1、数学应用题知识点列方程（组）解应用题的一般步骤、列方程（组）解应用题的核心、应用问题的主要类型大纲要求能够列方程（组）解应用题内容分析列出方程(组)解应用题的一般步骤是：1 审题：弄清题意和题目中的已知数、未知数;2 找等量关系：找出能够表示应用题全部含义的一个(或几个)相等关系;3 设未知数：据找出的相等关系选择直接或间接设置未知数4 列方程（组）：根据确立的等量关系列出方程5 解方程(或方程组)，求出未知数的值;6 检验：针对结果进行必要的检验；7 作答：包括单位名称在内进行完整的答语。一，行程问题 行 程 问 题 要 点 解 析 基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时
2、间、行程三者之间的关系。 基本公式：路程速度时间；路程时间速度；路程速度时间 关键问题：确定行程过程中的位置 相遇问题：速度和相遇时间相遇路程（请写出其他公式）追击问题：追击时间路程差速度差（写出其他公式） 流水问题：顺水行程（船速水速）顺水时间 逆水行程（船速水速） 逆水时间 顺水速度船速水速 逆水速度船速水速 静水速度（顺水速度逆水速度）2 水 速（顺水速度逆水速度）2流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。基本题型：已知路程（相遇问题、追击问题）、时间（相遇时间、追击时间） 、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求出第三个量
3、。 A BCD EF二、 利润问题 每件商品的利润=售价-进货价 毛利润=销售额-费用 利润率=（售价- 进价）/进价*100% 三、计算利息的基本公式 储蓄存款利息计算的基本公式为：利息本金存期利率 利率的换算 ： 年利率、月利率、日利率三者的换算关系是：年利率月利率12（月）日利率360（天） ； 月利率年利率12（月）日利率30（天）； 日利率年利率360（天）月利率30（天） 。 使用利率要注意与存期相一致。 利润与折扣问题的公式 利润售出价成本 利润率利润成本100%(售出价成本1)100% 涨跌金额本金涨跌百分比 折扣实际售价原售价100%( 折扣1) 利息本金利率 时间 税后利息
4、本金利率 时间(120%) 四、浓度问题 溶质的重量溶剂的重量溶液的重量 溶质的重量溶液的重量100%浓度 溶液的重量浓度溶质的重量 溶质的重量浓度溶液的重量五、增长率问题若平均增长（下降）数百分率为 x，增长（或下降）前的是 a,增长（或下降）n 次后的量是 b,则它们的数量关系可表示为：a(1+x)n =b 或 a(1-x) =bn初中阶段几个主要的运用问题及其数量关系1、行程问题基本量及关系：路程=速度时间 相遇问题中的相等关系：一个的行程+另一个的行程=两者之间的距离追及问题中的相等关系：追及者的行程被追者的行程=相距的路程顺（逆）风（水）行驶问题 顺速=V 静风（水）速逆速=V 静风
5、（水）速2、销售问题基本量：成本（进价） 、售价（实售价） 、利润（亏损额） 、利润率（亏损率）基本关系：利润=售价成本、亏损额=成本售价、利润=成本利润率 亏损额=成本亏损率3、工程问题基本量及关系：工作总量=工作效率工作时间4、分配型问题此问题中一般存在不变量，而不变量正是列方程必不可少的一种相等关系。1. (2012 年泰安市)一项工程，甲、乙两公司合作，12 天可以完成，共需付工费 102 000 元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间甲公司的 1.5 倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少 1500 元.(1)甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？(2)若让一个
6、公司单独完成这项工程，哪个公司施工费较少？解析：(1)设甲公司单独完成此工程需 x 天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x 天.根据题意，得 .解得 x=20.1.52x经检验，知 x=20 是方程的解，且符合题意，1.5x=30.答：甲、乙两公司单独完成此工程各需要 20 天、30 天.(2)设甲公司每天的施工费为 y 元，则乙公司每天的施工费为(y-1500)元.根据题意，得 12(y+y-1500)=102 000. 解得 y=5000.甲公司单独完成此工程所需施工费：205000=100 000(元)，乙公司单独完成此工程所需施工费：30（5000-1500）=105 000(元)，所
7、以甲公司的施工费较少.2. (2012 年达州市)为保证达万高速公路在 2012 年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务.已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用 10 天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用 40 天.如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前 14 天完成任务.若设规定的时间为 x 天，由题意列出的方程是（ ）A. B.1401xx 1401C. D. xx解析：工程问题通常将工程总量视为 1，设规定的时间为 x 天，则甲、乙单独完成分别需要(x+10)、(x+40)天，两队平均每天完成的工作量为 、 ；104x甲、乙合作则只需要(x-14)天，两队合作平均每天完成的工
8、作量为 ，用工作量相等可列出方程得， .故选 B.1401xx3. 为了减轻学生的作业负担，烟台市教育局规定：初中学段学生每晚的作业总量不超过 1.5 小时.一个月后，九（1）班学习委员亮亮对本班每位同学晚上完成作业的时间进行了一次通缉，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下面的问题：（1）该班共有多少名学生？（2）将的条形图补充完整.（3）计算出作业完成时间在 0.51 小时的部分对应的扇形圆心角.（4）完成作业时间的中位数在哪个时间段内？（5）如果九年级共有 500 名学生，请估计九年级学生完成作业时间超过 1.5小时的有多少人？4. （2012 娄底
9、市）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为 289 元的药品进行连续两次降价后为 256 元，设平均每次降价的百分率为 x，则下面所列方程正确的是（ ）A.289（1x） 2=256 B.256（1x） 2=289C.289（12x）=256 D.256（12x）=289解析：本题考查求平均变化率的方法.设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x） 2=b设平均每次降价的百分率为 x，则第一降价售价为 289（1x） ，则第二次降价为 289（1x）2，由题意得：289（1x） 2=256故选 A评注：对于连续两次增长或降
