1、 电子科技大学UNIVERSITY OF ELECTRONIC SCIENCE AND TECHNOLOGY OF CHINA硕士学位论文MASTER THESIS （电子科技大学图标）论文题目 雷达阵列综合及关键参数估计算法研究学科专业 信息与通信工程学 号 201121010729作者姓名 涂光鹏指导教师 蔡竟业 教授 分类号 密级注 1UDC学位论文雷达阵列综合及关键参数估计算法研究（题名和副题名）涂光鹏（作者姓名）指导教师 蔡竟业 教 授电子科技大学 成 都（姓名、职称、单位名称）申请学位级别硕士 学科专业 信息与通信工程2014.05提交论文日期 2014.03.12论文答辩日期学位
2、授予单位和日期电子科技大学答辩委员会主席2014.06评阅人注 1：注明国际十进分类法 UDC的类号。RESEARCH ON ALGORITHMS OF RADARARRAY SYNTHESIS AND KEY PARAMETERSESTIMATIONA Master Thesis Submitted toUniversity of Electronic Science and Technology of ChinaMajor: Information and Communication EngineeringAuthor:Advisor:School : Tu GuangpengProfes
3、sor Cai JingyeSchool of Communication meanwhile their limitations are pointed out. Then an over-complete set is brought in totransform the common DOA estimation model into the sparse representation model. Atthe basis of the sparse representation model, l1-SVD method is elaborated in detail.Finally,
4、a unitary transformation matrix is introduced. Then the sparse representationmodel can be transformed into a model based on real-valued computations. Thus thecomputational complexity of l1-SVD method can be significantly reduced.The robust parameter estimation algorithms based on Multiple-InputMulti
5、ple-Output (MIMO) radar system are introduced in the third part. Firstly MIMOradar system is modeled, meanwhile the Capon and APES methods in MIMO radarsystem are derived and their performances are analyzed. Secondly MIMO radar withpartly calibrated array is considered. A method which can estimate t
6、he magnitude anddirection of the targets as well as the amplitude and phase of the disturbance of array isIIABSTRACTproposed. At the same time, how the SNR impacts the method is also analyzed. Finally,the case of MIMO radar with completely mismatched array is considered. And a methodnamed RCB is int
