1、1【优化课堂】2016 秋高中数学 1.4 空间图形的基本关系与公理（1-2 课时） （一）练习 北师大版必修 2A 基础达标1若直线 a ，直线 b ， M l， N l，且 M a， N b，则( )A l B lC l M D l N解析：选 A.由 M a， N b， a ， b 知 M ， N ，由公理 2 知 l .故选 A.2三个平面可把空间分成( )A4 部分 B4 或 6 部分C4 或 6 或 8 部分 D4 或 6 或 7 或 8 部分解析：选 D由平面的无限延展性可知：图(1)中的三个平面把空间分成 4 部分；图(2)中的三个平面把空间分成 6 部分；图(3)中的三个平面
2、把空间分成 7 部分；图(4)中的三个平面把空间分成 8 部分3空间四点 A， B， C， D 共面但不共线，那么这四点中( )A必有三点共线 B必有三点不共线C至少有三点共线 D不可能有三点共线解析：选 B若 AB CD，则 AB， CD 共面，但 A， B， C， D 任何三点都不共线，故排除A，C；若直线 l 与直线外一点 A 在同一平面内，且 B， C， D 三点在直线 l 上，所以排除D故选 B4平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，既与 AB 共面也与 CC1共面的棱的条数为( )A3 B4C5 D6解析：选 C.如图，与 AB 共面也与 CC1共面的棱有 CD， BC， BB1
3、， AA1， C1D1，共 5 条5给出以下三个命题：若直线 a 平面 ，直线 b 平面 ，则“ a 与 b 相交”与“ 与 相交”等价；若 l，直线 a 平面 ，直线 b 平面 ，且 a b P，则 P l；若 n 条直线中任意两条共面，则它们共面其中正确的是( )A BC D解析：选 D对于，逆推“ 与 相交”推不出“ a 与 b 相交” ，也可能 a b， a与 b 异面；对于，正确；对于，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这 4 条侧棱却不共面，故错所以正确的是.6文字语言叙述“平面内有一条直线 a，则这条直线上一点 A 必在这个平面内 ”用符号表述是_解析：点与线或面之间的关系是元
4、素与集合之间的关系，用“”表示，线与面之间2的关系是集合与集合之间的关系，用“ ”表示故应表示为Error! A .答案：Error! A 7在空间中：球面上任意三点可以确定一个平面；圆心和圆上任意两点确定一个平面；平行四边形是平面图形正确的说法是_(将你认为正确的说法的序号都填上)解析：球面上的三点一定不共线，可以确定一个平面，正确；圆心与圆上两点可能共线，不一定能确定一个平面，错；平行四边形对边平行，可以确定一个平面，正确答案：8给出下列说法：和直线 a 都相交的两条直线在同一个平面内；三条两两相交的直线一定在同一个平面内；有三个不同公共点的两个平面重合；两两相交且不过同一点的四条直线共面
5、其中正确说法的序号是_解析：和直线 a 都相交的两直线不一定在同一个平面内，故错误；当三条直线共点时，三条直线不一定在同一平面内，故错误；当三个点共线时，即使两个平面有在同一条直线上的三个公共点，这两个平面也不一定重合，故错误；对于可以证明，只有正确答案：9. 如图，三个平面 ， ， 两两相交于三条直线，即 c， a， b，若直线 a 和 b 不平行，求证： a， b， c 三条直线必过同一点证明：因为 b， a，所以 a ， b .由于直线 a 和 b 不平行，所以 a， b 必相交设 a b P，则 P a， P b.因为 a ， b ，所以 P ， P .又 c，所以 P c，即交线 c
6、 经过点 P.所以 a， b， c 三条直线必过同一点10如图所示， G 是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 DD1延长线上一点， E， F 是棱 AB， BC 的中点试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线(1)过点 G 及 AC；(2)过三点 E， F， D1.解： (1)画法：连接 GA，交 A1D1于点 M；连接 GC，交 C1D1于点 N；连接 MN， AC.则 MA， CN， MN， AC 为所求平面与正方体表面的交线如图所示3图(2)画法：连接 EF 交 DC 延长线于点 P，交 DA 延长线于点 Q；连接 D1P 交 CC1于点 M，连接 D1Q 交 AA1于点
7、N；连接 MF， NE，则D1M， MF， FE， EN， ND1即为所求平面与正方体表面的交线如图所示图B 能力提升1. 如图，平面 平面 l，点 A ，点 B ，且点 C ，点 Cl，又AB l R，设 A， B， C 三点确定的平面为 ，则 是( )A直线 AC B直线 BCC直线 CR D以上均错解析：选 C.因为 C平面 ABC， AB 平面 ABC，而 R AB，所以 R .而 C ， l ， R l，所以 R ，所以点 C，点 R 为 与 的公共点，所以 CR.故选 C.2平面 ， 的公共点多于两个，则以下三个判断中不成立的有_个 ， 至少有三个公共点； ， 至少有一条公共直线；
