1、第十讲进制与进位咱们常用的进制为十进制，特色是“逢十进一。在实践生涯中，除了十进制计数法外，另有其余的年夜于1的天然数进位制。比方二进制，八进制，十六进制等。二进制：在盘算机中，所采纳的计数法是二进制，即“逢二进一。因而，二进制中只用两个数字0跟1。二进制的计数单元分不是1、21、22、23、，二进制数也能够写做开展式的方法，比方100110在二进制中表现为：(100110)2=125+024+023+122+121+020。二进制的运算法那么：“满二进一、“借一当二，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，逐个得一。留意：关于恣意天然数n,咱们有n0=1。n进制：n进制的运算法那么是“逢n
2、进一，借一当n，n进制的四那么混杂运算跟十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先盘算括号内的。进制间的转换：如右图所示。1.控制进制之间的转换办法。2.能用进制互化的办法解题。例1:_；_；假定，那么_剖析与解：关于这种进位制盘算，普通先将其转化成咱们熟习的十进制，再将后果转化成响应的进制：；可转化成十进制来盘算：；假如对进制的常识较熟习，可直截了当在二进制下对进展除法盘算，只是每次借位基本上2，可得；此题触及到3个差别的进位制，应一致到一个进制下一致到十进制比拟适合：；十进制中，两个数的跟是整十整百整千的话，咱们称为“互补数，凑出“互补数的这种方法叫“凑整法，在进制中也有“
3、凑整法，要凑的确实是整原式；假定，那么，经实验可得例2:在几多进制中有？剖析与解：应用尾数剖析来处理那个咨询题：因为，因为式中为100，尾数为0，也确实是说曾经将12全体进到上一位因而说进位制为12的约数，也确实是12，6，4，3，2中的一个然而式子中呈现了4，因而要比4年夜，不克不及够是4，3，2进制别的，因为，因为，也确实是说不到10就曾经进位，才干是100，因而明白，那么不克不及是12因而，只能是6例3:将二进制数(11010.11)2化为十进制数为几多？剖析与解：依照二进制与十进制之间的转化办法，(11010.11)2=124+123+022+121+020+12-1+12-2=16+
4、8+0+2+0+0.5+0.25=26.75。例4:现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称几多种差别分量的物体？剖析与解：因为砝码的克数恰恰是1，2，4，8，16，而二进位制数从右往左数列位数字分不表现：1，2，22=4，23=8，24=16，在砝码盘上放1克砝码认为是二进位制数第一位(从右数)是1，放2克砝码认为是二进位制数第二位是1，放16克砝码认为是二进位制数第五位是1，不放砝码就认为响应位数是零，如此所表现的数中最小的是1，最年夜的是(11111)2=24+23222120=(31)10，这确实是说1至31的每个整数(克)均能称出。因而共能够称出31种差别分量的物
5、体。例5:在6进制中有三位数，化为9进制为，求那个三位数在十进制中为几多?剖析与解：(abc)6=a62b6+c=36a+6b+c；(cba)9=c92+b9+a=81c+9b+a；因而36a+6b+c=81c+9b+a；因而35a=3b+80c；因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数因而3b也必需是5的倍数，又(3，5)=1因而，b=0或5当b=0，那么35a=80c；那么7a=16c；(7，16)=1，同时a、c0，因而a=16，c=7。然而在6,9进制，不克不及够有一个数字为16当b=5，那么35a=35+80c；那么7a=3+16c；mod7后，3+2c0。因而c=2或许2+7k(k
6、为整数)因为有6进制，因而不克不及够有9或许9以上的数，因而c=2；35a=15+802，a=5。因而(abc)6=(552)6=562+56+2=212。那个三位数在十进制中为212。例6:试求(2-1)除以992的余数是几多?剖析与解：咱们经过左式的短除法，或许直截了当应用经过2次幂来表白为2进制：(992)=(1111100000)2，(2-1)2=咱们明白在2进制中必定能整除(1111100000)2，因而咱们留意到，因而=因为能整除(1111100000)2，因而余数为(111111)2=2+24+23+22+21+1=63，因而原式的余数为63。例7:曾经明白正整数的八进制表现为，
7、那么在十进制下，除以7的余数与除以9的余数之跟是几多？剖析与解：与十进制相相似，有：依照8进制的弃7法，被7除的余数即是其列位数字之跟，为6，而除以7的余数为1，因而的平方被7除余1，即除以7的余数为1；别的，显然能被整除，因而其平方也能被整除，即除以9的余数为0因而两个余数之跟为A1.；在八进制中，_；在九进制中，_剖析与解：此题是进制的直截了当转化：；原式；原式2.在几多进制中有？剖析与解：留意，因为，因而必定是不到10就曾经进位，才干失掉16324，因而再留意尾数剖析，而16324的末位为4，因而进到上一位因而说进位制为21的约数，又小于10，也确实是能够为7或3因为呈现了6，因而只能是