7、roduced meanwhile its limitations are analyzed. Then a method calledIRCB which is based on RCB is presented. And unlike RCB, IRCB need not know theuncertainty of the manifold vector and the performance is similar to the RCB with theuncertainty of the manifold vector is known prior.Key words: array s
8、ynthesis, sparse, DOA estimates, MIMO radar, robustIII目录目录第一章绪论 11.1研究背景及意义 .11.1.1天线阵列综合 11.1.2基于阵列天线的参数估计 21.2研究历史以及发展现状 .31.2.1稀疏阵列综合的研究历史以及发展现状 31.2.2参数估计技术的研究历史以及发展现状 31.3论文的主要内容及章节安排 .5第二章稀疏阵列综合 62.1问题描述 62.2基于连续凸优化的稀疏阵列综合 .72.2.1设计方法描述 72.2.2设计方法的具体实现 92.3基于迭代加权 l1范数的稀疏阵列综合102.3.1设计方法描述 102.3
9、.2设计方法具体实现 122.4仿真实验 .132.4.1基于连续凸优化的稀疏阵列综合 . 132.4.2基于迭代加权 l1范数的稀疏阵列综合. 142.4.3 SCOSAS方法与 IWNSAS 方法的性能对比 152.5本章小结 .17第三章基于稀疏表示的 DOA估计 . 183.1信号模型 .183.2 DOA估计的非参数方法 193.2.1 MUSIC方法 . 193.2.2波束形成方法与 Capon方法 213.3基于稀疏表示的 DOA估计 .233.3.1基于单次快拍的稀疏表示 233.3.2基于多次快拍的稀疏表示 243.3.3 l1-SVD方法 25IV目录3.4 real-l1
10、-SVD.273.5仿真实验 .303.5.1快拍数目对算法性能的影响 303.5.2信噪比对算法性能的影响 313.5.3信源的相干性对算法性能的影响 323.5.4 l1-SVD与 real-l1-SVD的性能对比 . 333.6本章小结 .34第四章基于 MIMO雷达的稳健参数估计. 354.1信号模型 354.2不存在阵列校准误差情况的数据相关方法 364.2.1最小二乘方法 . 364.2.2 Capon方法 374.2.3 APES方法 384.3基于部分校准阵列的稳健性参数估计方法 .394.3.1阵列模型 394.3.2设计方法描述 . 404.3.3设计方法具体实现 . 44
11、4.4基于迭代的稳健 Capon波束形成方法.444.4.1 RCB方法 454.4.1.1设计方法描述 . 454.4.1.2设计方法具体实现 . 484.4.2 IRCB方法 . 484.4.2.1设计方法描述 . 484.4.2.2设计方法具体实现 . 494.5仿真实验 .504.5.1不存在阵列校准误差时 Capon方法和 APES方法性能比较. 504.5.2基于部分校准阵列的参数估计 514.5.3基于非校准阵列的参数估计 . 544.6本章小结 .56第五章总结与展望 585.1工作总结 .585.2工作展望 .58致谢 60V目录参考文献 61硕士期间取得的研究成果 65VI
12、图目录图目录图 2-1 SCOSAS方法重构的阵列方向图. 13图 2-2 Chebyshev波形约束下重构的 阵列方向图 14图 2-3 SCOSAS方法和 IWNSAS方法重构的阵列方向 图 . 15图 3-1空域 滤波器原理 21图 3-2五种算法在不同的快拍数目下对应的空间谱 30图 3-3五种算法在不同的 SNR下对应的空间谱 31图 3-4五种算法在不相干源和相干源下对应的空间谱 32图 3-5 l1-SVD和 real- l1-SVD方法在不同的 SNR下 DOA 估计的偏差. 33图 4-1集中式 MIMO雷达系统 35图 4-2不存在阵列校准误差时 Capon和 APES方法
