2018-2019学年高中数学 第三章 三角函数 3.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质（课件+学案）（打包8套）湘教版必修2.zip

13．4.1 三角函数的周期性[学习目标] 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.理解函数y＝sin x， y＝cos x， y＝tan x都是周期函数，都存在最小正周期.3.会求函数y＝ Asin(ωx ＋ φ )及 y＝ Acos(ωx ＋ φ )的周期．[知识链接]1．观察单位圆中的三角函数线知正弦值每相隔 2π 个单位重复出现，其理论依据是什么？答 诱导公式 sin(x＋2 kπ)＝sin x(k∈Z)当自变量 x的值增加 2π 的整数倍时，函数值重复出现．2．设 f(x)＝sin x，则 sin(x＋2 kπ)＝sin x可以怎样表示？答 f(x＋2 kπ)＝ f(x)这就是说：当自变量 x的值增加到 x＋2 kπ 时，函数值重复出现．[预习导引]1．函数的周期性(1)对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋ T)＝ f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性由 sin(x＋2 kπ)＝sin_ x，cos( x＋2 kπ)＝cos_ x知 y＝sin x与 y＝cos x都是周期函数，2kπ( k∈Z 且 k≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是 2π.3． y＝ Asin(ωx ＋ φ )， y＝ Acos(ωx ＋ φ )的周期一般地，函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ )及 y＝ Acos(ωx ＋ φ )(其中 A， ω ， φ 为常数，且A≠0， ω ＞0)的最小正周期 T＝ .2πω要点一 求正弦、余弦函数的周期例 1 求下列函数的周期：(1)y＝sin (x∈R)；(2x＋π3)2(2)y＝|sin2 x|(x∈R)．解 (1)方法一 令 z＝2 x＋ ，∵ x∈R，∴ z∈R.π3函数 f(x)＝sin z的最小正周期是 2π，就是说变量 z只要且至少要增加到 z＋2π，函数 f(x)＝sin z(z∈R)的值才能重复取得，而 z＋2π＝2 x＋ ＋2π＝2( x＋π)＋ ，所以自变量 x只要且至少要增加到 x＋π，函数π3 π3值才能重复取得，从而函数 f(x)＝sin (x∈R)的周期是 π.(2x＋π3)方法二 f(x)＝sin 的周期为 ＝π.(2x＋π3) 2π2(2)作出 y＝|sin2 x|的图象．由图象可知， y＝|sin2 x|的周期为 .π2规律方法 (1)利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“ x”增加到“x＋ T”时函数值重复出现，则可得 T是函数的一个周期．(2)常见三角函数周期的求法：①对于形如函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ )， ω ≠0(或 y＝ Acos(ωx ＋ φ )， ω ≠0)的周期求法通常用公式 T＝ 来求解．2π|ω |②对于形如 y＝| Asin ωx |(或 y＝| Acos ωx |)的周期情况常结合图象来解决．跟踪演练 1 求下列函数的最小正周期：(1)y＝cos2 x；(2) y＝sin x；(3) y＝2sin .12 (x3－ π6)解 (1)定义法：令 u＝2 x，则 cos2x＝cos u是周期函数，且最小正周期为 2π.∴cos( u＋2π)＝cos u，则 cos(2x＋2π)＝cos2 x，即 cos[2(x＋π)]＝cos2 x.∴cos2 x的最小正周期为 π.公式法：∵ ω ＝2，∴ T＝ ＝π，故 y＝cos2 x的周期为 π.2π|ω |(2)如果令 u＝ x，则 sin x＝sin u是周期函数，且最小正周期为 2π.12 12∴sin ＝sin ，即 sin ＝sin x.(12x＋ 2π ) x2 [12 x＋ 4π  ] 123∴ y＝sin x的最小正周期是 4π.12(3)∵2sin ＝2sin ，(x3－ π6＋ 2π ) (x3－ π6)即 2sin ＝2sin .[13 x＋ 6π  － π6] (x3－ π6)∴ y＝2sin 的最小正周期是 6π.(x3－ π6)要点二 正弦、余弦函数周期性的应用例 2 定义在 R上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)的最小正周期是 π，且当x∈ 时， f(x)＝sin x，求 f 的值．[0，π2] (5π3)解 ∵ f(x)的最小正周期是 π，∴ f ＝ f ＝ f(5π3) (5π3－ 2π ) (－ π3)∵ f(x)是 R上的偶函数，∴ f ＝ f ＝sin ＝ .(－π3) (π3) π3 32∴ f ＝ .(5π3) 32规律方法 解决此类问题关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量 x的值转化到可求值区间内．跟踪演练 2 若 f(x)是以 为周期的奇函数，且 f ＝1，求 f 的值．π2 (π3) (－ 5π6)解 因 f(x)是以 为周期的奇函数，所以 f ＝ f ＝ f ＝－ f ＝－1.π2 (－ 5π6) (－ 5π6＋ π2) (－ π3) (π3)1．函数 y＝sin(4 x＋ π)的周期是( )32A．2πB．πC. D.π2 π4答案 C解析 T＝ ＝ .2π4 π22．