1、 电子科技大学UNIVERSITY OF ELECTRONIC SCIENCE AND TECHNOLOGY OF CHINA硕士学位论文MASTER THESIS（电子科技大学图标）论文题目 基于特殊结构目标的积分方程区域分解方法关键技术研究学科专业 电磁场与微波技术201121020225魏翔学 号作者姓名指导教师 胡俊 教授分类号 密级 注 1UDC学位论文基于特殊结构目标积分方程区域分解方法关键技术研究（题名和副题名）魏翔（作者姓名）指导教师 胡俊 教授成都电子科技大学（姓名、职称、单位名称）申请学位级别 硕士 学科专业 电磁场与微波技术提交论文日期 2014.03.20 论文答辩日期
2、 2014.05.29学位授予单位和日期电子科技大学 2014年 06月 23日答辩委员会主席评阅人注 1：注明国际十进分类法 UDC的类号。RESEARCH ON THE KEY TECHNOLOGY OFDOMAIN DECOMPOSITION METHOD FORINTEGRAL EQUATION BASED ON THESPECIAL STRUCTURE TARGETMaster Thesis Submitted toUniversity of Electronic Science and Technology of ChinaMajor: Electromagnetic Field
3、and MicrowaveTechnologyAuthor: Advisor:Wei XiangProf. Hu JunSchool: School of Electronic Engineering独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。作者签名： 日期： 年 月 日论文使用授权本学位论文作者完全了解电子科技大学有
4、关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。（保密的学位论文在解密后应遵守此规定）作者签名： 导师签名：日期： 年 月 日摘要摘要对于包含复杂结构和媒质的三维电大尺寸目标，特别是多尺度（Multi-Scale）目标的电磁建模并准确分析变得越来越重要。本文主要针对实际工程中的多尺度问题，系统研究了积分方程区域分解算法（ IE-DDM）。研究工作覆盖了理想金属目标，均匀无耗介质目标以及金属介质复合目标的电磁散射与
5、电磁辐射的仿真分析。对于多尺度目标，不仅研究了共形网格的区域分解方法，而且进一步研究了基于非共形网格的积分方程区域分解算法在复杂目标电磁仿真中的应用。首先，本文介绍了积分方程区域分解算法的基本原理，并描述了该算法的矩量法数值求解主要步骤。对于全金属目标，各个子区域采用混合场积分方程(CFIE)求解，对于均匀的介质目标，使用基于介质表面积分方程的广义混合场积分方程（G-CFIE）求解，而对于金属介质混合目标则采用表面 积分方程的组合方法（CFIE-G-CFIE）求解。传统积分方程区域分解算法，各相邻闭合子区域的交界面必须使用共形接触面，其网格离散难度较大。本文使用非共形接触面，以实现非共形的积分
6、方程区域分解方法，并成功应用于带有外挂系统的直升机模型电磁散射特性的求解。对于复杂多尺度结构的电磁仿真分析，区域分解算法虽然可以改良阻抗矩阵的条件数，但矩阵方程迭代求解仍然较慢。为进一步提高积分方程区域分解算法的效率，IE-DDM 充分利用了算法中各闭合独立子区域的自耦合阻抗矩阵，在原有区域分解阻抗矩阵的左侧加入预条件矩阵，改变原阻抗矩阵的条件数，调整矩阵的特征值分布，减少迭代求解次数。最后，本文提出了针对旋转体和非旋转体组合目标的区域分解算法。针对旋转对称结构子区域，使用与旋转子区域相应的基函数（BoR Basis）对旋转结构目标进行离散剖分，而对于非旋转体结构则使用 RWG基函数离散，进而
7、应用区域分解思想对此类目标进行分析。数值实验证明该方法在求解旋转体和非旋转体组合目标电磁问题上具有良好效果。关键词：积分方程区域分解算法，非共形，多尺度结构，金属介质复合目标，旋转体IABSTRACTABSTRACTThe integral equation (IE) method is a popular tool which has many importantapplications e.g. in the radar technology, antenna design and microwave engineering. Inthis paper, the surface integ
8、ral equation domain decomposition method (IE-DDM) isproposed for solving field problem of multi-scale perfect electronic conductor (PEC)object even composite object with homogeneous materials. For multi-scale object,non-conformal meshes are introduced into the IE-DDM.Firstly, the main solving steps
