1、8.2空间多少多何体的表面积与体积最新考纲考情考向分析了解球、棱柱、棱锥、台的表面积跟体积的打算公式.要紧调查涉及空间多少多何体的表面积与体积.常以选择题与填空题为主，涉及空间多少多何体的结构特色、三视图等外容，恳求考生要有较强的空间想象才干跟打算才干，难度为中高级.1.多面体的表面积、正面积因为多面体的各个面根本上破体，因此多面体的正面积的确是所有正面的面积之跟，表面积是正面积与底面面积之跟.2.圆柱、圆锥、圆台的正面展开图及正面积公式圆柱圆锥圆台正面展开图正面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l3.柱、锥、台、球的表面积跟体积名称多少多何体表面积体积柱体(棱柱跟圆柱)S表
2、面积S侧2S底VSh锥体(棱锥跟圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台跟圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3不雅观点方法微思索1.怎么样求改变体的表面积？提示求改变体的正面积时需要将曲面展开为破体图形打算，而表面积是正面积与底面积之跟.2.怎么样求不规那么多少多何体的体积？提示求不规那么多少多何体的体积要留心联络与补形，将不规那么的多少多何体通过分割或补形转化为规那么的多少多何体求解.题组一思索辨析1.揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之跟.()(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.()(3)锥体的体积等于底面积与高之积.
3、()(4)已经清楚球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，那么Ra.()(5)圆柱的一个底面积为S，正面展开图是一个正方形，那么谁人圆柱的正面积是2S.()题组二讲义改编2.已经清楚圆锥的表面积等于12cm2，其正面展开图是一个半圆，那么底面圆的半径为()A.1cmB.2cmC.3cmD.cm答案B分析S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2.3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的破体截出一个棱锥，那么该棱锥的体积与剩下的多少多何体体积的比为_.答案147分析设长方体的相邻三条棱长分不为a，b，c，它截出棱锥的体积V1abcabc，剩下的多少多何体的体积V2abcabcabc，因此
4、V1V2147.题组三易错自纠4.体积为8的正方体的顶点都在一致球面上，那么该球的表面积为()A.12B.C.8D.4答案A分析由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为2即为球的直径，因此球的表面积为4R2(2R)212，应选A.5.已经清楚某多少多何体的三视图如以下列图，那么该多少多何体的体积为_.答案分析由三视图可知，该多少多何体是一个圆柱挖去了一个同底等高的圆锥，其体积为222222.题型一求空间多少多何体的表面积1.(2018世界)已经清楚圆柱的上、下底面的中心分不为O1，O2，过直线O1O2的破体截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，那么该圆柱的表面积为()A.12B.12C.8D.
5、10答案B分析设圆柱的轴截面的边长为x，那么由x28，得x2，S圆柱表2S底S侧2()22212.应选B.2.(2019抚顺模拟)以以下列图是某多少多何体的三视图，那么此多少多何体的表面积为()A.422B.44C.242D.84答案A分析该多少多何体为三棱锥，其直不雅观图如以下列图，为三棱锥B1ACD，那么其表面积为四个面面积之跟S222(2)2422.思维升华空间多少多何体表面积的求法(1)改变体的表面积征询题留心其正面展开图的运用.(2)多面体的表面积是各个面的面积之跟；组合体的表面积留心衔接部分的处理.(3)以三视图为载体的需判定多少多何体中各元素之间的位置关系及数量.题型二求空间多少
6、多何体的体积命题点1求以三视图为背景的多少多何体的体积例1(2017世界)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多少多何体的三视图，该多少多何体由一破体将一圆柱截去一部分后所得，那么该多少多何体的体积为()A.90B.63C.42D.36答案B分析方法一(割补法)由多少多何体的三视图可知，该多少多何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如以下列图.将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.由图可知，该多少多何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，因此该多少多何体的体积V32432663.应选B.方法二(估值法)由题意知，V圆柱V多少多何体V圆柱，又V圆柱321090，
7、45V多少多何体90.不雅观看选项可知只需63符合.应选B.命题点2求庞杂多少多何体的体积例2如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，那么三棱锥AB1DC1的体积为()A.3B.C.1D.答案C分析如题图，因为ABC是正三角形，且D为BC中点，那么ADBC.又因为BB1破体ABC，AD破体ABC，故BB1AD，且BB1BCB，BB1，BC破体BCC1B1，因此AD破体BCC1B1，因此AD是三棱锥AB1DC1的高.因此AD1.思维升华空间多少多何体体积征询题的稀有典范及解题策略(1)开门见山运用公式停顿求解.(2)用转换法、联络法、补形法等方法停顿求解.(3)
