2018-2019高中数学 第一章 立体几何初步学案（打包13套）北师大版必修2.zip

14.1 空间图形基本关系的认识4.2 空间图形的公理(一)学习目标 1.理解空间中点、线、面的位置关系(重点)；2.理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、平行平面、相交平面等概念(重点)；3.掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题(重、难点).知识点一 点、线、面之间的位置关系一些文字语言与数学符号的对应关系：位置关系 图形表示 符号表示点 A 在直线 a 外 A∉a点与直线的位置关系点 B 在直线 a 上 B∈ a点 A 在平面 α 内 A∈ α点与平面的位置关系点 B 在平面 α 外 B∉α平行 a∥ b相交 a∩ b＝ O直线与直线的位置关系异面 a 与 b 异面线在面内 a α线面相交 a∩ α ＝ A直线与平面的位置关系线面平行 a∥ α面面平行 α ∥ β平面与平面的位置关系面面相交 α ∩ β ＝ a异面直线 不同在任何一个平面内的两条直线，叫作异面直线【预习评价】(1)若 A∈ a， a α ，是否可以推出 A∈ α ？提示 根据直线在平面内定义可知，若 A∈ a， a α ，则 A∈ α .(2)长方体的一个顶点与 12 条棱和 6 个面分别有哪些位置关系？提示 顶点与 12 条棱所在直线的关系是在棱上，或不在棱上；顶点和 6 个面的关系是在面内，或在面外.2(3)长方体的棱所在直线与面之间有几种位置关系？提示 棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交.知识点二 平面的基本性质及作用公理 内容 图形 符号 作用公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)A∈ l， B∈ l，且A∈ α ， B∈ α ⇒l α既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的公理 2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)A， B， C 三点不共线⇒存在唯一的平面 α ，使A， B， C∈ α一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据公理 3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线P∈ α ，且P∈ β ⇒α ∩ β ＝ l，且 P∈ l一是判断两个平面相交的依据；二是证明点共线问题的依据；三是证明线共点问题的依据【预习评价】(1)两个平面的交线可能是一条线段吗？提示 不可能.由公理 3 知，两个平面的交线是一条直线.(2)经过空间任意三点能确定一个平面吗？提示 不一定.只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面.题型一 三种语言间的相互转化【例 1】 用符号语言表示下列语句，并画出图形.(1)三个平面 α ， β ， γ 相交于一点 P，且平面 α 与平面 β 相交于 PA，平面 α 与平面γ 相交于 PB，平面 β 与平面 γ 相交于 PC；(2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD，平面 ABC 与平面 ADC 相交于 AC.解 (1)符号语言表示： α ∩ β ∩ γ ＝ P， α ∩ β ＝ PA， α ∩ γ ＝ PB， β ∩ γ ＝ PC，图形表示如图①.3(2)符号语言表示：平面 ABD∩平面 BDC＝ BD，平面 ABC∩平面 ADC＝ AC，图形表示如图②.规律方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.【训练 1】 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.解 在(1)中， α ∩ β ＝ l， a∩ α ＝ A， a∩ β ＝ B.在(2)中， α ∩ β ＝ l， a α ， b β ， a∩ l＝ P， b∩ l＝ P.题型二 空间点、线、面的位置关系【例 2】 如图所示，在长方体 ABCD－ A1B1C1D1中， AC 与 BD 相交于点 M，则下列说法中正确的是( )①点 M 在直线 AC 上，点 B 在直线 A1B1外；②直线 AC 与 BD 相交，直线 AC 与 A1D1相交；③平面 AA1B1B 与平面 D1DCC1平行；④直线 AC 与平面 A1B1C1D1相交；⑤直线 BC 与 A1B1异面.A.①③④ B.①②⑤ C.①③⑤ D.