1、2.1（1）二元一次方程组及代入法一、本讲教学内容及要求 了解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念。 会检查一对数值是不是某个二元一次方程的一个解。 灵活运用代入法解二元一次方程组。 了解代入法解二元一次方程组的思想方法。 二、本讲的重点、难点和关键： 1重点：一次方程组的解法代入法和加减法。 2难点：选用合理、简捷的方法解二元一次方程组。 3关键：了解“消元法”的思想方法，设法消去方程中的一个未知数将“二元”转化成“一元”。 灵活地运用“代入法”和“加减法”。 三、本讲重要数学思想： 1通过一次方程组解法的学习，领会多元方程组向一元方程转化（化归）的思想。 2在较复杂的方程组解法的训练
2、中，渗透换元的思想。 四、主要数学能力： 1通过用代入消元法解二元一次方程组及加减消元法解二元一次方程组的训练及选用合理、简捷的方法解方程组，培养运算能力。 2通过对方程组中未知数系数特点的观察和分析，明确二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成未知向已知的转化，培养观察能力和发展逻辑思维能力。 五、化归思想： “解题就是把习题归结为已经解过的问题”这种关于解题的数学思想称为“化归”。它体现了“在一定条件下，不同事物可以互相转化。”的唯物辩证观点，是解数学题的一盏指路明灯。 本章中“化归”思想的突出运用有： 1化陌生为熟悉。“化二元为一元”，化“三元为二元”。即将陌生的二元一次方程组化为熟
3、悉的一元一次方程来解。这种将陌生的问题化为熟悉的问题来处理，这是数学解题中具有普遍指导意义的数学思想。应该深入地领会并自觉地运用到数学的学习中。 2化复杂为简单。解方程组时，形式复杂的二元一次方程组往往难以直接消元或不便于直接消元时，一般要把它先化为形式简单的方程组然后再消元求解。 3化实际问题为数学问题。利用一次方程组的知识求解有关的应用题时，分析方法与解题步骤与列出一元一次方程解应用题类似。通过认真分析题目中的未知量和已知量之间的关系，找出它们相等关系据此列出方程组。将应用问题“化为”解方程组的问题来解决。把实际问题化为数学问题来处理，这是利用数学知识解实际问题的基本途径。 六、易错分析：
4、 1.判断一个方程是不是二元一次方程，一般要将方程化为一般形式后再根据定义判断。2.二元一次方程的解:一个二元一次方程有无数个解，而每一个解都是一对数值。求二元一次方程的解的方法：若方程中的未知数为 x， y，可任取 x 的一些值，相应的可算出 y的值，这样，就会得到满足需要的数对。 3.二元一次方程组:两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。作为二元一次方程组的两个方程，不一定都含有两个未知数，可以其中一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程。 4.二元一次方程组的解:使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。检验一对数值是不是二元一
5、次方程组的解的方法是，将两个未知数分别代入方程组中的两个方程，如果都能满足这两个方程，那么它就是方程组的解。 5运用代入法解方程组应注意的事项： （1）不能将变形后的方程再代入变形前的那个方程。 （2）运用代入法要使解方程组过程简单化，即选取系数较小的方程变形。 （3）要判断求得的结果是否正确。 6对二元一次方程组的解的理解： （1）方程组的解是指方程组里各个方程的公共解。 （2）“公共解”的意思，实际上包含以下两个方面的含义： 因为任何一个二元一次方程都有无数个解，所以方程组的解必须是方程组里某一个方程的一个解。 而这个解必须同时满足方程组里其中任何一个方程，因此二元一次方程组的解一定同时满
6、足这个方程组里两个方程的任何一个方程。 例 1、已知方程 3xm+3-2y1-2n=15 是一个二元一次方程，求 m 和 n 的值。 分析：二元一次方程必须是同时符合下列两个条件的整式方程：方程中含有两个未知数；方程中含有未知数的项的次数都是 1。 解：由题意得：m+3=1,1-2n=1 m=-2,n=0 例 2、下列方程组中，是二元一次方程组的有哪些？ （1） （2） （3） （4） （5） 分析：由二元一次方程组的定义可知：方程组中的每个方程必须都是一次方程；方程组中的未知数共有两个；方程组中的两个方程必须都为整式方程，方程组（1）中含有 3 个未知数；（2）中的 xy=2 是二元二次方程