下列函数中，周期为 的是( )π24A． y＝sin B． y＝sin2 xx2C． y＝cos D． y＝cos(－4 x)x4答案 D解析 T＝ ＝ .2π|－ 4| π23．已知函数 f(x)对于任意 x∈R 满足条件 f(x＋3)＝ ，且 f(1)＝ ，则 f(2014)等于1f x 12( )A. B．2C．2013D．201412答案 B解析 因为 f(x＋6)＝ ＝ f(x)，所以函数 f(x)的周期为 6，故 f(2014)＝ f(4)＝1f x＋ 3＝2.1f 14．已知 f(x)是 R上的奇函数，且 f(1)＝2， f(x＋3)＝ f(x)，则 f(8)＝________.答案 －2解析 ∵ f(x＋3)＝ f(x)，∴ f(x)是周期函数，3 就是它的一个周期，且 f(－ x)＝－ f(x)．∴ f(8)＝ f(2＋2×3)＝ f(2)＝ f(－1＋3)＝ f(－1)＝－ f(1)＝－2.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋ T)＝ f(x)成立的 T.(2)图象法，即作出 y＝ f(x)的图象，观察图象可求出 T.如 y＝|sin x|.(3)公式法，一般地，函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ )(其中 A、 ω 、 φ 为常数， A≠0， ω 0， x∈R)的周期 T＝ .2πω一、基础达标1．在函数① y＝cos|2 x|，② y＝|cos x|，③ y＝cos(2 x＋ )，④ y＝sin( x－ )中，最小π6 12 π65正周期为 π 的所有函数为( )A．②④B．①③④C．①②③D．①③答案 C解析 ① y＝cos|2 x|＝cos2 x， T＝π.②由图象知，函数的周期 T＝π.③ T＝π.④ T＝4π.综上可知，最小正周期为 π 的所有函数为①②③.2．函数 f(x)＝sin 的最小正周期为 ，其中 ω 0，则 ω 等于( )(ω x＋π6) π5A．5B．10C．15D．20答案 B3．设函数 f(x)＝sin ， x∈R，则 f(x)是( )(2x－π2)A．最小正周期为 π 的奇函数B．最小正周期为 π 的偶函数C．最小正周期为 的奇函数π2D．最小正周期为 的偶函数π2答案 B解析 ∵sin ＝－sin ＝－cos2 x，(2x－π2) (π2－ 2x)∴ f(x)＝－cos2 x.又 f(－ x)＝－cos(－2 x)＝－cos2 x＝ f(x)，∴ f(x)是最小正周期为 π 的偶函数．4．下列函数中，不是周期函数的是( )A． y＝|cos x|B． y＝cos| x|C． y＝|sin x|D． y＝sin| x|答案 D解析 画出 y＝sin| x|的图象，易知．5． f(x)＝2sin( ωx ＋ φ )＋ m，对任意实数 t都有 f( ＋ t)＝ f( － t)，且 f( )＝－3，π8 π8 π8则实数 m的值等于( )A．－1B．±5C．－5 或－1D．5 或 16答案 C解析 由 f( ＋ t)＝ f( － t)知，函数 f(x)关于 x＝ 对称，故 sin(ω × ＋ φ )＝1 或π8 π8 π8 π8sin(ω × ＋ φ )＝－1.π8当 sin(ω × ＋ φ )＝1 时，由 f( )＝－3 知 2＋ m＝－3，得 m＝－5；π8 π8当 sin(ω × ＋ φ )＝－1 时，π8由 f( )＝－3 知－2＋ m＝－3，得 m＝－1.π86．函数 y＝3sin 的最小正周期为________．(2x＋π4)答案 π解析 T＝ ＝π.2π27．若函数 f(x)＝sin (n∈Z)，求 f(97)＋ f(98)＋ f(99)＋…＋ f(102)的值．nπ6解 ∵sin ＝sin ＝sin (n∈Z)，nπ6 (nπ6＋ 2π ) [ n＋ 12 π6 ]∴ f(n)＝ f(n＋12)．即函数 f(x)的周期 T＝12.∵97＝12×8＋1,102＝12×8＋6，∴ f(97)＋ f(98)＋ f(99)＋…＋ f(102)＝ f(1)＋ f(2)＋ f(3)＋ f(4)＋ f(5)＋ f(6)＝sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sinπ6 2π6 3π6 4π6 5π6 6π6＝ ＋ ＋1＋ ＋ ＋0＝2＋ .12 32 32 12 3二、能力提升8．下列函数中，周期为 2π 的是( )A． y＝sin B． y＝sin2 xx2C． y＝ D． y＝|sin2 x||sin x2|答案 C解析 y＝sin 的周期为 T＝ ＝4π；x2 2π127y＝sin2 x的周期为 T＝ ＝π；2π2y＝ 的周期为 T＝2π；|sin x2|y＝|sin2 x|的周期为 T＝ .π2故选 C.9．已知定义在 R上的函数 f(x)满足 f(x＋1)＝ ，且当 x∈[0,1]时， f(x)＝2 x，则1f xf(7.5)＝________.答案 22解析 ∵ f(x＋1)＝ ，∴ f(x＋2)＝ f(x)， f(7.5)＝ f(8－0.5)＝ f(－0.5)1f x＝ ，又 x∈[0,1]时， f(x)＝2 x，则 f(0.5)＝2 0.5＝ ，∴ f(7.5)＝ .1f 0.5 2 2210．设函数 f(x)＝sin x，则 f(1)＋ f(2)＋ f(3)＋…＋ f(2013)＝________.π3答案 3解析 ∵ f(x)＝sin x的周期 T＝ ＝6.π3 2ππ3∴ f(1)＋ f(2)＋ f(3)＋…＋ f(2013)＝335[ f(1)＋ f(2)＋ f(3)＋ f(4)＋ f(5)＋ f(6)]＋ f(2011)＋ f(2012)＋ f(2013)＝335 (sinπ3＋ sin23π ＋ sinπ ＋ sin43π ＋ sin53π ＋ sin2π )＋ f(335×6＋1)＋ f(335×6＋2)＋ f(335×6＋3)＝335×0＋ f(1)＋ f(2)＋ f(3)＝sin ＋sin π＋sinπ＝ .