9、of MoM and basic principles of IE-DDM areintroduced in this paper. For the PEC target, CFIE is used in every sub-domain and forsolving dielectric object, generalized combined field surface integral equation (GCFIE)is applied. Furthermore, this paper also uses hierarchical matrix algorithm to acceler
10、atethe IE-DDM.Traditionally, the meshes on touching face of two adjacent sub-domains areconformal in integral equation domain decomposition method, but here non-conformalmeshes are applied in IE-DDM to make the algorithm more flexible. Whats more, toimprove the condition number of IE-DDM matrix equa
11、tion, a good preconditionerproduced by IE-DDM framework is used in left side of the impedance matrix equation,reducing the number of iterations.Among the practical engineering problems, analysis target is often a compositeobject with homogeneous materials. IE-DDM algorithm is also a good tool to sov
12、lingthese problemes. The complex boundary condition of touching face can be simplified byusing the transmission condition (TC) in it.Finally, a new application in IE-DDM fremwork is proposed for sovling scatteringfield from combination target of body of revolution and arbitrary structure. In BoRsubd
13、omain, the BoR basis functions are used and in non-rotating body subdomain RWGbasis functions are chosen. The Current mapping method is also applied in IE-DDMfreamwork with Gauss-Seidel method. Moreover, numerical examples demonstrate thatthe IE-DDM is available for solving this problem.Keywords: Su
14、rface Integral Equation Domain Decomposition Method, Non-ConformalMeshes, Multi-Scale, Composite Objects, Body of RevolutionII目录目录第一章绪论 11.1研究工作的背景与意义11.2国内外研究历史与现状21.3本文的主要贡献与创新51.4本论文的结构安排6第二章频域积分方程基础 72.1引言72.2表面积分方程72.2.1电场积分方程72.2.2磁场积分方程82.3矩量法原理92.3.1矩量法的数学表述92.3.2几何建模102.3.3基函数与权函数112.4阻抗矩阵的
15、计算122.4.1阻抗矩阵元素的奇异性处理122.4.2阻抗矩阵的求解132.6本章小结14第三章金属目标非共形积分方程区域分解方法 153.1引言153.2积分方程区域分解原理153.3积分方程区域分解矩量法分析183.3.1区域分解矩阵方程183.3.2区域分解传输条件203.3.3非共形插值方法203.4基于叠层矩阵加速的 IE-DDM 223.4.1 H矩阵原理 .223.4.2 H矩阵加速 IE-DDM263.5数值算例27III目录3.6本章小结30第四章金属介质复合目标区域分解方法 314.1引言314.2金属介质复合目标分析314.3金属介质复合目标 IE-DDM 334.3.