8、以三视图的方法给出的应先掉掉落多少多何体的直不雅观图.跟踪训练1(1)(2018兰州模拟)九章算术是我国古代内容极为丰富的数大年夜名著，书中有如下征询题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，征询：积多少多何？其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，征询它的体积是多少多？已经清楚1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，那么该楔体的体积为()A.5000破方尺B.5500破方尺C.6000破方尺D.6500破方尺答案A分析(联络法)该楔体的直不雅观图如图中的多少多何体ABCDEF.取AB的中点G，CD的中
9、点H，衔接FG，GH，HF，那么该多少多何体的体积为四棱锥FGBCH与三棱柱ADEGHF的体积之跟.又可以将三棱柱ADEGHF割补成高为EF，底面积为S31(平方丈)的一个直棱柱，故该楔体的体积V22315(破方丈)5000(破方尺).(2)如图，直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，那么三棱锥DA1BC的体积是_.答案分析题型三与球有关的切、接征询题例3已经清楚直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，假设AB3，AC4，ABAC，AA112，那么球O的半径为()A.B.2C.D.3答案C分析如以下列图，由球心作破体ABC的垂线，那么垂足为BC的中
10、点M.又AMBC，OMAA16，因此球O的半径ROA.引申探究1.本例假设将直三棱柱改为“棱长为4的正方体，那么此正方体外接球跟内切球的体积各是多少多？解由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，从而V外接球R3(2)332，V内切球r323.2.本例假设将直三棱柱改为“正周围体，那么此正周围体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少多？解正周围体棱长为a，那么正周围体表面积为S14a2a2，其内切球半径r为正周围体高的，即raa，因此内切球表面积为S24r2，
11、那么.3.本例中假设将直三棱柱改为“侧棱跟底面边长根本上3的正四棱锥，那么其外接球的半径是多少多？解依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为36，高为3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，因此该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.思维升华“切“接征询题的处理法那么(1)“切的处理起重要寻准切点，通过作截面来处理，截面过球心.(2)“接的处理抓住外接的特征，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.跟踪训练2(1)(2018世界)设A，B，C，D是一致个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，那么三棱锥DABC体积的最大年夜值为()A.12B.18C.2
12、4D.54答案B分析由等边ABC的面积为9，可得AB29，因此AB6，因此等边ABC的外接圆的半径为rAB2.设球的半径为R，球心到等边ABC的外接圆圆心的距离为d，那么d2.因此三棱锥DABC高的最大年夜值为246，因此三棱锥DABC体积的最大年夜值为9618.(2)(2019长春东北师大年夜附中模拟)一个棱锥的三视图如以下列图，那么谁人棱锥的外接球的表面积为()A.34B.25C.41D.50答案A分析按照题中所给的三视图可以判定该多少多何体该当是由长、宽、高分不是4,3,3的长方体所截成的四棱锥，因此该棱锥的外接球相当于对应的长方体的外接球，因此长方体的体对角线的确是其外接球的直径，因此
13、有R，从而求得其表面积为S4R234，应选A.1.某多少多何体的三视图如以下列图，那么该多少多何体的表面积是()A.168B.164C.488D.484答案C分析按照三视图知，该多少多何体是底面为等边三角形，高为4的直三棱柱，画出多少多何体的直不雅观图，如以下列图，结合图中数据，打算它的表面积是S224344488.2.(2018鞍山质检)某多少多何体的三视图如以下列图，那么该多少多何体的表面积为()A.38B.28C.244D.344答案D分析由三视图可知，该多少多何体是一个组合体，右边是一个半球，球的半径为1，右边是一个三棱柱，三棱柱底面是歪边长为2的等腰直角三角形，高为2，组合体表面积由
14、球表面积的一半，圆面积、棱柱的正面积形成，其值为41212(22)2344，应选D.3.(2018锦州模拟)某多少多何体的三视图如以下列图，那么该多少多何体的体积为()A.18B.24C.32D.36答案B分析由三视图可知，多少多何体是三棱柱削去一个同底的三棱锥，如图，三棱柱的高为5，削去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分不为3跟4的直角三角形，因此多少多何体的体积为34534330624.4.算术书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长l