π3 23 311．定义在 R上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)的最小正周期是 π，且当x∈ 时， f(x)＝sin x.[0，π2](1)当 x∈[－π，0]时，求 f(x)的解析式；(2)画出函数 f(x)在[－π，π]上的函数简图；(3)当 f(x)≥ 时，求 x的取值范围．12解 (1)∵ f(x)是偶函数，∴ f(－ x)＝ f(x)．而当 x∈ 时， f(x)＝sin x.[0，π2]8∴当 x∈ 时，[－π2， 0]f(x)＝ f(－ x)＝sin(－ x)＝－sin x.又当 x∈ 时， x＋π∈ ，[－ π ， －π2] [0， π2]∵ f(x)的周期为 π，∴ f(x)＝ f(π＋ x)＝sin(π＋ x)＝－sin x.∴当 x∈[－π，0]时， f(x)＝－sin x.(2)如图．(3)由于 f(x)的最小正周期为 π，因此先在[－π，0]上来研究 f(x)≥ ，12即－sin x≥ ，∴sin x≤－ ，∴－ ≤ x≤－ .12 12 5π6 π6由周期性知，当 x∈ ， k∈Z 时， f(x)≥ .[kπ －56π ， kπ － π6] 1212．已知函数 f(x)＝log |sinx|.12(1)求其定义域和值域；(2)判断其奇偶性；(3)判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期．解 (1)∵|sin x|0，∴sin x≠0，∴ x≠ kπ， k∈Z.∴函数的定义域为{ x|x≠ kπ， k∈Z}．∵0|sin x|≤1，∴log |sinx|≥0，12∴函数的值域为{ y|y≥0}．(2)函数的定义域关于原点对称，∵ f(－ x)＝log |sin(－ x)|12＝log |sinx|＝ f(x)，12∴函数 f(x)是偶函数．9(3)∵ f(x＋π)＝log |sin(x＋π)|12＝log |sinx|＝ f(x)，12∴函数 f(x)是周期函数，且最小正周期是 π.三、探究与创新13．已知函数 f(x)对于任意实数 x满足条件 f(x＋2)＝－ (f(x)≠0)．1f x(1)求证：函数 f(x)是周期函数．(2)若 f(1)＝－5，求 f(f(5))的值．(1)证明 ∵ f(x＋2)＝－ ，1f x∴ f(x＋4)＝－ ＝－ ＝ f(x)，1f x＋ 2 1－ 1f x∴ f(x)是周期函数，4 就是它的一个周期．(2)解 ∵4 是 f(x)的一个周期．∴ f(5)＝ f(1)＝－5，∴ f(f(5))＝ f(－5)＝ f(－1)＝ ＝ ＝ .－ 1f － 1＋ 2 － 1f 1 1513.4.2 函数 y＝Asin(ω x＋ φ )的图象与性质(一)[学习目标] 1.理解 y＝ Asin(ωx ＋ φ )中 ω 、 φ 、 A对图象的影响.2.掌握 y＝sin x与y＝ Asin(ωx ＋ φ )图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.[知识链接]1.“五点法”作图画正弦函数 y＝sin x， x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)， ，(π，0)，(π2， 1)，(2π，0).(32π ， － 1)2.交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系？答 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似，从解析式来看，函数 y＝sin x就是函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ )在 A＝1， ω ＝1， φ ＝0 时的情况.[预习导引]用“图象变换法”作 y＝ Asin(ωx ＋ φ ) (A0， ω 0)的图象1.φ 对 y＝sin( x＋ φ )， x∈R 的图象的影响y＝sin( x＋ φ ) (φ ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线 y＝sin x上所有的点向左(当 φ 0时)或向右(当 φ 0)对 y＝sin( ωx ＋ φ )的图象的影响函数 y＝sin( ωx ＋ φ )的图象，可以看作是把 y＝sin( x＋ φ )的图象上所有点的横坐标缩短(当 ω 1时)或伸长(当 00)对 y＝ Asin(ωx ＋ φ )的图象的影响函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ )的图象，可以看作是把 y＝sin( ωx ＋ φ )图象上所有点的纵坐标伸长(当 A1时)或缩短(当 00， ω 0)的图象也可由 y＝cos x的图象变换得到.一、基础达标1.函数 y＝2sin 在一个周期内的三个“零点”的横坐标可能是( )(12x＋ π3)A.－ ， ， B.－ ， ，π35π3 11π3 2π3 4π3 10π3C.－ ， ， D.－ ， ，π611π6 23π6 π32π3 5π3答案 B2.为了得到函数 y＝sin 的图象，可以将函数 y＝cos 2 x的图象( )(2x－π6)6A.向右平移 个单位长度π6B.向右平移 个单位长度π3C.向左平移 个单位长度π6D.向左平移 个单位长度π3答案 B解析 y＝sin ＝cos(2x－π6) [π2－ (2x－ π6)]＝cos ＝cos ＝cos 2 .(2π3－ 2x) (2x－ 2π3) (x－ π3)3.为得到函数 y＝cos( x＋ )的图象，只需将函数 y＝sin x的图象( )π3A.向左平移 个单位长度π6B.向右平移 个单位长度π6C.向左平移 个单位长度5π6D.向右平移 个单位长度5π6答案 C4.