7、；（5）中的 +y=6 不是整式方程。 解：（3），（4）是二元一次方程组。 例 3、方程组 的解为（ ）（A） （B） （C） （D）以上答案均不对 分析：未知数 x、y 的一对值必须同时满足已知方程组的每个方程，才是方程组的解。 解：把 x=-2,y=2 代入方程， 左边=3（-2）+42=2=右边， 再代入方程， 左边=2（-2）-2=-6，右边=5 左边右边。 （A）满足方程但不满足方程，故不是原方程组的解。 同理可得，（B）满足方程又满足方程，所以是原方程组的解；而（C）满足方程但不满足方程，故不是方程组的解。 答案选择 B。 例 4已知 是方程 3x-ay-2a=3 的一个解，求
8、a 的值。 分析：由 是方程 3x-ay-2a=3 的一个解，可以理解为 x, y 的值适合方程 3x-ay-2a=3，也就是说方程 3x-ay-2a=3 中的 x 取-2，y 取 时方程成立。这样就可以将 x=-2，y= 代入方程中，转化为关于 a 的一元一次方程，可求出 a 值。 解： x=-2, y= 是方程 3x-ay-2a=3 的一个解， 3(-2)-a( )-2a=3 -6- -2a=3, - a=9, a=- 例 5、解方程组 分析：用代入法解二元一次方程组时，要尽量选取一个未知数的系数的绝对值是 1 的方程去变形，此例中式 y 的系数为-1，所以用含 x 的代数式表示 y，代入
9、中消去 y。 解：由得 y=5x-3 把代入得 2x+3(5x-3)=-9, 17x=0, x=0把 x=0 代入得 y=-3 例 6、解方程组 分析：由于两个方程中 x 的系数都是 2，代入时可把方程直接代入方程，而不必写成 x= 。 解：把代入，得 3y+1-4y=3, y=-2把 y=-2 代入，得 2x=3(-2)+1, x=-2 说明：此题也可由得 2x=4y+3，代入求解，由此题的解法可看出，解方程组时根据题目的具体特点采取灵活的方法会使问题简化。 例 7、解方程组 分析：这两个方程都需要整理成标准形式，这样有利于确定消去哪个未知数。 解：整理原方程组，得 由得，y=3x-4 (5
10、) 把代入，得 3x-2(3x-4)=2, x=2把 x=2 代入，得 y=32-4=2， 练习： 填空题： （1）已知方程 2x2n-1-3y3m-n+1=0 是二元一次方程，则m=_,n=_。 （2）方程y=3x 2-x;3x+y=1;2x+4z=5z;xy=1; +y=0;x+y+z=1; +x=4 中，是二元一次方程的有_。 （3）二元一次方程 x- y=5 有_个解。 （4）用代入法解二元一次方程组 最为简单的方法是将_式中的_表示为_，再代入_。 答案： （1） ，1 （2） （3）无穷多 （4），x , x=6-5y , 测试选择题1方程 5x-3y=6 的解是（ ）。 A、只有
11、一个 B、只有二个 C、有无数个 D、无解 2方程 x+2y-3=0 中，x,y 均为非负整数，那么 x,y 的值分别是（ ）。 A、3，0 B、1，2 C、1，1 D、1，1 或 3，0 3方程 3a+b=9，在正整数范围内的解的个数是（ ）。 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、无数个4如果 是方程 2x=3y+2k 的一组解，那么 k 的值为（ ）。 A、4 B、2 C、 D、 5对于方程 3x-5=7y，用含 x 的代数式表示 y，是（ ）。 A、3x=7y+5 B、y= C、7y=3x-5 D、 6下面几个数组中，哪个是方程 7x+2y=19 的一个解（ ）。 A、 B、 C、
12、D、 7下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）。 A、 B、 C、 D、 8在四对数值中，是方程组 的解是（ ）。 A、 B、 C、 D、 9如果 （其中 b0）是方程 5x+y=0 的一个解，则（ ）。 A、a,b 一定同号 B、a,b 一定异号 C、a,b 可能同号，也可能异号 D、b0,a=0 10下列各方程组中，哪此是二元一次方程组（ ）。 A、 B、 C、 D、 中考解析二元一次方程组考点扫描: 1了解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念， 2会检查一对数值是不是某个二元一次方程的一个解。 名师精讲: 1二元一次方程:含有两个未知数，并且未知数的次数是 1，这样的方程叫做一
