2018年秋八年级数学上册 第十三章《轴对称》试题（打包15套）（新版）新人教版.zip

1第十三章 轴对称13.1 轴对称13.1.1 轴对称知识要点基础练知识点 1 轴对称图形1.下面四个图形分别是绿色食品、回收、节能、节水的标志,轴对称图形是(A)2.(绍兴中考)我国传统建筑中,窗框(如图 1)的图案玲珑剔透、千变万化,窗框一部分如图 2,它是一个轴对称图形,其对称轴有(B)A.1 条 B.2 条C.3 条 D.4 条3.在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形 .在“礼迎全运”这 4 个汉字中,可以看作是轴对称图形的是 “全” . 知识点 2 轴对称4.下列图形中,△ A'B'C'与△ ABC 关于直线 MN 成轴对称的是(B)5.下列两个数字,成轴对称的两个图形是(C)2知识点 3 轴对称的性质6.如图,两个三角形关于某条直线成轴对称,其中已知某些边的长度和某些角的度数,则 x 的度数是(B)A.55° B.60°C.65° D.70°7.【教材母题变式】如图,△ ABC 和△ A'B'C'关于直线 l 对称,下列结论中不正确的是(D)A.△ ABC≌△ A'B'C'B.∠ BAC=∠ B'A'C'C.直线 l 垂直平分 CC'D.直线 BC 和 B'C'的交点不一定在直线 l 上综合能力提升练8.下列图案中,是轴对称图形且有两条对称轴的是(D)9.如图,在 3×4 的正方形网格中已有 2 个正方形被涂黑,再选择一个正方形涂黑,使得 3 个被涂黑的正方形组成轴对称图形,选择的位置共有(A)3A.7 处 B.6 处C.4 处 D.3 处10.如图,直线 m 是五边形 ABCDE 的对称轴,其中∠ A=130°,∠ B=110°,那么∠ AED=(A)A.60° B.50°C.40° D.70°11.如图所示,将一张正方形纸片对折两次,然后在上面打 3 个洞,则纸片展开后的图是(D)12.当你面对镜子的时候,右手拿笔向左挥动,对于镜子中的像来说是(D)A.右手拿笔,向右挥动B.左手拿笔,向左挥动C.右手拿笔,向左挥动D.左手拿笔,向右挥动13.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换 .在自然界和日常生活中,存在大量的这种图形变换(如图1).结合轴对称变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换过程中,两个对应三角形(如图 2)的对应点所具有的性质是(B)4A.对应点连线与对称轴垂直B.对应点连线被对称轴平分C.对应点连线被对称轴垂直平分D.对应点连线互相平行14.观察图中的两个图案,是轴对称图形的是 (2) ,它有 6 条对称轴 . 15.如图,△ ABC 的周长为 14,其中 AC=6,点 A,C 关于直线 DE 对称,则△ BCD 的周长是 8 . 16.如图, l 是该轴对称图形的对称轴 .(1)试写出图中两组对应相等的线段: AC=BD,AE=BE(答案不唯一) ; (2)试写出两组对应相等的角: ∠ BAC=∠ ABD,∠ ACD=∠ BDC(答案不唯一) ; (3)线段 AB,CD 都被直线 l 垂直平分 . 拓展探究突破练17.实验操作,构造轴对称:5(1)折叠:将一滴墨水滴在一张质地较软吸水性能较好的纸上,迅速将纸对折压平,再将纸展开,位于折痕两边的墨痕关于折痕成轴对称,或折叠后通过剪纸也能得到轴对称的图形,试试看 .(2)摆放:把两个完全相同的图形,不管其形状怎样,只要摆放合理,都能构造轴对称 .如图① ,② ,③ ,④ 所示,两个直角三角形,可以摆放若干个对称轴 .举例:(3)如图 ⑤ ,由四个相同的小正方形组成的 L 形,请添画一个小正方形,使它成为轴对称图形;(4)用四块如图 ⑥ 的瓷砖拼成一个正方形,使拼成的图案成轴对称图形 .解:(1)(2)直接动手操作得出图形即可 .(3)如图所示 .(答案不唯一)(4)如图所示 .(答案不唯一)113.1.2 线段的垂直平分线的性质第 1课时 线段的垂直平分线的性质和判定知识要点基础练知识点 1 线段的垂直平分线的性质1.已知直线 AB是线段 CD的垂直平分线,并且垂足为 B,若 AC=5 cm,则下列结论正确的是(D)A.AB=5 cm B.BC=5 cmC.BD=5 cm D.AD=5 cm2.如图, CD是 AB的垂直平分线,若 AC=1.6 cm,BD=2.3 cm,则四边形 ACBD的周长是(B)A.3.9 cm B.7.8 cmC.4 cm D.4.6 cm3.【教材母题变式】如图, AD⊥ BC,BD=DC,点 C在 AE的垂直平分线上 .