8、 ， 至多有一条公共直线解析：由条件知当平面 ， 的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则 ， 相交；若公共点不共线，则 ， 重合故成立；成立；不成立故不成立的有 1个答案：13如图，已知有公共边 AB 的两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内， M， N分别是对角线 AC， BF 上的点，求证： A， C， M， N 四点共面，并作出它们所确定的平面与平面 CBE 的交线解：连接 AN， CN.由题意可知 AC AN A，所以直线 AC 与直线 AN 确定平面 ACN.又M AC，所以 M平面 ACN，即 A， C， M， N 四点共面，该平面即为平面 ACN.4要确定两个
9、平面的交线，可以先确定交线上的两个点，然后连接即可得到延长 AN交 BE 的延长线于点 G.因为 G BE， BE 平面 CBE，所以 G平面 CBE.又 G AN， AN 平面 ACN，所以 G平面 ACN，即 G 为平面 ACN 和平面 CBE 的公共点又 C平面 CBE， C平面 ACN，所以 CG 为两个平面的交线4(选做题)已知正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N， P 分别是棱 AB， A1D1， BB1的中点，试作出过 M， N， P 三点的截面解：设 M， N， P 三点确定的平面为 ，则 与平面 AA1B1B 的交线为直线 MP，设MP A1B1 R，则 RN 是
10、与平面 A1B1C1D1的交线，设 RN B1C1 Q，连接 PQ，则 PQ 是所要画的平面 与平面 BB1C1C 的交线，如图所示， NQ 是平面 与平面A1B1C1D1的交线设 MP A1A F，则 FN 是平面 与平面 A1D1DA 的交线，设 FN AD H，连接 HM，则 HM 是平面 与平面 ABCD 的交线， HN 是平面 与平面 A1D1DA 的交线综上可知，平面 PMHNQ 就是过 M， N， P 三点的截面1【优化课堂】2016 秋高中数学 1.4.2 空间图形的公理（二）练习 北师大版必修 2A 基础达标1下列命题中，真命题的个数是( )如果一个角的两边与另一个角的两边分
11、别平行，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补A0 B1C2 D3解析：选 B这两个角也可能互补，故是错误的；是正确的，它是等角定理的推广和延伸空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不互补，故是错误的所以结论正确的个数为 1.2已知不同的直线 a， b， c，下列说法正确的是( )A a b， b c，则 a cB a 与 b 异面， b 与 c 异面，则 a 与 c 异面C a 与 b 相交， b 与 c 相交，则 a 与 c 相交D a 与 b 所成的
12、角与 b 与 c 所成的角相等，则 a c解析：选 A.A 是公理 4 的内容如图正方体中， AB， A1B1都与 CC1异面，但 AB 与 A1B1不异面，B错， AB， A1B1都与 BB1相交，但 AB 与 A1B1不相交，C 错； AB， BC 都与 DD1成 90角，但 AB与 BC 不平行，D 错3两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )A全等 B相似C仅有一个角相等 D全等或相似解析：选 D由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以选 D4一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条( )A相交 B异面C相交或异面 D平行解析：选
13、C.如图所示的长方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 AA1与直线 B1C1是异面直线，与 B1C1平行的直线有 A1D1， AD， BC，显然直线 AA1与 A1D1相交，与 BC 异面5已知空间四边形 ABCD 中， M， N 分别为 AB， CD 的中点，则下列判断正确的是( )A MN (AC BD)12B MN (AC BD)122C MN (AC BD)12D MN (AC BD)12解析：选 D如图，取 BC 的中点 H，连接 MH， HN， MN，据题意有MH AC， MH AC， HN BD， HN BD 在 MNH 中，由两边之和大于第三边知，12 12MN MH HN