将函数 y＝3sin(2 x＋ )的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数( )π3 π2A.在区间[ ， ]上单调递减π12 7π12B.在区间[ ， ]上单调递增π12 7π12C.在区间[－ ， ]上单调递减π6 π3D.在区间[－ ， ]上单调递增π6 π3答案 B解析 y＝3sin(2 x＋ )的图象向右平移 个单位长度得到 y＝3sin[2( x－ )＋ ]π3 π2 π2 π3＝3sin(2 x－ π).237令 2kπ－ ≤2 x－ π≤2 kπ＋ 得 kπ＋ ≤ x≤ kπ＋ π， k∈Z，则 y＝3sin(2 x－ π)的π2 23 π2 π12 712 23增区间为[kπ＋ ， kπ＋ π]， k∈Z.π12 712令 k＝0 得其中一个增区间为[ ， π]，故 B正确.π12 712画出 y＝3sin(2 x－ π)在[－ ， ]上的简图，如图，可知 y＝3sin(2 x－ π)在[－ ，23 π6 π3 23 π6]上不具有单调性，故 C，D 错误.π35.将函数 y＝sin x的图象向左平移 个单位，得到函数 y＝ f(x)的图象，则下列说法正确π2的是( )A.y＝ f(x)是奇函数B.y＝ f(x)的周期为 πC.y＝ f(x)的图象关于直线 x＝ 对称π2D.y＝ f(x)的图象关于点(－ ，0)对称π2答案 D解析 由题意知， f(x)＝cos x，所以它是偶函数，A 错；它的周期为 2π，B 错；它的对称轴是直线 x＝ kπ， k∈Z，C 错；它的对称中心是点 ， k∈Z，D 对.(kπ ＋π2， 0)6.下列表示函数 y＝sin 在区间 上的简图正确的是( )(2x－π3) [－ π2， π ]8答案 A解析 将 y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，再将所有点向右平移 个12 π6单位长度即得 y＝sin 的图象，依据此变换过程可得到 A中图象是正确的.也可以(2x－π3)分别令 2x－ ＝0， ，π， ，2π 得到五个关键点，描点连线即得函数 y＝sinπ3 π2 3π2的图象.(2x－π3)7.怎样由函数 y＝sin x的图象变换得到 y＝sin 的图象，试叙述这一过程.(2x－π3)解 由 y＝sin x的图象通过变换得到函数 y＝sin 的图象有两种变化途径：(2x－π3)① y＝sin x y＝sin― ― →向 右 平 移 π3个 单 位 (x－ π3) ― ― →纵 坐 标 不 变 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 12y＝sin (2x－π3)② y＝sin x y＝sin 2 x― ― →纵 坐 标 不 变 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 12 ― ― →向 右 平 移 π6个 单 位y＝sin .(2x－π3)二、能力提升8.将函数 y＝sin(2 x＋ φ )的图象沿 x轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则π8φ 的一个可能取值为( )A. B.3π4 π4C.0 D.－π4答案 B解析 将函数 y＝sin(2 x＋ φ )的图象沿 x轴向左平移 个单位，得到函数 y＝sinπ8＝sin ，因为此时函数为偶函数，所以[2(x＋π8)＋ φ ] (2x＋ π4＋ φ )9＋ φ ＝ ＋ kπ， k∈Z，即 φ ＝ ＋ kπ， k∈Z，所以选 B.π4 π2 π49.要得到函数 y＝ cos x的图象，只需将函数 y＝ sin 图象上的所有点的( )2 2 (2x＋π4)A.横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再向左平行移动 个单位长度12 π8B.横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再向右平行移动 个单位长度12 π4C.横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动 个单位长度π4D.横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动 个单位长度π8答案 C解析 ∵ y＝ cos x＝ sin ，2 2 (x＋π2)∴ y＝ sin2 (2x＋π4) ― ― →纵 坐 标 不 变 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2倍y＝ sin2 (x＋π4) ― ― →向 左 平 移 π4个 单 位 长 度 y＝ sin .2 (x＋π2)10.某同学给出了以下论断：①将 y＝cos x的图象向右平移 个单位，得到 y＝sin x的图象；π2②将 y＝sin x的图象向右平移 2个单位，可得到 y＝sin( x＋2)的图象；③将 y＝sin(－ x)的图象向左平移 2个单位，得到 y＝sin(－ x－2)的图象；④函数 y＝sin 的图象是由 y＝sin 2 x的图象向左平移 个单位而得到的.(2x＋π3) π3其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上).答案 ①③11.将函数 f(x)＝sin( ωx ＋ φ )(ω 0，－ ≤ φ )图象上每一点的横坐标缩短为原来的π2 π2一半，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度得到 y＝sin x的图象，则 f( )＝________.