16、1介质目标广义混合积分方程方法334.3.2金属介质复合目标 IE-DDM原理364.4数值算例384.5本章小结42第五章旋转体与非旋转体组合目标区域分解方法 435.1引言435.2旋转体目标分析435.2.1旋转体基函数445.2.2旋转体目标矩量法455.3旋转体与非旋转体组合目标分析475.3.1组合目标 IE-DDM原理475.3.2旋转体与非旋转体电流映射485.4数值算例495.5本章小结53第六章全文总结与展望 54致谢 56参考文献 57攻读硕士学位期间取得的成果 62IV第一章绪论第一章绪论1.1研究工作的背景与意义随着电子科学技术在各个领域的广泛应用与快速发展，电子设备
17、的电磁特性仿真分析在当今的实际工程中，显得越来越重要。然而对于复杂系统的电磁特性分析，使用传统的解析方法和简单的数值仿真无法实现，且通过实验测试获得的数据往往会受到测试设备以及测试环境的影响，无法获得精确地结果，并导致优化设计所需时间周期长，特别是外场测试，所需大量的人力物力，致使经济成本高昂。自二十世纪九十年代以来，随着电磁学领域数值方法的迅速发展，大量基于此的电磁仿真商用软件投入市场。例如 CST, FEKO, HFSS, ADS等软件，使得如今电子系统的构建更加便捷，不仅极大地节约了设计调试成本，缩短了设计周期，而且大大提高了设计精度和可靠程度。可以说，电子科学技术乃至其他许多相关行业领
18、域的发展，越来越依赖于工程系统电磁特性的数值模拟和仿真。例如在多种微波发射接收端如天线的设计时，数值仿真能够实现快速精确计算天线辐射方向图、增益、输入阻抗以及 S参数等；在电大尺寸目标的雷达散射截面（Radar CrossSection, RCS）数值分析中，目前也已经能够成功分析具有上千个波长的飞行器、舰艇、导弹等模型；在无线电物理方面，能够研究电磁场和波及其与物质相互作用，发展信息传输和处理的新理论。另外在其他科学研究领域，包括地球物理探测，微波电路的仿真设计分析，生物医学诊断，现代通信、遥感，电磁兼容等，系统电磁特性分析都起到了至关重要的作用。然而微波技术的不断发展使实际工程项目对电磁仿
19、真算法提出了越来越高的要求。从以往简单的单元器件电磁仿真发展到阵列乃至系统级别的多物理场分析，而分析的器件模型也由简单的理想模型发展到拥有复杂结构的实际器件，特别是具有复杂电磁特性材料在工程中的广泛应用，这些发展都对计算电磁分析方法提出了更高的要求和更严峻的挑战。例如在电大尺寸目标的 RCS计算时，以往我们只考虑简化的全金属飞行器模型，许多对目标散射有重要影响的精细结构，诸如机载天线阵列及进气道并没有考虑其中；对于微波器件的仿真设计，不仅要考虑其本身包含的复杂材料和精细结构，还应有平台、载体，乃至整个系统对其的影响。诸如此类的现实需求，采用传统的电磁计算方法难以获得可靠的仿真结果，其原因包含多
20、个方面，一是由于电磁频率应用范围的升高，材料的电磁属性会呈现全新的特征，而目标本身精细结构对系统的电磁特性的影响也越发巨大，目标的几何剖分需要更精细的网格才能保证计算精度，导致待求解问题未知量庞大，1电子科技大学硕士学位论文计算资源耗费也急剧增加，如涂有雷达吸波材料的隐身飞机，THz频率下的微波器件等。二是许多新的加工工艺发明，导致电子系统的复杂程度和集成程度产生跨越式变化。精确模拟整个求解系统会导致多尺度网格的存在，如微波集成电路、基片集成波导等。除此之外，在工程分析中，诸如电磁兼容电磁屏蔽系统测试，电路电源和信号的完整性分析，电法测井中的电磁响应分析，大型天线阵列的仿真设计等等，都存在多尺
21、度问题（Multi-Scale Problem），这些都是实际中经常遇到却又难以用现有计算方法解决的重要问题，迫切需要能够对此进行高效精确地仿真分析的快速算法。1.2 国内外研究历史与现状在经典电磁理论中，电磁波的辐射与传播可以归结为电磁波的场、源和媒质的相互作用。通过引入位移电流，英国物理学家 Maxwell在 1864年提出了麦克斯韦方程组（Maxwells Equations），建立了经典的 电磁学理论。电磁分析与电磁计算作为电磁学研究的重要领域，通过求解麦克斯韦方程组，结合边界条件以获得所求解区域或者目标的场或电流分布情况。自十九世纪末至二十世纪初，解析方法（Analytic Meth
