1、1第 2 课时 双曲线的几何性质及应用学习目标 1.理解直线与双曲线的位置关系.2.会求解弦长问题知识点一 直线与双曲线的位置关系思考 直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？答案 不能梳理 设直线 l： y kx m(m0)，双曲线 C： 1( a0， b0)，x2a2 y2b2把代入得( b2 a2k2)x22 a2mkx a2m2 a2b20.(1)当 b2 a2k20，即 k 时，直线 l 与双曲线 C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于ba一点(2)当 b2 a2k20，即 k 时， (2 a2mk)24( b2 a2k2
2、)( a2m2 a2b2)ba 0直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； 0直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切； 0直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离知识点二 弦长公式若斜率为 k(k0)的直线与双曲线相交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，则|AB| .1 k2x1 x22 4x1x2 (1 1k2)y1 y22 4y1y2(1)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切()(2)过点 A(1,0)作直线 l 与双曲线 x2 y21 只有一个公共点，这样的直线可作 2 条()(3)直线 l： y x 与双曲线 C：2 x2 y22 有两个公
3、共点()2类型一 直线与双曲线位置关系例 1 已知双曲线 x2 y24，直线 l： y k(x1)，试确定满足下列条件的实数 k 的取值范围(1)直线 l 与双曲线有两个不同的公共点；(2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线 l 与双曲线没有公共点考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系解 联立Error!消去 y，得(1 k2)x22 k2x k240.(*)当 1 k20，即 k1 时， (2 k2)24(1 k2)( k24)4(43 k2)(1)由Error! 得 k 且 k1，233 233此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个不同的公共
4、点(2)由Error! 得 k ，233此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且只有一个公共点，当 1 k20，即 k1 时，直线 l 与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为 2x5，故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点故当 k 或1 时，233直线与双曲线有且只有一个公共点(3)由Error! 得 k 或 k ，233 233此时方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点反思与感悟 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系3数为 0 时，直线与渐近线平行的特殊情况(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：双
5、曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行(3)注意对直线 l 的斜率是否存在进行讨论跟踪训练 1 已知双曲线 x2 1，过点 P(1,1)的直线 l 与双曲线只有一个公共点，求y24直线 l 的斜率 k.考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系解 当直线 l 的斜率不存在时，l： x1 与双曲线相切，符合题意当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y k(x1)1，代入双曲线方程，得(4 k2)x2(2 k2 k2)x k22 k50.当 4 k20 时， k2，l 与双曲线的渐近线平行， l 与双曲线只有一个公共点；当 4 k20 时，令 0，得 k .52综上， k 或
6、 k2 或 k 不存在52类型二 弦长公式及中点弦问题例 2 过双曲线 x2 1 的左焦点 F1作倾斜角为 的弦 AB，求| AB|的长y23 6考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积解 易得双曲线的左焦点 F1(2,0)，直线 AB 的方程为 y (x2)，33与双曲线方程联立，得 8x24 x130.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，12 138| AB| 1 k2 x1 x22 4x1x2 3.1 13 (12)2 4( 138)4反思与感悟 解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围问题跟踪训练 2
7、 设 A， B 为双曲线 x2 1 上的两点，线段 AB 的中点为 M(1,2)求：y22(1)直线 AB 的方程；(2) OAB 的面积( O 为坐标原点)考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积解 (1)显然直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 y2 k(x1)，即 y kx2 k.由Error! 消去 y，整理得(2 k2)x22 k(2 k)x k24 k60.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 1 ，解得 k1.x1 x22 k2 k2 k2当 k1 时，满足 0，直线 AB 的方程为 y x1.(2)由(1)得 x1 x22， x1
8、x23，| AB| 2 x1 x22 4x1x2 4 .2 4 12 2又 O 到直线 AB 的距离 d ，12 22 S AOB |AB|d 4 2.12 12 2 22类型三 直线与双曲线位置关系的综合问题例 3 直线 l： y kx1 与双曲线 C：2 x2 y21 的右支交于不同的两点 A， B.(1)求实数 k 的取值范围；(2)是否存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F？若存在，求出 k的值；若不存在，说明理由考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的其他问题解 (1)将直线 l 的方程 y kx1 代入双曲线 C 的方程 2x2 y21，整理
