以 f )(21＜0,即 f(x1)-f(x2)＜0,因此 f(x1)＜f(x 2),所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.（3）由 f( 21x)=f(x1)-f(x2)得 f( )39=f(9)-f(3),而 f(3)=-1,所以 f(9)=-2.由于函数 f(x)在区间（0,+∞）上是单调递减函数，由 f(|x|)＜f(9),得|x|＞9,∴x＞9 或 x＜-9.因此不等式的解集为{x|x＞9 或 x＜-9}.变式训练 4：函数 f(x)对任意的 a、b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x＞0 时，f(x)＞1.（1）求证：f(x)是 R上的增函数；（2）若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)＜3.解：（1）设 x1,x2∈R，且 x1＜x 2,则 x2-x1＞0,∴f(x 2-x1)＞1. f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0. ∴f（x 2）＞f(x 1).即 f(x)是 R上的增函数. （2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，∴f（2）=3， ∴原不等式可化为 f(3m2-m-2)＜f(2),∵f(x)是 R上的增函数，∴3m 2-m-2＜2, 解得-1＜m＜ 34,故解集为（-1, 34）. 1．证明一个函数在区间 D上是增(减)函数的方法有：(1) 定义法.其过程是：作差——变形——判断符号，而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构；(2) 求导法.其过程是：求导——判断导函数的符号——下结论.2．确定函数单调区间的常用方法有：(1)观察法；(2)图象法（即通过画出函数图象，观察图象，确定单调区间）；(3)定义法；(4)求导法.注意：单调区间一定要在定义域内.3．含有参量的函数的单调性问题，可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围，其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式，结合定义域求出参数的取值范围.小结归纳- 1 -第 4 课时 函数的奇偶性1．奇偶性：① 定义：如果对于函数 f (x)定义域内的任意 x 都有 ，则称 f (x)为奇函数；若 ，则称 f (x)为偶函数. 如果函数 f (x)不具有上述性质，则 f (x)不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则 f (x) .② 简单性质：1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称.2） 函数 f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称.2． 与函数周期有关的结论：①已知条件中如果出现 )()(xfaxf、或 mxfaf)(（ a、 均为非零常数， 0a），都可以得出 的周期为 ；② )(xfy的图象关于点 )0,(b中心对称或 )(xfy的图象关于直线b,轴对称，均可以得到 xf周期 例 1. 判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)= 221x;(2)f(x)=log2(x+ 2) (x∈R);(3)f(x)=lg|x-2|.解：（1）∵x 2-1≥0 且 1-x2≥0,∴x=±1,即 f(x)的定义域是{-1，1}.∵f（1）=0，f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),故 f(x)既是奇函数又是偶函数.（2）方法一 易知 f(x)的定义域为 R，又∵f(-x)=log 2［-x+ 1)(2x］=log 2 12x=-log2(x+ 12x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.方法二 易知 f(x)的定义域为 R，又∵f（-x）+f（x）=log 2［-x+ 1)(2x］+log 2(x+ 12x)=log21=0,即 f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.（3）由|x-2|＞0，得 x≠2.∴f（x）的定义域{x|x≠2}关于原点不对称，故 f(x)为非奇非偶函数.变式训练 1：判断下列各函数的奇偶性：基础过关典型例题- 2 -（1）f（x）=（x-2） x2；（2）f（x）= ||)1lg(2x；（3）f（x）= .1(2),|0）xx解：（1）由 ≥0，得定义域为［-2，2），关于原点不对称，故 f（x）为非奇非偶函数.（2）由 .0||2x， 得定义域为（-1，0）∪（0，1）.这时 f（x）= 22 )lg()(lgxx.∵f（-x）=- ),(1l1l22 fx∴f（x）为偶函数.（3）x＜-1 时，f（x）=x+2，-x＞1,∴f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）.x＞1 时，f（x）=-x+2，-x＜-1，f(-x)=x+2=f(x).-1≤x≤1 时，f（x）=0，-1≤-x≤1,f（-x）=0=f（x）.∴对定义域内的每个 x 都有 f（-x）=f（x）.因此 f（x）是偶函数.例 2 已知函数 f (x),当 x,y∈R 时，恒有 f(x+y)=f(x)+f(y).（1）求证：f(x)是奇函数；（2）如果 x∈R +，f（x）＜0,并且 f(1)=- 21,试求 f(x)在区间［-2，6］上的最值.