π6 π6答案 22解析 将 y＝sin x的图象向左平移 个单位长度可得 y＝sin( x＋ )的图象，保持纵坐标π6 π610不变，横坐标变为原来的 2倍可得 y＝sin( x＋ )的图象，故 f(x)＝sin( x＋ ).所以12 π6 12 π6f( )＝sin( × ＋ )＝sin ＝ .π6 12 π6 π6 π4 2212.使函数 y＝ f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的 倍，然后再将12其图象沿 x轴向左平移 个单位得到的曲线与 y＝sin 2 x的图象相同，求 f(x)的表达式.π6解 方法一 正向变换y＝ f(x) y＝ f(2x)― ― →横 坐 标 缩 小 到 原 来 的 12 ― ― →沿 x轴 向 左 平 移 π6个 单 位y＝ f ，即 y＝ f ，[2(x＋π6)] (2x＋ π3)∴ f ＝sin 2 x.令 2x＋ ＝ t，则 2x＝ t－ ，(2x＋π3) π3 π3∴ f(t)＝sin ，即 f(x)＝sin .(t－π3) (x－ π3)方法二 逆向变换据题意， y＝sin 2 x― ― →沿 x轴 向 右 平 移 π6个 单 位y＝sin (2x－π3) ― ― →横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2倍 纵 坐 标 不 变y＝sin .(x－π3)三、探究与创新13.已知函数 f(x)＝2sin ωx ，其中常数 ω ＞0；(1)若 y＝ f(x)在 上单调递增，求 ω 的取值范围；[－π4， 2π3](2)令 ω ＝2，将函数 y＝ f(x)的图象向左平移 个单位，再向上平移 1个单位，得到函数π6y＝ g(x)的图象，区间[ a， b](a， b∈R 且 a＜ b)满足： y＝ g(x)在[ a， b]上至少含有 30个零点，在所有满足上述条件的[ a， b]中，求 b－ a的最小值.解 (1)因为 ω ＞0，根据题意有Error!⇒0＜ ω ≤34(2)f(x)＝2sin 2 x， g(x)＝2sin 2 ＋1(x＋π6)11＝2sin ＋1(2x＋π3)g(x)＝0⇒sin ＝－(2x＋π3) 12⇒x＝ kπ－ 或 x＝ kπ－ π， k∈Z，π4 712即 g(x)的零点相离间隔依次为 和 ，π3 2π3故若 y＝ g(x)在[ a， b]上至少含有 30个零点，则 b－ a的最小值为 14× ＋15× ＝ .2π3 π3 43π313.4.2 函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ )的图象与性质(二)[学习目标] 1.会用“五点法”画函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ )的图象.2.能根据y＝ Asin(ωx ＋ φ )的部分图象，确定其解析式.3.了解 y＝ Asin(ωx ＋ φ )的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．[知识链接]1．由函数 y＝sin x的图象经过怎样的变换得到函数 y＝sin( ωx ＋ φ )(ω 0)的图象？答 y＝sin x的图象变换成 y＝sin( ωx ＋ φ )(ω 0)的图象一般有两个途径：途径一：先相位变换，再周期变换先将 y＝sin x的图象向左( φ 0)或向右( φ 0)或向右( φ 0， ω 0)， x∈[0，＋∞)的图象，其中 A＞0， ω ＞0.描述简谐运动的物理量有振幅、周期、频率、相位和初相等，你知道这些物理量分别是指哪些数据以及各自的含义吗？答 A是振幅，它是指物体离开平衡位置的最大距离； T＝ 是周期，它是指物体往复运2πω动一次所需要的时间；f＝ ＝ 是频率，它是指物体在单位时间内往复运动的次数； ωx ＋ φ 称为相位； φ 称为1T ω2π初相，即 x＝0 时的相位．[预习导引]1．简谐振动简谐振动 y＝ Asin(ωx ＋ φ )(A0， ω 0)中， A叫做振幅，周期 T＝ ，频率 f＝ ，相2πω ω2π位是 ωx ＋ φ ，初相是 φ .2．函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ ) (A0， ω 0)的性质如下：2定义域 R值域 [－ A， A]周期性 T＝ 2πω奇偶性 φ ＝ kπ ( k∈Z)时是奇函数； φ ＝ ＋ kπ ( k∈Z)时是偶函数；当π2φ ≠ (k∈Z)时是非奇非偶函数kπ2单调性 单调增区间可由 2kπ－ ≤ ωx ＋ φ ≤2 kπ＋ (k∈Z)得到，单调减区间可由π2 π22kπ＋ ≤ ωx ＋ φ ≤2 kπ＋ (k∈Z)得到π2 3π2要点一 “五点法”作 y＝ Asin(ωx ＋ φ )的简图例 1 用“五点法”作出函数 y＝2sin 的简图，并指出该函数的单调区间．(2x＋π3)解 (1)列表如下：2x＋π30π2π3π22πx －π6 π12 π3 7π12 5π6y 0 2 0 －2 0(2)描点、连线，如图由图象知，在一个周期内，函数在 上单调递减，函数在 上单调递[π12， 7π12] [－ 512π ， π12]增．又因为函数的周期为 π，所以函数的单调递减区间为 (k∈Z)；单调递增区间为[π12＋ kπ ， 7π12＋ kπ ](k∈Z)．[－5π12＋ kπ ， π12＋ kπ ]3规律方法 用“五点法”画函数 y＝ Asin (ωx ＋ φ )(x∈R)的简图，先作变量代换，令X＝ ωx ＋ φ ，再用方程思想由 X取 0， ，π， π，2π 来确定对应的 x值，最后根据π2 32x， y的值描点、连线画出函数的图象．跟踪演练 1 作出函数 y＝ sin 在长度为一个周期的闭区间上的图象．