优化课堂2016秋高中数学 第1章 立体几何初步习题（打包13套）北师大版必修2.zip

1【优化课堂】2016 秋高中数学 1.4 空间图形的基本关系与公理（1-2 课时） （一）练习 北师大版必修 2[A 基础达标]1．若直线 a α ，直线 b α ， M∈ l， N∈ l，且 M∈ a， N∈ b，则( )A． l α B． lαC． l∩ α ＝ M D． l∩ α ＝ N解析：选 A.由 M∈ a， N∈ b， a α ， b α 知 M∈ α ， N∈ α ，由公理 2 知 l α .故选 A.2．三个平面可把空间分成( )A．4 部分 B．4 或 6 部分C．4 或 6 或 8 部分 D．4 或 6 或 7 或 8 部分解析：选 D．由平面的无限延展性可知：图(1)中的三个平面把空间分成 4 部分；图(2)中的三个平面把空间分成 6 部分；图(3)中的三个平面把空间分成 7 部分；图(4)中的三个平面把空间分成 8 部分．3．空间四点 A， B， C， D 共面但不共线，那么这四点中( )A．必有三点共线 B．必有三点不共线C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线解析：选 B．若 AB∥ CD，则 AB， CD 共面，但 A， B， C， D 任何三点都不共线，故排除A，C；若直线 l 与直线外一点 A 在同一平面内，且 B， C， D 三点在直线 l 上，所以排除D．故选 B．4．平行六面体 ABCD­A1B1C1D1中，既与 AB 共面也与 CC1共面的棱的条数为( )A．3 B．4C．5 D．6解析：选 C.如图，与 AB 共面也与 CC1共面的棱有 CD， BC， BB1， AA1， C1D1，共 5 条．5．给出以下三个命题：①若直线 a 平面 α ，直线 b 平面 β ，则“ a 与 b 相交”与“ α 与 β 相交”等价；②若 α ∩ β ＝ l，直线 a 平面 α ，直线 b 平面 β ，且 a∩ b＝ P，则 P∈ l；③若 n 条直线中任意两条共面，则它们共面．其中正确的是( )A．①② B．②③C．③ D．②解析：选 D．对于①，逆推“ α 与 β 相交”推不出“ a 与 b 相交” ，也可能 a∥ b， a与 b 异面；对于②，正确；对于③，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这 4 条侧棱却不共面，故③错．所以正确的是②.6．文字语言叙述“平面内有一条直线 a，则这条直线上一点 A 必在这个平面内 α ”用符号表述是________．解析：点与线或面之间的关系是元素与集合之间的关系，用“∈”表示，线与面之间2的关系是集合与集合之间的关系，用“ ”表示．故应表示为Error!⇒ A∈ α .答案：Error!⇒ A∈ α7．在空间中：①球面上任意三点可以确定一个平面；②圆心和圆上任意两点确定一个平面；③平行四边形是平面图形．正确的说法是________(将你认为正确的说法的序号都填上)．解析：球面上的三点一定不共线，可以确定一个平面，①正确；圆心与圆上两点可能共线，不一定能确定一个平面，②错；平行四边形对边平行，可以确定一个平面，③正确．答案：①③8．给出下列说法：①和直线 a 都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线一定在同一个平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两相交且不过同一点的四条直线共面．其中正确说法的序号是__________．解析：和直线 a 都相交的两直线不一定在同一个平面内，故①错误；当三条直线共点时，三条直线不一定在同一平面内，故②错误；当三个点共线时，即使两个平面有在同一条直线上的三个公共点，这两个平面也不一定重合，故③错误；对于④可以证明，只有④正确．答案：④9. 如图，三个平面 α ， β ， γ 两两相交于三条直线，即α ∩ β ＝ c， β ∩ γ ＝ a， γ ∩ α ＝ b，若直线 a 和 b 不平行，求证： a， b， c 三条直线必过同一点．证明：因为 α ∩ γ ＝ b， β ∩ γ ＝ a，所以 a γ ， b γ .由于直线 a 和 b 不平行，所以 a， b 必相交．设 a∩ b＝ P，则 P∈ a， P∈ b.因为 a β ， b α ，所以 P∈ β ， P∈ α .又 α ∩ β ＝ c，所以 P∈ c，即交线 c 经过点 P.所以 a， b， c 三条直线必过同一点．10．如图所示， G 是正方体 ABCD­A1B1C1D1的棱 DD1延长线上一点， E， F 是棱 AB， BC 的中点．试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．(1)过点 G 及 AC；(2)过三点 E， F， D1.解： (1)画法：连接 GA，交 A1D1于点 M；连接 GC，交 C1D1于点 N；连接 MN， AC.则 MA， CN， MN， AC 为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．3图①(2)画法：连接 EF 交 DC 延长线于点 P，交 DA 延长线于点 Q；连接 D1P 交 CC1于点 M，连接 D1Q 交 AA1于点 N；连接 MF， NE，则D1M， MF， FE， EN， ND1即为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．