14、(AC BD) 126. 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， BD 和 B1D1分别是正方形 ABCD 和 A1B1C1D1的对角线，(1) DBC 的两边与_的两边分别平行且方向相同；(2) DBC 的两边与_的两边分别平行且方向相反答案：(1) D1B1C1 (2) A1D1B17一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论： AB EF； AB 与 CM 所成的角为 60； EF 与 MN 是异面直线； MN C D以上结论中正确的是_(填序号)解析：把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示， AB EF， EF 与 MN 是异面直线， AB CM， MN CD，
15、只有正确答案：8如图，在正方体 AC1中， AA1与 B1D 所成角的余弦值是_解析：因为 B1B A1A，所以 BB1D 就是异面直线 AA1与 B1D 所成的角，连接 B D在 Rt B1BD 中，设棱长为 1，则 B1D .3cos BB1D .BB1B1D 13 333所以 AA1与 B1D 所成的角的余弦值为 .33答案：339. 在如图所示的正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F， E1， F1分别是棱 AB， AD， B1C1， C1D1的中点，求证：(1) EF E1F1；(2) EA1F E1CF1.证明：(1)连接 BD， B1D1，在 ABD 中，因为 E， F
16、分别为 AB， AD 的中点，所以 EF BD12同理， E1F1 B1D1.12在正方体 ABCDA1B1C1D1中，因为 A1A B1B， A1A D1D，所以 B1B D1D所以四边形 BDD1B1是平行四边形，所以 BD B1D1.所以 EF E1F1.(2)取 A1B1的中点 M，连接 BM， F1M.因为 MF1 B1C1， B1C1 BC，所以 MF1 BC.所以四边形 BCF1M 是平行四边形所以 MB CF1.因为 A1M EB，所以四边形 EBMA1是平行四边形所以 A1E MB，所以 A1E CF1.同理可证： A1F E1C.又 EA1F 与 F1CE1两边的方向均相反
17、，所以 EA1F E1CF1.10.如图， ABEDFC 为多面体，点 O 在棱 AD 上， OA1， OD2，在侧面 ACFD 中， OAC和 ODF 为正三角形，在底面 ABED 中， OAB 和 ODE 也都是正三角形，4求证：直线 BC EF.证明：设 G 是线段 DA 与线段 EB 延长线的交点，由于 OAB 与 ODE 都是正三角形，所以 OB DE， OB DE，所以 OG OD2.同理，设 G是线段 DA 与线段 FC 延长线的交点，12有 OG OD2，又由于 G 与 G都在线段 DA 的延长线上，所以 G 与 G重合，在 GED 和 GFD 中，由 OB DE， OB DE
18、 和 OC DF， OC DF，可知 B， C 分别是 GE， GF 的中点，所12 12以 BC 是 GFE 的中位线，故 BC EF.B 能力提升1已知在四面体 ABCD 中， E， F 分别是 AC， BD 的中点，若 AB2， CD4， EF AB，则 EF 和 CD 所成的角是( )A90 B45C60 D30解析：选 D如图，作 FG CD 交 BC 于 G，连接 EG，则 EG AB，故 EFG(或其补角)为 EF 和 CD 所成的角因为 EF AB，所以 EF EG.又因为 AB2， CD4，所以 EG1， FG2.所以 sin EFG .12所以 EFG30.2. 如图，正方
19、体 ABCDA1B1C1D1中， M， N 分别为棱 C1D1， C1C 的中点，有以下结论：直线 AM 与 CC1是相交直线；直线 AM 与 BN 是平行直线；直线 BN 与 MB1是异面直线；直线 AM 与 DD1是异面直线其中正确的结论为_(把你认为正确的结论的序号都填上)解析：直线 AM 与 CC1是异面直线，直线 AM 与 BN 也是异面直线，直线 BN 与 MB1是异面直线，直线 AM 与 DD1是异面直线，故错误，正确答案：3. 如图所示，设 E， F， G， H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB， BC， CD， DA 上的点，且 ， ，求证：AEAB AHAD CFCB
20、 CGCD5(1)当 时，四边形 EFGH 是平行四边形；(2)当 时，四边形 EFGH 是梯形证明：在 ABD 中， .AEAB AHAD所以 EH BD，且 EH BD 在 CBD 中， ，CFCB CGCD所以 FG BD，且 FG BD ，所以 EH FG，所以顶点 E， F， G， H 在由 EH 和 FG 确定的平面内(1)当 时， EH FG，故四边形 EFGH 为平行四边形；(2)当 时， EH FG，故四边形 EFGH 是梯形4(选做题) 如图所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形， BAD FAB90，BC AD， BE FA， G， H 分别为 FA， FD