已知 BD=3,AB=5,则DE= 8 . 知识点 2 线段的垂直平分线的判定4.三角形纸片 ABC上有一点 P,量得 PA=3 cm,PB=3 cm,则点 P一定(D)A.是边 AB的中点B.在边 AB的中线上C.在边 AB的高上D.在边 AB的垂直平分线上25.如图,在四边形 ACBD中, AC=AD,BC=BD,则有(A)A.AB垂直平分 CDB.CD垂直平分 ABC.AB与 CD互相垂直平分D.CD平分∠ ACB6.已知,如图,在△ ABC中, AB=AC,O是△ ABC内一点,且 OB=OC,求证: AO⊥ BC.证明: ∵AB=AC ,∴ 点 A在线段 BC的垂直平分线上 .∵OB=OC ,∴ 点 O在线段 BC的垂直平分线上 .∴ 直线 OA是线段 BC的垂直平分线,∴AO ⊥ BC.综合能力提升练7.如图,在四边形 ABCD中, AC垂直平分 BD,垂足为 E,下列结论不一定成立的是(C)3A.AB=AD B.CA平分∠ BCDC.AB=BD D.△ BEC≌△ DEC8.如图,在△ ABC中, BC=8 cm,AB的垂直平分线交 AB于点 D,交 AC于点 E,△ BCE的周长等于18 cm,则 AC的长等于(C)A.6 cm B.8 cmC.10 cm D.12 cm【变式拓展】如图所示,线段 AB的垂直平分线与 BC的垂直平分线的交点 M恰好在 AC上,且 AC=16 cm,则 BM的长为 8 cm. 9.如图所示的解锁图案中不是轴对称图形的是(A)10.已知 A,B,C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个休闲广场,使广场到三个小区的距离相等,则广场应建在(D)A.△ ABC三条中线的交点处B.△ ABC三条高的交点处C.线段 AB上D.△ ABC三边垂直平分线的交点处11.如图,在 Rt△ ABC中,∠ C=90°,BD平分∠ ABC交 AC于点 D,DE垂直平分 AB,垂足为 E,请写出图中所有相等的线段: BC=BE=AE,CD=DE,BD=AD . 412.如图,在△ ABC中,边 AB,BC的垂直平分线交于点 P,且 AP=5,那么 PC= 5 . 13.如图,在△ ABC中, AC的垂直平分线分别交 AC,BC于 E,D两点, EC=4,△ ABC的周长为 23,则△ ABD的周长为 15 . 14.如图,在△ ABC中, DE,FG分别是 AB,AC的垂直平分线,若△ AEG的周长为 8 cm,则 BC的长度为 8 cm. 15.如图,在△ ABC中, AB=AC,D是 AB的中点,且 DE⊥ AB,△ BCE的周长为 8 cm,且 AC-BC=2 cm,求AB,BC的长 .解: ∵DE ⊥ AB,D是 AB的中点, ∴AE=BE ,∵ △ BCE的周长为 8 cm,即 BE+CE+BC=8 cm,∴AC+BC= 8 cm,①又 ∵AC-BC= 2 cm,②5解得 AB=AC=5 cm,BC=3 cm.拓展探究突破练16.如图,在四边形 ABCD中, AD∥ BC,E为 CD的中点,连接 AE,BE,BE⊥ AE,延长 AE交 BC的延长线于点 F.求证:(1) FC=AD;(2)AB=BC+AD.解:(1) ∵AD ∥ BC,∴ ∠ ADE=∠ ECF,∵E 是 CD的中点, ∴DE=EC.在△ ADE与△ FCE中,∴ △ ADE≌△ FCE(ASA),∴FC=AD.(2)∵ △ ADE≌△ FCE,∴AE=EF ,∴BE 是线段 AF的垂直平分线,∴AB=BF=BC+CF ,∵AD=CF ,∴AB=BC+AD.1第 2 课时 作线段的垂直平分线知识要点基础练知识点 1 线段垂直平分线的画法1.如图的尺规作图是作(A)A.线段的垂直平分线B.一个半径定值的圆C.一条直线的平行线D.一个角等于已知角知识点 2 作对称轴2.分别以直线 l 为对称轴,所作轴对称图形错误的是(C)3.如图,△ ABC 与△ A'B'C'关于直线 l 成轴对称图形 .请作出对称轴 l.(只保留作图痕迹,不用写作图步骤)解:连接 AA',作 AA'的垂直平分线 MN,则直线 MN 即为所求 .2综合能力提升练4.(宜昌中考)如图,在△ AEF 中,尺规作图如下:分别以点 E,点 F 为圆心,大于 EF 的长为半径作弧,两弧相交于 G,H 两点,作直线 GH,交 EF 于点 O,连接 AO,则下列结论正确的是(C)A.AO 平分∠ EAF B.AO 垂直平分 EFC.GH 垂直平分 EF D.GH 平分 AF5.如图所示的虚线中,是该图形对称轴的是(B)A.直线 a 与直线 b B.直线 a 与直线 cC.直线 a 与直线 d D.直线 a,b,c,d6.