13、 对应的空间谱 50图 4-3不同 SNR下 Capon和 APES 方法对应的 DOA以及相对幅度偏差 . 51图 4-4阵 列部分校准时 PCULA、Capon以及 APES方法对应的空间谱 52图 4-5扰动 的幅度和相位与真实值对比 52图 4-6不同 SNR下 PCULA方法对应的 DOA以及相 对幅度偏差 53图 4-7存在 阵列扰动时 Capon和 APES方法对应的空 间谱 54图 4-8存在 阵列扰动时 RCB和 IRCB 方法对应的空间谱 55图 4-9 存在偏差时 RCB方法对应的空间谱. 55图 4-10 不同 SNR 下 RCB 和 IRCB方法对应 DOA以及相对幅
14、度偏差 56VII表目录表目录表 2-1条件一约束下 SCOSAS方法重构得到的阵列阵元位置及激励. 14表 2-2 Chebyshev波形约束 IWNSAS方法重构得到的阵列阵元位置及激励. 15表 2-3条件三约束下 SCOSAS方法重构得到的阵列阵元位置及激励. 16表 2-4条件三约束下 IWNSAS方法重构得到的阵列阵元位置及激励 16表 3-1两种算法在不同的 N值下对应的耗时 34VIII缩略词表缩略词表SOCPDOAMIMOSNRGASecond Order Cone Program 二阶锥规划波达方向Direction Of ArrivalMultiple-Input Mul
15、tiple-OutputSignal to Noise Ratio多输入多输出信噪比Genetic Algorithms 遗传算法PSO Particle Swarm OptimizationAnt Colony OptimizationSimulated Annealing粒子群优化蚁群优化ACOSA 模拟退火MEM Maximum Entropy Estimate Method 最大熵估计法MinimumMethodVariance Spectrum Estimation最小方差谱估计法多重信号分类MVMMUSICESPRITMultiple Signal ClassificationEs
16、timating Signal Parameter via Rotational基于旋 转不变技术的Invariance TechniquesWeighted Subspace FittingDirection Of DepartUniform Linear ArrayDirection Finding信号参数估计加权子空间拟合离波方向WSFDODULADF均匀线阵定向LS Least Squares 最小二乘APESRCSAmplitude and Phase EstimationRadar Cross Section幅度相位估计雷达截面积IX第一章绪论第一章绪论雷达1是英文 Radar的音
17、译 ，其主要功能是实现对 反射性物体的检测和定位。雷达诞生至今已接近 80年，在此期间各种不同体制的雷达不断涌现，其功能、体积、重量、可靠性以及生存能力等亦发生了相当大的变化。Nikola Tesla于 1914年提出了雷达的设想。8年之后，Guglielmo Marconi在无线电工程师学会会议上阐述了雷达的原理。1934年，能够探测空中目标的米波雷达问世，由此宣告了雷达的诞生。1939年，Boot和 Randall 等人研制出了多腔磁控管，大幅度提高了雷达的工作频段。到了 20世纪 60年代为了应对人造卫星、洲际弹道导弹的监视和跟踪，相控阵雷达应运而生。而在相控阵技术和 MIMO无线通信技
18、术的启发下，Bliss和 Fishler又分别于 2003年和 2004年提出了集中式MIMO雷达2和分布式 MIMO雷达3的概念，进而又引出了近几年的研究热点MIMO雷达。本文主要就雷达信号处理中的稀疏阵列综合以及参数估计技术展开讨论。1.1研究背景及意义1.1.1天线阵列综合天线阵列综合是指在特定辐射特性的约束下对天线阵列的阵元数目、阵元间距或每个阵元上激励的幅度与相位等进行设计4。均匀间隔的阵列因其结构简单以及便于实现，已经得到了广泛的研究和应用5。但是它存在两大弊端6：第一，为了避免出现栅瓣，均匀间隔阵列的阵元间距通常不能大于半波长。当入射信号的波长很短时，为满足上述条件，阵元的间距将