22、ods）是主要的电磁计算方法，主要对各种经典的电磁学理论模型进行求解，包括著名的散射场 Mie级数解，瑞利导波解，无限半空间的索末菲解（Sommerfeld Solution），索末菲积分以及德拜位等。由于解析方法无法满足实际复杂的科学和工程分析需要，扰动（Perturbation）和近似方法（Asymptotic Methods）在二十世纪五十至七十年代被广泛应用于较复杂目标的求解，如建立在麦克斯韦微分方程基础上几何光学理论（Geometrical Optics, GO）、几何绕射理论（Geometrical Theory of Diffraction,GTD）、一致性绕射理论（Unifor
23、m Geometrical Theory of Diffraction, UTD）以及建立在积分方程基础上的物理光学法（Physical Optics, PO）与物理绕射理论（PhysicalTheory of Diffraction, PTD）等。当电磁波频率处在较高频段时，此类方法模拟了电磁波在目标局部的反射和绕射特性，但由于近似方法不能准确处理复杂目标和只能计算远场的缺点，极大地限制了它的应用。自二十世纪六十年代，随着计算机技术的迅速发展，数值方法在计算电磁学领域取得了令人瞩目的成果。由于数值方法不依赖于求解模型，能够求解各类复杂的电磁问题，且计算精度高，通用性强，因此获得了广泛应用：如
24、基于微分方程的有限差分法（ Finite DifferenceMethod，FDM ）1,2，有限元法（Finite Element Method，FEM ）3,4与基于积分方程的矩量法（Method of Moment, MoM）5,6等。此类方法都是对麦克斯韦方程的不同形式进行离散，得到一系列矩阵方程，通过对矩阵方程的求解获得电磁分析的2第一章绪论结果。其中微分方程方法会产生稀疏矩阵，易于存储与计算，但待求未知量庞大，且存在色散误差，方程求解收敛较慢；而与之相对的积分方程方法只需对待求区域表面或者区域本身进行网格离散剖分，通过格林函数作用实现场源关系，具有计算精度高的特点。但积分方程离散后
25、得到的是稠密矩阵，导致矩阵进行矩矢相乘的计算存储复杂度较大（O(N2)），如果采用直接方法求解矩阵方程其复杂杂度为O(N3)，而迭代方法也有 O(N2)的复杂度。二十世纪九十年代以来，随着许多基于积分方程的快速算法出现，大大提高了积分方程数值计算能力和效率，使该方法计算电大目标成为可能。根据模型特点，可以利用线性系统的性质加速矩矢相乘。此类算法往往依据快速傅里叶变换方法（Fast Fourier Transform，FFT ），利用均匀网格下阻抗矩阵的拓普利兹（Toeplitz）特性，加速矩矢相乘，从而将计算复杂度和内存消耗降低到 O (NglogNg)，其中 Ng是空间网格的格点数。此类方法
26、的代表有共轭梯度快速傅里叶变换方法（ ConjugateGradient Fast Fourier Transform, CG-FFT）7，自适 应积分方法（Adaptive IntegralMethod, AIM）8 ，预修正快速傅里叶 变换方法（Precorrected Fast Fourier Transform,P-FFT）9和 积分方程快速傅里叶变换方法（Integral Equation Fast Fourier Transform,IE-FFT）10等。1989年，美国耶鲁大学的 V. Rokhlin 提出快速多极子方法（FastMultipole Method, FMM）11-