②③④⑤解析 ①中，点 M 是直线 AC 与 BD 的交点，点 M 在直线 AC 上，点 B 显然在直线 A1B1外，故①正确；②中，直线 AC 与 A1D1异面，故②错误；③中，两平面没有公共点，即互相平行，故③正确；④中，直线 AC 与平面 A1B1C1D1平行，故④错误；⑤中，直线 BC 与 A1B1既不平行也不相交，只能为异面，故⑤正确.答案 C规律方法 (1)正确理解点、线、面之间的位置关系.(2)异面直线是一种特殊的关系，它们不同在任何一个平面内.(3)通过观察图形，能够更准确地判断点、线、面的位置关系.【训练 2】 正方体 ABCD－ A1B1C1D1中，与对角线 AC1异面的棱有( )A.3 条 B.4 条 4C.6 条 D.8 条解析 与 AC1异面的棱是 A1B1， DC， BC， A1D1， BB1， DD1.答案 C方向 1 共面问题【例 3－1】 已知：如图所示， l1∩ l2＝ A， l2∩ l3＝ B， l1∩ l3＝ C.求证：直线 l1、 l2、 l3在同一平面内.证明 方法一 (纳入平面法)∵ l1∩ l2＝ A，∴ l1和 l2确定一个平面 α .∵ l2∩ l3＝ B，∴ B∈ l2.又∵ l2 α ，∴ B∈ α .同理可证 C∈ α .又∵ B∈ l3， C∈ l3，∴ l3 α .∴直线 l1、 l2、 l3在同一平面内.方法二 (辅助平面法)∵ l1∩ l2＝ A，∴ l1、 l2确定一个平面 α .∵ l2∩ l3＝ B，∴ l2、 l3确定一个平面 β .∵ A∈ l2， l2 α ，∴ A∈ α .∵ A∈ l2， l2 β ，∴ A∈ β .同理可证 B∈ α ， B∈ β ， C∈ α ， C∈ β .∴不共线的三个点 A、 B、 C 既在平面 α 内，又在平面 β 内.∴平面 α 和 β 重合，即直线 l1、 l2、 l3在同一平面内.方向 2 点共线问题【例 3－2】 如图，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中，点 M、 N、 E、 F 分别是棱CD、 AB、 DD1、 AA1上的点，若 MN 与 EF 交于点 Q，求证： D、 A、 Q 三点共线.证明 ∵ MN∩ EF＝ Q，∴ Q∈直线 MN， Q∈直线 EF，又∵ M∈直线 CD， N∈直线 AB，5CD 平面 ABCD， AB 平面 ABCD.∴ M、 N∈平面 ABCD，∴ MN 平面 ABCD，∴ Q∈平面 ABCD.同理，可得 EF 平面 ADD1A1，∴ Q∈平面 ADD1A1.又∵平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝ AD，∴ Q∈直线 AD，即 D、 A、 Q 三点共线.方向 3 线共点问题【例 3－3】 如图所示，在四面体 A－ BCD 中， E， G 分别为 BC， AB的中点， F 在 CD 上， H 在 AD 上，且有 DF∶ FC＝ DH∶ HA＝2∶3，求证：EF， GH， BD 交于一点.证明 ∵ E， G 分别为 BC， AB 的中点，∴ GE∥ AC.又∵ DF∶ FC＝ DH∶ HA＝2∶3，∴ FH∥ AC，从而 FH∥ GE.故 E， F， H， G 四点共面.∵ FH∥ AC， DH∶ DA＝2∶5，∴ FH∶ AC＝2∶5，即 FH＝ AC.25又∵ E， G 分别为 BC， AB 的中点，∴ GE＝ AC，∴ FH≠ GE，12∴四边形 EFHG 是一个梯形，GH 和 EF 交于一点，设为 O.∵ O∈ GH， GH 平面 ABD， O∈ EF， EF 平面 BCD，∴ O 在平面 ABD 内，又在平面 BCD 内，∴ O 在这两个平面的交线上，而这两个平面的交线是 BD，且交线只有这一条，∴点 O 在直线 BD 上.故 EF， GH， BD 交于一点.规律方法 (1)证明点、线共面问题：一般先由部分点线确定一个平面，再证其他的点和线在所确定的平面内.(2)证明点共线：证明多点共线通常利用公理 3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.(3)证明三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.6课堂达标1.在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是( )A.黑板面 B.乒乓球桌面C.篮球的表面 D.平静的水面解析 平面的各部分都是“平”的，那么不能作为平面的部分只能是“曲”的，所以黑板面、乒乓球桌面和平静的水面均可作为平面的一部分，而篮球的表面是一个曲面，不能作为平面的一部分.答案 C2.