19、变得很短，这将导致阵元之间产生严重的互耦效应，从而影响阵列的辐射特性。第二，阵列的主瓣宽度(分辨率)反比于孔径长度，即高分辨率等价于大阵列孔径。而对均匀阵列而言，大的阵列孔径意味着阵元数目必须足够多，而这将导致天线系统的生产成本大幅度提高。采用非均匀布设的阵列则可以克服上述缺点。非均匀布设的阵列，顾名思义，阵元在阵列孔径上的排列是不均匀的，可以分为稀疏阵列和稀布阵列两大类7。从均匀间隔的阵列中取出一定数目的阵元就形成稀疏阵列，因此其阵元间距是原来均匀间隔阵列阵元间距的整数倍；而将阵元随机布设在阵列孔径上则形成了稀布阵列，其阵元间距在一般情况下是不能互相整除的。稀疏阵列的特点如下：(1)当阵列孔
20、径的 长度相同时，稀疏阵列拥有和等间距分布的阵列相同的主瓣宽1电子科技大学硕士学位论文度，即二者的分辨率相同。然而，稀疏阵列所需的阵元更少，这不仅减少了阵列天线的成本，而且降低了馈电系统的复杂性。(2)当阵元数目相同 时，相比于等间距分布的阵列，稀疏阵列的孔径更长，即主瓣更窄，从而分辨率更高。同时因为阵元稀疏放置，阵元间的互耦效应可显著减弱。(3)稀疏阵列不需要相位加权便可以在一定的扫描角范围内实现低副瓣，且适用于宽带系统的设计。(4)与孔径长度相同的等 间距分布阵列相比，稀疏阵列的增益会有所下降，下降量约正比于阵元数目的减少量，于此同时其远角旁瓣也会增大。但在实际的应用中，只要求阵列具有足够
21、窄的扫描波束，而对其增益则没有具体的要求。1.1.2基于阵列天线的参数估计一个传感器阵列包含一系列的阵元，这些阵元相对一个共同的参考点分布在空间的确定位置，并接收视角内的回波。由于阵元本身存在的误差以及回波在传输过程中受到的干扰，阵列的输出通常包含信源信息以及加性噪声(如测量误差和热噪声)。而 阵列信号处理即是通过阵列输出的数据来确定与回波信号相关的某一些参数。比如在雷达中，这些参数包括目标的方位、高度以及多普勒频移。相比于基于单个传感器的一维信号处理，阵列信号处理的波束控制更灵活、信号增益更高，同时空间分辨能力更强。因此，基于传感器阵列的信号处理技术发展相当迅猛，其应用范围也在不断地扩大，现
22、已成功应用于雷达、声呐、通信、医学诊断等诸多领域。阵列信号处理的研究主要包括自适应波束形成和空间谱估计。其中波束形成即空域滤波，它通过改变权值向量，使得某些方向的信号通过滤波器，同时抑制另外一些方向的信号，最后实现信号 DOA的估计。然而它的分辨能力受限于阵列孔径，为了获得更高的分辨率，空间谱估计理论应运而生。但是目前提出的很多谱估计算法均需要一些理想的假设，比如假设各个阵元的噪声功率相等、环境噪声为加性高斯白噪声且与信号相互独立等。而当这些假设条件不满足时，这些算法的估计性能将急剧下降。另一方面，有些算法对计算资源、系统以及环境具有较高的要求，这便导致了将它们转换为工程实现具有较大的难度。综
23、上所述，研究设计性能良好的稀疏阵列综合以及稳健的高精度空间谱估计方法具有重要的理论意义和实用价值，本文的研究也是围绕这两个方面展开的。2第一章绪论1.2研究历史以及发展现状1.2.1稀疏阵列综合的研究历史以及发展现状上个世纪四十年代以来，均匀阵列综合获得了飞速的发展，并出现了一系列相关的算法，如 Chebyshev综合法8、Taylor 综合法9、数值优化和傅里叶逆变换法等。其中，Chebyshev 综合法可以在主瓣 宽度确定的情况下使得旁瓣电平最低；而Taylor综合法则可以得到具有较高口径效率的阵列。非均匀阵列综合理论的研究起源于H.Unz。1960年， H.Unz10使用Fourier-
24、Bessel展式将阵元位置和方向图联系在一起，从而得到了一个满足给定辐射特性的非均匀线阵。1962年，Ishimaru利用 Poisson和式与信源位置函数，将阵列方向图分解为一系列的栅瓣之和11，从而有效地解决了阵列中阵元数目过大的问题。1964年，Skolnik将动态规 划的思想运用到非均匀 阵列综合中，并通 过计算机来获得最优解12。该方法思路清晰，且寻优效果良好。国内的姚昆 13 等学者针对稀疏线阵，结合统计优化与动态规划理论，提出了一种分区动态规划法。该方法可以在保证布阵效果的前提下降低动态规划的计算复杂度。从上世纪 90年代开始，基于计算机技术的智能优化算法被应用到非均匀阵列综合中