观察如图所示的轴对称图形,它们各有几条对称轴?在图中画出所有的对称轴 .解: ① 有 2 条对称轴; ② 有 4 条对称轴; ③ 有 5 条对称轴; ④ 有 3 条对称轴,如图所示 .37.如图,在△ ABC 中, AB=AC,∠ A=120°.(1)用直尺和圆规作 AB 的垂直平分线,分别交 BC,AB 于点 M,N.(保留作图痕迹,不写作法)(2)猜想 CM 与 BM 之间有何数量关系 .解:(1)如图 .(2)CM=2BM.拓展探究突破练8.如图,△ ABC 和△ A'B'C'关于直线 MN 对称,△ A'B'C'和△ A″B″C″ 关于直线 EF 对称 .(1)画出直线 EF;(2)直线 MN 与 EF 相交于点 O,试探究∠ BOB″ 与直线 MN,EF 所夹锐角 α 的数量关系 .解:(1)如图,连接 B'B″ ,作 B'B″ 的垂直平分线 EF,即为所求 .4(2)连接 B'O,B″O.∵ △ ABC 和△ A'B'C'关于直线 MN 对称,∴ ∠ BOM=∠ B'OM.又 ∵ △ A'B'C'和△ A″B″C″ 关于直线 EF 对称,∴ ∠ B'OE=∠ B″OE.∴ ∠ BOB″= ∠ BOM+∠ B'OM+∠ B'OE+∠ B″OE= 2(∠ B'OM+∠ B'OE)=2α.113.2 画轴对称图形第 1 课时 画轴对称图形知识要点基础练知识点 1 轴对称变换1.小强将一张正方形纸片按如图所示对折两次,并在如图位置上剪去一个小正方形,然后把纸片展开,得到的图形应是(B)2.如图,等边△ ABC 的边长为 10 cm,D,E 分别是 AB,AC 边上的点,将△ ADE 沿直线 DE 折叠,点 A 落在点 A'处,且点 A'在△ ABC 外部,则阴影部分图形的周长为 30 cm. 知识点 2 画轴对称图形3.【教材母题变式】如图,作出△ ABC 关于直线 l 的对称图形 .解:如图所示 .综合能力提升练4.王刚在镜中看到身后墙上的钟,实际时间最接近 4 点的是(B)25.图中序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形,都是△ ABC 这个图形进行了一次变换之后得到的,其中是通过轴对称得到的是 (1) . 6.如图,已知△ ABC.(1)画出△ A1B1C1,使△ A1B1C1和△ ABC 关于直线 MN 成轴对称 .(2)画出△ A2B2C2,使△ A2B2C2和△ ABC 关于直线 PQ 成轴对称 .(3)△ A1B1C1与△ A2B2C2成轴对称吗?若成,请在图上画出对称轴;若不成,说明理由 .解:(1)(2)所画图形如图所示 .(3)不成轴对称,因为它们不关于直线对称 .拓展探究突破练7.如图,方格纸上画有 AB,CD(点 A,B,C,D 是格点)两条线段,按下列要求作图(不保留作图痕迹,不要求写出作法):(1)请你在图 1 中画出线段 AB 关于 CD 所在直线成轴对称的图形;3(2)请你在图 2 中添上一条线段,使图中的 3 条线段组成一个轴对称图形(画出一种即可,图1 的情况除外) .解:(1)图略 .(2)如图所示 .(答案不唯一)1第 2课时 坐标平面中的轴对称知识要点基础练知识点 1 关于坐标轴对称的点的坐标1.点 A(-3,2)关于 y轴对称的点的坐标为 (3,2) . 2.点 M(-2,1)关于 x轴对称的点 N的坐标是 (-2,-1) ,直线 MN与 x轴的位置关系是 垂直 . 3.若点 P关于 y轴的对称点为 P'(-2,5),则点 P关于 x轴对称的点的坐标是 (2,-5) . 知识点 2 图形关于坐标轴对称4.如图,阴影部分组成的图案既是关于 x轴成轴对称的图形又是关于 y轴成轴对称的图形 .若点 A的坐标是(1,3),则点 M和点 N的坐标分别是(C)A.M(1,-3),N(-1,-3)B.M(-1,-3),N(-1,3)C.M(-1,-3),N(1,-3)D.M(-1,3),N(1,-3)综合能力提升练5.已知 A,B两点的坐标分别是( -4,7)和(4,7),则下列四个结论: ①A ,B两点关于 x轴对称;②A ,B两点关于 y轴对称; ③A ,B两点关于原点对称; ④A ,B两点之间的距离为 8.其中正确的有(B)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.如图,在平面直角坐标系中,△ ABC位于第二象限,点 A的坐标是( -2,3),先把△ ABC向右平移 4个单位长度得到△ A1B1C1,再作与△ A1B1C1关于 x轴对称的△ A2B2C2,则点 A的对应点 A2的坐标是 (2,-3) . 27.小莹和小博士下棋,小莹执圆子,小博士执方子 .