1、1第八单元 相似三角形与锐角三角函数（一）班级 姓名 日期 【学习目标】1. 掌握相似三角形、位似图形、三角函数的相关概念。2. 利用相似三角形的性质，解决简单问题；利用三角函数解决实际问题。【学习重难点】1. 相似三角形、位似图形的性质，三角函数的相关计算是学习的重点。2. 相似三角形、位似图形的性质的应用和三角函数的应用是学习的难点。【知识结构图】【知识概要】1.同一个长度单位下， 的比叫做两条线段的比；【练习】已知 a=5mm，b=2cm，则 = ；ab2.比例尺= ，结果一般写成 1：m 的形式；实 际 距 离【练习】甲乙两地的实际距离为 250km，如果画在比例尺为 1:500000
2、0的地图上，那么甲、乙两地的图上距离是 cm。3. 在四条线段 a、b、c、d 中，如果 , 则称这四条线段 a、b、c、d 叫做成比例线段，简称比例线段；【练习】1.下 列 线 段 中 ， 其 中 成 比 例 的 是 （ ）A3cm、6cm、8cm、9cm B3cm、5cm、6cm、9cmC3cm、6cm、7cm、9cm D3cm、6cm、9cm、18cm2. 已 知 a、 b、 d、 c 是 成 比 例 线 段 ， a=4， b=6， d=9， 则 c= ；4. 比例的基本性质：若 ，则有 ； 反之，若 ，则有 ； acbd即: 两个外项之积=两个内项之积【练习】1.若 ，则 = ； 若
3、，则 = ；43b3a4b2.若 ，且 ，则 x= ，y= ；5xy245在 中，若 ，则称 b（或 c）叫做 a和 d的比例中项；acbd【练习】已知线段 a=1cm，b=4cm，那么线段 a、b 的比例中项 c= cm； 6如图，如果点 C把线段 AB分成两部分（ACBC） ，且满足 ，则称线段 AB被点2C黄金分割，点 C叫做线段 AB的黄金分割点线段 BC与 AC（或 AC与 AB）的比值为 ，大约为 ，这个比值称做黄金比。【练习】已知线段 AB=4cm，点 C是线段 AB的黄金分割点，且 ACBC，则 AC= cm；7.各角分别 ，各边 的两个多边形称为相似多边形；8.性质：（1）相
4、似多边形的 ， ；（2）相似多边形的 的比叫做相似比；【练习】如 图 1， 四 边 形 ABCD 四 边 形 A B C D ， 则 边 x= ， = ；（图 1） （图 2） （图 3）9.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的 成比例；【数学符号语言】直 线 l1 l2 l3（如图 2） ；（写出一种结论即可）【练习】如图 2，如果 l1 l2 l3，AC=12，DE=3，EF=5，那么 BC= 10.相似三角形的判定方法：（1）平行于三角形的一边的直线与其它两边（或延长线）相交，所截的三角形与原三角形相似；（2） 分别相等的两个三角形相似；（3）两条 且夹角 的两个三角
5、形相似；（4）三边 的两个三角形相似；【练习】如 图 ， 已 知 O 是 ABC 内 一 点 ， D、 E、 F 分 别 是 OA、 OB、 OC 的 中 点 求 证 ： ABC DEF【思考】你能想到几种证明方法？11.三角形的重心：（1）三角形的 相交于一点，这点叫做三角形的重心；（2）重心的性质：三角形的重心到三角形 的距离与到三角形 的距离的比为 ；【练习】如 图 3， 点 G 是 ABC 的 重 心 ， 连 结 AG 并 延 长 交 BC 于 点 D， GE AB， 若AB=6， 那 么 GE= ；12.相似三角形的性质：1.相似三角形的对应角 ；2. 相似三角形的对应线段（边、中线