若点 M 在直线 a 上， a 在平面 α 内，则 M， a， α 之间的关系可记为( )A.M∈ a， a∈ α B.M∈ a， a αC.M a， a α D.M a， a∈ α解析 点与直线的关系为元素与集合的关系，能用“∈” ，直线与平面的关系为集合间的关系，不能用“∈”.答案 B3.设平面 α 与平面 β 相交于 l，直线 a α ，直线 b β ， a∩ b＝ M，则 M________l.解析 因为 a∩ b＝ M， a α ， b β ，所以 M∈ α ， M∈ β .又因为 α ∩ β ＝ l，所以 M∈ l.答案 ∈4.如图，已知 D， E 是△ ABC 的边 AC， BC 上的点，平面 α 经过 D， E 两点，若直线 AB 与平面 α 的交点是 P，则点 P 与直线 DE 的位置关系是________.解析 因为 P∈ AB， AB 平面 ABC，所以 P∈平面 ABC.又 P∈ α ，平面 ABC∩平面 α ＝ DE，所以 P∈直线 DE.答案 P∈直线 DE5.已知 a∥ b∥ c， l∩ a＝ A， l∩ b＝ B， l∩ c＝ C.求证： a， b， c 和 l 共面.证明 如图，∵ a∥ b，∴ a 与 b 确定一个平面 α .∵ l∩ a＝ A， l∩ b＝ B，∴ A∈ α ， B∈ α .又∵ A∈ l， B∈ l，∴ l α .∵ b∥ c，∴ b 与 c 确定一个平面 β ，同理 l β .∵平面 α 与 β 都包含 l 和 b，且 b∩ l＝ B，7由公理 2 的推论：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面 α 与平面 β 重合，∴ a， b， c 和 l 共面.课堂小结1.三个公理的作用：公理 1——判定直线在平面内的依据；公理 2——判定点共面、线共面的依据；公理 3——判定点共线、线共点的依据.2.证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点.或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上.3.证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合.注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用.4.证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线.基础过关1.下列命题中正确的是( )A.空间三点可以确定一个平面B.三角形一定是平面图形C.若 A， B， C， D 既在平面 α 内，又在平面 β 内，则平面 α 和平面 β 重合D.四条边都相等的四边形是平面图形解析 共线的三点不能确定一个平面，故 A 错；两个平面有公共点，这两个平面可以是相交的，故 C 错；四边都相等的四边形可以是空间四边形.答案 B2.下列图形表示两个相交平面，其中，画法正确的是( )解析 A 中没有画出平面 α 与平面 β 的交线，也没有完全按照实、虚线的画法法则作图，8故 A 不正确；B，C 中交线的画法不对，且实、虚线的画法也不对，故 B，C 都不正确.答案 D3.如图，平面 α ∩ β ＝ l， A∈ α ， B∈ α ， C∈ β 且 C∉l， AB∩ l＝ R，设过A， B， C 三点的平面为平面 γ ，则 β ∩ γ 是( )A.直线 ACB.直线 BCC.直线 CRD.以上都不对解析 由 C， R 是平面 β 和 γ 的两个公共点，可知 β ∩ γ ＝ CR.答案 C4.给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确的个数是________.解析 命题①错，因为在空间中这两条直线可能既不相交也不平行，即不在同一平面内；命题②错，若交于同一点时，可以不共面，如正方体同一顶点的三条棱.命题③错，这三个不同公共点可能在它们的公共交线上.命题④错，两两平行的三条直线也可在同一个平面内.所以正确命题的个数为 0.答案 05.如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是________.解析 如图，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， AB 平面 ABCD， C1D1 平面A1B1C1D1， C1D1 平面 CDD1C1， AB∥ C1D1，但平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1，平面 ABCD 与平面 CDD1C1相交.答案 平行或相交6.如图，直角梯形 ABDC 中， AB∥ CD， ABCD， S 是直角梯形 ABDC 所在平面外一点，画出平面 SBD 和平面 SAC 的交线.