如图,棋盘中心方子的位置用( -1,0)表示,右下角方子的位置用(0, -1)表示 .小莹将第 4枚圆子放入棋盘后,所有棋子构成一个轴对称图形,则她放的位置是 (-1,1) . 8.如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(a+b,2-a)与点 B(a-5,b-2a)关于 y轴对称 .(1)试确定点 A,B的坐标;(2)如果点 B关于 x轴的对称点是 C,求△ ABC的面积 .解:(1) A(4,1),B(-4,1).(2)∵C (-4,-1),∴AB= 8,BC=2.∴S △ ABC=×8×2=8.9.已知点 M(2a-b,5+a),N(2b-1,-a+b).(1)若点 M,N关于 x轴对称,求 a,b的值;(2)若点 M,N关于 y轴对称,求(4 a+b)2018的值 .解:(1) a=-8,b=-5.(2)∵M ,N关于 y轴对称, ∴解得 a=-1,b=3,∴ (4a+b)2018=1.拓展探究突破练310.△ ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示 .(1)画出△ ABC关于 y轴对称的△ A1B1C1;(2)将△ ABC向右平移 6个单位,作出平移后的△ A2B2C2,并写出△ A2B2C2各顶点的坐标;(3)观察△ A1B1C1和△ A2B2C2,它们是否关于某条直线对称?若是,请在图中画出这条对称轴 .解:(1)如图所示 .(2)△ A2B2C2如图, A2(6,4),B2(4,2),C2(5,1).(3)△ A1B1C1和△ A2B2C2是轴对称图形,对称轴为图中直线 x=3.113.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形第 1 课时 等腰三角形的性质知识要点基础练知识点 1 等腰三角形的性质 ——等边对等角1.若等腰三角形的顶角为 40°,则它的底角度数为(D)A.40° B.50°C.60° D.70°2.某城市几条道路的位置关系如图所示,已知 AB∥ CD,AE 与 AB 的夹角为 48°,若 CF 与 EF的长度相等,则∠ C= 24° . 3.【教材母题变式】如图,在△ ABC 中, AB=AD=DC,∠ C=35°,则∠ B= 70° . 知识点 2 等腰三角形的性质 ——三线合一4.如图,在△ ABC 中, AB=AC,D 为 BC 的中点,则下列结论中错误的是(A)A.∠ BAC=∠ B2B.∠ BAD=∠ CADC.∠ B=∠ CD.AD⊥ BC5.(苏州中考)如图,在△ ABC 中, AB=AC,D 为 BC 中点,∠ BAD=35°,则∠ C 的度数为(C)A.35° B.45°C.55° D.60°6.如图,在△ ABC 中, AB=AC,AD⊥ BC 于点 D,若 AB=6,CD=4,则△ ABC 的周长是 20 . 综合能力提升练7.如图, AB∥ CD,点 E 在 BC 上,且 CD=CE,∠ D=74°,则∠ B 的度数为(B)A.68° B.32°C.22° D.16°8.如图,△ ABC 内有一点 D,且 DA=DB=DC,若∠ DAB=20°,∠ DAC=30°,则∠ BDC 的大小是(A)A.100° B.80°3C.70° D.50°9.(台州中考)如图,已知等腰三角形 ABC,AB=AC.若以点 B 为圆心, BC 长为半径画弧,交腰 AC于点 E,则下列结论一定正确的是(C)A.AE=EC B.AE=BEC.∠ EBC=∠ BAC D.∠ EBC=∠ ABE10.如图,在△ ABC 中, AB=AC,D 为 BC 上一点,且 DA=DC,BD=BA,则∠ B= 36° . 11.如图,在△ ABC 中, AB=AC,CD 平分∠ ACB 交 AB 于点 D,AE∥ DC 交 BC 的延长线于点 E,已知∠ E=36°,则∠ B= 72° . 12.如图,在底角为 75°的等腰△ ABC 中, AB=AC,E 为 BC 延长线上一点,∠ ABC 与∠ ACE 的平分线相交于点 D,则∠ D= 15° . 13.已知一个等腰三角形的两角分别为(2 x-2)°,(3x-5)°,求这个等腰三角形各角的度数 .解: ① 当顶角为(2 x-2)°时,即(2 x-2)+2×(3x-5)=180,解得 x=24,则这个三角形三个角的度数分别为 46°,67°,67°;② 当顶角为(3 x-5)°时,即(3 x-5)+2×(2x-2)=180,解得 x=27,则这个三角形三个角的度数分别为 52°,52°,76°;4③ 当题中两个角均为底角时,即 2x-2=3x-5,解得 x=3,则这个三角形三个角的度数分别为4°,4°,172°.14.