图②[B 能力提升]1. 如图，平面 α ∩平面 β ＝ l，点 A∈ α ，点 B∈ α ，且点 C∈ β ，点 C∉l，又AB∩ l＝ R，设 A， B， C 三点确定的平面为 γ ，则 β ∩ γ 是( )A．直线 AC B．直线 BCC．直线 CR D．以上均错解析：选 C.因为 C∈平面 ABC， AB 平面 ABC，而 R∈ AB，所以 R∈ γ .而 C∈ β ， l β ， R∈ l，所以 R∈ β ，所以点 C，点 R 为 γ 与 β 的公共点，所以 β ∩ γ ＝ CR.故选 C.2．平面 α ， β 的公共点多于两个，则以下三个判断中不成立的有________个．① α ， β 至少有三个公共点；② α ， β 至少有一条公共直线；③ α ， β 至多有一条公共直线．解析：由条件知当平面 α ， β 的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则 α ， β相交；若公共点不共线，则 α ， β 重合．故①成立；②成立；③不成立．故不成立的有 1个．答案：13．如图，已知有公共边 AB 的两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内， M， N分别是对角线 AC， BF 上的点，求证： A， C， M， N 四点共面，并作出它们所确定的平面与平面 CBE 的交线．解：连接 AN， CN.由题意可知 AC∩ AN＝ A，所以直线 AC 与直线 AN 确定平面 ACN.又M∈ AC，所以 M∈平面 ACN，即 A， C， M， N 四点共面，该平面即为平面 ACN.4要确定两个平面的交线，可以先确定交线上的两个点，然后连接即可得到．延长 AN交 BE 的延长线于点 G.因为 G∈ BE， BE 平面 CBE，所以 G∈平面 CBE.又 G∈ AN， AN 平面 ACN，所以 G∈平面 ACN，即 G 为平面 ACN 和平面 CBE 的公共点．又 C∈平面 CBE， C∈平面 ACN，所以 CG 为两个平面的交线．4．(选做题)已知正方体 ABCD­A1B1C1D1中， M， N， P 分别是棱 AB， A1D1， BB1的中点，试作出过 M， N， P 三点的截面．解：设 M， N， P 三点确定的平面为 α ，则 α 与平面 AA1B1B 的交线为直线 MP，设MP∩ A1B1＝ R，则 RN 是 α 与平面 A1B1C1D1的交线，设 RN∩ B1C1＝ Q，连接 PQ，则 PQ 是所要画的平面 α 与平面 BB1C1C 的交线，如图所示， NQ 是平面 α 与平面A1B1C1D1的交线．设 MP∩ A1A＝ F，则 FN 是平面 α 与平面 A1D1DA 的交线，设 FN∩ AD＝ H，连接 HM，则 HM 是平面 α 与平面 ABCD 的交线， HN 是平面 α 与平面 A1D1DA 的交线．综上可知，平面 PMHNQ 就是过 M， N， P 三点的截面．1【优化课堂】2016 秋高中数学 1.4.2 空间图形的公理（二）练习 北师大版必修 2[A 基础达标]1．下列命题中，真命题的个数是( )①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．A．0 B．1C．2 D．3解析：选 B．①这两个角也可能互补，故①是错误的；②是正确的，它是等角定理的推广和延伸．③空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不互补，故③是错误的．所以结论正确的个数为 1.2．已知不同的直线 a， b， c，下列说法正确的是( )A． a∥ b， b∥ c，则 a∥ cB． a 与 b 异面， b 与 c 异面，则 a 与 c 异面C． a 与 b 相交， b 与 c 相交，则 a 与 c 相交D． a 与 b 所成的角与 b 与 c 所成的角相等，则 a∥ c解析：选 A.A 是公理 4 的内容．如图正方体中， AB， A1B1都与 CC1异面，但 AB 与 A1B1不异面，B错， AB， A1B1都与 BB1相交，但 AB 与 A1B1不相交，C 错； AB， BC 都与 DD1成 90°角，但 AB与 BC 不平行，D 错．3．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )A．全等 B．相似C．仅有一个角相等 D．全等或相似解析：选 D．由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以选 D．4．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条( )A．相交 B．异面C．相交或异面 D．平行解析：选 C.如图所示的长方体 ABCD­A1B1C1D1中，直线 AA1与直线 B1C1是异面直线，与 B1C1平行的直线有 A1D1， AD， BC，显然直线 AA1与 A1D1相交，与 BC 异面．5．已知空间四边形 ABCD 中， M， N 分别为 AB， CD 的中点，则下列判断正确的是( )A． MN≥ (AC＋ BD)12B． MN≤ (AC＋ BD)122C． MN＝ (AC＋ BD)12D． MN＜ (AC＋ BD)12解析：选 D．