21、的中点12 12(1)求证：四边形 BCHG 是平行四边形；(2)C， D， F， E 四点是否共面？为什么？解：(1)证明：因为 G， H 分别为 FA， FD 的中点，所以 GH AD12又 BC AD，所以 GH BC，12所以四边形 BCHG 为平行四边形(2)由 BE AF， G 为 FA 的中点知， BE FG，12所以四边形 BEFG 为平行四边形，所以 EF BG.由(1)知 BG CH，所以 EF CH，所以 EF 与 CH 共面又 D FH，所以 C， D， F， E 四点共面1【优化课堂】2016 秋高中数学 1.5.1 平行关系的判定练习 北师大版必修 2A 基础达标1
22、下列四个选项中能推出 的是( )A存在一条直线 a， a ， a B存在一条直线 a， a ， a C存在两条平行直线 a， b， a ， b ， a ， b D存在两条异面直线 a， b， a ， b ， a ， b 解析：选 D若 l， a l， a ， a ，则 a ， a ，故排除 A.若 l， a ， a l，则 a ，故排除 B若 l， a ， a l， b ， b l，则 a ， b ，故排除 C.故选 D平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等且不为零，则 与 的位置关系2.为( )A平行 B相交C平行或相交 D可能重合解析：选 C.若三点分布于平面 的同侧，则 与 平行，若三
23、点分布于平面 的两侧，则 与 相交3在正方体 ABCDA1B1C1D1中，与平面 AB1D1平行的平面是( )A平面 BCD B平面 BCC1C平面 BDC1 D平面 CDC1解析：选 C.由于 BD B1D1，且 BD 平面 AB1D1， B1D1 平面 AB1D1，所以 BD平面AB1D1，因为 BC1 AD1，且 BC1平面 AB1D1， AD1 平面 AB1D1，所以 BC1平面 AB1D1，从而平面 BDC1平面 AB1D1.4下列三个命题，其中真命题的个数是( )两条直线没有公共点，那么这两条直线平行；两个平面如果没有公共点，那么这两个平面平行；两个平面都平行于同一条直线，那么这两
24、个平面平行A1 B2C3 D0解析：选 A.中两条直线没有公共点，这两条直线可能平行，也可能异面；是真命题；中两个平面都平行于同一条直线，这两个平面可能平行，也可能相交5在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M 是棱 A1D1上的动点，则直线 MD 与平面 AA1C1C 的位置关系是( )A平行 B相交C直线在平面内 D相交或平行解析：选 D如图，若点 M 与点 D1重合，因为 D1D A1A， D1D 平面 AA1C1C， A1A 平面AA1C1C，2所以 D1D平面 AA1C1C，即 DM平面 AA1C1C.若点 M 与点 D1不重合，设 DM AA1 P，则 DM平面 AA1C1C P
25、.6在空间四边形 ABCD 中， M AB， N AD，若 ，则直线 MN 与平面 BDC 的位置关AMMB ANND系是_ 解析：连接 BD，因为 ，AMMB ANND所以 MN BD因为 BD 平面 BDC， M N 平面 BDC，所以 MN平面 BDC.答案：平行7在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 为 DD1的中点，则 BD1与过 A， C， E 的平面的位置关系是_解析：如图，连接 AC 交 BD 于点 O.则 O 为 BD 的中点，又 E 为 DD1的中点，连接 EO，所以 OE 为 BDD1的中位线，所以OE BD1.又因为 BD1平面 ACE， OE 平面 ACE，所以
26、 BD1平面 ACE.答案：平行8设 a， b 是直线， 是平面，给出下列三个命题：若 a b， a ，则 b ；若 a b， b 与 相交，则 a 与 也相交；若 a 与 b 异面， a ，则 b .其中正确命题的序号是_解析：如图的正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 AD直线 B1C1，直线 AD平面 A1C1，但是直线 B1C1 平面 A1C1，所以不正确；显然正确，可以用反证法证明；直线 AD 与直线 B1A1异面，直线 AD平面 A1C1，但是直线 B1A1 平面 A1C1，所以不正确答案：9. 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中， D 为 BC 的中点，连接 AD， DC1