如图,在△ ABC 中, AB=AC,D 是 AB 上一点,延长 CA 到点 E,使 AE=AD,求证: ED⊥ BC.证明:延长 ED 交 BC 于点 F.∵AB=AC ,∴ ∠ B=∠ C,又 ∵AE=AD ,∴ ∠ E=∠ ADE,又 ∵ ∠ ADE=∠ BDF,∴ ∠ E+∠ C=∠ BDF+∠ B,∴ ∠ EFC=∠ EFB,∴ ∠ EFC=∠ EFB=90°,∴ED ⊥ BC.15.如图,已知 AB=AE,∠ B=∠ E,BC=ED,F 是 CD 的中点,你知道 AF 与 CD 之间具有怎样的位置关系吗?请说明理由 .解: AF⊥ CD.理由如下:连接 AC,AD.在△ ABC 和△ AED 中,∴ △ ABC≌△ AED(SAS),∴AC=AD ,∴ △ ACD 为等腰三角形 .5∵F 为 CD 的中点, ∴AF ⊥ CD.拓展探究突破练16.如图,在△ ABC 中, AB=AC,D 是 BC 上任意一点,过点 D 分别向 AB,AC 引垂线,垂足分别为E,F.(1)当点 D 在 BC 的什么位置时, DE=DF?请给出证明 .(2)过 C 点作 AB 边上的高 CG,请问 DE,DF,CG 的长度之间存在怎样的关系?并加以证明 .解:(1)当 D 为 BC 的中点时, DE=DF.∵D 为 BC 的中点, ∴BD=CD ,∵AB=AC ,∴ ∠ B=∠ C,∵DE ⊥ AB,DF⊥ AC,∴ ∠ DEB=∠ DFC=90°,∴ △ BED≌△ CFD(AAS),∴DE=DF.(2)CG=DE+DF.连接 AD,∵S △ ABC=S△ ADB+S△ ADC,∴AB×CG=AB×DE+AC×DF ,又 AB=AC,∴CG=DE+DF.1第 2 课时 等腰三角形的判定知识要点基础练知识点 1 等腰三角形的判定1.在△ ABC 中,∠ A 的相邻外角是 70°,要使△ ABC 为等腰三角形,则∠ B 为(B)A.70° B.35°C.110°或 35° D.110°2.下面几个三角形中,不可能是等腰三角形的是(B)A.有两个内角分别为 75°和 75°的三角形B.有两个内角分别为 110°和 40°的三角形C.有一个外角为 100°,一个内角为 50°的三角形D.有一个外角为 80°,一个内角为 100°的三角形3.如图,把一张对边平行的纸条如图折叠,重合部分是 等腰三角形 . 知识点 2 等腰三角形的性质与判定的综合运用4.如图, AD⊥ BC,D 为 BC 的中点,以下结论正确的有(D)① △ ABD≌△ ACD;②AB=AC ;③ ∠ B=∠ C;④AD 是△ ABC 的角平分线 .A.1 个 B.2 个C.3 个 D.4 个25.【教材母题变式】如图,△ ABC 中, BO 平分∠ ABC,CO 平分∠ACB,MN 经过点 O,与 AB,AC 相交于点 M,N,且 MN∥ BC.若 AB=6,AC=9,求△ AMN 的周长 .解: ∵BO 平分∠ CBA,CO 平分∠ ACB,∴ ∠ MBO=∠ OBC,∠ OCN=∠ OCB,∵MN ∥ BC,∴ ∠ MOB=∠ OBC,∠ NOC=∠ OCB,∴ ∠ MBO=∠ MOB,∠ NOC=∠ NCO,∴MO=MB ,NO=NC.∵AB= 6,AC=9,∴ △ AMN 的周长 =AM+MO+NO+AN=AB+AC=6+9=15.知识点 3 作等腰三角形6.尺规作图,已知线段 a,画一个底边长度为 a,底边上的高也为 a 的等腰三角形 .(保留作图痕迹,不写作法)解:如图所示 .综合能力提升练7.如图,∠ B=∠ C=36°,∠ ADE=∠ AED=72°,则图中的等腰三角形的个数为(D)3A.3 B.4 C.5 D.68.如图,在腰长为 8 的等腰△ ABC 中, AB=AC,E,M,F 分别是 AB,BC,AC 上的点,并且ME∥ AC,MF∥ AB,则四边形 MEAF 的周长是(D)A.8 B.10 C.12 D.169.如图,下列三角形中, AB=AC,则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是(A)A.①③④ B.①②③④C.①②④ D.①③10.如图,在△ ABC 中, BD 平分∠ ABC,ED∥ BC,已知 AB=3,AD=1,则△ AED 的周长为 4 . 11.如图,在△ ABC 中,∠ B=∠ C,点 E 在 CA 延长线上, EP⊥ BC 于点 P,交 AB 于点 F,若AF=3,BF=5,则 CE 的长度为 11 . 412.(内江中考)如图, AD 平分∠ BAC,AD⊥ BD,垂足为 D,DE∥ AC.