如图，取 BC 的中点 H，连接 MH， HN， MN，据题意有MH＝ AC， MH∥ AC， HN＝ BD， HN∥ BD． 在△ MNH 中，由两边之和大于第三边知，12 12MN＜ MH＋ HN＝ (AC＋ BD)． 126. 如图，在正方体 ABCD­A1B1C1D1中， BD 和 B1D1分别是正方形 ABCD 和 A1B1C1D1的对角线，(1)∠ DBC 的两边与∠________的两边分别平行且方向相同；(2)∠ DBC 的两边与∠________的两边分别平行且方向相反．答案：(1) D1B1C1 (2) A1D1B17．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：① AB⊥ EF；② AB 与 CM 所成的角为 60°；③ EF 与 MN 是异面直线；④ MN∥ C D．以上结论中正确的是________(填序号)．解析：把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示， AB⊥ EF， EF 与 MN 是异面直线， AB∥ CM， MN⊥ CD，只有①③正确．答案：①③8．如图，在正方体 AC1中， AA1与 B1D 所成角的余弦值是________．解析：因为 B1B∥ A1A，所以∠ BB1D 就是异面直线 AA1与 B1D 所成的角，连接 B D．在 Rt△ B1BD 中，设棱长为 1，则 B1D＝ .3cos∠ BB1D＝ ＝ ＝ .BB1B1D 13 333所以 AA1与 B1D 所成的角的余弦值为 .33答案：339. 在如图所示的正方体 ABCD­A1B1C1D1中， E， F， E1， F1分别是棱 AB， AD， B1C1， C1D1的中点，求证：(1) EF E1F1；(2)∠ EA1F＝∠ E1CF1.证明：(1)连接 BD， B1D1，在△ ABD 中，因为 E， F 分别为 AB， AD 的中点，所以 EF BD．12同理， E1F1 B1D1.12在正方体 ABCD­A1B1C1D1中，因为 A1A B1B， A1A D1D，所以 B1B D1D．所以四边形 BDD1B1是平行四边形，所以 BD B1D1.所以 EF E1F1.(2)取 A1B1的中点 M，连接 BM， F1M.因为 MF1 B1C1， B1C1 BC，所以 MF1 BC.所以四边形 BCF1M 是平行四边形．所以 MB∥ CF1.因为 A1M EB，所以四边形 EBMA1是平行四边形．所以 A1E∥ MB，所以 A1E∥ CF1.同理可证： A1F∥ E1C.又∠ EA1F 与∠ F1CE1两边的方向均相反，所以∠ EA1F＝∠ E1CF1.10.如图， ABEDFC 为多面体，点 O 在棱 AD 上， OA＝1， OD＝2，在侧面 ACFD 中，△ OAC和△ ODF 为正三角形，在底面 ABED 中，△ OAB 和△ ODE 也都是正三角形，4求证：直线 BC∥ EF.证明：设 G 是线段 DA 与线段 EB 延长线的交点，由于△ OAB 与△ ODE 都是正三角形，所以 OB∥ DE， OB＝ DE，所以 OG＝ OD＝2.同理，设 G′是线段 DA 与线段 FC 延长线的交点，12有 OG′＝ OD＝2，又由于 G 与 G′都在线段 DA 的延长线上，所以 G 与 G′重合，在△ GED 和△ GFD 中，由 OB∥ DE， OB＝ DE 和 OC∥ DF， OC＝ DF，可知 B， C 分别是 GE， GF 的中点，所12 12以 BC 是△ GFE 的中位线，故 BC∥ EF.[B 能力提升]1．已知在四面体 ABCD 中， E， F 分别是 AC， BD 的中点，若 AB＝2， CD＝4， EF⊥ AB，则 EF 和 CD 所成的角是( )A．90° B．45°C．60° D．30°解析：选 D．如图，作 FG∥ CD 交 BC 于 G，连接 EG，则 EG∥ AB，故∠ EFG(或其补角)为 EF 和 CD 所成的角．因为 EF⊥ AB，所以 EF⊥ EG.又因为 AB＝2， CD＝4，所以 EG＝1， FG＝2.所以 sin∠ EFG＝ .12所以∠ EFG＝30°.2. 如图，正方体 ABCD­A1B1C1D1中， M， N 分别为棱 C1D1， C1C 的中点，有以下结论：①直线 AM 与 CC1是相交直线；②直线 AM 与 BN 是平行直线；③直线 BN 与 MB1是异面直线；④直线 AM 与 DD1是异面直线．其中正确的结论为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．解析：直线 AM 与 CC1是异面直线，直线 AM 与 BN 也是异面直线，直线 BN 与 MB1是异面直线，直线 AM 与 DD1是异面直线，故①②错误，③④正确．答案：③④3. 如图所示，设 E， F， G， H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB， BC， CD， DA 上的点，且 ＝ ＝ λ ， ＝ ＝ μ ，求证：AEAB AHAD CFCB CGCD5(1)当 λ ＝ μ 时，四边形 EFGH 是平行四边形；(2)当 λ ≠ μ 时，四边形 EFGH 是梯形．证明：在△ ABD 中， ＝ ＝ λ .AEAB AHAD所以 EH∥ BD，且 EH＝ λBD ．在△ CBD 中， ＝ ＝ μ ，CFCB CGCD所以 FG∥ BD，且 FG＝ μBD ，所以 EH∥ FG，所以顶点 E， F， G， H 在由 EH 和 FG 确定的平面内．