25、，其中包括遗传算法(Genetic Algorithms，GA)14、粒子群优化(Particle SwarmOptimization，PSO)算法15、蚁群优化(Ant Colony Optimization，ACO)算法16模拟退火(Simulated Annealing，SA)算法17而在最近，Liu18以及等。等人提出了一种基于矩阵束方法的低复杂度非均匀阵列综合方法。该方法无需迭代，可以有效地减少阵元数目。文献19-20则从不同的角度解读了稀疏阵列综合问题。首先将阵列分成很密集的网格，每一个网格节点对应一个天线阵元。而稀疏阵列综合便是在这些节点中提取所需的阵元以获得期望的辐射特性。最后
26、文献19 将问题转换为连续凸优化问题并使用内点法求解，而文献20则将问题转换为 凸优化问题并采用贝叶斯压缩感知逆方法求解。1.2.2参数估计技术的研究历史以及发展现状波束形成(beamforming)方法21 是时域傅里叶谱估计理论到空域的一种扩展，最早可以追溯到第二次世界大战。它的分辨率受到阵列孔径的限制，当信源之间的间隔小于孔径长度的倒数(Rayleigh限) 时，算法将失效。针对波束形成方法的不足，Berg和 Capon分别于 1967年和 1969年提出了最大熵估计方法(Maximum Entropy Estimate Method，MEM)22(Minimum Variance Sp
27、ectrum Estimation Method， MVM)23和最小方差谱估计法。这两种方法突破了阵列孔径的限制，相比于常规的波束形成算法，具有更高的分辨能力，因此被称为3电子科技大学硕士学位论文高分辨谱估计算法。但是二者仅仅是对常规的波束形成算法的一种修正，并没有实质上的突破。1986年，Schimidt提出的多重信号分类(Multiple Signal Classification，MUSIC)算法24 ，真正将谱估计技术推向了高分辨领域。算法的主体思路是将接收信号的协方差矩阵分解为信号子空间和噪声子空间，然后利用二者正交的特性，构造空间谱函数，通过谱峰搜索来对信号的 DOA进行估计。之
28、后提出的一些算法，如最小内积法25、Root-MUSIC法26都可以看成是 MUSIC方法的推广。同年，Roy等人提出了一种基于旋转不变技术的参数估计(Estimating Signal Parameter viaRotational Invariance Techniques，ESPRIT)27算法，该算法利用空间相关矩阵子空间的旋转不变特性，无需谱峰搜索且能给出估计参数的闭式解。而酉 ESPRIT算法28、共轭 ESPRIT算法29和波束域 ESPRIT算法30等均可以看成是 ESPRIT算法的推广。1991年，Viberg等人提出了加 权子空间拟合算法(Weighted Subspace
29、 Fitting，WSF)31，将不同的 DOA估计算法用统一的框架联系在了一起。在低 SNR、少的快拍数目以及信源相干的情况下，它的性能要优于子空间方法。然而 WSF方法的计算复杂度过高，因此在实际应用中难以推广。现如今，空间谱估计理论依旧在飞速发展，各种算法也层出不穷。针对目标点之间间隔过小问题，文献32提出了一种超分辨率多目标参数估计方法，该方法可以更加有效地抑制回波之间的干扰。在 ESPRIT方法的基础上，文献33结合奇异值分解得到了目标离波方向(Direction Of Depart，DOD)和波达方向的封闭解，同时实现了自动配对。文献34提出了一种降维 Capon方法，该方法只需要
30、进行一维搜索，相比于 2D-Capon 方法大大降低了计算复杂度。文献35提出了一种基于三线性模型的角度估计方法，该方法无需谱峰搜索，比 ESIPRIT方法和平行因子法具有更优越的角度估计性能，同时可以对二维角度进行自动配对。文献36提出了一种基于张量分解以及范德蒙德结构约束的参数估计方法，该方法可以对四维角度以及多普勒进行联合估计，无需参数配对和多维峰值搜索，大幅度降低了计算复杂度。目前空间谱估计技术的研究热点主要集中在两个方面：特定条件下的算法性能以及算法的稳健性问题。前者主要考虑如何在短数据、低 SNR以及信源相干的条件下保持算法的估计性能；而后者则主要考虑实际的接收数据与假设的模型不符