求证:△ BDE 是等腰三角形 .证明: ∵DE ∥ AC,∴ ∠ CAD=∠ ADE.∵AD 平分∠ BAC,∴ ∠ CAD=∠ EAD,∴ ∠ EAD=∠ ADE.∵AD ⊥ BD,∴ ∠ BAD+∠ B=90°,∠ ADE+∠ BDE=90°,∴ ∠ B=∠ BDE,∴BE=DE ,∴ △ BDE 是等腰三角形 .13.如图, AD 是∠ BAC 的平分线, AB=AC+DC.求证:∠ C=2∠ B.证明:在 AB 上截取 AE=AC,连接 DE.∵AB=AC+DC ,AE=AC,∴BE=DC ,∵AD 是∠ BAC 的平分线, ∴ ∠ EAD=∠ CAD,∴ △ AED≌△ ACD(SAS),∴DE=DC=BE ,∠ AED=∠ C,∴ ∠ B=∠ EDB,∵ ∠ AED=∠ B+∠ EDB,∴ ∠ AED=2∠ B,5∴ ∠ C=2∠ B.14.如图,在△ ABC 中, D,E 分别是 AB,AC 上的一点, BE 与 CD 交于点 O,给出下列四个条件:① ∠ DBO=∠ ECO;② ∠ BDO=∠ CEO;③BD=CE ;④OB=OC.(1)上述四个条件中,哪两个可以判定△ ABC 是等腰三角形?(2)选择(1)中的一种情形为条件,试说明△ ABC 是等腰三角形 .解:(1) ①③ ,①④ ,②③ ,②④.(2)以 ①④ 为条件(答案不唯一,合理即可),理由:∵OB=OC ,∴ ∠ OBC=∠ OCB.又 ∵ ∠ DBO=∠ ECO,∴ ∠ ABC=∠ ACB,∴AB=AC ,∴ △ ABC 是等腰三角形 .拓展探究突破练15.如图,在 Rt△ ABC 中, AB=AC,∠ BAC=90°,D 为 BC 的中点 .(1)写出点 D 到△ ABC 的三个顶点 A,B,C 的距离关系(不要求证明);(2)如果点 M,N 分别在线段 AB,AC 上移动,在移动中保持 AN=BM,请判断△ DMN 的形状,并证明你的结论 .解:(1) DA=DB=DC.6(2)△ DMN 为等腰直角三角形 .∵AB=AC ,∠ BAC=90°,∴ ∠ B=45°,又 ∵D 为 BC 的中点, ∴AD 平分∠ CAB,∴ ∠ CAD=45°.在△ ADN 和△ BDM 中,∴ △ ADN≌△ BDM(SAS),∴DM=DN ,∠ NDA=∠ BDM.∵ ∠ BAD=45°,∠ B=45°,∴ ∠ ADB=90°.∴ ∠ NDM=∠ NDA+∠ ADM=∠ BDM+∠ ADM=∠ ADB=90°,∴ △ DMN 是等腰直角三角形 .113.3.2 等边三角形第 1 课时 等边三角形的性质和判定知识要点基础练知识点 1 等边三角形的性质1.如图,过等边△ ABC 的顶点 A 作射线,若∠1 =20°,则∠2 的度数是(A)A.100° B.80° C.60° D.40°2.如图,等边△ ABC 的边长如图所示,那么 y= 3.5 . 3.如图,在等边△ ABC 中, D 是 AC 的中点, E 是 BC 延长线上的一点,且 CE=CD,DF⊥ BE 于点 F.求证: BF=EF.证明: ∵BD 是等边△ ABC 的中线,∴ ∠ DBE=∠ ABC=∠ ACB.又 ∵CE=CD ,∴ ∠ E=∠ ACB,∴ ∠ DBE=∠ E,∴DB=DE.∵DF ⊥ BE,∴BF=EF.2知识点 2 等边三角形的判定4.下列推理错误的是(B)A.因为∠ A=∠ B=∠ C,所以△ ABC 是等边三角形B.因为 AB=AC,且∠ B=∠ C,所以△ ABC 是等边三角形C.因为∠ A=60°,∠ B=60°,所以△ ABC 是等边三角形D.因为 AB=AC,且∠ B=60°,所以△ ABC 是等边三角形5.【教材母题变式】如图,△ ABC 是等边三角形, DE∥ BC,若 AB=5,BD=2,则△ ADE 的周长 = 9 . 6.如图,∠ A=∠ B=60°,CE∥ DA,CE 交 AB 于点 E.求证:△ CEB 是等边三角形 .证明: ∵ ∠ A=60°,CE∥ DA,∴ ∠ CEB=60°,∵ ∠ A=∠ B=60°,∴ ∠ CEB=∠ B=∠ ECB=60°,∴CE=BE=BC ,∴ △ CEB 是等边三角形 .综合能力提升练7.如图,在等边△ ABC 中, AC=9,点 O 在 AC 上,且 AO=3,点 P 是 AB 上一动点,连接 OP,以 O 为圆心, OP 长为半径画弧交 BC 于点 D,连接 PD,如果 PO=PD,那么 AP 的长是(D)A.5 B.8 C.7 D.638.如图,△ ABC 是等边三角形, AD是∠ BAC 的平分线,△ ADE 是等边三角形,下列结论: ①AD ⊥ BC;②EF=FD ;③BE=BD. 