解 很明显，点 S 是平面 SBD 和平面 SAC 的一个公共点，即点 S 在交线上.由于 ABCD，则分别延长 AC 和 BD 交于点 E，如图所示，∵ E∈ AC， AC 平面 SAC，∴ E∈平面 SAC.同理，可证 E∈平面 SBD.∴点 E 在平面 SBD 和平面 SAC 的交线上，则连接 SE，直线 SE 就是平面 SBD 和平面 SAC 的交线.97.如图，三个平面 α ， β ， γ 两两相交于三条直线，即α ∩ β ＝ c， β ∩ γ ＝ a， γ ∩ α ＝ b，若直线 a 和 b 不平行，求证： a， b， c 三条直线必过同一点.证明 因为 γ ∩ α ＝ b， β ∩ γ ＝ a，所以 a γ ， b γ .因为直线 a 和 b 不平行，所以 a， b 必相交.设 a∩ b＝ P，则 P∈ a， P∈ b.因为 a β ， b α ，所以 P∈ β ， P∈ α .又因为 α ∩ β ＝ c，所以 P∈ c，即交线 c 过点 P.所以 a， b， c 三条直线相交于同一点.能力提升8.空间不共线的四点，可以确定平面的个数是( )A.0 B.1C.1 或 4 D.无法确定解析 空间不共线四点可以确定的平面个数可以是 1 或 4，它取决于四个点的相互位置关系.答案 C9.一条直线和直线外的三点所确定的平面有( )A.1 个或 3 个 B.1 个或 4 个C.1 个，3 个或 4 个 D.1 个，2 个或 4 个解析 若三点在同一直线上，且与已知直线平行或相交，或该直线在由该三点确定的平面内，则均确定 1 个平面；若三点有两点连线和已知直线平行时可确定 3 个平面；若三点不共线，且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定 4 个平面.答案 C10.(1)空间任意 4 点，没有任何 3 点共线，它们最多可以确定________个平面.(2)空间 5 点，其中有 4 点共面，它们没有任何 3 点共线，这 5 个点最多可以确定________个平面.解析 (1)可以想象三棱锥的 4 个顶点，它们总共确定 4 个平面.(2)可以想象四棱锥的 5 个顶点，它们总共确定 7 个平面.答案 (1)4 (2)711.如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数10是________.解析 正方体的一条棱长对应着 2 个“正交线面对” ，12 条棱长共对应着 24 个“正交线面对” ；正方体的一条面对角线对应着 1 个“正交线面对” ，12 条面对角线对应着 12 个“正交线面对” ，共有 36 个.答案 3612.如图，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中，设线段 A1C 与平面 ABC1D1相交于点 Q，求证： B， Q， D1三点共线.证明 如图所示，连接 A1B， CD1.显然 B∈平面 A1BCD1， D1∈平面A1BCD1.所以 BD1 平面 A1BCD1.同理 BD1 平面 ABC1D1.所以平面 ABC1D1∩平面 A1BCD1＝ BD1.因为 A1C∩平面 ABC1D1＝ Q，所以 Q∈平面 ABC1D1.又因为 A1C 平面 A1BCD1，所以 Q∈平面 A1BCD1.所以 Q∈ BD1，即 B， Q， D1三点共线.13.(选做题)三个平面将空间分成几部分？请画出图形.解 (1)当平面 α 、平面 β 、平面 γ 互相平行(即 α ∥ β ∥ γ )时，将空间分成 4 部分，如图①所示.(2)当平面 α 与平面 β 平行，平面 γ 与它们相交(即 α ∥ β ， γ 与其相交)时，将空间分成 6 部分，如图②所示.(3)当平面 α 、平面 β 、平面 γ 都相交，且三条交线重合时，将空间分成 6 部分，如图③所示.(4)当平面 α 、平面 β 、平面 γ 都相交，且三条交线共点，但互不重合时，将空间分成 8部分，如图④所示.(5)当平面 α 、平面 β 、平面 γ 两两相交，且三条交线平行时，将空间分成 7 部分，如图⑤所示.115.1 平行关系的判定学习目标 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义(重点)；2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用(重点)；3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题(重、难点).知识点一 直线与平面平行的判定定理语言叙述 符号表示 图形表示若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行【预习评价】若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？