(1)当 λ ＝ μ 时， EH＝ FG，故四边形 EFGH 为平行四边形；(2)当 λ ≠ μ 时， EH≠ FG，故四边形 EFGH 是梯形．4．(选做题) 如图所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，∠ BAD＝∠ FAB＝90°，BC AD， BE FA， G， H 分别为 FA， FD 的中点．12 12(1)求证：四边形 BCHG 是平行四边形；(2)C， D， F， E 四点是否共面？为什么？解：(1)证明：因为 G， H 分别为 FA， FD 的中点，所以 GH AD．12又 BC AD，所以 GH BC，12所以四边形 BCHG 为平行四边形．(2)由 BE AF， G 为 FA 的中点知， BE FG，12所以四边形 BEFG 为平行四边形，所以 EF∥ BG.由(1)知 BG CH，所以 EF∥ CH，所以 EF 与 CH 共面．又 D∈ FH，所以 C， D， F， E 四点共面．1【优化课堂】2016 秋高中数学 1.5.1 平行关系的判定练习 北师大版必修 2[A 基础达标]1．下列四个选项中能推出 α ∥ β 的是( )A．存在一条直线 a， a∥ α ， a∥ βB．存在一条直线 a， a α ， a∥ βC．存在两条平行直线 a， b， a α ， b β ， a∥ β ， b∥ αD．存在两条异面直线 a， b， a α ， b β ， a∥ β ， b∥ α解析：选 D．若 α ∩ β ＝ l， a∥ l， aα ， aβ ，则 a∥ α ， a∥ β ，故排除 A.若α ∩ β ＝ l， a α ， a∥ l，则 a∥ β ，故排除 B．若α ∩ β ＝ l， a α ， a∥ l， b β ， b∥ l，则 a∥ β ， b∥ α ，故排除 C.故选 D．平面 α 内有不共线的三点到平面 β 的距离相等且不为零，则 α 与 β 的位置关系2.为( )A．平行 B．相交C．平行或相交 D．可能重合解析：选 C.若三点分布于平面 β 的同侧，则 α 与 β 平行，若三点分布于平面 β 的两侧，则 α 与 β 相交．3．在正方体 ABCD­A1B1C1D1中，与平面 AB1D1平行的平面是( )A．平面 BCD B．平面 BCC1C．平面 BDC1 D．平面 CDC1解析：选 C.由于 BD∥ B1D1，且 BD 平面 AB1D1， B1D1 平面 AB1D1，所以 BD∥平面AB1D1，因为 BC1∥ AD1，且 BC1平面 AB1D1， AD1 平面 AB1D1，所以 BC1∥平面 AB1D1，从而平面 BDC1∥平面 AB1D1.4．下列三个命题，其中真命题的个数是( )①两条直线没有公共点，那么这两条直线平行；②两个平面如果没有公共点，那么这两个平面平行；③两个平面都平行于同一条直线，那么这两个平面平行．A．1 B．2C．3 D．0解析：选 A.①中两条直线没有公共点，这两条直线可能平行，也可能异面；②是真命题；③中两个平面都平行于同一条直线，这两个平面可能平行，也可能相交．5．在正方体 ABCD­A1B1C1D1中， M 是棱 A1D1上的动点，则直线 MD 与平面 AA1C1C 的位置关系是( )A．平行 B．相交C．直线在平面内 D．相交或平行解析：选 D．如图，若点 M 与点 D1重合，因为 D1D∥ A1A， D1D 平面 AA1C1C， A1A 平面AA1C1C，2所以 D1D∥平面 AA1C1C，即 DM∥平面 AA1C1C.若点 M 与点 D1不重合，设 DM∩ AA1＝ P，则 DM∩平面 AA1C1C＝ P.6．在空间四边形 ABCD 中， M∈ AB， N∈ AD，若 ＝ ，则直线 MN 与平面 BDC 的位置关AMMB ANND系是________． 解析：连接 BD，因为 ＝ ，AMMB ANND所以 MN∥ BD．因为 BD 平面 BDC， M N 平面 BDC，所以 MN∥平面 BDC.答案：平行7．在正方体 ABCD­A1B1C1D1中， E 为 DD1的中点，则 BD1与过 A， C， E 的平面的位置关系是________．解析：如图，连接 AC 交 BD 于点 O.则 O 为 BD 的中点，又 E 为 DD1的中点，连接 EO，所以 OE 为△ BDD1的中位线，所以OE∥ BD1.又因为 BD1平面 ACE， OE 平面 ACE，所以 BD1∥平面 ACE.答案：平行8．设 a， b 是直线， α 是平面，给出下列三个命题：①若 a∥ b， a∥ α ，则 b∥ α ；②若 a∥ b， b 与 α 相交，则 a 与 α 也相交；③若 a 与 b 异面， a∥ α ，则 bα .其中正确命题的序号是________．解析：如图的正方体 ABCD­A1B1C1D1中，直线 AD∥直线 B1C1，直线 AD∥平面 A1C1，但是直线 B1C1 平面 A1C1，所以①不正确；②显然正确，可以用反证法证明；直线 AD 与直线 B1A1异面，直线 AD∥平面 A1C1，但是直线 B1A1 平面 A1C1，所以③不正确．答案：②9. 如图，在三棱柱 ABC­A1B1C1中， D 为 BC 的中点，连接 AD， DC1， A1B， AC1，求证：A1B∥平面 ADC1.3证明：连接 A1C，设 A1C∩ AC1＝ O，再连接 O D． 由题意知， A1ACC1是平行四边形，所以 O 是 A1C 的中点，又 D 是 CB 的中点，因此 OD 是△ A1CB 的中位线，即OD∥ A1B． 