27、13用以求解静电问题中的泊松方程。该算法基于加法定理，将格林函数在角谱空间中展开，实现迭代求解时矩矢相乘的快速计算。为了更好的解决电大尺寸目标的计算问题，许多学者在快速多极子的基础上进行改进与发展，其中美国伊利诺伊大学学者 W. C. Chew领导的课题组成功发展多层快速多极子算法（Multilevel Fast Multipole Algorithm, MLFMA）14-17，将传统矩量法的存储复杂度和计算复杂度降低到 O(NlogN)。而基于该算法开发的 FISC软件(Fast Illinois Solver Code)，也成功求解了具有千万未知量的电大目标散射问题，使MLFMA的能力得到
28、公 认 。另外，基于远场阻抗矩阵的秩亏（Rank-deficient ）特性，许多线性代数中的方法也被引入积分方程矩阵处理之中，用以减少对内存的消耗，如 QR分解，SVD 分解，自适应交叉近似方法（Adaptive Cross Approximation, ACA）18,19以及叠层型矩阵（Hierarchical Matrix）20-22等。因为此类方法不依赖于积分核与积分方程的表达式，容易移植到的各类程序中，而得到广泛应用。然而，在实际工程分析中，所求解目标不仅拥有庞大的未知量，且求解目标结构复杂，具有多尺度特性。对于其中光滑结构，剖分网格均匀，而对具有电小尺寸的精细结构，网格要依赖其几何
29、模型进行精细剖分。当电磁波波长量级与网格尺寸相当时，波动物理（Wave Physics）起主要作用，而当电磁波波长量级远大于网格尺寸时，则符合电路物理（Circuit Physics）理论。由于这两种物理过程的3电子科技大学硕士学位论文特征值分布和特征值矢量相差很大，导致系统的阻抗矩阵性态很差，传统的迭代方法求解很难得到正确的结果。因此，寻找可快速高效求解多尺度问题的数值算法显的越来越重要。目前用于分析多尺度问题的数值方法主要有有限元法、有限差分法、积分方程方法以及它们的混合方法，其中积分方程方法对于多尺度电磁问题的研究23-25，最引人注目。在对电场积分方程算子的研究中，人们利用电场积分方程
30、（ EFIE）算子所具有的“自规范性 ”，提出使用算子本身 对其进行预处 理，改善算子自身所具有的谱性质。这种预条件的有效性是通过 Caldern恒等式来保证，它是一种近似解析方法的预条件26，用以实现电场积分方程的特性改善，称为 Caldern预条件。该方法最早是由 S. H. Christiansen和 J. C. Ndlec 在 2002年提出,并经过 R.J.Adams 等学者进一步发展。2007年以来，F. P. Andriulli, E. Michielssen等人利用对偶有限元空间理论，成功寻找到与传统 RWG基函数对偶的新型子域基函数Buffa-Christiansen基函数2
31、7 ，将原有的嵌套式算子转化为矩阵相乘形式。这种多个矩阵相乘的方式极大地简化了预处理过程，并使得电场积分方程的矩阵条件数不随网格剖分情况，如网格密度、网格均匀程度变化而变化。对于各类复杂的电磁问题，通过引入 Caldern预条件，均能得到极好的收敛效果，因而也引起了学术界的广泛关注。此后，经过一系列的研究，学者们又相继发展出了克服低频崩溃的低频Caldern预条件28、加速时域方法的时域Caldern预条件及介质Caldern预条件29、高阶 Caldern预条件等。虽然 Caldern预条件能实现复杂目标电磁问题从低频到中频的高效快速收敛，但是需要构造复杂的 BC基函数，所以该方法在求解问题
32、过程中的计算资源消耗比传统矩量法多。区域分解方法，是使用分而治之思想解决问题的方法。它是对求解目标整体进行分区，将复杂多尺度求解区域，依据其物理或电磁特性划分为多个闭合子区间单独求解，然后利用子区间的传输条件实现各个区域的相互耦合，最后得到原问题的解。区域分解方法具有两大优势：其一，是可以将复杂目标划分为简单的易求解子区域，这样不仅可以保证每个子区域拥有相对少的未知量，而且还可以保证网格剖分密度均匀，使阻抗矩阵拥有较好的条件数，实现问题的快速收敛；其二，由于每个子区域处于独立求解空间，可根据求解区域特点选用不同的加速方法快速求解，且容易实现并行计算，使大型系统电磁仿真分析快速实现成为可能。早在