32 (13x－ π3)解 列表：X＝ x－13 π30π2π3π22πx π 5π2 4π 11π2 7πy＝ sin32 (13x－ π3)0320 －320描点画图(如图所示)：要点二 求函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ )的解析式例 2 函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ )(A0， ω 0，| φ |0， ω 0，| φ |0)的最小正周期为 π，则该函数的图象( )(ω x＋π3)A．关于点 对称 B．关于直线 x＝ 对称(π3， 0) π4C．关于点 对称 D．关于直线 x＝ 对称(π4， 0) π3答案 A3.若函数 y＝sin( ωx ＋ φ )(ω ＞0)的部分图象如图，则 ω 等于 ( )6A．5 B．4C．3 D．2答案 B解析 根据图象确定函数的最小正周期，再利用 T＝ 求 ω .2πω设函数的最小正周期为 T，由函数图象可知 ＝ － x0＝ ，T2 (x0＋ π4) π4所以 T＝ .π2又因为 T＝ ，可解得 ω ＝4.2πω4．作出 y＝3sin 一个周期上的图象．(12x－ π4)解 (1)列表：x－12 π40π2π π322πxπ2π32π52π72π923sin(12x－ π4)0 3 0 －3 0描点、连线，如图所示：1.由函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ )的部分图象确定解析式关键在于确定参数 A， ω ， φ 的值．(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定| A|.(2)因为 T＝ ，所以往往通过求周期 T来确定 ω ，可通过已知曲线与 x轴的交点从而确2π|ω |定 T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为 ；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离T2为 T.(3)从寻找“五点法”中的第一零点 (也叫初始点)作为突破口．以(－φω ， 0)y＝ Asin(ωx ＋ φ )(A0， ω 0)为例，位于单调递增区间上离 y轴最近的那个零点最适合作7为“五点”中的第一个点．2．在研究 y＝ Asin(ωx ＋ φ )(A0， ω 0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在 ωx ＋ φ ＝ ＋2 kπ (k∈Z)时取得最大值，在 ωx ＋ φ ＝ ＋2 kπ (k∈Z)时取得最小π2 3π2值．一、基础达标1．已知简谐运动 f(x)＝2sin (|φ |2π，且最小值为正数，A 符合，当| a|1时 T0， ω 0)上的一个最高点的坐标为 ，此点到相(π8， 2)邻最低点间的曲线与 x轴交于点 ，若 φ ∈ .(38π ， 0) (－ π2， π2)(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．解 (1)由题意知 A＝ ， T＝4× ＝π，2 (38π － π8)ω ＝ ＝2，∴ y＝ sin(2x＋ φ )．2πT 2又∵sin ＝1，∴ ＋ φ ＝2 kπ＋ ， k∈Z，(π8×2＋ φ ) π4 π2∴ φ ＝2 kπ＋ ， k∈Z，π4又∵ φ ∈ ，∴ φ ＝ ，∴ y＝ sin .(－π2， π2) π4 2 (2x＋ π4)(2)列出 x、 y的对应值表：x －π8 π8π38π58π782x＋π40π2π π322πy 0 2 0 － 2 0描点、连线，如图所示：10二、能力提升8．如图是函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ )(x∈R)在区间[－ ， ]上的图π6 5π6象．为了得到这个函数的图象，只要将 y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点( )A．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变π3 12B．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变π3C．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变π6 12D．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变π6答案 A解析 由图象可知 A＝1， T＝ －(－ )＝π，5π6 π6∴ ω ＝ ＝2.2πT∵图象过点( ，0)，π3∴sin( ＋ φ )＝0，∴ ＋ φ ＝π＋2 kπ， k∈Z，2π3 2π3∴ φ ＝ ＋2 kπ， k∈Z.π3∴ y＝sin(2 x＋ ＋2 kπ)＝sin(2 x＋ )．π3 π3故将函数 y＝sin x先向左平移 个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，π3 12纵坐标不变，可得原函数的图象．9.函数 f(x)＝2sin( ωx ＋ φ )，( ω ＞0，－ ＜ φ ＜ )的部分图象如图π2 π2所示，则 ω ， φ 的值分别是( )A．2，－ B．2，－π3 π6C．4，－ D．4，π6 π3答案 A解析 T＝ － ＝ ，34 5π12 (－ π3) 3π411∴ T＝π，由此可得 T＝ ＝π，解得 ω ＝2，2πω得函数表达式为 f(x)＝2sin(2 x＋ φ )又因为当 x＝ 时取得最大值 2，5π12所以 2sin ＝2，可得 ＋ φ ＝ ＋2 kπ( k∈Z)(2×5π12＋ φ ) 5π6 π2因为－ ＜ φ ＜ ，所以取 k＝0，得 φ ＝－ ，故选 A.π2 π2 π310．