1、平安县第一高级中学,李连生,2.1.4空间中直线与直线之间的位置关系,一 复习:平面中两条直线的位置关系,南海万泉河立交桥,六角螺母,二（1） 异面直线的定义:,我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。,想一想:怎样通过图形来表示异面直线?,为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。如下图:,异面直线的画法:,A,b,a,b,a,b,a,A1,B1,C1,D1,C,B,D,A,练习：如图：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？,答案：,D1C1、C1C、CD、,D1D、AD、B1C1,AB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对
2、? 相交直线有几对? 平行直线有几对?,想一想：在空间中两条直线的位置关系？,（2）空间两直线的位置关系：,(1)从公共点的数目来看，可分为：,有且只有一个公共点两直线相交,没有公共点,两直线平行,两直线为异面直线,(2)从平面的性质来讲，可分为：,两直线相交,在同一平面内,两直线平行,不在同一平面内两直线为异面直线,三. 空间两平行直线,提出问题：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？,公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。,公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。,公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3、,ab cb,ac,符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c,若,想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直线垂直,是否也有类似的规律?,空间四边形： 如图，顺次连结不共面的四点A、B、C、D所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.,A,B,C,D,相对顶点A与C，B与D的连线AC、BD叫做这个空间四边形的对角线.,三 例题示范,例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。,分析：,欲证EFGH是一个平行四边形,只需证EHFG且EHFG,E，F，G，H分别是各边中点,连结BD,只需证： EH BD且EH BDFG B
4、D且FG BD,例题示范,例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。,变式一： 在例2中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?,E,H,F,G,分析：在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。,菱形,四 练习反馈：,1. 判断: （1）平行于同一直线的两条直线平行.（ ） （2）垂直于同一直线的两条直线平行.（ ） （3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . （ ） （4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. （ ） （5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那
5、么这两个角相等（ ） （6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. （ ）,练习反馈：,2选择题（1）“a，b是异面直线”是指 ab=,且a不平行于b； a 平面a，b平面b且ab= a 平面a，b 平面a 不存在平面a，能使a a且b a成立 上述结论中，正确的是 （ ） （A） （B） （C） （D）,（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 （ ）（A）2对 （B）3对 （C）6对 （D）12对,C,C,（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（ ）（A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线（C）可能
6、是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 （4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( ) （A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面,3两条直线互相垂直，它们一定相交吗？,答：不一定，还可能异面,D,D,同一平面内：,问题：在空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等吗？,方向相同或相反，结果如何？,一组边的方向相同，而另一组边的方向相反，又如何？,等角定理:,空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.,推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.,三、异面直线所
7、成角的定义：,直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a1a,b1b,把直线a1和b1所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。,平移法,如果两条异面直线所成的角为直角， 那么就称这两条异面直线垂直。,异面直线a和b所成的角的范围：,强调:1)范围 2)与0的位置无关 ； 3)为了方便点O选取应有利于解决问题，可取特殊点(如a 或 b上)；4)找两条异面直线所成的角，要作平行移动(平行线)，把两条异面直线所成的角，转化为两条相交直线所成的角.,45o,例2:(1)求直线BA1和CC1所成角的度数。,例2:(2)哪些棱所在直线与直线AA1垂直？,一作(找)、二证、三求,(1)通过直线平移，作出异面直线 所成的角，把空间问题转化为 平面问题。 (2)利用平面几何知识， 求出异面直线所成角的大小。,四、异面直线所成角的求法：,例3:在正方体ABCD-ABCD中，棱长为a， E、F分别是棱AB，BC的中点，求：,异面直线 AD与 EF所成角的大小；,异面直线 BC与 EF所成角的大小；,异面直线 BD与 EF 所成角的大小.,平 移 法,O,G,AC AC EF, OG BD,BD 与EF所成的角 即为AC与OG所成的角,即为AOG或其补角.,再 见!,立体几何,