10、低的问题，可以直接套用式子.若初始数值为 a，连续两次增长或降低后的数值为 b，平均增产率或降低率相同，可建立方程：a(x 1)2=b5. 一艘船以 25 千米/时的速度向正北方向航行，在 A 处看灯塔 S 在船的北偏东300，2 小时后航行到 B 处，在 B 处看灯塔 S 在船的北偏东 450，求灯塔 S 到B 处的距离。0534SCA解 ： 0,2tan3SxCRA设 中 ：2350x2(6)x6. “512”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷某服装厂原有 4 条成衣生产线和 5 条童装生产线，工厂决定转产，计划用 3 天时间赶制 1000 顶帐篷支援灾区若启用 1 条成衣生产线和 2 条童装
11、生产线，一天可以生产帐篷 105 顶；若启用 2 条成衣生产线和 3 条童装生产线，一天可生产帐篷 178 顶(1)每条成衣生产线和童装生产线每天生产帐篷各多少顶?(2)工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务?如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？解：(1)设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷 x、y 顶，则32y41x7805解 得（2）由 10972)5(知，即使工厂满负荷全面转产，也不能如期完成任务可以从加班生产、改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或动员其他厂家支援等，想法尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献7. 2008 年 8 月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心
12、举行观看帆船比赛的船票分为两种：A 种船票 600 元张，B 种船票 120 元张某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票费不超过 5000 元的情况下，购买 A、B 两种船票共 15 张，要求 A 种船票的数量不少于 B 种船票数量的一半若设购买 A 种船票 x 张，请你解答下列问题：(1)共有几种符合题意的购票方案?写出解答过程；(2)根据计算判断：哪种购票方案更省钱?解：(1)根据题意，得320x55)1(6解 得所以满足条件的 x 为 5 或 6。所以共有两种购票方案：方案一：A 种票 5 张，B 种票 10 张。方案二：A 种票 6 张，B 种票 9 张。（2）方案一购票费用为 元
13、(420160方案二购票费用为 )689元所以方案一更省钱8. 某公司在 A、B 两地分别库存挖掘机 16 台和 12 台，现在运往甲、乙两地支援建设，其中甲地需要 15 台，乙地需要 13 台从 A 地运一台到甲、乙两地的费用分别是 500 元和 400 元；从 B 地运一台到甲、乙两地的费用分别是 300 元和 600元设从 A 地运往甲地 x 台挖掘机，运这批挖掘机的总费用为 y 元(1)请填写下表，并写出 y 与 x 之间的函数关系式； (2)公司应设计怎样的方案，能使运这批挖掘机的总费用最省?解：（1） 910x4)3(60)x15(30)x16(405y .因为 3x且 ，即 。又
14、 y 随 x 增大而增大，所以当 x=3 时，能使运这批挖掘机的总费用最省。运送方案是 A 地的挖掘机运往甲地 3 台，运往乙地 13 台；B 地的挖掘地运往甲地12 台，运往乙地 0 台。9. 荣昌公司要将本公司 100 吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共 6 辆，用这 6 辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物 16 吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物 18吨已知租用 1 辆甲型汽车和 2 辆乙型汽车共需费用 2500 元；租用 2 辆甲型汽车和 1 辆乙型汽车共需费用 2450 元，且同一型号汽车每辆租车费用相同(1)求租用一辆甲型
15、汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元?(2)若荣昌公司计划此次租车费用不超过 5000 元，通过计算求出该公司有几种租车方案?请你设计出来，并求出最低的租车费用解：(1)设租用一辆甲型汽车的费用是 x 元，租用一辆乙型汽车的费用是 y元，由题意，得 850yx,2450yx解 得（2）设租用甲型汽车 z 辆，由题意，得50)6(8z011解得 4。因为 z 是整数，所以 z=2 或 3 或 4所以共有 3 种方案，分别是方案一：租用甲型汽车 2 辆，租用乙型汽车 4 辆；方案二：租用甲型汽车 3 辆，租用乙型汽车 3 辆；方案三：租用甲型汽车 4 辆，租用乙型汽车 2 辆三个方案的费用依次为
16、5000 元，4950 元，4900 元，所用最低费用为 4900元答：略10. 某校八年级举行英语演讲比赛，派了两位老师去学校附近的超市购买笔记本作为奖品经过了解得知，该超市的 A、B 两种笔记本的价格分别是 12 元和 8 元，他们准备购买这两种笔记本共 30 本(1)如果他们计划用 300 元购买奖品，那么能买这两种笔记本各多少本?(2)两位老师根据演讲比赛的设奖情况，决定所购买的 A 种笔记本的数量要少于 B 种笔记本数量的 32，又不少于 B 种笔记本数量的 31，如果设他们买 A 种笔记本 n 本，买这两种笔记本共花费 w 元请写出 w(元)关于 n(本)的函数关系式，并求出自变量
17、 n 的取值范围；请你帮他们计算，购买这两种笔记本各多少时，花费最少，此时花费是多少元?解：(1)设能买 A 种笔记本 x 本，则依题意，得12x+8(30-x)=300，解得 x=15故能购买 A、B 两种笔记本各 15 本(2)依题意，得 w=12n+8(30-n)，即 w=4n+240)n30(12且 有解得 25。所以 w(元)关于 n(本)的函数关系式为 w=4n+240，自变量 n 的取值范围是1n2且 n 为整数 对于一次函数 w=4n+240因为 w 随 n 的增大而增大且 12n5，n 为整数，故当 n=8 时，w 的值最小此时 30-n=22，w=48+240=272 元故当买 A 种笔记本 8 本、B 种笔记本 22 本时，所花费用最少，为 272 元