提示 根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误，可能直线在平面内.知识点二 平面与平面平行的判定定理语言叙述 符号表示 图形表示如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行Error!⇒α ∥ β【预习评价】如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？提示 不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内.题型一 直线与平面平行的判定定理的应用【例 1】 如图，空间四边形 ABCD 中， E、 F、 G、 H 分别是 AB、 BC、 CD、 DA 的中点.求证：(1) EH∥平面 BCD；(2)BD∥平面 EFGH.2证明 (1)∵ EH 为△ ABD 的中位线，∴ EH∥ BD.∵ EH平面 BCD， BD 平面 BCD，∴ EH∥平面 BCD.(2)∵ BD∥ EH， BD平面 EFGH，EH 平面 EFGH，∴ BD∥平面 EFGH.规律方法 (1)利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线.(2)证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等.【训练 1】 已知公共边为 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内， P， Q 分别是对角线 AE， BD 上的点，且 AP＝ DQ(如图).求证：PQ∥平面 CBE.证明 方法一 作 PM∥ AB 交 BE 于点 M，作 QN∥ AB 交 BC 于点 N，连接MN，如图，则 PM∥ QN， ＝ ， ＝ .PMAB EPEA QNCD BQBD∵ EA＝ BD， AP＝ DQ，∴ EP＝ BQ.又 AB＝ CD，∴ PM 綊 QN，∴四边形 PMNQ 是平行四边形，∴ PQ∥ MN.又 PQ平面 CBE，MN 平面 CBE，∴ PQ∥平面 CBE.方法二 如图所示，连接 AQ 并延长交 BC 的延长线于 K，连接 EK.∵ AE＝ BD， AP＝ DQ，∴ PE＝ BQ，∴ ＝ ，APPE DQBQ又 AD∥ BK，∴ ＝ ，∴ ＝ ，DQBQ AQQK APPE AQQK∴ PQ∥ EK，3又 PQ平面 CBE， EK 平面 CBE，∴ PQ∥平面 CBE.题型二 面面平行判定定理的应用【例 2】 如图，在已知四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，点 M， N， Q 分别在 PA， BD， PD 上，且 PM∶ MA＝ BN∶ ND＝ PQ∶ QD.求证：平面 MNQ∥平面 PBC.证明 因为 PM∶ MA＝ BN∶ ND＝ PQ∶ QD，所以 MQ∥ AD， NQ∥ BP.因为 BP 平面 PBC， NQ平面 PBC，所以 NQ∥平面 PBC.又因为底面 ABCD 为平行四边形，所以 BC∥ AD，所以 MQ∥ BC.因为 BC 平面 PBC， MQ平面 PBC，所以 MQ∥平面 PBC.又因为 MQ∩ NQ＝ Q，所以根据平面与平面平行的判定定理，得平面 MNQ∥平面 PBC.规律方法 (1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循“先找后作”的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.【训练 2】 如图，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， M、 N、 P 分别是CC1、 B1C1、 C1D1的中点，求证：平面 MNP∥平面 A1BD.证明 如图所示，连接 B1D1，∵ P、 N 分别是 D1C1、 B1C1的中点，∴ PN∥ B1D1.又 B1D1∥ BD，∴ PN∥ BD，又 PN平面 A1BD，BD 平面 A1BD，∴ PN∥平面 A1BD，同理可得 MN∥平面 A1BD，又∵ MN∩ PN＝ N，∴平面 PMN∥平面 A1BD.4【探究 1】 在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， O 为底面 ABCD 的中心， P 是 DD1的中点，设 Q 是CC1上的点.问：当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ∥平面 PAO？请说明理由.解 当 Q 为 CC1的中点时，平面 D1BQ∥平面 PAO.理由如下：连接 PQ.