其中正确结论的个数为(A)A.3 B.2 C.1 D.09.如图,将边长为 5 cm 的等边△ ABC,沿 BC 边向右平移 3 cm,得到△ DEF,DE 交 AC 于点 M,则△ MEC 是 等边 三角形, DM= 3 cm. 10.在中线长为 4 的等边三角形 ABC 中, D 为 BC 边上的任意一点,过点 D 分别作DE⊥ AB,DF⊥ AC,垂足分别为 E,F,则 DE+DF= 4 . 11.如图,等边△ A1C1C2的周长为 1,作 C1D1⊥ A1C2于点 D1,在 C1C2的延长线上取点 C3,使D1C3=D1C1,连接 D1C3,以 C2C3为边作等边△ A2C2C3;作 C2D2⊥ A2C3于点 D2,在 C2C3的延长线上取点 C4,使 D2C4=D2C2,连接 D2C4,以 C3C4为边作等边△ A3C3C4;…且点 A1,A2,A3,…都在直线 C1C2同侧,如此下去,则△ AnCnCn+1的周长为 . 12.如图,已知△ ABC 为等边三角形, D 为 BC 延长线上的一点, CE 平分∠ ACD,CE=BD.求证:△ADE 为等边三角形 .4解: ∵ △ ABC 为等边三角形, ∴ ∠ B=∠ ACB=60°,AB=AC,即∠ ACD=120°,∵CE 平分∠ ACD,∴ ∠ ACE=∠ DCE=60°,在△ ABD 和△ ACE 中,∴ △ ABD≌△ ACE(SAS),∴AD=AE ,∠ BAD=∠ CAE,又∠ BAC=60°,∴ ∠ DAE=60°,∴ △ ADE 为等边三角形 .13.如图,已知△ ABC 为等边三角形,点 D,E 分别在 BC,AC 边上,且 AE=CD,AD 与 BE 相交于点 F.(1)求证:△ ABE≌△ CAD;(2)求∠ BFD 的度数 .解:(1) ∵ △ ABC 为等边三角形,∴ ∠ BAE=∠ C=60°,AB=CA,在△ ABE 和△ CAD 中,∴ △ ABE≌△ CAD(SAS).(2)∵ ∠ BFD=∠ ABE+∠ BAD,又 ∵ △ ABE≌△ CAD,∴ ∠ ABE=∠ CAD.∴ ∠ BFD=∠ CAD+∠ BAD=60°.514.(恩施州中考)如图,△ ABC,△ CDE 均为等边三角形,连接 BD,AE 交于点 O,BC 与 AE 交于点P.求证:∠ AOB=60°.解: ∵ △ ABC 和△ ECD 都是等边三角形,∴AC=BC ,CD=CE,∠ ACB=∠ DCE=60°,∴ ∠ ACB+∠ BCE=∠ DCE+∠ BCE,即∠ ACE=∠ BCD,在△ ACE 和△ BCD 中,∴ △ ACE≌△ BCD(SAS),∴ ∠ CAE=∠ CBD.∵ ∠ APC=∠ BPO,∴ ∠ BOP=∠ ACP=60°,即∠ AOB=60°.拓展探究突破练15.数学课上,李老师出示了如下的题目:“在等边△ ABC 中,点 E 在 AB 上,点 D 在 CB 的延长线上,且 ED=EC,试确定线段 AE 与 BD 的大小关系,并说明理由” .小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:(1)特殊情况,探索结论 .当点 E 为 AB 的中点时,如图 1,确定线段 AE 与 BD 的大小关系,请你直接写出结论: AE = BD.(填“ ”“”或“ =”) (2)特例启发,解答题目 .解: AE 与 DB 的大小关系: AE=DB.理由如下:如图 2,过点 E 作 EF∥ BC,交 AC 于点 F.(请你完成后面的解答过程)解:(2)在等边△ ABC 中,∠ ABC=∠ ACB=∠ A=60°,AB=AC=BC,∵EF ∥ BC,∴ ∠ AEF=∠ ABC=60°,∴ △ AEF 是等边三角形,∴AE=EF ,易得∠ DBE=∠ EFC,∠ D+∠ BED=∠ FCE+∠ ECD=60°,6∵ED=EC ,∴ ∠ D=∠ ECD,∴ ∠ BED=∠ ECF,∴ △ DEB≌△ ECF(AAS),∴BD=EF=AE ,即 AE=BD.1第 2课时 含 30°角的直角三角形的性质知识要点基础练知识点 1 含 30°角的直角三角形的性质1.在 Rt△ ABC中,∠ C=90°,∠ B=30°,斜边 AB的长为 2 cm,则 AC的长为(C)A.4 cm B.2 cm C.1 cm D. cm2.在△ ABC中,∠ A∶ ∠ B∶ ∠ C=1∶ 2∶ 3,则 BC∶AB 等于(B)A.2∶ 1 B.1∶ 2C.1∶ 3 D.2∶ 33.在 Rt△ ABC中, CD是斜边 AB上的高,∠ B=30°,AD=2 cm,则 AB的长度是(C)A.2 cm B.4 cmC.8 cm D.16 cm知识点 2 含 30°角的直角三角形的性质的应用4.