13、元二次方程。它的标准形式为：ax+by=c（a,b0）。 2二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。一个二元一次方程有无数个解。一般地，给定方程中一个未知数的值，可求出相应的另一个未知数的值，那么，这一对数就是二元一次方程的解。 3二元一次方程组：两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。它的一般形式是： 作为二元一次方程组中的两个方程，不一定都含有两个未知数，可以其中一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程。 4二元一次方程组的解 两个二元一次方程的公共解叫做二元一次方程组的解。检验一对数值是不是二元一次方程组的解的方法是，将
14、两个未知数分别代入方程组中的两个方程，如果都能满足这两个方程，它就是方程组的解。 说明：本节是二元一次方程及二元一次方程组的有关概念，一般中考不单独命题。用代入法解二元一次方程组考点扫描: 1掌握运用代入法解二元一次方程组的方法步骤。 2了解代入法解二元一次方程组的基本思想。 名师精讲: 1用代入法解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，这种方法，体现了数学的“化繁为简”的基本思想。 2用代入法解二元一次方程组的步骤是： （1）从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，用含有另一个未知数的代数式表示出来； （2）将变形后的方程代入另一个方程中，得到
15、一个一元一次方程； （3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； （4）把求得的未知数的值代入（1）所得式子中，求出另一个未知数的值，从而得出方程组的解； 3运用代入法解方程组应注意的事项： （1）不能将变形后的方程再代入变形前的那个方程。 （2）如果两个方程中的 x，y 的四个系数中，有一个系数是 1 或-1，选取该方程进行变形，用另一个未知数把系数是 1 或-1 的未知数表示出来，可使解方程的过程简单化。（3）要检验求得的结果是否正确。 中考典例 1（湖南长沙）解二元一次方程组： 考点：二元一次方程组的解法 评析：本题第二方程中 x 的系数是 1，y 的系数是-1，将第二方程变形，用 x
16、 表示 y 或用 y 表示 x 都较简单。解题具体过程如下。 解： 由（2）得 x=y-5 （3） 将（3）代入（1）得 2y-10+3y=40 解得 y=10 将 y=10 代入（3）得 x=5 真题专练: 1（福建福州）已知 a:b=3:1，且 a+b=8，则 a-b=_。 2（江西）方程组 的解_。 答案： 14 解：设3， 则 38 2 6 2 4 2 解题过程如下：由得5，将代入得 52-1， 解得：2，将2 代入得523 课外拓展不定方程趣谈一、从“百钱买百鸡”谈起 5 世纪末，我国数学家张丘建写了一本算经，书中有一道世界数学史上有名的“百钱买百鸡”题： 一只公鸡 5 元，一只母鸡
17、 3 元，三只小鸡 1 元，用 100 元想买 100 只鸡，问公鸡、母鸡和小鸡各买几只？ 如果设买公鸡 x 只，母鸡 y 只，小鸡 z 只，那么可列得方程组 （2）3（1） ，得 14x+8y=200, 即 7x+4y=100. 和两个方程组成一个有三个未知数的方程组，经过消元，化为含有两个未知数的一个方程。在方程里，如果 x 取一个值，就可以求出与它对应的 y 的一个值。例如 取 x=-2, 则 y=28.5； 取 x=0, 则 y=25； 取 x=1.6, 则 y=22.2； 取 x=4, 则 y=18； 因为是一个二元一次方程，它有无数个解，所以原方程组也有无数个解。例如 由(1)得 z=100-x-y, 取 x=-2, 则 y=28.5, 从而 z=73.5； 取 x=0, 则 y=25, 从而 z=75； 取 x=1.6, 则 y=22.2, 从而 z=76.2； 取 x=4, 则 y=18, 从而 z=78； 一般来说，未知数的个数多于方程的个数，那么它的解就不确定，所以这类方程（组）叫做不定方程（组）。但是，不定方程（组）在特定的条件下，有时可以找到它的确定的解，如“百钱买百鸡”的问题，因为鸡的只数是非负整数，所以就有四组解。二、二元一次方程的整数解