31、的情况下(比如实际噪声可能是色噪声或者阵元位置存在误差、阵元之间存在互耦)如何得到参数的准确估计值。论文的第二部分即是基于这两个方面展开的。4第一章绪论1.3论文的主要内容及章节安排本文主要就雷达阵列信号处理中的稀疏阵列综合和参数估计技术进行了深入的研究。全文的研究内容安排如下：第一章为绪论。主要介绍了稀疏阵列综合和参数估计技术的研究意义以及发展历程。第二章就稀疏阵列综合展开讨论。首先，介绍了一种基于连续凸优化的稀疏阵列综合方法，其对方向图的功率进行约束，最后将阵列优化问题转换为二阶锥规划问题并使用 SeDuMi进行求解。之后在上述方法的模型基 础上，提出了一种基于加权 l1范数的稀疏阵列综合
32、方法，在整个观测角度上 对波形进行约束，并采用复数求导结合启发式近似方法来求解。将仿真结果与已有的结论相比较，该方法可以得到孔径更短，稀疏程度更高的阵列。第三章详细阐述了基于稀疏表示的 DOA估计方法。首先简单介绍了三种常见的谱估计方法并指出它们的局限性。然后，通过引入过完备集，将阵列接收模型转化为稀疏表示的 DOA估计问题，在此基础上详细介绍了 l1-SVD算法。最后，引入一个酉变换矩阵，通过该变换矩阵将上述基于稀疏表示的复接收信号模型转换为实数模型，大幅度降低了 l1-SVD算法的计算复杂度。第四章在 MIMO雷达体制下讨论了稳健的参数估计方法。首先对 MIMO 雷达系统进行建模，同时将
33、Capon方法和 APES方法在 MIMO 雷达体制下进行了推导并分析了其性能的优劣；之后考虑了雷达阵列部分校准的情况，提出了一种可以对目标的幅度、方位以及阵列的扰动进行准确估计的方法，同时分析了 SNR对该方法性能的影响。最后考虑阵列完全失配的情况，首先介绍了一种 RCB方法并对其存在的局限性进行了分析。然后在 RCB方法的基础上提出了一种 IRCB方法，该方法无需事先获知流形矢量的不确定程度，其性能与流形矢量的不确定水平确定已知时的 RCB方法相近。第五章对全文进行了总结，指出了文中还存在的不足以及后续工作的重心。5电子科技大学硕士学位论文第二章稀疏阵列综合天线阵列综合是指在特定辐射特性的
34、约束下对天线阵列的阵元数目、阵元间距或每个阵元上激励的幅度与相位等进行设计。均匀阵列综合理论因其数学模型简单，已经获得了深入的发展。然而为获得期望的辐射特性，均匀阵列综合方法得到的阵列，其阵元数目将相当庞大。所以在一些对阵列的重量、尺寸以及成本有着严格限制的应用中，如相控阵雷达、卫星通信和 MIMO雷达系统，这些方法将不再适用。与均匀阵列综合方法不同，稀疏阵列综合具有更多的自由度。然而其求解过程要复杂很多，它的解通常也无法通过解析的方法来获得。本章旨在对稀疏阵列综合进行分析，首先介绍了一种基于连续凸优化的稀疏阵列综合 (本文简称为SCOSAS)方法。然后在其模型基础上，提出了一种基于迭代加权
35、l 1范数的稀疏阵列综合(本文简称为 IWNSAS)方法。该方法可以在每一次的迭代中 给出阵列激励的封闭解，无需使用优化软件求解，从而更具有通用性。仿真实验表明，该方法可以在满足辐射特性的情况下获得稀疏程度更高，孔径更短的阵列。2.1问题描述考虑一个由 N个各向同性阵元组成的均匀线阵(Uniform Linear Array，ULA)，其阵因子20 表示为：NFA() rie jkdi cos (2-1)i1其中， 表示相对于垂直方向的观测角度； j 1；ri是第i 个天线(即位置di处)的激励；k 2是空间波数； 是波长。假设所有的阵元都分布在 0到 x s上，xs为孔径长度。分别引入 N维
