1、第三章 三角函数、解三角形第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数内容要求考题举例考向规律1.了解任意角的概念2了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化3理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义2020全国卷T2(三角函数的符号)2020北京高考T10(圆周率的近似值)2016四川高考T3(诱导公式)考情分析：本部分内容高考较少直接考查，而是与三角函数的恒等变换、三角函数的图象与性质结合考查，低档难度核心素养：数学建模、直观想象教材回扣基础自测自主学习知识积淀1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。(3)终边相同的角：所有与角终边相同
2、的角，连同角在内，可构成一个集合S|2k，kZ。2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad。(2)公式：角的弧度数公式|(l表示弧长)角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长公式l|r扇形面积公式Slr|r2有关角度与弧度的两个注意点1角度与弧度的换算的关键是180，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用。2利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度。 3任意角的三角函数设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin y，cos x，tan (x0)。三角函数定义的推广设点P(x，y)是角终边上的任意
3、一点且不与原点重合，r|OP|，则sin ，cos ，tan (x0)。 一、常规题1角870的终边所在的象限是()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析因为8701 080210，所以角870的终边在第三象限。故选C。答案C2已知角的终边过点P(1,2)，则sin ()A.BCD解析因为|OP|(O为坐标原点)，所以sin 。故选B。答案B3若角同时满足sin 0且tan 0，则角的终边一定位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析由sin 0，可知的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合。由tan 0，可知的终边可能位于第二象限或第四象限，故的终边只能位
4、于第四象限。故选D。答案D二、易错题4(忽视角的范围)在ABC中，若sin A，则A_。解析因为0A且sin A，所以A或。答案或5(不同象限三角函数值的符号不同)当为第三象限角时，的值是_。解析因为为第三象限角，所以sin 0，cos 0，所以1(1)11。答案16(公式中角的单位不是度而是弧度)单位圆中，200的圆心角所对的弧长为_，由该弧及半径围成的扇形的面积为_。解析单位圆的半径r1,200的弧度数是200，由弧度数的定义得，所以l，S扇形lr1。答案考点例析对点微练互动课堂考向探究考点一 角的概念及表示自主练习1.(多选)下列给出的角中，与终边相同的角有()A.BCD解析与终边相同的
5、角为2k2(k2)，kZ，由2(k2)，得k2，A正确；由2(k2)，得k4，B正确；由2(k2)，得kZ，C错误；由2(k2)，得k3，D正确。故选ABD。答案ABD2若角是第二象限角，则是()A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角D第二或第四象限角解析因为是第二象限角，所以2k2k，kZ，所以kk，kZ。当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角。综上，是第一或第三象限角。答案C3若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线yx上，则角的取值集合是()ABCD解析因为直线yx的倾斜角是，所以终边落在直线yx上的角的取值集合为。答案D4与2 010终边相同的最小正
6、角是_。解析因为2 010(6)360150，所以150与2 010终边相同，又终边相同的两个角相差360的整数倍，所以在0360中只有150与2 010终边相同，故与2 010终边相同的最小正角是150。答案1501表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界。(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角和，写出最简区间。(3)起始、终止边界对应角，再加上360的整数倍，即得区间角集合。2象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角。(2)转化法：先将已知角化为k360(0cos B是第
7、三象限角Csin 0Dtan 0解析因为1 rad57.3，所以3 rad171.9为第二象限角，所以sin 0，cos 0，tan 0Bcos 20Dsin 20解析解法一：由题意，知2k2k(kZ)，所以4k24k(kZ)，所以1cos 21，sin 20时，cos ；当t0时，cos 。因此cos 22cos211。故选B。答案B3(微考向2)已知点P(cos ，tan )在第三象限，则角的终边在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析由题意得所以角的终边在第二象限。答案B4(微考向3)在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在单位圆O上，设xOP，且。若cos，则x0的值为
8、_。解析因为点P(x0，y0)在单位圆O上，且xOP，所以由三角函数的定义知x0cos 。因为，所以，又cos，所以sin，所以x0cos coscoscossinsin。答案【例1】(配合考点一使用)设集合M，N，那么两集合的关系是什么？解因为Mx|x(2k1)45，kZ表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合Nx|x(k1)45，kZ表示终边落在坐标轴或四个象限的平分线上的角的集合，从而MN。【例2】(配合例1使用)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A2Bsin 2C.D2sin 1解析如图，AOB2弧度，过O点作OCAB于C，并延长OC交于D。则