33、十九世纪七十年代，德国数学家 H. A. Schwarz30 便提出区域分解方法用以论证两个相互重叠的和集上的拉普拉斯方程（ Laplace Equations ）和狄里克莱（Dirichlet）问题，但并未得到广泛推广。直至二十世纪八九十年代，伴随着计算机科学技术的不断革新，特别是并行技术的推广，使区域分解方法再次受到关注。4第一章绪论B. Despres31首先引入了 Robin 类型传输条件用以求解 Helmholtz方程和 Maxwell方程，将之前的重叠型区域分解发展成为非重叠型区域分解。之后，B. Stupfel进一步发展了 B. Despres的理 论，不仅在有限元中使用区域分解
34、求解二 维电磁散射问题，又采用新的“洋葱式”分区方式加速迭代的收敛速度，求解三维矢量电磁散射问题。与此同时，C.T. Wolfe与 J.-M. Jin 等人提出并改进了有限元分裂与互连（Finite-Element Tearing and Interconnecting, FETI）32算法，采用二阶传输条件以解决 Robin 传输条件存在的凋落模问题，改善了区域分解的收敛特性。在有限元与有限差分领域，区域分解方法已经成功实现，而在积分方程领域，对于区域分解方法的研究也越来越受到学者们的关注。最早由华人数学家 G. C.Hsiao等在理 论上推导了基于局部 Dirichlet-Neumann映
35、射的积分方程区域分解。之后又有学者提出边界元分裂与互连（Boundary Element Tearing and Interconnecting,BETI）方法与基于等效原理的积分方程区域分解方法。2006年，美国伊利诺伊大学的 Weng Cho Chew教授提出了基于积分方程区域分解的等效原理算法（Equivalence Principle Algorithm, EPA）33。等效原理算法基于惠更斯理论，使用一个虚拟的闭合面将目标包围起来，用虚拟面上的电磁流表征闭合区域内部场。另外，V. Lancellotti 与 G. B. Xiao等学者分别发展出了类似于等效原理思想的 LEGO（Lin
36、ear Embedding via Greens Operators）方法与 GTM （Generalized TransitonMatrix）方法。2011年，俄亥俄州立大学的学者 Z. Peng和 J.-F. Lee 推导出基于积分方程的非重叠型区域分解算法（Integral Equation Domain Decompostiton Method,IE-DDM）34,35，用以求解复杂多尺度目标的电磁特性，进而在区域分解的框架之下求解介质组合目标，并提出了基于广义混合场积分方程（Generalized CombinedField Integral Equation, G-CFIE）的区域
37、分解。在国内，南京理工大学、西安电子科技大学和电子科技大学的研究小组也对积分方程区域分解方法进行了详细深入的研究。1.3 本文的主要贡献与创新本论文基于区域分解思想，研究了积分方程区域分解方法在求解特殊结构目标电磁问题中的应用。研究内容包括非共形积分方程区域分解方法，以及该框架下求解金属介质复合目标以及旋转体与非旋转体组合目标的电磁辐射散射问题。本文的主要贡献如下：1.详细介绍了积分方程区域分解方法的基本原理，推导了积分方程区域分解进行矩量法数值求解的过程。对于理想全金属目标，研究了基于金属表面混合场积分方程（CFIE）的区域分解方法。5电子科技大学硕士学位论文2.将非共形网格应用于相邻子区间