又 A1B平面 ADC1， OD 平面 ADC1，所以 A1B∥平面 ADC1.10. 已知正方体 ABCD­A1B1C1D1中， E， F 分别是 AA1， CC1的中点，求证：平面 BDF∥平面 B1D1E.证明：如图，取 BB1的中点 G，连接 EG， GC1，则有 EG A1B1.又 A1B1 C1D1，所以 EG C1D1.所以四边形 EGC1D1为平行四边形，所以 D1E GC1.又 BG C1F，所以四边形 BGC1F 为平行四边形．所以 BF∥ C1G，所以 BF∥ D1E.由 B F 平面 B1D1E， D1E 平面 B1D1E，得 BF∥平面 B1D1E，又 BD∥ B1D1，同理可得 BD∥平面 B1D1E.又因为 BF∩ BD＝ B，所以平面 BDF∥平面 B1D1E.[B 能力提升]在正方体 ABCD­A1B1C1D1中， M 为棱 A1D1上的动点， O 为底面 ABCD 的中心， E、 F 分1.别是 A1B1、 C1D1的中点，下列平面中与 OM 扫过的平面平行的是( )A．面 ABB1A1 B．面 BCC1B1C．面 BCFE D．面 DCC1D1解析：选 C.取 AB、 DC 的中点 E1和 F1， OM 扫过的平面即为面 A1E1F1D1.4故面 A1E1F1D1∥面 BCFE.2．三棱锥 S­­­­­­-ABC 中， G 为△ ABC 的重心， E 在棱 SA 上，且 AE＝2 ES，则 EG 与平面 SBC 的关系为__________． 解析：如图，取 BC 中点 F，连接 SF， AF.因为 G 为△ ABC 的重心，所以 A、 G、 F 共线且 AG＝2 GF.又因为 AE＝2 ES，所以 EG∥ SF.因为 SF 平面 SBC， EG平面 SBC，所以 EG∥平面 SBC.答案：平行3. 如图，正方体 ABCD­A1B1C1D1中， M， N， E， F 分别是棱 A1B1， A1D1， B1C1， C1D1的中点，求证：平面 AMN∥平面 EFDB．证明：因为 M， N， E， F 分别是棱 A1B1， A1D1， B1C1， C1D1的中点，所以 MN∥ EF.由直线与平面平行的判定定理， MN∥平面 EFDB，同理有 AM∥平面 EFDB．因为 MN∩ AM＝ M，所以平面 AMN∥平面 EFDB．4．(选做题) 如图，在四棱锥 P­ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，点 M， N 分别为BC， PA 的中点，在线段 PD 上是否存在一点 E，使得 NM∥平面 ACE；若存在，说明点 E 的位置；若不存在，说明理由．解：存在．取 PD 的中点 E，连接 NE， EC， AE， AC，因为 N， E 分别为 PA， PD 的中点，所以 NE∥ AD 且 NE＝ A D．125又在平行四边形 ABCD 中， CM∥ AD 且 CM＝ AD，所以 NE MC，即四边形 MCEN 是平行四12边形，所以 NM∥ EC.又 EC 平面 ACE， NM 平面 ACE，所以 MN∥平面 ACE，即在线段 PD 上存在一点 E，使得 NM∥平面 ACE，此时 PE＝ PD．121【优化课堂】2016 秋高中数学 1.5.2 平行关系的性质练习 北师大版必修 2 [A 基础达标]1. 如图，在三棱锥 S­ABC 中， E、 F 分别是 SB、 SC 上的点，且 EF∥平面 ABC，则( )A． EF 与 BC 相交B． EF∥ BCC． EF 与 BC 异面D．以上均有可能解析：选 B．因为 EF∥平面 ABC， BC 平面 ABC， EF 平面 SBC，平面 ABC∩平面SBC＝ BC，所以 EF∥ BC.2．若 α ∥ β ， a α ， b β ，下列几种说法中正确的是( )① a∥ b；② a 与 β 内无数条直线平行；③ a 与 β 内的任何一条直线都不垂直；④ a∥ β .A．①② B．②④C．②③ D．①③④解析：选 B．序号 正误 原因分析① × a 与 b 可能异面② √ 过 a 的平面与 β 的交线都与 a 平行③ × 在 β 内与 a 垂直的直线有无数多条④ √ 因为 a α ， α ∥ β ，所以 a 与 β 无公共点，所以a∥ β3. 如图所示，在长方体 ABCD­A1B1C1D1中， E， F 分别是棱 AA1和 BB1的中点，过 EF 的平面 EFGH 分别交 BC 和 AD 于 G， H 两点，则 HG 与 AB 的位置关系是( )A．平行 B．相交C．异面 D．不确定解析：选 A.因为 E， F 分别是 AA1和 BB1的中点，所以 EF∥ AB．又因为 AB平面 EFGH， EF 平面 EFGH，所以 AB∥平面 EFGH.又因为 AB 平面 ABCD，平面 ABCD∩平面 EFGH＝ GH，所以 AB∥ GH.4．已知 l 是过正方体 ABCD­A1B1C1D1的顶点的平面 AB1D1与下底面 ABCD 所在平面的交线，下列结论错误的是( )A． D1B1∥平面 ABCD B． BD∥平面 AD1B1C． l∥平面 A1B1C1D1 D． l⊥ B1C1解析：选 D．A 可由上底面与下底面平行的性质定理判定正确，B，C 可由线面平行的2判定定理判定正确性．D 错在 D1B1∥ l， l 与 B1C1所成角是 45°.5．设 α ∥ β ， A∈ α ， B∈ β ， C 是 AB 的中点，当 A、 B 分别在平面 α 、 β 内运动时，那么所有的动点 C( )A．