15、与高h，打算其体积V的近似公式Vl2h，它理论上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3，那么，近似公式Vl2h相当于将圆锥体积公式中的近似取()A.B.C.D.答案C分析Vr2h2hl2h，由，得，应选C.5.(2018营口模拟)某多少多何体的三视图如以下列图，那么该多少多何体的体积为()A.B.C.D.答案B分析由给定的三视图可知，该多少多何体表示左侧是一个以边长为2的正方形为底面，高为2的四棱锥，其体积为V1222；右侧为一个直三棱柱，其底面如仰视图所示，高为2，其体积为V22224，因此该多少多何体的体积为VV1V24，应选B.6.如以下列图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.假设
16、放入一个半径为r的实心铁球，水面高度偏偏落低r，那么_.答案分析由水面高度落低r，得圆柱体积增加了R2r，偏偏是半径为r的实心铁球的体积，因此有r3R2r.故.7.一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相当，那么该六棱锥的正面积为_.答案12分析设六棱锥的高为h，那么VSh，因此46h2，解得h1.设六棱锥的歪高为h，那么h2()2h2，故h2.因此该六棱锥的正面积为22612.8.一个多少多何体的三视图如以下列图，那么该多少多何体的体积为_.答案分析由三视图可知，该多少多何体是一个组合体，它由半个圆锥与四分之一球体形成，其中，圆锥的底面半径为1，高为2，体积为122；球半
17、径为1，体积为13，因此，该多少多何体的体积为.9.某组合体的三视图如以下列图，那么该组合体的体积为_.答案分析如以下列图，该组合体由一个四棱锥跟四分之一个球形成，球的半径为1，四棱锥的高为球的半径，四棱锥的底面为等腰梯形，上底为2，下底为1，高为，因此该组合体的体积V(21)113.10.(2017世界)长方体的长、宽、高分不为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，那么球O的表面积为_.答案14分析长方体的顶点都在球O的球面上，长方体的体对角线的长度的确是其外接球的直径.设球的半径为R，那么2R.球O的表面积为S4R24214.11.(2019呼伦贝尔模拟)已经清楚一多少多何体的三视图如以下列
18、图，那么该多少多何体的体积为_.答案分析由三视图可得该多少多何体由左、右两部分形成，右边为圆锥，右边为三棱锥.该多少多何体的体积V121121.12.如图，在ABC中，AB8，BC10，AC6，DB破体ABC，且AEFCBD，BD3，FC4，AE5.求此多少多何体的体积.解方法一如图，取CMANBD，衔接DM，MN，DN，用“联络法把原多少多何体联络成一个直三棱柱跟一个四棱锥.那么V多少多何体V三棱柱V四棱锥.由题知三棱柱ABCNDM的体积为V186372.四棱锥DMNEF的体积为V2S梯形MNEFDN(12)6824，那么多少多何体的体积为VV1V2722496.方法二用“补形法把原多少多何
19、体补成一个直三棱柱，使AABBCC8，因此V多少多何体V三棱柱SABCAA24896.13.某多少多何体的三视图如以下列图，依次为主视图、左视图跟仰视图，那么谁人多少多何体的体积为()A.6B.8C.6D.8答案B分析由三视图可知，该多少多何体是如以下列图的组合体，该组合体由一个三棱锥与四分之三球体形成，其中棱锥的底面是等腰直角三角形，一正面与底面垂直，球半径为2，因此可得该多少多何体的体积为V234228，应选B.14.(2019湛江模拟)已经清楚一个三棱锥的三视图如以下列图，其中仰视图是等腰直角三角形，那么该三棱锥的外接球体积为_.答案4分析如以下列图，在长、宽、高分不为2，2的长方体中，
20、点E，F分不为对应棱的中点，那么三视图对应的多少多何体为三棱锥EABF，将三棱锥补形为三棱柱ABFA1B1E，那么三棱锥的外接球即三棱柱的外接球，取AB，A1B1的中点G，H，易知外接球的球心为GH的中点，据此可得外接球半径R，外接球的体积VR34.15.某多少多何体的三视图如以下列图，坐标纸上的每个小方格的边长为1，那么该多少多何体的外接球的体积是()A.B.112C.D.答案D分析该多少多何体是如以下列图的三棱锥PABC，三棱锥的高PD6，且正面PAC底面ABC，ACBC，PAPC，AC8，BC6，AB10，ABC的外接圆的圆心为歪边AB的中点E，设该多少多何体的外接球的球心为O，OE底面
21、ABC，设OEx，外接球的半径为R，那么x2232(6x)2，解得x.R2252，外接球的体积VR3.16.如图，ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC破体ABC，AB4，EB2.(1)求证：DE破体ACD；(2)设ACx，V(x)表示三棱锥BACE的体积，求函数V(x)的分析式及最大年夜值.(1)证明四边形DCBE为平行四边形，CDBE，BCDE.DC破体ABC，BC破体ABC，DCBC.AB是圆O的直径，BCAC，且DCACC，DC，AC破体ADC，BC破体ADC.DEBC，DE破体ADC.(2)解DC破体ABC，DCBE，BE破体ABC.在RtABE中，AB4，EB2.在RtABC中，ACx，BC(0x4)，SABCACBCx，V(x)V三棱锥EABCx(0x4).x2(16x2)264，当且仅当x216x2，即x2时取等号，当x2时，体积有最大年夜值.