如图,一棵树在一次强台风中于离地面 6米处折断倒下,倒下部分与地面成 30°角,这棵树在折断前的高度为(D)A.6米 B.9米C.12米 D.18米5.【教材母题变式】如图,是屋架设计图的一部分,其中 BC⊥ AC,DE⊥ AC,D是 AB的中点,∠ A=30°,AB=7 m,则 BC= m,DE= m. 26.有一轮船由东向西航行,在 A处测得西偏北 15°有一灯塔 P,继续航行 20海里后到 B处,又测得灯塔 P在西偏北 30°.如果轮船航向不变,则灯塔与船之间的最近距离是 10 海里 .综合能力提升练7.如图,在△ ABC中,∠ C=90°,AC=3,∠ B=30°,点 P是 BC边上的动点,则 AP长不可能是(D)A.3.5 B.4.2C.5.8 D.78.如图,在△ ABC中,∠ B=30°,BC的垂直平分线交 AB于点 E,垂足为 D.若 ED=5,则 CE的长为(A)A.10 B.8C.5 D.2.59.某市在旧城改造中,计划在一块如图所示的△ ABC空地上种植草皮以美化环境,已知∠ A=150°,这种草皮每平方米售价 a元,则购买这种草皮需要(B)A.300a元 B.150a元C.450a元 D.225a元10.如图所示是某超市自动扶梯的示意图,大厅两层之间的距离 h=6.5米,自动扶梯的倾角为30°,若自动扶梯运行速度为 v=0.5米 /秒,则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 26 秒 . 311.如图,在△ ABC中, AB=AC,∠ B=30°,点 D在 BC上,且 AD⊥ AC.若 AD=1,则 BC的长为 3 . 12.如图,已知△ ABC是等边三角形,过点 B作 BD⊥ BC,过点 A作 AD⊥ BD,垂足为 D,若△ ABC的周长为 12,求 AD的长 .解: ∵BD ⊥ BC,∠ ABC=60°,∴ ∠ ABD=90°-60°=30°.又 ∵AD ⊥ BD,即△ ABD是直角三角形, ∴AD=AB.∵AB=× 12=4,∴AD= 2.13.如图,在△ ABC中,∠ A=30°,∠ ACB=90°,M是 AB上一点, CM=AB,D是 BM的中点 .求证:CD⊥ AB.证明: ∵ ∠ ACB=90°,∠ A=30°,∴BC=AB ,∵CM=AB ,∴CM=CB ,又 ∵D 是 BM的中点, ∴CD ⊥ AB.414.如图,在△ ABC中, AB=AC,∠ BAC=120°,D为 BC的中点, DE⊥ AC于点 E,AE=2,求 CE的长 .解:连接 AD.∵AB=AC ,∠ BAC=120°,D为 BC的中点,∴AD ⊥ BC,AD平分∠ BAC,∠ B=∠ C=30°,∴ ∠ DAC=∠ BAD=60°,∵ ∠ AED=90°,∴ ∠ ADE=30°,在 Rt△ ADE中, AD=2AE=4,在 Rt△ ADC中, AC=2AD=8,∴CE=AC-AE= 6.15.如图,在等边△ ABC中,点 D,E分别在边 BC,AC上, DE∥ AB,过点 E作 EF⊥ DE,交 BC的延长线于点 F.(1)求∠ F的度数;(2)若 CD=2,求 DF的长 .解:(1) ∵ ∠ B=60°,DE∥ AB,∴ ∠ EDC=∠ B=60°.∵EF ⊥ DE,∴ ∠ F=90°-∠ EDC=30°.(2)∵ ∠ ACB=60°,∠ EDC=60°,∴ △ EDC是等边三角形, ∴ED=CD= 2.又 ∵EF ⊥ DE,∠ F=30°,5∴DF= 2DE=4.拓展探究突破练16.如图,已知∠ MAN=120°,AC平分∠ MAN,B,D分别在射线 AN,AM上 .(1)若∠ ABC=∠ ADC=90°,如图 1,求证: AD+AB=AC.(2)若∠ ABC+∠ ADC=180°,如图 2,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由 .解:(1) ∵ ∠ MAN=120°,AC平分∠ MAN,∴ ∠ DAC=∠ BAC=60°.∵ ∠ ABC=∠ ADC=90°,∴ ∠ DCA=∠ BCA=30°,∴AC= 2AD,AC=2AB,∴AD+AB=AC.(2)结论 AD+AB=AC成立 .理由如下:在 AN上截取 AE=AC,连接 CE,∵ ∠ BAC=60°,∴ △ CAE为等边三角形,∴AC=CE ,∠ AEC=60°,∴ ∠ DAC=∠ AEC,∵ ∠ ABC+∠ ADC=180°,∠ ABC+∠ EBC=180°,∴ ∠ ADC=∠ EBC,∴ △ ADC≌△ EBC,∴AD=BE ,∴AD+AB=AB+BE=AE ,∴AD+AB=AC.6