关于 f(x)＝4sin (x∈R)，有下列命题：(2x＋π3)①由 f(x1)＝ f(x2)＝0 可得 x1－ x2是 π 的整数倍；② y＝ f(x)的表达式可改写成 y＝4cos ；(2x－π6)③ y＝ f(x)图象关于 对称；(－π6， 0)④ y＝ f(x)图象关于 x＝－ 对称．π6其中正确命题的序号为________．答案 ②③解析 对于①，由 f(x)＝0，可得 2x＋ ＝ kπ ( k∈Z)．π3∴ x＝ π－ ，∴ x1－ x2是 的整数倍，∴①错；k2 π6 π2对于②， f(x)＝4sin 利用公式得：(2x＋π3)f(x)＝4cos ＝4cos .[π2－ (2x＋ π3)] (2x－ π6)∴②对；对于③， f(x)＝4sin 的对称中心满足 2x＋ ＝ kπ， k∈Z，∴ x＝ π－ ， k∈Z.(2x＋π3) π3 k2 π6∴ 是函数 y＝ f(x)的一个对称中心，∴③对；(－π6， 0)对于④，函数 y＝ f(x)的对称轴满足2x＋ ＝ ＋ kπ， k∈Z.∴ x＝ ＋ ， k∈Z，∴④错．π3 π2 π12 kπ211．函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ )(A0， ω 0，| φ |0， ω 0)的图象过点 P( ，0)，图象与 P点最近的π12一个最高点坐标为( ，5)．π3(1)求函数解析式；(2)指出函数的增区间；(3)求使 y≤0 的 x的取值范围．解 (1)∵图象最高点坐标为( ，5)，∴ A＝5.π3∵ ＝ － ＝ ，∴ T＝π.T4 π3 π12 π4∴ ω ＝ ＝2.∴ y＝5sin(2 x＋ φ )．代入点( ，5)，2πT π3得 sin( π＋ φ )＝1.∴ π＋ φ ＝2 kπ＋ ， k∈Z.23 23 π2令 k＝0，则 φ ＝－ ，∴ y＝5sin(2 x－ )．π6 π6(2)∵函数的增区间满足 2kπ－ ≤2 x－ ≤2 kπ＋ (k∈Z)，∴2 kπ－ ≤2 x≤2 kπ＋π2 π6 π2 π3(k∈Z)．2π3∴ kπ－ ≤ x≤ kπ＋ (k∈Z)．π6 π3∴增区间为[ kπ－ ， kπ＋ ](k∈Z)．π6 π313(3)∵5sin(2 x－ )≤0，π6∴2 kπ－π≤2 x－ ≤2 kπ( k∈Z)，π6∴ kπ－ π≤ x≤ kπ＋ (k∈Z)．512 π12三、探究与创新13．已知函数 f(x)＝sin( ωx ＋ φ ) (ω 0,0≤ φ ≤π)是 R上的偶函数，其图象关于点 M对称，且在区间 上是单调函数，求 φ 和 ω 的值．(3π4， 0) [0， π2]解 ∵ f(x)在 R上是偶函数，∴当 x＝0 时， f(x)取得最大值或最小值．即 sinφ ＝±1，得 φ ＝ kπ＋ ， k∈Z，π2又 0≤ φ ≤π，∴ φ ＝ .π2由图象关于 M 对称可知，(3π4， 0)sin ＝0，解得 ω ＝ k－ ， k∈Z.(3π4ω ＋ π2) 43 23又 f(x)在 上是单调函数，所以 T≥π，即 ≥π，[0，π2] 2πω∴ ω ≤2，又 ω 0，∴ ＜ k≤2，由于 k∈Z，∴ k＝1 或 2.12∴当 k＝1 时， ω ＝ ；当 k＝2 时， ω ＝2.2313.4.3 应用举例[学习目标] 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．[知识链接]1．数学模型是什么？建立数学模型的方法是什么？答 简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法．2．上述的数学模型建立的一般程序是什么？答 解决问题的一般程序是：1°审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2°建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型；3°求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4°还原：把数学结论还原为实际问题的解答．[预习导引]1．三角函数的周期性y＝ Asin(ωx ＋ φ ) (ω ≠0)的周期是 T＝ ；2π|ω |y＝ Acos(ωx ＋ φ ) (ω ≠0)的周期是 T＝ ；2π|ω |y＝ Atan(ωx ＋ φ ) (ω ≠0)的周期是 T＝ .π|ω |2．函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ )＋ k (A0， ω 0)的性质(1)ymax＝ A＋ k， ymin＝－ A＋ k.(2)A＝ ， k＝ .ymax－ ymin2 ymax＋ ymin2(3)ω 可由 ω ＝ 确定，其中周期 T 可观察图象获得．2πT(4)由 ωx 1＋ φ ＝0， ωx 2＋ φ ＝ ， ωx 3＋ φ ＝π， ωx 4＋ φ ＝ π， ωx 5＋ φ ＝2π 中的π 2 32一个确定 φ 的值．3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画2周期变化规律、预测等方面都发挥着十分重要的作用.要点一 三角函数图象的应用例 1 作出函数 y＝|cos x|， x∈R 的图象，判断它的奇偶性并写出其周期和单调区间．解 y＝|cos x|＝Error!作出函数 y＝cos x 的图象后，将 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，如图由图可知， y＝|cos x|是偶函数， T＝π，单调递增区间为 (k∈Z)，[－π 2＋ kπ ， kπ ]单调递减区间为 (k∈Z)．[kπ ，π 2＋ kπ ]规律方法 翻折法作函数图象(1)要得到 y＝| f(x)|的图象，只需将 y＝ f(x)的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到上方，即“下翻上” ．