不共面B．当且仅当 A、 B 分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当 A、 B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论 A、 B 如何移动，都共面解析：选 D．如图， A′、 B′分别是 A、 B 两点在 α 、 β 上运动后的两点，此时 AB 的中点 C 变成A′ B′的中点 C′，连接 A′ B，取 A′ B 的中点 E，连接 CE、 C′ E、 AA′、 BB′.则 CE∥ AA′，所以 CE∥ α ，C′ E∥ BB′，所以 C′ E∥ β .又因为 α ∥ β ，所以 C′ E∥ α .因为 C′ E∩ CE＝ E，所以平面 CC′ E∥平面 α .所以 CC′∥ α .所以不论 A、 B 如何移动，所有的动点 C 都在过 C 点且与 α 、 β 平行的平面上．6．若直线 l 不存在与平面 α 内无数条直线都相交的可能，则直线 l 与平面 α 的关系为________．解析：若直线 l 与平面 α 相交或在平面 α 内，则在平面 α 内一定存在无数条直线与直线 l 相交，故要使 l 不可能与平面 α 内无数条直线都相交，只有 l∥ α .答案： l∥ α7. 如图所示，直线 a∥平面 α ， A∉α ，并且 a 和 A 位于平面 α 两侧，点B， C∈ a， AB、 AC 分别交平面 α 于点 E、 F，若 BC＝4， CF＝5， AF＝3，则 EF＝________．解析： EF 可看作直线 a 与点 A 确定的平面与平面 α 的交线，因为 a∥ α ，由线面平行的性质定理知， BC∥ EF，由条件知 AC＝ AF＋ CF＝3＋5＝8.又 ＝ ，所以 EF＝ ＝ ＝ .EFBC AFAC AF×BCAC 3×48 32答案：328．如图，P 为▱ ABCD 所在平面外一点， E 为 AD 的中点， F 为 PC 上一点，当 PA∥平面 EBF 时，＝________．PFFC解析：连接 AC 交 BE 于点 G，连接 FG，因为 PA∥平面 EBF， PA 平面 PAC，平面 PAC∩平面 BEF＝ FG，3所以 PA∥ FG，所以 ＝ .PFFC AGGC又因为 AD∥ BC， E 为 AD 的中点，所以 ＝ ＝ ，所以 ＝ .AGGC AEBC 12 PFFC 12答案：129. 如图，在△ ABC 所在平面外有一点 P，点 D， E 分别为 PB， AB 上的点，过 D， E 作平面平行于 BC，试画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法依据．解：过 D， E 作平面，设所画平面为 α ，因为 BC∥ α ，且 BC 平面 PBC， BC 平面ABC，则平面 α 与平面 PBC 和平面 ABC 的交线都与 BC 平行，据此作平面 α 如下：连接 DE，过 D 作 DG∥ BC，交 PC 于 G，过 E 作 EF∥ BC 交 AC 于 F，连接 GF，平面 DEFG即为平面 α .10. 如图， α ∥ β ∥ γ ，两直线 l、 m 分别与 α 、 β 、 γ 相交于点 A、 B、 C 和点D、 E、 F， AC＝15 cm， DE＝5 cm， AB∶ BC＝1∶3.求 AB、 BC、 EF 的长．解：连接 AF 交 β 于点 G，连接 BG， GE， AD， CF.因为 α ∥ β ∥ γ ，所以 BG∥ CF， GE∥ AD，所以 ＝ ＝ ＝ ，ABBC AGGF DEEF 134所以 ＝ ，即 ＝ ，ABAB＋ BC 14 ABAC 14因为 AC＝15 cm，所以 AB＝ cm.154因为 DE＝5 cm，所以 EF＝3 DE＝15 cm.所以 BC＝3 AB＝ cm.454[B 能力提升]1．正方体 ABCD­A1B1C1D1中， P、 Q 分别是棱 AA1与 CC1的中点，则经过 P、 B、 Q 三点的截面是( )A．邻边不相等的平行四边形B．菱形但不是正方形C．矩形D．正方形解析：选 B．如图所示，设经过 P、 B、 Q 三点的截面为平面 γ ，由平面 ABB1A1∥平面 DCC1D1；平面 ADD1A1∥平面 BCC1B1，知 γ 与两组平面的交线平行，所以截面为平行四边形．又因为△ ABP≌△ CBQ，所以 PB＝ Q B． 知截面为菱形．又 PQ≠ BD1，知截面不可能为正方形．故选 B．2. 如图， A 是 △ BCD 所在平面外一点， M 是△ ABC 的重心， N 是△ ADC 的中线 AF 上的点，并且 MN∥平面 BC D． 当 MN＝ 时， BD＝________．43解析：如图，取 BC 的中点 E，连接 AE， EF，则点 M 在 AE 上，并且 AM∶ AE＝2∶3.因为 MN∥平面 BCD，所以 MN∥ EF.所以 MN∶ EF＝2∶3.而 EF＝ BD，所以 BD＝3 MN＝4.12答案：43. 如图，在棱长为 a 的正方体中，点 M 为 A1B 上任意一点，求证： DM∥平面 D1B1C.5证明：由正方体 ABCD­A1B1C1D1，知A1B1 AB， AB CD，所以 A1B1 CD．所以四边形 A1B1CD 为平行四边形，所以 A1D∥ B1C.而 B1C 平面 CB1D1，所以 A1D∥平面 CB1D1.同理 BD∥平面 CB1D1，且 A1D∩ BD＝ D．所以平面 A1BD∥平面 CB1D1.