9、AODBOD1弧度，且ACAB1，在RtAOC中，AO，即r，从而的长lr。答案C【例3】(配合例3使用)设是第三象限角，且cos ，则是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析由是第三象限角知，为第二或第四象限角，因为cos ，所以cos 0，综上可知，为第二象限角。答案B【例4】(配合例4使用)已知锐角的终边经过点P(sin 40，1cos 40)，则()A10B20C70D80解析设坐标原点为O，由题意可知直线OP的斜率tan tan 70，由为锐角，可知为70。故选C。答案C第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式内容要求考题举例考向规律1.理解同角三角函数的基本关系式：
10、sin2cos21，tan 2能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式2019全国卷T10(同角三角函数的关系、二倍角公式)2017北京高考T12(诱导公式、两角和差公式)2016全国卷T9(同角三角函数的关系、二倍角公式)考情分析：考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合，可起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力核心素养：数学运算教材回扣基础自测自主学习知识积淀1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21。(2)商数关系：tan 。2三角函数的诱导公式公式一：sin (2k)
11、sin ，cos(2k)cos ，tan(2k)tan ，其中kZ。公式二：sin()sin ，cos()cos ，tan()tan 。公式三：sin()sin ，cos()cos ，tan()tan 。公式四：sin()sin ，cos()cos ，tan()tan 。公式五：sincos ，cossin 。公式六：sincos ，cossin 。1同角三角函数关系式的常用变形(sin cos )212sin cos ；sin tan cos 。2诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。 一、常规题1已知sin ，则tan (
12、)A2B2C.D解析因为，所以cos ，所以tan 。故选D。答案D2求值：sin(1 200)cos 585cos(300)sin(750)_。解析原式sin(3360120)cos(2360135)cos(36060)sin(236030)sin 120cos(135)cos(60)sin 30sin(9030)cos(18045)cos 60sin 30cos 30(cos 45)cos 60sin 30。答案3化简：_。解析原式1。答案1二、易错题4(不会运用消元思想)已知tan 2，则sin2的值为()A. B. C. D.解析原式sin2，将tan 2代入上式，则原式。答案C5(未
13、注意角的范围出错)若sin ，则tan _。解析因为sin 0，所以为第三象限角或第四象限角，当为第三象限角时，cos ，因此tan 。当为第四象限角时，cos ，因此tan 。答案或考点例析对点微练互动课堂考向探究考点一 同角三角函数基本关系的简单应用自主练习1.已知是第四象限角，sin ，则tan 等于()ABCD解析因为是第四象限角，sin ，所以cos ，故tan 。故选C。答案C2若角的终边落在第三象限，则的值为()A3B3C1D1解析由角的终边落在第三象限，得sin 0，cos 0，cos 0。又sin2cos21，所以sin ，cos 。因此，sincoscos sin 。答案C
14、(2)(多选)已知角A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的是()Asin(BC)sin ABsincosCsin Bcos ADcos(AB)cos A，错误；对于D，cos(AB)cos(C)cos C，由C为锐角，可得cos C0，可得cos(AB)cos Ccos C，正确。故选ABD。答案ABD考点三 同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用微专题微考向1：弦切互化【例2】(1)已知5，则cos2sin 2的值是()A.BC3D3解析由5得5，可得tan 2，则cos2sin 2cos2sin cos 。故选A。答案A(2)已知为第四象限角，sin 3cos 1，则
15、tan _。解析由(sin 3cos )21sin2cos2，得6sin cos 8cos2，又因为为第四象限角，所以cos 0，所以6sin 8cos ，所以tan 。答案本类型主要利用公式tan x进行切化弦或弦化切，如，asin2xbsin xcos xccos2x等类型可进行弦化切。 微考向2：sin cos 与sin cos 的关系【例3】已知x(，0)，sin xcos x。(1)求sin xcos x的值；(2)求的值。解(1)由sin xcos x，平方得sin2x2sin xcos xcos2x，整理得2sin xcos x。所以(sin xcos x)212sin xcos
16、 x。由x(，0)，知sin x0，所以cos x0，则sin xcos x0，故sin xcos x。(2)。对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，知一可求二，若令sin cos t，则sin cos ，sin cos (注意根据的取值范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用。 【题组对点练】1(微考向1)已知sin(5)3sin，则()A.BC2D解析由sin(5)3sin，可得sin 3cos ，所以tan 3，则2。故选C。答案C2(微考向1)若sin x3sin，则cos xcos()A.BC.D解析由sin x3sin3cos x，可得tan x3，所
17、以cos xcossin xcos x。故选A。答案A3(微考向2)已知0，sin cos ，则的值为()A.BC.D解析因为0，sin 0，因为(sin cos )2(cos sin )22，所以(cos sin )22(sin cos )22，cos sin ，cos2sin2，所以的值为。答案B【例1】(配合考点一使用)(1)若sin 78m，则sin 6()A. BC.D 解析因为sin 78m，所以cos 12m，则sin26，又sin 60，所以sin 6。故选D。答案D(2)化简cos sin _。解析原式cos sin cos sin ，因为，所以cos 0，sin 0，所以为