∵ Q 为 CC1的中点， P 为 DD1的中点，∴ PQ∥ DC∥ AB， PQ＝ DC＝ AB，∴四边形 ABQP 是平行四边形，∴ QB∥ PA.又∵ O 为 DB 的中点，∴ D1B∥ PO.又∵ PO∩ PA＝ P， D1B∩ QB＝ B，∴平面 D1BQ∥平面 PAO.【探究 2】 如图，在四棱锥 P－ ABCD 中， AD∥ BC，∠ ADC＝90°，BC＝ CD＝ AD.E 为棱 AD 的中点.在平面 PAB 内找一点 M，使得直线12CM∥平面 PBE，并说明理由.解 在梯形 ABCD 中， AB 与 CD 不平行，且 BC 的长小于 AD 的长.如图所示，延长 AB， DC，相交于点 M(M∈平面 PAB)，点 M 为所求的一个点.理由如下：由已知，得 BC∥ ED，且 BC＝ ED.所以四边形 BCDE 是平行四边形.从而 CM∥ EB.又 EB 平面 PBE， CM平面 PBE，所以 CM∥平面 PBE.(说明：延长 AP 至点 N，使得 AP＝ PN，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)【探究 3】 在四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，点 E 在 PD 上，且PE∶ ED＝2∶1，在棱 PC 上是否存在一点 F，使 BF∥平面 AEC？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由.解 存在.证明如下：如图，取棱 PC 的中点 F，线段 PE 的中点 M，连接 BD，设 BD∩ AC＝ O.∵底面 ABCD 是平行四边形，∴ O 是 BD 的中点.连接 BF， MF， BM， OE.∵ PE∶ ED＝2∶1， F 为 PC 的中点， M 为 PE 的中点， E 为 MD 的中点，O 为 BD 的中点，5∴ MF∥ EC， BM∥ OE.∵ MF平面 AEC， CE 平面 AEC，BM平面 AEC， OE 平面 AEC，∴ MF∥平面 AEC， BM∥平面 AEC.∵ MF∩ BM＝ M，∴平面 BMF∥平面 AEC.又 BF 平面 BMF，∴ BF∥平面 AEC.规律方法 要证明面面平行，由平面与平面平行的判定定理知，需在一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线.要证明线面平行，又需根据直线与平面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线，即：线 线 平 行 ― ― ― ― ― ― →线 面 平 行 的 判 定 定 理 线 面 平 行 ― ― ― ― ― ― →面 面 平 行 的 判 定 定 理 面 面 平 行课堂达标1.直线 a， b 为异面直线，过直线 a 与直线 b 平行的平面( )A.有且只有一个 B.有无数多个C.至多一个 D.不存在解析 在直线 a 上任选一点 A，过点 A 作 b′∥ b，则 b′是唯一的，因 a∩ b′＝ A，所以 a与 b′确定一平面并且只有一个平面，故选 A.答案 A2.平面 α 与平面 β 平行的条件可以是( )A.α 内的一条直线与 β 平行B.α 内的两条直线与 β 平行C.α 内的无数条直线与 β 平行D.α 内的两条相交直线分别与 β 平行解析 若两个平面 α 、 β 相交，设交线是 l，则有 α 内的直线 m 与 l 平行，得到 m 与平面 β 平行，从而可得 A 是不正确的；而 B 中两条直线可能是平行于交线 l 的直线，也不能判定 α 与 β 平行；C 中的无数条直线也可能是一组平行于交线 l 的直线，因此也不能判定 α 与 β 平行.由平面与平面平行的判定定理可得 D 项是正确的.答案 D3.设直线 l， m，平面 α ， β ，下列条件能得出 α ∥ β 的有________(填序号).① l α ， m α ，且 l∥ β ， m∥ β ；② l α ， m α ，且l∥ m， l∥ β ， m∥ β ；③ l∥ α ， m∥ β ，且 l∥ m；④ l∩ m＝ P， l α ， m α ，且l∥ β ， m∥ β .解析 ①错误，因为 l， m 不一定相交；②错误，一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；③错误，两个平面可能相交；④正确.6答案 ④4.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD 为正方形， E， F， G， H 分别为PA， PD， PC， PB 的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面 EFGH∥平面 ABCD；② PA∥平面 BDG；③ EF∥平面 PBC；④ FH∥平面 BDG；⑤ EF∥平面 BDG；其中正确结论的序号是________.