因为 DM 平面 A1BD，所以 DM∥平面 CB1D1.4．(选做题) 如图，斜三棱柱 ABC­A1B1C1中，点 D， D1分别为 AC， A1C1上的点．(1)当 等于何值时， BC1∥平面 AB1D1?A1D1D1C1(2)若平面 BC1D∥平面 AB1D1，求 的值．ADDC解：(1)如图，取 D1为线段 A1C1的中点，此时 ＝1，连接 A1B 交 AB1于点 O，连接 OD1.A1D1D1C1由棱柱的性质，知四边形 A1ABB1为平行四边形，所以点 O 为 A1B 的中点．在△ A1BC1中，点 O， D1分别为 A1B， A1C1的中点，所以 OD1∥ BC1.又因为 OD1 平面 AB1D1，BC1平面 AB1D1，所以 BC1∥平面 AB1D1.所以 ＝1 时， BC1∥平面 AB1D1.A1D1D1C1(2)由已知，平面 BC1D∥平面 AB1D1，且平面 A1BC1∩平面 BC1D＝ BC1，平面 A1BC1∩平面 AB1D1＝ D1O.因此 BC1∥ D1O，同理 AD1∥ DC1.所以 ＝ ， ＝ .A1D1D1C1 A1OOB A1D1D1C1 DCAD6又因为 ＝1，所以 ＝1，即 ＝1.A1OOB DCAD ADDC1【优化课堂】2016 秋高中数学 1.6.1 垂直关系的判定练习 北师大版必修 2[A 基础达标]1．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( )A．垂直 B．斜交C．平行 D．不能确定解析：选 A.梯形的两腰所在的直线相交，根据线面垂直的判定定理可知选项 A 正确．2．以下命题正确的是( )①Error! ⇒a⊥ β ；②Error!⇒ b∥ α ；③Error!⇒ b⊥ α .A．① B．①③C．②③ D．①②解析：选 A.①由线面垂直的判定定理可知结论正确；②中 b， α 的关系可以线面平行或直线在平面内；③中直线可以与平面平行，相交或直线在平面内．3. 如图，已知正方形 ABCD 所在平面外有一点 M，如果 MC⊥平面 ABCD 所在的平面，那么 MA 与 BD 的位置关系是( )A．平行 B．垂直相交C．垂直异面 D．相交但不垂直解析：选 C.因为 MC⊥平面 ABCD， BD 平面 ABCD，所以 MC⊥ BD．又 BD⊥ AC，AC∩ MC＝ C 且 AC， MC 在平面 ACM 内，所以 BD⊥平面 ACM.又 AM 平面 ACM，所以 BD⊥ MA，但 BD 与 MA 不相交．4．长方体 ABCD­A1B1C1D1中， AB＝ AD＝2 ， CC1＝ ，则二面角 C1­BD­C 的大小为( )3 2A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选 A.如图，连接 AC 交 BD 于 O，连接 C1O.因为 AB＝ AD，所以底面为正方形，所以 AC⊥ BD．又因为 BC＝ CD，所以 C1D＝ C1B， O 为 BD 的中点，所以 C1O⊥ BD．所以∠ C1OC 就是二面角 C1­BD­C 的平面角．则在△ C1OC 中， CC1＝ ，2CO＝ ＝ ，12（ 23） 2＋ （ 23） 2 6tan∠ C1OC＝ ＝ ＝ ，CC1CO 26 33所以∠ C1OC＝30°.5. 如图， BC 是 Rt△ ABC 的斜边，过 A 作△ ABC 所在平面 α 的垂线 AP，连接 PB， PC，2过 A 作 AD⊥ BC 于点 D，连接 PD，那么图中直角三角形的个数是( )A．4 B．6C．7 D．8解析：选 D．容易证得 PA⊥ BC，又 AD⊥ BC， PA∩ AD＝ A，所以 BC⊥平面 PAD，从而图中：△ ABC，△ PAB，△ PAC，△ PAD，△ ABD，△ ACD，△ PBD，△ PCD 均为直角三角形．共有8 个．6．已知 PA 垂直于▱ ABCD 所在平面，若 PC⊥ BD，则▱ ABCD 的形状是________．解析：因为 PA⊥平面 ABCD， BD 平面 ABCD，所以 PA⊥ BD． 又因为PC⊥ BD， PA∩ PC＝ P，所以 BD⊥平面 PAC，所以 BD⊥ AC，所以▱ ABCD 一定是菱形．答案：菱形7. 如图，平面 α ∩ β ＝ CD， EA⊥ α ，垂足为 A， EB⊥ β ，垂足为 B，则 CD 与 AB 的位置关系是________．解析：因为 EA⊥ α ， CD α ，根据直线和平面垂直的定义，则有 CD⊥ EA.同样，因为 EB⊥ β ， CD β ，则有 EB⊥ CD．又 EA∩ EB＝ E，所以 CD⊥平面 AEB．又因为 AB 平面 AEB，所以 CD⊥ AB．答案： CD⊥ AB8．如图，在正方形 ABCD 中， E， F 分别是 BC， CD 的中点， G 是 EF 的中点，现在沿AE， AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B， C， D 三点重合，重合后的点记为 H，那么给出下面四个结论：① AH⊥平面 EFH；② AG⊥平面 EFH；③ HF⊥平面 AEF；④ HG⊥平面 AEF.其中正确命题的序号是________．解析：在这个空间图形中， AH⊥ HF， AH⊥ HE， HF∩ HE＝ H，所以 AH⊥平面 EFH.答案：①9. 如图，在直三棱柱 ABC­A1B1C1中， E， F 分别是 A1B， A1C 的中点，点 D 在 B1C1上，A1D⊥ B1C1.