9、得( k22)x22 kx20，依题意，直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同的两点，故Error!5解得 k 的取值范围为2 k .2(2)设 A， B 两点的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，则由式，得Error!假设存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F ，则 FA FB，(62， 0) y1y20 ，(x162)(x2 62)即 ( kx11)( kx21)0，(x162)(x2 62)(1 k2)x1x2 (x1 x2) 0，(k62) 52(1 k2) 0，2k2 2 (k 62) 2k2 k2 52化简得 5k22 k60，6解得
10、k 或 k (舍去)，6 65 6 65可知 k 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点6 65反思与感悟 解决综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题进行化归，然后利用直线与双曲线位置关系进行求解跟踪训练 3 已知双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线的方程为 y x，右焦x2a2 y2b2 3点 F 到直线 x 的距离为 .a2c 32(1)求双曲线 C 的方程；(2)斜率为 1 且在 y 轴上的截距大于 0 的直线 l 与双曲线 C 相交于 B， D 两点，已知 A(1,0)，若 1，证明：过 A， B， D 三点的圆与 x 轴相切DF BF 考点
11、 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的其他问题(1)解 依题意有 ， c ，ba 3 a2c 32 a2 b2 c2， c2 a， a1， c2， b23，双曲线 C 的方程为 x2 1.y23(2)证明 设直线 l 的方程为 y x m(m0)，B(x1， x1 m)， D(x2， x2 m)， BD 的中点为 M，由Error! 得 2x22 mx m230，6 x1 x2 m， x1x2 ，m2 32又 1，DF BF 即(2 x1)(2 x2)( x1 m)(x2 m)1， m0(舍)或 m2， x1 x22， x1x2 ，72M 点的横坐标为 1，x1 x22 (1 x1)(1
12、 x2)( x12)( x22)DA BA 52 x1x2 x1 x25720， AD AB，过 A， B， D 三点的圆以点 M 为圆心， BD 为直径，点 M 的横坐标为 1， MA x 轴，过 A， B， D 三点的圆与 x 轴相切.1双曲线 1 的焦点到渐近线的距离为( )x24 y212A2 B2C. D13 3考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的渐近线方程答案 A7解析 双曲线 1 的一个焦点为 F(4,0)，其中一条渐近线方程为 y x，点 Fx24 y212 3到 x y0 的距离为 2 .3432 32 “直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( )A充分不必要条
13、件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系答案 B3直线 y x1 被双曲线 2x2 y23 所截得的弦的中点坐标是( )A(1,2) B(2，1)C(1，2) D(2,1)考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系答案 C解析 将 y x1 代入 2x2 y23，得 x22 x40，由此可得弦的中点的横坐标为 1，故选 C.x1 x22 224过点 A(3，1)且被 A 点平分的双曲线 y21 的弦所在的直线方程是_x24考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的其他问题答案 3 x4 y50解析 易知所
14、求直线的斜率存在，设为 k，设该直线的方程为 y1 k(x3)，代入 y21，消去 y 得关于 x 的一元二次方程(14 k2)x2(24 k28 k)x24x36 k224 k80， 6， k ，24k2 8k1 4k2 34所求直线方程为 3x4 y50.5过双曲线 x2 1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A， B 两点，若| AB|4，则满足条y22件的直线 l 有_条考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积8答案 3解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x ，3由Error! 得 y2，| AB| y
15、1 y2|4，满足题意当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y k(x )，3由Error!得(2 k2)x22 k2x3 k220.3当 2 k20 时， x1 x2 ， x1x2 ，23k2k2 2 3k2 2k2 2|AB| 1 k2x1 x22 4x1x2 1 k2(23k2k2 2)2 12k2 8k2 2 4，1 k216k2 1k2 22 41 k2|k2 2|解得 k .故满足条件的直线 l 有 3 条22双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，
16、转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.一、选择题1双曲线 C 与椭圆 1 有相同的焦距，一条渐近线的方程为 x2 y0，则双曲线 Cx29 y24的标准方程为( )A y21x24B y21 或 y2 1x24 x249C x2 1 或 y2 1y24 x24D y2 1x24考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 渐近线为条件求双曲线的方程答案 B2已知双曲线 1( a0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )x2a2 y25A. B.