解析 把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理判断即可.答案 ①②③④5.如图，在直三棱柱 ABC－ A1B1C1中， AC＝ BC，点 D 是 AB 的中点，求证： AC1∥平面 CDB1.证明 如图，连接 BC1，设 BC1与 B1C 的交点为 E，连接 DE.∵ D 是 AB 的中点， E 是 BC1的中点，∴ DE∥ AC1.∵ DE 平面 CDB1， AC1 平面 CDB1，∴ AC1∥平面 CDB1.课堂小结1.判定直线与平面平行的方法：(1)定义法：直线与平面没有公共点则线面平行；(2)判定定理：(线线平行⇒线面平行)，72.用定理证明线面平行时，在寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的判定等来完成.3.证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.基础过关1.下列说法正确的是( )A.如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B.过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C.在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D.如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行解析 由两平面平行的定义知：一平面内的任何直线与另一平面均无公共点，故选择 C.答案 C2.过直线 l 外两点，作与 l 平行的平面，则这样的平面( )A.不可能作出 B.只能作出一个C.能作出无数个 D.上述三种情况都存在解析 设直线外两点为 A、 B，若直线 AB∥ l，则过 A、 B 可作无数个平面与 l 平行；若直线AB 与 l 异面，则只能作一个平面与 l 平行；若直线 AB 与 l 相交，则过 A、 B 没有平面与 l平行.答案 D3.如图，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， E， F 分别为棱 AB， CC1的中点，在平面 ADD1A1内且与平面 D1EF 平行的直线( )A.不存在 B.有 1 条C.有 2 条 D.有无数条8解析 画出平面 D1EF 与平面 ADD1A1的交线 D1G，如图所示.于是在平面 ADD1A1内与直线 D1G 平行的直线都与平面 D1EF 平行，有无数条.答案 D4.设 m， n 是平面 α 外的两条直线，给出下列三个论断：① m∥ n；② m∥ α ；③ n∥ α ，以其中两个为条件，余下的一个为结论，写出你认为正确的一个________.解析 若 m∥ n， m∥ α ，则 n∥ α ，同样，若 m∥ n， n∥ α ，则 m∥ α .答案 ①②⇒③(或①③⇒ ②)5.三棱锥 S－ ABC 中， G 为△ ABC 的重心， E 在棱 SA 上，且 AE＝2 ES，则 EG 与平面 SBC 的关系为________.解析 如图，延长 AG 交 BC 于 F，连接 SF，则由 G 为△ ABC 的重心知AG∶ GF＝2，又 AE∶ ES＝2，∴ EG∥ SF，又 SF 平面 SBC， EG平面SBC，∴ EG∥平面 SBC.答案 平行6.如图，已知 P 是▱ ABCD 所在平面外一点， E， F， G 分别是 PB， AB， BC的中点.证明：平面 PAC∥平面 EFG.证明 因为 EF 是△ PAB 的中位线，所以 EF∥ PA.又 EF平面 PAC， PA 平面 PAC，所以 EF∥平面 PAC.同理得 EG∥平面 PAC.又 EF 平面 EFG，EG 平面 EFG， EF∩ EG＝ E，所以平面 PAC∥平面 EFG.7.在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形，∠ ACB＝90°，EF∥ AB， FG∥ BC， EG∥ AC， AB＝2 EF， M 是线段 AD 的中点，求证： GM∥平面 ABFE.证明 因为 EF∥ AB， FG∥ BC， EG∥ AC，∠ ACB＝90°，所以△ABC∽△ EFG，∠ EGF＝90°，由于 AB＝2 EF，因此 BC＝2 FG.如图，连接 AF，9由于 FG∥ BC， FG＝ BC，在▱ ABCD 中， M 是线段 AD 的中点，则 AM∥ BC，且 AM＝ BC，12 12因此 FG∥ AM 且 FG＝ AM，所以四边形 AFGM 为平行四边形，因此 GM∥ FA.又 FA 平面 ABFE， GM平面 ABFE，所以 GM∥平面 ABFE.能力提升8.