8、73.二进制数转化为8进制数是几多？剖析与解：依照二进制与八进制之间的转化办法推导出二八对比表：八进制数01234567二进制数000001010011100101110111从后往前取三合一进展求解，能够得悉。4.算式是几多进制数的乘法？剖析与解：留意到尾数，在充足年夜的进位制中有乘积的个位数字为，然而如今为4，阐明进走，因而进位制为16的约数，能够为16、8、4或2因为原式中无数字5，因而不克不及够为4、2进位，而在十进制中有，因而在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，因而原式为8进制5.将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。剖析与解：在转换为高于9进制的数时，碰到年
9、夜于9的数用字母替代，如：A代表10、B代表11、C代表12、D代表13。依照取四合一法，二进制11101001.1011转换为十六进制为E9.B。B6.某数在三进制中为，那么将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几多?剖析与解：因为32=9，因而由三进制化为9进制需求取二合一。从后两个两个的取，取至最前边为12，用位值道理将其化为131+230=5，因而化为9进制数后第一位为5.7.在7进制中有三位数，化为9进制为，求那个三位数在十进制中为几多？剖析与解：起首复原为十进制：；因而；失掉，即因为是8的倍数，也是8的倍数，因而也应当是8的倍数，因而或8然而在7进制下，不克不及够有8那个数字因
10、而，那么因而为5的倍数，为3的倍数因而，或5，然而，首位不克不及够是0，因而，；因而因而，那个三位数在十进制中为2488.一团体的年纪用十进制数跟三进制数表现，假定在十进制数末端添个“0确实是三进制数，求此人的年纪剖析与解：设那团体为岁，得，又，解得，分歧题意，因而那团体的年纪不克不及够是一位数设那团体是岁，由题意得：因为，因而即又因为是三进制数，都小于3，因而，因而，那团体为21岁设那团体为岁，由题意有，因为，因而即又、都小于3，因而上述等式不成破因而那团体的年纪不克不及够是三位数综上可知那团体的年纪是21岁9.N是整数，它的b进制表现是777，求最小的正整数b，使得N是十进制整数的四次方剖
11、析与解：设b是所求的最小正整数，因为质数7能整除，因而也能整除x，无妨设，m是年夜于0的天然数。那么：，化简得：，易知，b的值随m的增年夜而增年夜，当m=1时，b=18。10.盘算除以26的余数剖析与解：题中有3的次幂，令人遐想到将题中的数转化成3进制下的数再进展盘算，而，因而，因为整除，因而余因而除以26的余数为8C11.盘算除以7的余数剖析与解：因为除以7余1，而，因而除以7的余数为此题也能够转化为2进制进展盘算：，因而而，因而余因而除以7的余数为312.在8进制中，一个多位数的数字跟为十进制中的68，求除以7的余数为几多？剖析与解：相似于十进制中的“弃九法，8进制中也有“弃7法，也确实是
12、说8进制中一个数除以7的余数即是那个数的列位数字之跟除以7的余数此题中，那个数的列位数字之跟在十进制中为68，而68除以7的余数为5，因而那个数除以7的余数也为513.现有1斤、2斤、4斤、8斤、16斤的白糖各一袋，白糖整袋地卖，咨询主顾可买的斤数有几多种？剖析与解：非常显然的这些数组合能够形成到之间的任何一个数，化为十进制即1到31之间的数都能够形成。因而主顾能够买的斤数有31种。14.求证：能被7整除.剖析与解：因为而非常轻易看出来：因而能被7整除15.一个天然数的六进制与九进制均为三位数,同时它们列位数字的陈列次序恰恰相反,请咨询那个天然数是几多?剖析与解：设那个数的六进制为,那么那个数
13、的九进制为。那么有即只能取0,1,2,3,4,5.等式左边能被5整除.经过实验，只能够是,因而那个数六进制是552,九进制是552，化成十进制是2121.盘算以下后果仍用二进制表现：12剖析与解：二进制中11=1，10=0，00=01因而2因而2.把以下十进制的数写成数码与计数单元乘积的跟的方法:(1)(2)(3)剖析与解：变更方法如下：1233.请你制作一个7进制的乘法表。剖析:年夜伙儿都能纯熟地背诵十进制的乘法表，那么实验结构方法一样的7进制乘法表。谜底:7进制乘法表：4.求证能被5整除。剖析与解：咱们恰当变更原式的方法：而，非常显然能被整除，因而能被5整除。5.假如能被15整除，天然数n
14、取那些值？剖析:这与上一题非常相似，用异样的办法剖析谜底:因为而，假如要能被15整除，即能被整除因而n应当是4的倍数，n=4,8,12,1.盘算以下后果依然用2进制表现：123谜底：跟十进制一样列竖式盘算，但留意要“逢二进一、“借一当二1因而2因而3因而2.盘算以下后果仍用二进制表现：12谜底：1因而2因而3.盘算后果仍用二进制：123谜底：依照混杂运算次序，并用上述三题的竖式盘算方法求解：1234.把以下二进制数写成数码与计数单元乘积的跟的方法，同时在十进制下算出这些数的巨细：(1)(2)(3)(4)谜底：变更方法求解如下：12345.将以下十进制数化为二进制数：12谜底：用十进制整数不时除
15、以2，并记下余数，直到商为0，最初把余数反向读出即可。1因而2因而6.将以下各数化为十进制的数：123谜底：1237.将分不化成5进制跟12进制数谜底：1化为5进制数时，跟十进制化二进制相似，用十进制整数不时除以5，并记下余数，直到商为0，最初把余数反向读出即可：因而2化为12进制数时，用十进制整数不时除以12，并记下余数，直到商为0，最初把余数反向读出即可：这里留意到，12进制的数码能够有对应于十进制数值的10，11，咱们分不记为A,B，那么终极后果能够表现为：8.盘算：1(2)谜底：这里触及到几多种进位制的转化，咱们能够先把左式用10进制算出后果，而后再转化为左边的进位制。谜底依照剖析，并依照下面几多题所引见的进位制转化办法：12