17、C. D.3414 324 32 43考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 C解析 由题意知 a259, 解得 a2， e .ca 323(2018 届浙江东阳中学期中)已知椭圆 C1： y21，双曲线x213C2： 1( a0， b0)若以椭圆 C1的长轴为直径的圆与双曲线 C2的一条渐近线交于x2a2 y2b2A， B 两点，且椭圆 C1与该渐近线的两交点将线段 AB 三等分，则双曲线 C2的离心率是( )A. B3C. D53 5答案 A解析 由已知得| OA| ，13设 OA 的方程为 y kx(k0， x0)，所以可设 A(x0， kx0)，进一步可得 x0 ，得 A
18、 ，所以 AB 的一个三等分点坐标为1 k2 13 (131 k2， 13k1 k2)，该点在椭圆上，(1331 k2， 13k31 k2)所以 2 1，( 1331 k2)213 ( 13k31 k2)即 113 k29(1 k2)，解得 k22，从而有 2， b22 a2，b2a2解得 e .ca a2 b2a2 3104(2017嘉兴一中期末)过双曲线 C： 1( ba0)的右顶点 A 作斜率为 1 的直线x2a2 y2b2l，分别与两渐近线交于 B， C 两点，若 2 ，则双曲线 C 的离心率为( )AB AC A2 B. C. D.10 10102 103答案 B5已知双曲线 1(
19、a0， b0)的焦距为 2 ，且双曲线的一条渐近线与直线x2a2 y2b2 52x y0 垂直，则双曲线的方程为( )A. y21 B.x2 1x24 y24C. 1 D. 13x220 3y25 3x25 3y220考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的标准方程答案 A解析 由题意得 c ， ，则 a2， b1，所以双曲线的方程为 y21.5ba 12 x246斜率为 2 的直线 l 过双曲线 C： 1( a0， b0)的右焦点，且与双曲线的左、x2a2 y2b2右两支都相交，则双曲线的离心率 e 的取值范围是( )A2，) B(1， )3C(1， ) D( ，)5 5考点 双曲线的离心率与
20、渐近线题点 双曲线离心率的取值范围答案 D7设 P 为双曲线 C： x2 y21 上一点， F1， F2分别为双曲线 C 的左、右焦点，若cos F1PF2 ，则 PF1F2的外接圆半径为( )13A. B9C. D394 32考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程研究其他问题答案 C解析 由题意知双曲线中 a1， b1， c ，2所以| F1F2|2 .211因为 cos F1PF2 ，所以 sin F1PF2 .13 223在 PF1F2中，2 R(R 为 PF1F2的外接圆半径)，|F1F2|sin F1PF2即 2 R，解得 R ，22223 32即 PF1F2的外接圆半径为 ，
21、故选 C.3212二、填空题8两个正数 a， b 的等差中项是 ，一个等比中项是 ，且 a b，则双曲线 1 的离52 6 x2a2 y2b2心率 e_.考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 133解析 由Error!解得Error! 或Error!又 a b， a3， b2， c ， e .13ca 1339已知双曲线 C： 1 的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数 m 的取值范围x24 y2m是_考点 双曲线性质的应用题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题答案 (4，)解析 等轴双曲线的离心率为 ，且双曲线 C 的开口比等轴双曲线更开阔，双曲线2C： 1 的离心率 e ，
22、即 2， m4.x24 y2m 2 4 m410已知双曲线 C 的离心率为 ，焦点为 F1， F2，点 A 在双曲线 C 上，若| F1A|3| F2A|，3则 cos AF2F1_.考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程研究其他问题答案 33解析 设双曲线的方程为 1( a0， b0)x2a2 y2b2设 A 为右支上一点， F1， F2分别为双曲线 C 的左、右焦点，且| F2A| m，由题意可得| F1A|3 m，由双曲线的定义可得| F1A| F2A|2 a，解得 m a，又 e ，ca 3可得 c a.3在 AF1F2中，| F1A|3 a，| F2A| a，| F1F2|2
23、a，313可得 cos AF2F1 .a2 12a2 9a22a23a 3311已知直线 l 与双曲线 C： x2 1 交于 A， B 两点，且线段 AB 的中点为 M(2,1)，则y24直线 l 的方程是_考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的其他问题答案 8 x y150解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，可得 x 1， x 1，21y214 2 y24两式相减可得，(x1 x2)(x1 x2) 0，y1 y2y1 y24由 M(2,1)为 AB 的中点，得 x1 x24， y1 y22，可得直线 AB 的斜率为 k 8，y1 y2x1 x2 4x1 x2y1 y