27、， A1B， AC1，求证：A1B平面 ADC1.3证明：连接 A1C，设 A1C AC1 O，再连接 O D 由题意知， A1ACC1是平行四边形，所以 O 是 A1C 的中点，又 D 是 CB 的中点，因此 OD 是 A1CB 的中位线，即OD A1B 又 A1B平面 ADC1， OD 平面 ADC1，所以 A1B平面 ADC1.10. 已知正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别是 AA1， CC1的中点，求证：平面 BDF平面 B1D1E.证明：如图，取 BB1的中点 G，连接 EG， GC1，则有 EG A1B1.又 A1B1 C1D1，所以 EG C1D1.所以四边形
28、EGC1D1为平行四边形，所以 D1E GC1.又 BG C1F，所以四边形 BGC1F 为平行四边形所以 BF C1G，所以 BF D1E.由 B F 平面 B1D1E， D1E 平面 B1D1E，得 BF平面 B1D1E，又 BD B1D1，同理可得 BD平面 B1D1E.又因为 BF BD B，所以平面 BDF平面 B1D1E.B 能力提升在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M 为棱 A1D1上的动点， O 为底面 ABCD 的中心， E、 F 分1.别是 A1B1、 C1D1的中点，下列平面中与 OM 扫过的平面平行的是( )A面 ABB1A1 B面 BCC1B1C面 BCFE D
29、面 DCC1D1解析：选 C.取 AB、 DC 的中点 E1和 F1， OM 扫过的平面即为面 A1E1F1D1.4故面 A1E1F1D1面 BCFE.2三棱锥 S-ABC 中， G 为 ABC 的重心， E 在棱 SA 上，且 AE2 ES，则 EG 与平面 SBC 的关系为_ 解析：如图，取 BC 中点 F，连接 SF， AF.因为 G 为 ABC 的重心，所以 A、 G、 F 共线且 AG2 GF.又因为 AE2 ES，所以 EG SF.因为 SF 平面 SBC， EG平面 SBC，所以 EG平面 SBC.答案：平行3. 如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N， E， F
30、分别是棱 A1B1， A1D1， B1C1， C1D1的中点，求证：平面 AMN平面 EFDB证明：因为 M， N， E， F 分别是棱 A1B1， A1D1， B1C1， C1D1的中点，所以 MN EF.由直线与平面平行的判定定理， MN平面 EFDB，同理有 AM平面 EFDB因为 MN AM M，所以平面 AMN平面 EFDB4(选做题) 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，点 M， N 分别为BC， PA 的中点，在线段 PD 上是否存在一点 E，使得 NM平面 ACE；若存在，说明点 E 的位置；若不存在，说明理由解：存在取 PD 的中点 E，连接 NE，
31、 EC， AE， AC，因为 N， E 分别为 PA， PD 的中点，所以 NE AD 且 NE A D125又在平行四边形 ABCD 中， CM AD 且 CM AD，所以 NE MC，即四边形 MCEN 是平行四12边形，所以 NM EC.又 EC 平面 ACE， NM 平面 ACE，所以 MN平面 ACE，即在线段 PD 上存在一点 E，使得 NM平面 ACE，此时 PE PD121【优化课堂】2016 秋高中数学 1.5.2 平行关系的性质练习 北师大版必修 2 A 基础达标1. 如图，在三棱锥 SABC 中， E、 F 分别是 SB、 SC 上的点，且 EF平面 ABC，则( )A
32、EF 与 BC 相交B EF BCC EF 与 BC 异面D以上均有可能解析：选 B因为 EF平面 ABC， BC 平面 ABC， EF 平面 SBC，平面 ABC平面SBC BC，所以 EF BC.2若 ， a ， b ，下列几种说法中正确的是( ) a b； a 与 内无数条直线平行； a 与 内的任何一条直线都不垂直； a .A BC D解析：选 B序号 正误 原因分析 a 与 b 可能异面 过 a 的平面与 的交线都与 a 平行 在 内与 a 垂直的直线有无数多条 因为 a ， ，所以 a 与 无公共点，所以a 3. 如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别是棱
33、 AA1和 BB1的中点，过 EF 的平面 EFGH 分别交 BC 和 AD 于 G， H 两点，则 HG 与 AB 的位置关系是( )A平行 B相交C异面 D不确定解析：选 A.因为 E， F 分别是 AA1和 BB1的中点，所以 EF AB又因为 AB平面 EFGH， EF 平面 EFGH，所以 AB平面 EFGH.又因为 AB 平面 ABCD，平面 ABCD平面 EFGH GH，所以 AB GH.4已知 l 是过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点的平面 AB1D1与下底面 ABCD 所在平面的交线，下列结论错误的是( )A D1B1平面 ABCD B BD平面 AD1B1C l平面