38、接触面，使用非共形基函数插值方法计算区域分解的传输条件，实现可简化目标建模与改善阻抗矩阵条件数的非共形积分方程区域分解（NonConformal IE-DDM ）。3.对于金属介质复合目标，首先实现了基于介质目标表面积分方程的广义混合场积分方程（ G-CFIE）,并在区域分解的框架下，与金属表面混合 场积分方程（CFIE ）结合用以成功求解金属介质复合目标的电磁问题。4.对于旋转体与非旋转体组合目标，将不同基函数（BoR与 RWG）的组合应用于区域分解。详细推导了旋转体子区域与非旋转体子区域组合下的区域分解公式，并使用电流映射技术实现了目标 BoR电流和非旋转体 RWG电流的转换。1.4 本论
39、文的结构安排本文的章节结构安排如下：第一章是绪论，首先简单介绍了当前电磁学数值仿真领域的研究状况以及在解决复杂电子系统的电磁仿真问题时所面临的挑战。然后介绍了电磁学数值方法的发展历程，重点介绍了与区域分解思想相关的算法的发展历史与现状。最后介绍了本文的研究工作内容、创新点和全文结构安排。第二章简单介绍了矩量法的基本原理，并以理想金属目标为例，推导了 PEC边界条件下的 EFIE和 MFIE方程，且简述了阻抗元素精确计算过程中的关键技术。第三章首先简述了积分方程区域分解方法的原理，并推导了矩量法层面IE-DDM的基本公式。然后又通过非共形网格的插值技术，推导了非共形区域分解下的传输条件公式，以实
40、现非共形积分方程区域分解。第四章，首先简述了求解金属介质复合目标电磁特性的困难，并使用区域分解框架求解此类问题，可以简化目标建模以及对不同介质接触面的处理。然后详述了基于介质表面积分方程的广义混合场积分方程（ G-CFIE ）方法，并与 CFIE结合，最终成功实现在区域分解框架下的金属介质复合目标电磁特性的数值分析。第五章研究了针对旋转体和非旋转体组合目标的区域分解方法。首先针对旋转体目标的特殊结构，推导了基于 BoR基函数的积分方程公式，然后利用区域分解的框架，推导了旋转体和非旋转体组合目标的区域分解方法，并实现该算法。最后一章对全文工作进行总结，并对下一步研究工作做了展望。6第二章频域积分
41、方程基础第二章频域积分方程基础2.1 引言电磁分析中数值方法的出现，使许多解析方法很难求解的复杂问题可以在借助计算机技术的情况之下获得问题的精确解。电磁规律有许多种数学表达形式，它们虽然原则上等价，但数值特性差异极大。根据不同的数学表达式：矢量偏微分方程，矢量波动方程，矢量积分方程，与之相对的数值方法：时域有限差分法（FDTD），有限元法（FEM），矩量法（MoM ），被广泛应用于电磁学数值分析之中36-38 ，其中基于 积分方程的矩量法未知量只定义于待求区域，未知量少、计算精度高，成为较为重要的计算电磁学方法。2.2 表面积分方程积分方程的具体表达因问题而异，但其依据原理和构建过程大体相同。
42、依据等效原理以及场源关系，积分方程通过求解源来分析电磁辐射和散射问题。下面讨论任意结构理想导体（PEC）目标的积分方程建立。图 2-1 平面波照射理想金属目标2.2.1 电场积分方程如图 2-1 ，当入射电场 E照射理想导体目标，在 导体表面形成感应电流incJ，同时感应电流会在自由空间产生散射场 E。s+ E s)n = 0(E inc (2-1)( )已知散射场 Es (r) = jA(r)(r)，其中 A r为矢量磁位(r)为标 量电位，根据金属表面电场边界条件(2-1)，切向电场为零，可得(2-2)：( )n( ( ) jA r r n = E inc (2-2)7电子科技大学硕士学位
43、论文( )利用自由空间格林函数G r,r 及场源关系将(2-2) 展开，得到金属目标表面的电场积分方程（EFIE）： J(r )+ 1 (J(r ) G(r,r )dr n = E n jk0 inc (2-3) k 2其中0为自由空间波阻抗，约 377 。( )此处可定义积分算子 L J(r ) (2-4)，1 L J(r ) = jk( J(r )+ (J(r ) G(r,r )dr (2-4)(2-5) 2 k将(2-3)简写为(2-5)：0L(J(r )n = Eninc方程的右端激励项是入射电场，为均匀平面波，其表达式为：inc = Ee jkr E =1Ek = k(sin i c
