2018届高三数学一轮复习 第八章 立体几何 文（课件+习题）（打包10套）.zip

1第一节 空间几何体及其三视图、直观图A 组 基础题组1.充满气的车轮内胎可由下面哪个平面图形绕轴旋转而成( )2.如图是某几何体的三视图,则其几何体可由下列哪两种几何体组合而成( )A.两个长 方体 B.两个圆柱C.一个长方体和一个圆柱 D.一个球和一个长方形3.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图,边 AB 平行于 y 轴,BC,AD 平行于 x 轴.已知四边形ABCD 的面积为 2 cm2,则原平面图形的面积为( )2A.4 cm2 B.4 cm2 C.8 cm2 D.8 cm22 24.(2016 江西南昌一模)如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,点 P 是平面 A1B1C1D1内一点,则三棱锥 P-BCD的正视图与侧视图的面积之比为( )A.1∶1 B.2∶1 C.2∶3 D.3∶25.(2016 湖南四县 3 月模拟)正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E 为棱 BB1的中点(如图),用过点 A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为( )26.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为( )7.某几何体的三视图如图所示,这个几何体的直观图可以是( )8.在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球,钢球恰与棱锥的四个面都接触,过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是( )9.已知某几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图都是矩形,俯视图是正方形,在该几何体上任意选择4 个顶点,以这 4 个点为顶点的几何体的形状给出下列命题:①矩形;②有三个面为直角三角形,有一个面为等腰三角 形的四面体 ;③两个面都是等腰直角三角形的四面体.其中正确命 题的序号是( )3A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②10.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体侧视图的面积为( )A.2+ B.1+ C.2+2 D.4+3 3 3 311.若一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的 四个面中, 直角三角形的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.412.(2016 海南文昌中学模拟)一个棱锥的三视图如图所示,则这个棱锥的四个侧面中面积最大的侧面的面积是( )A. B.6 C.6 D.1092 2B 组 提升题组13.一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图所示,则截面可能是( )4A.①③④ B.②④ C.①②③ D.②③④14.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示,俯视图是边长为 2 的正三角形,侧视图是有一条直角边长为2 的直角三角形,则该三棱锥的正视图可能为( )15.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( )A.1 B. C. D.22 316.已知正三棱锥 V-ABC 的正视图 、俯视图如图所示,它的侧棱 VA=2,底面的边 AC= ,则由该三棱锥得3到的侧视图的面积为( )A. B. C. D.34 334 32 317.已知四棱锥 P-ABCD 的三视图如图所示,则四棱锥 P-ABCD 的四个侧面中面积 最大的是( )A.6 B.8 C.2 D.35518.(2016 湖南株洲二中月考)下图是一个几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是( )A.4 B.5 C.3 D.32 319.(2015 山西康杰中学 3 月模拟)已知某锥体的正视图和侧视图如图所示,其体积为 ,则该锥体的俯233视图可能是( )6答案全解全析A 组 基础题组1.D 根据充满气的车轮内胎知,它可由 D 选项中的平面图形绕轴旋转而成,故选 D.2.C 由三视图可知,该几何体上部分为一圆柱,下部分为一长方体,故选 C.3.C 依题意可知∠BAD=45°,则原平面图形为直角梯形,其上、下底边的长与 BC、AD 相等,高为梯形ABCD 的高的 2 倍,所以原平面图形的面积为 8 cm2.24.A 根据题意,得三棱锥 P-BCD 的正视图与侧视图都是三角形,且它们的面积相等,故三棱锥 P-BCD 的正视图与侧视图的面积之比为 1∶1.5.C 过点 A,E,C1的截面为 AEC1F,如图,则剩余几何体的左视图为选项 C 中的图形.