34、A1B1C1D1 D l B1C1解析：选 DA 可由上底面与下底面平行的性质定理判定正确，B，C 可由线面平行的2判定定理判定正确性D 错在 D1B1 l， l 与 B1C1所成角是 45.5设 ， A ， B ， C 是 AB 的中点，当 A、 B 分别在平面 、 内运动时，那么所有的动点 C( )A不共面B当且仅当 A、 B 分别在两条直线上移动时才共面C当且仅当 A、 B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D不论 A、 B 如何移动，都共面解析：选 D如图， A、 B分别是 A、 B 两点在 、 上运动后的两点，此时 AB 的中点 C 变成A B的中点 C，连接 A B，取 A B
35、 的中点 E，连接 CE、 C E、 AA、 BB.则 CE AA，所以 CE ，C E BB，所以 C E .又因为 ，所以 C E .因为 C E CE E，所以平面 CC E平面 .所以 CC .所以不论 A、 B 如何移动，所有的动点 C 都在过 C 点且与 、 平行的平面上6若直线 l 不存在与平面 内无数条直线都相交的可能，则直线 l 与平面 的关系为_解析：若直线 l 与平面 相交或在平面 内，则在平面 内一定存在无数条直线与直线 l 相交，故要使 l 不可能与平面 内无数条直线都相交，只有 l .答案： l 7. 如图所示，直线 a平面 ， A ，并且 a 和 A 位于平面 两
36、侧，点B， C a， AB、 AC 分别交平面 于点 E、 F，若 BC4， CF5， AF3，则 EF_解析： EF 可看作直线 a 与点 A 确定的平面与平面 的交线，因为 a ，由线面平行的性质定理知， BC EF，由条件知 AC AF CF358.又 ，所以 EF .EFBC AFAC AFBCAC 348 32答案：328如图，P 为 ABCD 所在平面外一点， E 为 AD 的中点， F 为 PC 上一点，当 PA平面 EBF 时，_PFFC解析：连接 AC 交 BE 于点 G，连接 FG，因为 PA平面 EBF， PA 平面 PAC，平面 PAC平面 BEF FG，3所以 PA
37、FG，所以 .PFFC AGGC又因为 AD BC， E 为 AD 的中点，所以 ，所以 .AGGC AEBC 12 PFFC 12答案：129. 如图，在 ABC 所在平面外有一点 P，点 D， E 分别为 PB， AB 上的点，过 D， E 作平面平行于 BC，试画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法依据解：过 D， E 作平面，设所画平面为 ，因为 BC ，且 BC 平面 PBC， BC 平面ABC，则平面 与平面 PBC 和平面 ABC 的交线都与 BC 平行，据此作平面 如下：连接 DE，过 D 作 DG BC，交 PC 于 G，过 E 作 EF BC 交 AC 于 F，连接 GF
38、，平面 DEFG即为平面 .10. 如图， ，两直线 l、 m 分别与 、 、 相交于点 A、 B、 C 和点D、 E、 F， AC15 cm， DE5 cm， AB BC13.求 AB、 BC、 EF 的长解：连接 AF 交 于点 G，连接 BG， GE， AD， CF.因为 ，所以 BG CF， GE AD，所以 ，ABBC AGGF DEEF 134所以 ，即 ，ABAB BC 14 ABAC 14因为 AC15 cm，所以 AB cm.154因为 DE5 cm，所以 EF3 DE15 cm.所以 BC3 AB cm.454B 能力提升1正方体 ABCDA1B1C1D1中， P、 Q 分
39、别是棱 AA1与 CC1的中点，则经过 P、 B、 Q 三点的截面是( )A邻边不相等的平行四边形B菱形但不是正方形C矩形D正方形解析：选 B如图所示，设经过 P、 B、 Q 三点的截面为平面 ，由平面 ABB1A1平面 DCC1D1；平面 ADD1A1平面 BCC1B1，知 与两组平面的交线平行，所以截面为平行四边形又因为 ABP CBQ，所以 PB Q B 知截面为菱形又 PQ BD1，知截面不可能为正方形故选 B2. 如图， A 是 BCD 所在平面外一点， M 是 ABC 的重心， N 是 ADC 的中线 AF 上的点，并且 MN平面 BC D 当 MN 时， BD_43解析：如图，取
40、 BC 的中点 E，连接 AE， EF，则点 M 在 AE 上，并且 AM AE23.因为 MN平面 BCD，所以 MN EF.所以 MN EF23.而 EF BD，所以 BD3 MN4.12答案：43. 如图，在棱长为 a 的正方体中，点 M 为 A1B 上任意一点，求证： DM平面 D1B1C.5证明：由正方体 ABCDA1B1C1D1，知A1B1 AB， AB CD，所以 A1B1 CD所以四边形 A1B1CD 为平行四边形，所以 A1D B1C.而 B1C 平面 CB1D1，所以 A1D平面 CB1D1.同理 BD平面 CB1D1，且 A1D BD D所以平面 A1BD平面 CB1D1