44、osi e x + sini sin i e y + cosi e z) (2-6) i iinc = (cosy + siny )e jkrE 其中y是极化角，与是球坐 标系单位矢量。2.2.2 磁场积分方程类似的，假设入射磁场为 Hinc ，利用金属表面的磁场边界条件 (2-7)可得磁场积分方程。n(H inc + Hs ) = J (2-7)(2-8)J(r )G(r,r )dr + H s(r) = K(J) = 4 J(r)nSS0( ) ( )同样利用自由空间格林函数G r,r 、场源关系以及矢量磁位 A r对(2-7)进行( )展开，可得金属目标的磁场积分方程（MFIE），其中
45、J r为积分项主值：12 G(r,r )J (r )dr = n H incJ (r) n SS0(2-9)( )类似式(2-4)，此处定义算子 K J(r ) (2-10)，( ( ) J r G(r,r )dr ( )K J r = (2-10)SS0于是(2-9)亦可简写为(2-11)8第二章频域积分方程基础12 n H incJ (r) ( ( ) = n K J r (2-11)(2-12)磁场积分方程的右端激励项是入射磁场，其表达式为：inc = 1 k E inc = k(cosy + siny )e jkr i1 iH 其中y是极化角，与是球坐 标系单位矢量。由上公式可知，电场
46、积分方程为第一类弗雷德霍姆积分方程，它不受物体结构限制，可以准确分析任意结构的目标，但求解闭合结构目标时会遇到谐振问题；而磁场积分方程属于第二类弗雷德霍姆积分方程，它不能够分析无厚度目标。为克服电场积分方程内谐振问题，使用混合场积分方程（CFIE）(2-13)，以避免谐振。CFIE : EFIE +(1)MFIE :01 (2-13)其中为组 合因子，通常选 0.20.5。2.3 矩量法原理简而言之，对积分方程的数学表达式进行离散化求解的方法称为矩量法 39 。其基本原理是将整个求解区域离散为许多不连续的子域，定义在子域上的未知量使用待求系数和定义的基函数的乘积表示，然后根据伽略金（Galer
47、kin）方法对原积分方程进行测试，得矩阵方程，并通过求解这一矩阵方程获得解。2.3.1 矩量法的数学表述如下所示算子方程：L( f (x) = g(x) (2-14)( ) ( )式中 L为线性算子， f x是未知函数，g x为算子激励。使用矩量法求解该算子( ) ( )方程时，需要对待求的未知函数 f x进行子域展开(2-15)，其中展开函数bj x被称为基函数（Basis Function）， a j为展开系数，N为基函数个数。Nf (x) f (x) = a jbj (x) (2-15)j=1( )于是，对原问题中无限维自由度的未知函数 f x的求解被近似成对自由度为 N的( )f x的
48、展开系数 a j的求解。此 处定义内积公式(2-16)：w, f =sw(x) f (x)dx (2-16)此时将式(2-15)代入(2-14)，得到：9电子科技大学硕士学位论文N ( ( ) ( )a L b x = g x (2-17)j jj=1( )另选择适当的测试函数（testing function）ti x ,(i =1,., N)对上式两端做内积测试，可得到 N个线性无关的方程(2-18)，得到待求解矩阵(2-19)。Nti, a L b x ( ( ) = ti, g(x) (2-18)(2-19)j jj=1Z I =V其中矩阵元素为 Z ij，右端激励元素vi， ai 为待求量。( ( )Zij = ti, L b x (2-20)(2-21)(2-22)jI =(a1,., aN )( )vi = ti, g x至此，算子方程(2-14)被离散成矩阵方程(2-19) 进行求解。当使用矩量法求解电磁场积分方程时，格林函数致使阻抗矩阵为满秩矩阵，其存储复杂度为 O (N2)，如果采用直接方法求解其复杂度为 O(N3)，而迭代方法也有 O(N2)的复杂度。2.3.2 几何建模矩量法是将待求解区域离散为许多