18、第一或第二象限角，tan()tan 。当是第一象限角时，cos ，原式。当是第二象限角时，cos ，原式。综合知，原式或。答案或【例4】(配合例3使用)已知x0，sin(x)cos x，则sin xcos x_。解析由已知得sin xcos x，两边平方得sin2x2sin xcos xcos2x，整理得2sin xcos x，所以(sin xcos x)212sin xcos x。由x0得sin x0，又2sin xcos x0，所以sin xcos x0，故sin xcos x。答案第三节三角恒等变换内容要求考题举例考向规律1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2能利用两角差的余弦公式
19、推导出两角差的正弦、正切公式3能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系4能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)2020全国卷T9(二倍角公式的运用)2020全国卷T9(两角和正切公式的运用)2018全国卷T15(两角和与差正弦公式)考情分析：三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，增强转化与
20、化归思想的应用意识。选择、填空、解答题均有可能出现，中低档难度核心素养：逻辑推理、数学运算教材回扣基础自测自主学习知识积淀1两角的和与差的三角公式(1)基本公式sin()sin cos cos sin 。cos()cos cos sin sin 。tan()。(2)公式变形asin bcos sin()(化一公式)，其中cos ，sin 。或asin xbcos xcos(x)，其中cos ，sin 。sin cos sin。tan tan tan()(1tan tan )。tan。tan。2二倍角公式(1)基本公式sin 22sin cos 。cos 2cos2sin22cos2112sin
21、2。tan 2。(2)公式变形由cos 22cos2112sin2可得降幂公式：cos2；sin2；升幂公式：cos 22cos2112sin2。一、常规题1cos 18cos 42cos 72sin 42()ABCD解析原式cos 18cos 42sin 18sin 42cos(1842)cos 60。故选D。答案D2若cos ，是第三象限的角，则sin等于()ABCD解析因为是第三象限角，所以sin ，所以sin。故选C。答案C3已知tan 2，所以tan()A.BC.D3解析因为tan 2，所以tan。答案B二、易错题4(未注意角的范围致错)设sin 2sin ，则tan(2)_。解析因
22、为sin 2sin ，所以cos ，因此tan(2)tantan。答案5(不会逆用公式致错)化简：_。解析原式。答案6(不会合理配角致错)若tan ，tan()，则tan _。解析tan tan()。答案第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式考点例析对点微练互动课堂考向探究考点一 基本公式的应用自主练习1.已知sin sin1，则sin()A. B. C. D.解析因为sin sinsin cos sin1，所以sin。故选B。答案B2(2020全国卷)已知(0，)，且3cos 28cos 5，则sin ()A. B. C. D.解析因为3cos 28cos 5，所以3(2cos21)8co
23、s 5，所以6cos28cos 80，所以3cos24cos 40，解得cos 2(舍去)或cos 。因为(0，)，所以sin 。故选A。答案A3(2020全国卷 )已知2tan tan7，则tan ()A2B1 C1D2解析由已知得2tan 7，得tan 2。答案D4(2020江苏高考)已知sin2，则sin 2的值是_。解析因为sin2，所以，得sin 2。答案1使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征。2使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值。 考点二 公式的逆用与变形微专题微考向1：公式的逆用【例1】(1)已知2cos()cos cos(2)，则()ABC.
24、D解析因为2cos()cos cos(2)2cos()cos cos()2cos()cos cos()cos sin()sin cos()cossin()sin cos()cos ，所以sin21cos2，所以tan27，故。故选A。答案A(2)(1tan 10)(1tan 11)(1tan 34)(1tan 35)_。解析(1tan 10)(1tan 35)1tan 10tan 35tan 10tan 351tan(1035)(1tan 10tan 35)tan 10tan 352，同理可得(1tan 11)(1tan 34)2，所以原式4。答案41逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创
25、造条件逆用公式。2和(差)角公式变形：sin sin cos()cos cos ，cos sin sin()sin cos ，tan tan tan()(1tan tan )。 微考向2：辅助角公式的运用【例2】化简：(1)sin cos ；(2)cos 15sin 15；(3)；(4)3sin x3 cos x。解(1)解法一：原式222cos2cos 。解法二：原式222sin2sin 。(2)解法一：cos 15sin 15(cos 45cos 15sin 45sin 15)cos(4515)。解法二：因为(cos 15sin 15)21sin 30，所以cos 15sin 15。(3)
26、原式4。(4)解法一：3sin x3cos x666sin。解法二：3sin x3cos x666cos。1辅助角公式是两角和差公式的一个常用变形公式。2对asin xbcos x化简时，辅助角的值如何求要清楚。 【题组对点练】1(微考向1)sin 42cos 18cos 138cos 72_。解析sin 42cos 18cos 138cos 72sin 42cos 18cos 42sin 18sin(4218)sin 60。答案2(微考向1)(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)_。解析(1tan 20)(1tan 25)1tan 20tan 25tan 2
27、0tan 251tan(2025)(1tan 20tan 25)tan 20tan 252，同理可得(1tan 21)(1tan 24)2，所以原式4。答案43(微考向2)已知为锐角，且cos (1tan 10)1，则的值为()A20 B40 C50 D70解析由cos (1tan 10)1可得cos 1，所以cos 1，所以cos cos 40，又为锐角，所以40。故选B。答案B考点三 角的变换微专题【例3】(1)已知sin，且，则cos 的值为_。解析因为sin，且，所以。所以cos。所以cos coscoscossinsin。答案(2)若cos(75)，则cos(302)_。解析因为cos(75)sin(15)，所以cos(302)12sin2(15)12。答案常见的角变换：2