41、.因为 DM 平面 A1BD，所以 DM平面 CB1D1.4(选做题) 如图，斜三棱柱 ABCA1B1C1中，点 D， D1分别为 AC， A1C1上的点(1)当 等于何值时， BC1平面 AB1D1?A1D1D1C1(2)若平面 BC1D平面 AB1D1，求 的值ADDC解：(1)如图，取 D1为线段 A1C1的中点，此时 1，连接 A1B 交 AB1于点 O，连接 OD1.A1D1D1C1由棱柱的性质，知四边形 A1ABB1为平行四边形，所以点 O 为 A1B 的中点在 A1BC1中，点 O， D1分别为 A1B， A1C1的中点，所以 OD1 BC1.又因为 OD1 平面 AB1D1，B
42、C1平面 AB1D1，所以 BC1平面 AB1D1.所以 1 时， BC1平面 AB1D1.A1D1D1C1(2)由已知，平面 BC1D平面 AB1D1，且平面 A1BC1平面 BC1D BC1，平面 A1BC1平面 AB1D1 D1O.因此 BC1 D1O，同理 AD1 DC1.所以 ， .A1D1D1C1 A1OOB A1D1D1C1 DCAD6又因为 1，所以 1，即 1.A1OOB DCAD ADDC1【优化课堂】2016 秋高中数学 1.6.1 垂直关系的判定练习 北师大版必修 2A 基础达标1垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( )A垂直 B斜交C平行 D不能确定解析：
43、选 A.梯形的两腰所在的直线相交，根据线面垂直的判定定理可知选项 A 正确2以下命题正确的是( )Error! a ；Error! b ；Error! b .A BC D解析：选 A.由线面垂直的判定定理可知结论正确；中 b， 的关系可以线面平行或直线在平面内；中直线可以与平面平行，相交或直线在平面内3. 如图，已知正方形 ABCD 所在平面外有一点 M，如果 MC平面 ABCD 所在的平面，那么 MA 与 BD 的位置关系是( )A平行 B垂直相交C垂直异面 D相交但不垂直解析：选 C.因为 MC平面 ABCD， BD 平面 ABCD，所以 MC BD又 BD AC，AC MC C 且 AC
44、， MC 在平面 ACM 内，所以 BD平面 ACM.又 AM 平面 ACM，所以 BD MA，但 BD 与 MA 不相交4长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB AD2 ， CC1 ，则二面角 C1BDC 的大小为( )3 2A30 B45C60 D90解析：选 A.如图，连接 AC 交 BD 于 O，连接 C1O.因为 AB AD，所以底面为正方形，所以 AC BD又因为 BC CD，所以 C1D C1B， O 为 BD 的中点，所以 C1O BD所以 C1OC 就是二面角 C1BDC 的平面角则在 C1OC 中， CC1 ，2CO ，12（ 23） 2 （ 23） 2 6tan C1
45、OC ，CC1CO 26 33所以 C1OC30.5. 如图， BC 是 Rt ABC 的斜边，过 A 作 ABC 所在平面 的垂线 AP，连接 PB， PC，2过 A 作 AD BC 于点 D，连接 PD，那么图中直角三角形的个数是( )A4 B6C7 D8解析：选 D容易证得 PA BC，又 AD BC， PA AD A，所以 BC平面 PAD，从而图中： ABC， PAB， PAC， PAD， ABD， ACD， PBD， PCD 均为直角三角形共有8 个6已知 PA 垂直于 ABCD 所在平面，若 PC BD，则 ABCD 的形状是_解析：因为 PA平面 ABCD， BD 平面 ABC
46、D，所以 PA BD 又因为PC BD， PA PC P，所以 BD平面 PAC，所以 BD AC，所以 ABCD 一定是菱形答案：菱形7. 如图，平面 CD， EA ，垂足为 A， EB ，垂足为 B，则 CD 与 AB 的位置关系是_解析：因为 EA ， CD ，根据直线和平面垂直的定义，则有 CD EA.同样，因为 EB ， CD ，则有 EB CD又 EA EB E，所以 CD平面 AEB又因为 AB 平面 AEB，所以 CD AB答案： CD AB8如图，在正方形 ABCD 中， E， F 分别是 BC， CD 的中点， G 是 EF 的中点，现在沿AE， AF 及 EF 把这个正方
47、形折成一个空间图形，使 B， C， D 三点重合，重合后的点记为 H，那么给出下面四个结论： AH平面 EFH； AG平面 EFH； HF平面 AEF； HG平面 AEF.其中正确命题的序号是_解析：在这个空间图形中， AH HF， AH HE， HF HE H，所以 AH平面 EFH.答案：9. 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中， E， F 分别是 A1B， A1C 的中点，点 D 在 B1C1上，A1D B1C1.求证：(1) EF平面 ABC；(2)平面 A1FD平面 BB1C1C.3证明：(1)由 E， F 分别是 A1B， A1C 的中点知 EF BC.因为 E F 平面 AB