求证：(1) EF∥平面 ABC；(2)平面 A1FD⊥平面 BB1C1C.3证明：(1)由 E， F 分别是 A1B， A1C 的中点知 EF∥ BC.因为 E F 平面 ABC， BC 平面 ABC.所以 EF∥平面 ABC.(2)由三棱柱 ABC­A1B1C1为直三棱柱知 CC1⊥平面 A1B1C1.又 A1D 平面 A1B1C1，故 CC1⊥ A1D．又因为 A1D⊥ B1C1， CC1∩ B1C1＝ C1，故 A1D⊥平面 BB1C1C，又 A1D 平面 A1FD，所以平面 A1FD⊥平面 BB1C1C.10．在△ ABC 中，∠ BAC＝60°， P 是△ ABC 所在平面外一点，PA＝ PB＝ PC，∠ APB＝∠ APC＝90°.(1)求证： PB⊥平面 PAC；(2)若 H 是△ ABC 的重心，求证： PH⊥平面 ABC.证明：(1)如图，由题设易得 AB＝ AC，因为∠ BAC＝60°，所以△ ABC 为等边三角形，所以 AB＝ BC.因为 PA＝ PB＝ PC，所以△ PAB≌△ PBC，所以∠ BPC＝∠ APB＝90°，即 PB⊥ PC.又 PB⊥ PA， PA∩ PC＝ P，所以 PB⊥平面 PAC.(2)取 BC 的中点 D，连接 AD， PD，因为 PB＝ PC，所以 PD⊥ BC.同理可得 AD⊥ BC， PD∩ AD＝ D，所以 BC⊥平面 PAD．因为 AD 是△ ABC 的边 BC 上的中线，所以△ ABC 的重心 H 在 AD 上，所以 BC⊥ PH，同理可得 AB⊥ PH.又 AB∩ BC＝ B，所以 PH⊥平面 ABC.[B 能力提升]1. 如图，已知四边形 ABCD 是正方形， PA⊥平面 ABCD，则图中所有互相垂直的平面共有( )A．8 对 B．7 对C．6 对 D．5 对解析：选 B．由 PA⊥平面 ABCD 可得平面 PAB⊥平面 ABCD，平面 PAD⊥平面 ABCD，平面PAC⊥平面 ABCD． 又 ABCD 为正方形， CD⊥ AD，因为 PA⊥ CD， PA∩ AD＝ A，所以 CD⊥平面PAD，所以平面 PCD⊥平面 PAD，平面 PAB⊥平面 PAD． 同理可得，平面 PBC⊥平面 PAB，平面 PAC⊥平面 PBD． 共 7 对．2. 如图所示，在矩形 ABCD 中， AB＝1， BC＝ a(a＞0)， PA⊥平面 AC，且 PA＝1，若 BC边上存在点 Q，使得 PQ⊥ QD，则 a 的最小值为________．4解析：因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥ QD．若 BC 边上存在一点 Q，使得 QD⊥ PQ，则有 QD⊥平面 PAQ，从而 QD⊥ AQ.在矩形 ABCD 中，当 AD＝ a2 时，直线 BC 与以 AD 为直径的圆相离，故不存在点 Q，使PQ⊥ DQ.所以当 a≥2 时，才存在点 Q，使得 PQ⊥ QD． 所以 a 的最小值为 2.答案：23. 已知三棱锥 P­ABC 中，∠ ACB＝90°， BC＝4， AB＝20. D 为 AB 的中点，且△ PDB 为等边三角形， PA⊥ PC.(1)求证：平面 PAC⊥平面 ABC；(2)求二面角 D­AP­C 的正弦值．解：(1)证明：在 Rt△ ACB 中， D 是斜边 AB 的中点，所以 BD＝ DA.因为△ PDB 是等边三角形，所以 BD＝ DP＝ BP，则 BD＝ DA＝ DP，因此△ APB 为直角三角形，即 PA⊥ BP.又 PA⊥ PC， PC∩ BP＝ P，所以 PA⊥平面 PCB．因为 BC 平面 PCB，所以 PA⊥ BC.又 AC⊥ BC， PA∩ AC＝ A，所以 BC⊥平面 PAC.因为 BC 平面 ABC，所以平面 PAC⊥平面 ABC.(2)由(1)知 PA⊥ PB 及已知 PA⊥ PC，故∠ BPC 即为二面角 D­AP­C 的平面角．由(1)知 BC⊥平面 PAC，则 BC⊥ PC.在 Rt△ BPC 中， BC＝4， BP＝ BD＝10，所以 sin∠ BPC＝ ＝ ＝ ，BCBP 410 25即二面角 D­AP­C 的正弦值为 .254. (选做题)如图，在直角梯形 ABCD 中，∠ BAD＝∠ ADC＝90°， ABCD， PD⊥平面ABCD， AB＝ AD＝ a， PD＝ a.2(1)求证：平面 PAB⊥平面 PAD；(2)设 M 为 PB 的中点，当 CD＝2 AB 时，求证： DM⊥ MC.证明：(1)因为∠ BAD＝90°，所以 AB⊥ AD．又 PD⊥平面 ABCD， AB 平面 ABCD，5所以 PD⊥ AB． 因为 PD∩ AD＝ D，所以 AB⊥平面 PAD．又 AB 平面 PAB，所以平面 PAB⊥平面 PAD．(2)连接 BD，因为∠ BAD＝90°， AB＝ AD＝ a，所以 BD＝ a，所以 PD＝ BD，∠ BDA＝45°.2又 M 为 PB 的中点，所以 DM⊥ PB． ①取 CD 的中点为 N，连接 BN，则 DN∥ AB，且 DN＝ AB，所以 BN∥ AD，故 BN⊥ CD，因为 CD＝2 AB， AB＝ AD，所以 CN＝ BN，即∠ CBN＝45°，所以∠ CBD＝90°⇒ CB⊥ BD．PD⊥平面 ABCD⇒PD⊥ BC，因为 PD∩ BD＝ D，所以 BC⊥平面 PBD．因为 DM 平面 PBD，所以 BC⊥ DM.②由①②，因为 PB∩ BC＝ B，所以 DM⊥平面 PBC.而 CM 平面 PBC，所以 DM⊥ MC.