在正方体 EFGH－ E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )A.平面 E1FG1与平面 EGH1B.平面 FHG1与平面 F1H1GC.平面 F1H1H 与平面 FHE1D.平面 E1HG1与平面 EH1G解析 如图，∵ EG∥ E1G1，EG平面 E1FG1，E1G1 平面 E1FG1，∴ EG∥平面 E1FG1，又 G1F∥ H1E，同理可证 H1E∥平面 E1FG1，又 H1E∩ EG＝ E，∴平面 E1FG1∥平面 EGH1.答案 A9.如图，在下列四个正方体中， A， B 为正方体的两个顶点， M， N， Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )解析 由 B， AB∥ MQ，则直线 AB∥平面 MNQ；由 C， AB∥ MQ，则直线 AB∥平面 MNQ；由D， AB∥ NQ，则直线 AB∥平面 MNQ，故选 A.答案 A1010.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，① BM∥平面 DE；② CN∥平面 AF；③平面 BDM∥平面 AFN；④平面 BDE∥平面 NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________.解析 以 ABCD 为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的.答案 ①②③④11.如图所示，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， E、 F、 G、 H 分别是棱 CC1、 C1D1、 D1D、 CD 的中点， N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 满足________时，有 MN∥平面 B1BDD1.解析 ∵ HN∥ BD， HF∥ DD1，HN∩ HF＝ H， BD∩ DD1＝ D，∴平面 NHF∥平面 B1BDD1，故线段 FH 上任意点 M 与 N 连结，有 MN∥平面 B1BDD1.答案 M∈线段 FH12.如图所示，在三棱柱 ABC－ A1B1C1中，点 D， E 分别是 BC 与 B1C1的中点.求证：平面 A1EB∥平面 ADC1.证明 由棱柱性质知，B1C1∥ BC， B1C1＝ BC，又 D， E 分别为 BC， B1C1的中点，所以 C1E 綊 DB，则四边形 C1DBE 为平行四边形，因此 EB∥ C1D，又 C1D 平面 ADC1，EB平面 ADC1，所以 EB∥平面 ADC1.11连接 DE，同理， EB1綊 BD，所以四边形 EDBB1为平行四边形，则 ED 綊 B1B.因为 B1B∥ A1A， B1B＝ A1A(棱柱的性质)，所以 ED 綊 A1A，则四边形 EDAA1为平行四边形，所以 A1E∥ AD，又 A1E平面 ADC1， AD 平面 ADC1，所以 A1E∥平面 ADC1.由 A1E∥平面 ADC1， EB∥平面 ADC1，A1E 平面 A1EB， EB 平面 A1EB，且 A1E∩ EB＝ E，所以平面 A1EB∥平面 ADC1.13.(选做题)如图，在正四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1中， M 是棱 AB 的中点，点 N 在侧面 AA1D1D 上运动，点 N 满足什么条件时， MN∥平面 BB1D1D?解 如图，在正四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1中，分别取棱 A1B1， A1D1， AD 的中点 E， F， G，连接 ME， EF， FG， GM.因为 M 是 AB 的中点，所以 ME∥ AA1∥ FG，且 ME＝ AA1＝ FG.所以四边形 MEFG 是平行四边形.因为 ME∥ BB1， BB1 平面 BB1D1D， ME平面 BB1D1D，所以 ME∥平面 BB1D1D.在△ A1B1D1中，因为 EF∥ B1D1， B1D1 平面 BB1D1D， EF平面 BB1D1D，所以 EF∥平面 BB1D1D.又因为 ME∩ EF＝ E，且 ME 平面 MEFG， EF 平面 MEFG，所以平面 MEFG∥平面 BB1D1D.在 FG 上任取一点 N，连接 MN，所以 MN 平面 MEFG.所以 MN 与平面 BB1D1D 无公共点.12所以 MN∥平面 BB1D1D.总之，当点 N 在平面 AA1D1D 内的直线 FG 上(任意位置)时，都有 MN∥ BB1D1D，即当点 N 在矩形 AA1D1D 中过 A1D1与 AD 的中点的直线上运动时，都有 MN∥平面 BB1D1D.