(2)要得到 y＝ f(|x|)的图象，只需将 y＝ f(x)的图象在 y 轴右边的部分沿 y 轴翻折到左边，即“右翻左” ，同时保留右边的部分．跟踪演练 1 作出函数 y＝sin| x|的图象并判断其奇偶性．解 ∵sin(－ x)＝－sin x，∴ y＝sin| x|＝Error!其图象如下图．由图知， y＝sin| x|是偶函数．要点二 应用函数模型解题例 2 已知电流 I 与时间 t 的关系为 I＝ Asin(ωt ＋ φ )．3(1)如图所示的是 I＝ Asin(ωt ＋ φ )(ω 0，| φ |0)，1150 2πω 1150∴ ω ≥300π942，又 ω ∈N *，故所求最小正整数 ω ＝943.规律方法 例题中的函数模型已经给出，观察图象和利用待定系数法可以求出解析式中的未知参数，从而确定函数解析式．此类问题解题关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径．跟踪演练 2 弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间 t(s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离 h(cm)由下面的函数关系式表示： h＝3sin .(2t＋π 4)(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间；(3)经过多长时间小球往返振动一次？(4)每秒内小球能往返振动多少次？解 (1)令 t＝0，得 h＝3sin ＝ ，所以开始振动的位置为平衡位置上方 cm 处．π 4 322 3224(2)由题意知，当 h＝3 时， t＝ ，即 3s 时第一次升到最高点；当 h＝－3 时， t＝ ，即π 8 5π8s 时第一次下降到最低点．5π8(3)T＝ ＝π≈3.14，即每经过约 3.14 秒小球往返振动一次．2π2(4)f＝ ≈0.318，即每秒内小球往返振动约 0.318 次．1T要点三 构建函数模型解题例 3 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度 y(米)随着时间t(0≤ t≤24，单位：小时)而周期性变化，每天各时刻 t 的浪高数据的平均值如下表：t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24y(米) 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0(1)试在图中描出所给点；(2)观察图，从 y＝ at＋ b， y＝ Asin(ωt ＋ φ )＋ b， y＝ Acos(ωt ＋ φ )中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定在一天内的 7 时至 19 时之间，当浪高不低于 0.8 米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．解 (1)描出所给点如图所示：(2)由(1)知选择 y＝ Asin(ωt ＋ φ )＋ b 较合适．令 A0， ω 0，| φ |0， ω 0，| φ |0， ω 1，排除 B；π 6π 6sinπ 6 π 3当 x＝2 时， y＝ 2，排除 D.2sin29．已知某种交流电电流 I(A)随时间 t(秒)的变化规律可以用函数 I＝5 sin2表示， t∈[0，＋∞)，则这种交流电电流在 0.5 秒内往复运行________次．(100π t－π 2)答案 2511解析 周期 T＝ ＝ (秒)，从而频率为每秒 50 次，0.5 秒往复运行 25 次．2π100π 15010．电流强度 I(安培)随时间 t(秒)变化的函数 I＝ Asin(ωt ＋ φ )的图象如图所示，则 t＝秒时的电流强度为________．7120答案 0解析 根据图象得 A＝10，由Error!∴Error!，∴ I＝10sin .(100π t＋π 6)当 t＝ 秒时， I＝10sin6π＝0.712011．某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5cm，秒针均匀地绕点 O 旋转，当时间 t＝0时，点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合，将 A、 B 两点的距离 d(cm)表示成 t(s)的函数，则d＝__________，其中 t∈[0,60]．答案 10sinπ t60解析 将解析式可写为 d＝ Asin(ωt ＋ φ )的形式，由题意易知 A＝10，当 t＝0 时， d＝0，得 φ ＝0；当 t＝30 时， d＝10，可得 ω ＝ ，所以 d＝10sin .π60 π t6012．如图，一个水轮的半径为 4m，水轮圆心 O 距离水面 2m，已知水轮每分钟转动 5 圈，如果当水轮上点 P 从水中浮现时(图中点 P0)开始计算时间．(1)将点 P 距离水面的高度 z(m)表示为时间 t(s)的函数；(2)点 P 第一次到达最高点大约需要多少时间？解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角 φ 是以 Ox 为始边， OP0为终边的角．(－π 21 时才可对冲浪者开放13∴ cos t＋11，12 π 6∴cos t0，∴2 kπ－ t2kπ＋ ， k∈Zπ 6 π 2 π 6 π 2即 12k－3 t12k＋3， k∈Z.①∵0≤ t≤24，故可令①中 k 分别为 0,1,2，得 0≤ t3 或 9t15 或 21t≤24.∴在规定时间上午 8：00 至晚上 20：00 之间，有 6 个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00 至下午 3：00.