36、的激励向量和流形向量 r r1,r2,L rN T和a() e jkd1 cos ,e jkd2 cos ,L e jkdNcos ，则式(2-1)可以简化为：FA() a()r (2-2)其中，( )T表示转置。 6第二章稀疏阵列综合假设在 0到 x s的空间上以很小的间隔 d (远远小于半波长)均匀地分布着很多阵元。然而，并不是每一个阵元都用来发射电磁波，即每一个阵元都设置了两种状态，“开”(这 个位置存在 阵元或者附加了激励)和 “关”(这个位置不存在阵元或没有附加激励)。换言之，稀疏阵列综合就是选取特定位置的阵元将其状态设置为“开”状态，而其余阵元则为 “关”状态。2.2基于连续凸优化
37、的稀疏阵列综合2.2.1设计方法描述对方向图 FA ()的功率进行约束1936 ，即FA( )在一个特定的方向 (主瓣)聚束，同时在该方向之外(旁瓣) 的功率小于一个给定的值。因此，上述约束条件可以由下式表出：FA(Max)1 (2-3)FA() 2 Sidelobe UB()其中， Max表示主瓣角度； Sidelobe表示主瓣之外的观测角度；UB( )表示旁瓣功率的上限，属于常量且已知； 表示取实部操作。将式(2-2)的代入(2-3)，可以得到：a(Max)rT1 UB() (2-4)a(Max)r2Sidelobe值得一提的是，由文献36可知，式(2-3) 和式(2-4)中对主瓣区域的幅
38、度进行取实部操作等价于直接对幅度进行约束。当方向图由式(2-4)进行约束时，稀疏阵列综合可以由下式来表述：r Nmin r 0a(Max)r1 (2-5)s.t. a(Max)r T 2 UB()Sidelobe其中， r 0表示r中非零元素的个数。然而，优化问题(2-5)是非凸的，只有通过组合搜索才能获得它的解。因此，当问题规模中等时，式(2-5)就已经无法求解。通常的做法是对式(2-5)进行如下近似：7电子科技大学硕士学位论文min r 1r Na(Max)r1 (2-6)s.t. a(Max)r 2 UB()SidelobeN其中， r 1 ri。这种使用 l1范数来获得稀疏解的方法被广
39、泛地应用到各个领域i137-38。E. J. Cands39等人指出，相比于 l1范数，加权 l1范数 对 l0范数的逼近程度更高。将文献39的方法 应用到式(2-6) ，即可将上述问题转 化为基于连续凸优化的稀疏阵列综合。特别地，第i次迭代的问题可以描述如下：r(l) arg min Z (l)rr N1a(Max)r1 (2-7)s.t. a(Max)r 2 UB()Sidelobe其中，( )(l)表示第l次迭代； Z (l)表示第l 次迭代的加权矩阵。第l 1次迭代的加权矩阵 Z ( l1)可以由第l次迭代求得的解r ( l)计算得出，即1(l1) k(l) ，k 1,2,L Nz (
40、2-8)rk其中， Z ( l) diag(z1(l),z2(l),L zN(l)； diag( z1(l),z2(l),L zN(l)表示构造一个对角矩阵，其对角线上的元素为 zi(l) ，i 1,2,L N； 为事先给定的一个常量，旨在保证即使第l次迭代中 rk(l) 0，下一次迭代也可以顺利进行。由式(2-8)的定义可知， rk(l) 的值越小，对应的权值( rk( l) )1越大，即下一次迭代的罚因子越大，随着迭代的进行， rk(l) 越容易趋于 0。反之， rk( l)的值越大，对应的权值 ( r k(l) )1越小，即下一次迭代的罚因子越小，随着迭代的进行， rk( l)越容易被保
41、留下来。由文献39可知，当 略小于 (为 rk( l)，k 1,2,L N中非零元素的最小值)时，算法性能最优。不失一般性，在第一次迭代时，我们令 Z (1) IN，I N为 N行 N列单位矩 阵。8第二章稀疏阵列综合2.2.2设计方法的具体实现基于连续凸优化的稀疏阵列综合方法的具体步骤如下：初始化，令迭代次数l 1；Z IN。求解式 (2-7)，得到 r。注意，当 Z(1) (1) (1) IN时，式(2-7)等价于式(2-6)，即式(2-6)的解作为该算法的初始解。1）当l 1时，对凸优化问题(2-7)进行求解；2）更新加权矩阵 Z (l) ， z k(l) ( rk(l1) )1，k 1