（1）证明： ∵函数定义域为 R，其定义域关于原点对称.∵f（x+y）=f（x）+f（y），令 y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令 x=y=0,∴f(0)=f(0)+f(0),得 f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得 f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.（2）解：方法一 设 x,y∈R +，∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（x+y）-f（x）=f（y）.∵x∈R +，f（x）＜0,∴f(x+y)-f(x)＜0, ∴f(x+y)＜f(x).∵x+y＞x,∴f(x) 在（0，+∞）上是减函数.又∵f（x）为奇函数，f（0）=0，∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值.∵f(1)=- 21,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=-3.∴所求 f(x)在区间［-2，6］上的最大值为 1，最小值为-3.方法二 设 x1＜x 2,且 x1, x2∈R.则 f(x2-x1)=f［x 2+(-x1)］=f(x 2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).∵x 2-x1＞0,∴f(x 2-x1)＜0.∴f(x 2)-f(x1)＜0.即 f(x)在 R 上单调递减.∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值.∵f（1）=- ， ∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3.∴所求 f(x）在区间［-2，6］上的最大值为 1，最小值为-3.变式训练 2：已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求 f(x)的解析式. 解：∵f（x）是奇函数，可得 f(0)=-f(0),∴f(0)=0.- 3 -当 x＞0 时，-x＜0,由已知 f(-x)=xlg(2+x),∴-f（x）=xlg（2+x），即 f（x）=-xlg(2+x) （x＞0）.∴f(x)= ).0()2lg(,x 即 f(x)=-xlg(2+|x|) (x∈R).例 3 已知函数 f(x)的定义域为 R，且满足 f(x+2)=-f(x).（1）求证：f(x)是周期函数；（2）若 f(x)为奇函数，且当 0≤x≤1 时，f(x)= 21x,求使 f(x)=- 21在［0，2 009］上的所有 x 的个数.（1）证明： ∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=-［-f（x）］=f（x），∴f（x）是以 4 为周期的周期函数.（2）解： 当 0≤x≤1 时，f(x)= 21x,设-1≤x≤0,则 0≤-x≤1,∴f（-x）= （-x）=- 21x.∵f(x)是奇函数，∴f（-x）=-f（x）,∴-f（x）=- 21x，即 f(x)= 21x. 故 f(x)= x(-1≤x≤1) 又设 1＜x＜3,则-1＜x-2＜1,∴f(x-2)= 2 (x-2), 又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f（（-x）+2）=-［-f（-x）］=-f（x），∴-f（x）= 1（x-2），∴f（x）=- 2（x-2）（1＜x＜3）. ∴f（x）= )31()2(1xx由 f(x)=- ,解得 x=-1.∵f（x）是以 4 为周期的周期函数. 故 f(x)=- 21的所有 x=4n-1 (n∈Z). 令 0≤4n-1≤2 009,则 1≤n≤ 205,又∵n∈Z，∴1≤n≤502 （n∈Z）,∴在［0，2 009］上共有 502 个 x 使 f(x)=- 21.变式训练 3：已知函数 f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.（1）试判断 f(x)的奇偶性；- 4 -（2）若- 1≤a≤ 2，求 f (x)的最小值.解：(1)当 a=0 时，函数 f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此时,f(x)为偶函数.当 a≠0 时，f(a)=a 2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数.（2）当 x≤a 时,f(x)=x 2-x+a+1=(x- 1)2+a+ 43,∵a≤ 1,故函数 f(x)在（-∞，a］上单调递减，从而函数 f(x)在（-∞，a］上的最小值为 f(a)=a2+1.当 x≥a 时，函数 f(x)=x2+x-a+1=(x+ 21)2-a+ 43,∵a≥- 21，故函数 f(x)在［a，+∞）上单调递增，从而函数 f(x)在［a，+∞)上的最小值为 f(a)=a2+1.综上得，当- ≤a≤ 1时，函数 f(x)的最小值为 a2+1.1．奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具有这种性质. 判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非零实数 a 与－ a，验证 f(a)±f(－ a)≠0.2．对于具有奇偶性的函数的性质的研究，我们可以重点研究 y 轴一侧的性质，再根据其对称性得到整个定义域上的性质.3．函数的周期性：第一应从定义入手，第二应结合图象理解.小结归纳