48、C， BC 平面 ABC.所以 EF平面 ABC.(2)由三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱知 CC1平面 A1B1C1.又 A1D 平面 A1B1C1，故 CC1 A1D又因为 A1D B1C1， CC1 B1C1 C1，故 A1D平面 BB1C1C，又 A1D 平面 A1FD，所以平面 A1FD平面 BB1C1C.10在 ABC 中， BAC60， P 是 ABC 所在平面外一点，PA PB PC， APB APC90.(1)求证： PB平面 PAC；(2)若 H 是 ABC 的重心，求证： PH平面 ABC.证明：(1)如图，由题设易得 AB AC，因为 BAC60，所以 ABC 为等
49、边三角形，所以 AB BC.因为 PA PB PC，所以 PAB PBC，所以 BPC APB90，即 PB PC.又 PB PA， PA PC P，所以 PB平面 PAC.(2)取 BC 的中点 D，连接 AD， PD，因为 PB PC，所以 PD BC.同理可得 AD BC， PD AD D，所以 BC平面 PAD因为 AD 是 ABC 的边 BC 上的中线，所以 ABC 的重心 H 在 AD 上，所以 BC PH，同理可得 AB PH.又 AB BC B，所以 PH平面 ABC.B 能力提升1. 如图，已知四边形 ABCD 是正方形， PA平面 ABCD，则图中所有互相垂直的平面共有(
50、)A8 对 B7 对C6 对 D5 对解析：选 B由 PA平面 ABCD 可得平面 PAB平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD，平面PAC平面 ABCD 又 ABCD 为正方形， CD AD，因为 PA CD， PA AD A，所以 CD平面PAD，所以平面 PCD平面 PAD，平面 PAB平面 PAD 同理可得，平面 PBC平面 PAB，平面 PAC平面 PBD 共 7 对2. 如图所示，在矩形 ABCD 中， AB1， BC a(a0)， PA平面 AC，且 PA1，若 BC边上存在点 Q，使得 PQ QD，则 a 的最小值为_4解析：因为 PA平面 ABCD，所以 PA QD若 B
51、C 边上存在一点 Q，使得 QD PQ，则有 QD平面 PAQ，从而 QD AQ.在矩形 ABCD 中，当 AD a2 时，直线 BC 与以 AD 为直径的圆相离，故不存在点 Q，使PQ DQ.所以当 a2 时，才存在点 Q，使得 PQ QD 所以 a 的最小值为 2.答案：23. 已知三棱锥 PABC 中， ACB90， BC4， AB20. D 为 AB 的中点，且 PDB 为等边三角形， PA PC.(1)求证：平面 PAC平面 ABC；(2)求二面角 DAPC 的正弦值解：(1)证明：在 Rt ACB 中， D 是斜边 AB 的中点，所以 BD DA.因为 PDB 是等边三角形，所以
52、BD DP BP，则 BD DA DP，因此 APB 为直角三角形，即 PA BP.又 PA PC， PC BP P，所以 PA平面 PCB因为 BC 平面 PCB，所以 PA BC.又 AC BC， PA AC A，所以 BC平面 PAC.因为 BC 平面 ABC，所以平面 PAC平面 ABC.(2)由(1)知 PA PB 及已知 PA PC，故 BPC 即为二面角 DAPC 的平面角由(1)知 BC平面 PAC，则 BC PC.在 Rt BPC 中， BC4， BP BD10，所以 sin BPC ，BCBP 410 25即二面角 DAPC 的正弦值为 .254. (选做题)如图，在直角梯
53、形 ABCD 中， BAD ADC90， ABCD， PD平面ABCD， AB AD a， PD a.2(1)求证：平面 PAB平面 PAD；(2)设 M 为 PB 的中点，当 CD2 AB 时，求证： DM MC.证明：(1)因为 BAD90，所以 AB AD又 PD平面 ABCD， AB 平面 ABCD，5所以 PD AB 因为 PD AD D，所以 AB平面 PAD又 AB 平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD(2)连接 BD，因为 BAD90， AB AD a，所以 BD a，所以 PD BD， BDA45.2又 M 为 PB 的中点，所以 DM PB 取 CD 的中点为 N，连接 BN，则 DN AB，且 DN AB，所以 BN AD，故 BN CD，因为 CD2 AB， AB AD，所以 CN BN，即 CBN45，所以 CBD90 CB BDPD平面 ABCDPD BC，因为 PD BD D，所以 BC平面 PBD因为 DM 平面 PBD，所以 BC DM.由，因为 PB BC B，所以 DM平面 PBC.而 CM 平面 PBC，所以 DM MC.