6、、角平分线、高） 、对应周长的比等于 ；3.相似三角形的面积比等于相似比的 ；3【练习】如图 4，点 D、E 分别在 AC、AB 上，ADE=B，AGDE，AHBC，若 AD=2，AB=6，则有 ACADEBCVSADEBCVGHAHGEDCB（图 4） （图 5） （图 6） （图 7）13.如果两个多边形不仅 ，而且对应顶点所在的直线相交于 ，对应边互相平行（或在同一条直线上） ，那么这两个多边形是位似多边形；这个点叫做 ，位似中心到 距离的比叫做位似比；14.位似的性质：对应顶点的连线经过 ，对应边 （或 ） ；【练习】如 图 5， 线 段 AB 端 点 B 的 坐 标 分 别 为 B（
7、 8， 2） ， 以 原 点 O 为 位 似 中 心 ， 在 第一 象 限 内 将 线 段 AB 缩 小 为 原 来 的 后 得 到 线 段 CD， 则 端 点 D 的 坐 标 为 1；15. 在 光线的照射下，物体所产生的影称为平行投影；16. 平行投影性质：在平行光线的照射下，不同物体的物高与其影长 ；【练习】一根 1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为 2.1米；此时一棵水杉树的影长为 10.5米,这棵水杉树高为 。 17.在 的照射下，物体产生的影称为中心投影 ，同一物体在不同位置的物高与影长 。【练习】如 图 6， 身 高 为 1.6 米 的 小 华 站 在 离 路 灯
8、 灯 杆 8 米 处 测 得 影 长 2 米 ， 则 灯 杆的 高 度 为 米 ；18三角函数定义：如图 7，在 RtABC 中，C90，a、b 分别是A 的对边和邻边，c 是斜边。正切 tanA ； 正弦 sinA ；A（ ） 的 邻 边 斜 边余弦 cosA ； 斜 边【注意】tanA、 sinA 随着锐角 A的角度的增大而 ； cosA 随着角度的增大而 ； 【练习】已知，如图 7，在 Rt ABC 中 ， C=90， AB=5， AC=3，则 tanA ； sinA ；cosA= ；19.若锐角 、 满足=，则 tan=tan，sin=sin，cos=cos；【练习】如 图 ， 在 R
9、t ABC 中 ， ACB=90， CD AB 于 D， AC=4， AB=5，那 么 sin BCD= ； tan ACD= ；420.特殊的三角函数值（图 8） （图 9） 【练习】1. 计 算 ： 2sin60-tan 45+4cos30= ；2. 已知 是锐角，若 tan 2= ，则= ；若 tan= ,则 cos=_.321.由直角三角形中的边、角的已知元素，求出所有边、角的未知元素的过程叫做解直角三角形.【练习】如 图 ， 在 ABC 中 ， B 为 锐 角 ， AB=3 ， AC=5， sinC= ， 求 BC 的 长 222.坡角是 与 的夹角.23.坡度是坡面的铅垂高度（h）
10、与水平长度（ l）的比，记作：i，坡度 i= ；24. 坡度 i与坡角 的关系：坡度 i= ，【练习】1.若坡度是 ，则坡角 _；若坡角为 60，则坡度 i= ；i=1:32.如 图 8， 已 知 斜 坡 AB 的 坡 度 为 1： 3 若 坡 长 AB=10m， 则 BC= ；25.仰角与俯角【练习】如 图 ， 甲 楼 AB 的 高 度 为 20 米 ， 自 甲 楼 楼 顶 A 处 ， 测 得 乙 楼 顶 端 C 处 的 仰 角为 45， 测 得 乙 楼 底 部 D 处 的 俯 角 为 30， 求 乙 楼 CD 的 高 度 ；26方向角【练习】如图 9，某 轮 船 由 西 向 东 航 行 ， 在 A 处 测 得 小 岛 P 的 方 位 是 北 偏 东 75， 又继 续 航 行 7 海 里 后 ， 在 B 处 测 得 小 岛 P 的 方 位 是 北 偏 东 60， 则 此 时 轮 船 与小 岛 P 的 距 离 BP= ；