24、2 442即直线 AB 的方程为 y18( x2)，即 8x y150.将 y8 x15 代入双曲线的方程 x2 1，y24可得 60x2240 x2290，即有 240 2460229240110，故直线 l 的方程为 8x y150.三、解答题12已知双曲线的渐近线方程为 y2 x，且过点(3，4 )2(1)求双曲线的方程；(2)若直线 4x y60 与双曲线相交于 A， B 两点，求| AB|的值考点 由双曲线的几何性质求方程题点 渐近线为条件求双曲线方程解 (1)设所求双曲线的方程为 x2 ( 0)，y24把(3,4 )代入方程，得 9 ，所以 1，2324所以所求双曲线的方程为 x2
25、 1.y2414(2)直线方程 4x y60 可变形为 y4 x6，把 y4 x6 代入 x2 1，得 3x212 x100，y24则 x1 x24， x1x2 ，103所以| AB| 1 k2x1 x22 4x1x2 .1 16(42 4103) 2102313设 A， B 分别为双曲线 1( a0， b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为x2a2 y2b24 ，焦点到渐近线的距离为 .3 3(1)求双曲线的方程；(2)已知直线 y x2 与双曲线的右支交于 M， N 两点，且在双曲线的右支上存在点 D，33使 t ，求 t 的值及点 D 的坐标OM ON OD 考点 由双曲线的简单几何性质求
26、方程题点 已知双曲线的焦距、实虚轴求方程解 (1)由题意，知 a2 ，3所以一条渐近线为 y x，即 bx2 y0，b23 3所以 ，所以 b23，|bc|b2 12 3所以双曲线的方程为 1.x212 y23(2)设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， D(x0， y0)，则 x1 x2 tx0， y1 y2 ty0.将直线方程代入双曲线方程，消去 y 得 x216 x840，3则 x1 x216 ， y1 y212，3所以Error! 所以Error!由 t ，得(16 ，12)(4 t,3t)，OM ON OD 3 3所以 t4，点 D 的坐标为(4 ，3)315四、探究与拓展1
27、4已知椭圆 C1： 1( a1 b10)与双曲线 C2： 1( a20， b20)有相同的x2a21 y2b21 x2a2 y2b2焦点 F1， F2，点 P 是两曲线的一个公共点， e1， e2又分别是两曲线的离心率，若PF1 PF2，则 4e e 的最小值为( )21 2A. B4C. D952 92考点 双曲线的简单几何性质题点 由双曲线方程研究其他问题答案 C解析 由题意设焦距为 2c，令 P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，知| PF1| PF2|2 a2，由椭圆定义，知| PF1| PF2|2 a1，又 PF1 PF2，| PF1|2| PF2|24 c2， 2 2，得| PF1
28、|2| PF2|22 a 2 a ，21 2将代入，得 a a 2 c2，21 24 e e 21 24c2a21 c2a2 4a21 a22a21 a21 a22a2 2 ，52 2a2a21 a212a2 52 2a2a21a212a2 92当且仅当 ，即 a 2 a 时，取等号，故选 C.2a2a21 a212a2 21 215已知双曲线的中心在原点，离心率为 2，一个焦点为 F(2,0)(1)求双曲线的方程；(2)设 Q 是双曲线上一点，且过点 F， Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M，若| |2| |，求直线MQ QF l 的方程考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 已知双曲线的
29、焦距、实虚轴求方程解 (1)由题意可设所求的双曲线方程为 1( a0， b0)，则有 e 2， c2，x2a2 y2b2 ca所以 a1， b ，3所以所求的双曲线方程为 x2 1.y23(2)因为直线 l 与 y 轴相交于点 M 且过焦点 F(2,0)，所以 l 的斜率一定存在，设为 k，则 l： y k(x2)，令 x0，得 M(0,2k)16因为| |2| |且 M， Q， F 共线于 l，MQ QF 所以 2 或 2 .MQ QF MQ QF 当 2 时， xQ ， yQ k，MQ QF 43 23所以 Q 的坐标为 ，(43， 23k)又因为点 Q 在双曲线 x2 1 上，y23所以 1，所以 k ，169 4k227 212所以直线 l 的方程为 y (x2)212当 2 时，同理求得 Q(4，2 k)，MQ QF 代入双曲线方程，得 16 1，所以 k ，4k23 352所以直线 l 的方程为 y (x2)352综上，直线 l 的方程为 y (x2)或 y (x2)212 352