42、,2,L N；3）重复步骤 1）和 2），直到 r ( l2) r (l) ，即该阵列阵元的数目连续三次均00不产生变化，则认为迭代终止。上述算法流程详细给出了该算法的具体实现步骤，那么现在就只剩下最后一个问题，即如何对凸优化问题(2-7)进行求解。为了求解优化问题 (2-7)，首先必须将观测角度离散化，记为msidelobe，m 1,2,L M。然后，定义一个 M行 N列的流形矩阵 AM，其中第m行为a( m)；以及一个 M行 1列的向量 1,2,L M ，其中 m=UB(m)。M因此，约束条件(2-4)可以重新表示为： a0r1 (2-9)A r M M其中，a0 a(Max)；x U U
43、等价于 xi i，i 1,2,L U。然后可以将优化问题(2-7)转换为 SOCP问题，并使用 SeDuMi来求解。二阶锥规划问题的标准格式如下：mincxT x(2-10)(2-11)s.t. Bx=b, xK其中，K 表示二阶锥；p维的二阶锥的定义如下：Lp x | x1 x2,x3,L xp 21 2p x | x1 xi2 i2二阶锥规划问题是一类特殊的优化问题，它是线性规划问题的一个子集。将凸优化问题(2-7)转换为二阶锥规划问题需要引入一些等价代换。令y y1, y2,L yM AMrT (2-12)9电子科技大学硕士学位论文那么式(2-9)的不等式约束可以重写为yi i，i 1,
44、2,L M可以看到，式(2-13)不同于式(2-10) 的标准形式。(2-13)为了将式 (2-13)转换为标准形式，我们引入一个三维的二阶锥，ti,(yi),(yi)L3，i 1,2,L M，其中ti yi (yi) 2 (yi)2 1 2 (2-14)(2-15)其中， ()表示取虚部操作。因此，可以得到如下不等式：yi ti i接着，我们引入一个松弛向量v v1,v2,L vM ，即可将式(2-9)的不等式约束转换为标准形式：vi ti i，i 1,2,L M (2-16)Nr即等价于 min z i ri，仅需要把加权值 z i至于式(2-7)中的目标函数 min Z lr N 1 r
45、 i1代入到式(2-10)中的c 中，即可得到标准形式。当式(2-7)被转换为二阶锥规划问题之后，我们可以使用很多现成的优化工具包来求解，如 SeDuMi，CVX等。在本小节中，我们 使用 SeDuMi 来求解。2.3基于迭代加权 l1范数的稀疏阵列综合不同于上一小节仅仅对方向图的功率进行约束，IWNSAS方法在整个观测角度上对波形进行约束，然后采用复数求导结合启发式近似方法来求解。即先使用复数求导得到参数相关的非线性方程，然后使用上一次迭代得到的值来求解这一次迭代的参数，反复迭代直到满足终止条件。2.3.1设计方法描述当对波形在整个观测角度上进行约束时，稀疏阵列综合问题可描述如下：min r
46、 s.t. F AK r 1 (2-17)0 210第二章稀疏阵列综合其中， 表示欧拉范数；F f1, f2,L fK 表示期望方向图向量，包含了整个观测2角度； 1 表示可以接受的误差，常量且已知。不同于上一小节中只是对旁瓣区间进行离散化，本小节需要对整个观测角度进行离散化，不妨记为k ，k 1, 2L,K。A 为 K行 N 列矩阵，其中第 k行为a( k )。同 2.2小节分析的K一样，式(2-12)非凸，当问题规模中等的情形下便已经无法求解。因此将该问题做近似，提出一种基于迭代加权 l1范数的稀疏阵列综 合方法，其目标函数如下：1 Ni12minr,w f (r,w) 2 F AK r
47、wi r (2-18)i2其中， 是一个常数且已知；wi,i 1,2,L N是一组加权。将式(2-13)展开可得f (r,w) 1 F A2 r wi rn2 Ki2i11 2(F F F AKr H r H(AK )F r H(AK )(AK )r)n wi rii1(2-19)(2-20)其中，( )H 表示共轭转置。为得到r的值，式(6) 对r H 进行求导，可得f (r,w) r1 (AK ) AKr (AK )F) P 1r 式中 P diag(p)，其中 p p1, p2,L pN ，且pi r wi ,i 1,2,L N (2-21)(2-22)i令 f (r,w) 0，可得下面的非线性方程：r) A r (AK K K )F)P1r 0N1(A11电子科技大学硕士学位论文其中，0N 1表示 N行 1列的全零向量。求解方程(2-22)，可得参数r的值：r (AK