故选 C.6.C 从图形的左边向右边看,看到一个矩形的面,且在面上有一条从左下到右上的对角线,故选 C.7.D A,B 的正视图不符合要求,C 的俯视图显然不符合要求,故选 D.8.B 由于球与侧棱不相交,因此截面图中截面圆不可能与三角形的三条边都相切,排除 A、D,又圆锥的高一定过球心,因此在截面图中三角形的高一定过截面圆的圆心,排除 C,故选 B.9.D 由三视图可知,该几何体是正四棱柱,作出其直观图,如图,当选择的 4 个点是 B1,B,C,C1时,可知①正确;当选择的 4 个点是 B,A,B1,C 时,可知②正确;易知③不正确,故选 D.10.D 依题意可得,该几何体的侧视图的面积等于 22+ ×2× =4+ .12 3 311.D 如图,由三视图可知,该三棱锥中,△BCD 是直角三角形,CD⊥BC,且 AB⊥平面 BCD,则△ABC、△ABD是直角三角形;由 CD⊥BC,CD⊥AB,且 AB∩BC=B,知 CD⊥平面 ABC,所以 CD⊥AC,所以△ACD 也是直角三角形,故选 D.12.C 由三视图知,该几何体是四棱锥 P-ABCD,如图,7其中 PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是矩形,则 PD⊥BC,又 BC⊥CD ,PD∩DC=D,所以 BC⊥平面 PCD,从而 BC⊥PC,同理,BA⊥PA,由三视图给出的尺寸,知 PD=AD=3,CD=4,所以 S△PDC = ×4×3=6,S△PAD = ×3×3= ,又 PC=12 12 92=5,所以 S△PBC = ×3×5= ,又 PA= =3 ,所以 S△PAB = ×3 ×4=6 ,故选 C.𝑃𝐷2+𝐷𝐶212 152 𝑃𝐷2+𝐴𝐷2 2 12 2 2B 组 提升题组13.C 考虑过球心的正方体截面位置的可能情形.当截面平行于正方体的一个侧面时得③,当截面过正方体的体对角线时得②,当截面不平行于任何侧面,也不过对角线时得①,但无论如何都不能截出④.14.C 当正视图为等腰三角形时,高应为 2,且应为虚线,排除 A,D;当正视图是直角三角形时,由条件得一个直观图如图所示,中间的线是 PA 形成的投影,应为虚线,故选 C.15.C 根据三 视图,可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥 V-ABCD,其中 VB⊥平面 ABCD,且底面 ABCD是边长为 1 的正方形,VB=1.可知四棱锥中最长棱为 VD.连接 BD,易知 BD= ,在 Rt△VBD 中,VD=2= .𝑉𝐵2+𝐵𝐷2 316.B 由题意知该三棱锥的侧视图如图所示,且边长为 ,高为 ,故侧视图的面积为 × × = .故选32 3 12 32 3334B.17.A 四棱锥如图所示,其中,平面 PDC⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是矩形,△PDC 是等腰三角形,作 PN⊥DC于点 N,则 PN= = ,易证 BC⊥平面 PDC,所以 BC⊥PC,同理,AD⊥PD.设 M 为 AB 的中点,连接 PM,MN,32-22 5则 PM⊥AB,且 PM=3,所以 S△PAB = ×4×3=6,又 S△PDC = ×4× =2 ,S△PBC =S△PAD = ×2×3=3,所以四棱锥12 12 5 5 12P-ABCD 的四个侧面中面积最大的是 6.818.D 作出直观图如图所示,通过计算可知 AF 最长且|AF|= =3 .|𝐵𝐹|2+|𝐴𝐵|2 319.C 由正视图得该锥体的高 h= = ,因为该锥体的体积为 ,所以该锥体的底面面积是 S= =22-12 323323313ℎ=2,A 项的正方形的面积是 2×2=4,B 项的圆的面积是 π×1 2=π,C 项的大三角形的面积是 ×2×2=2,D23333 12项不可能是该锥体的俯视图,故选 C.1第三节 空间点、 直线、平面之间的位置关系A 组 基础题组1.下列说法正确的是( )A.若 a⊂α,b⊂β,则 a 与 b 是异面直线B.若 a 与 b 异面,b 与 c 异面,则 a 与 c 异面C.若 a,b 不同在平面 α 内,则 a 与 b 异面D.若 a,b 不同在任何一个平面内,则 a 与 b 异面2.已知空间中有三条线段 AB,BC 和 CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线 AB 与 CD 的位置关系是( )A.AB∥CDB.AB 与 CD 异面C.AB 与 CD 相交D.AB∥CD 或 AB 与 CD 异面或 AB 与 CD 相交3.设 A、B、C、D 是空间中四个不同的点,下列命题中,不正确的是( )A.若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面B.若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线C.若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BCD.若 AB=AC,DB=DC,则 AD⊥BC4.若 空间三条直线 a,b,c 满足 a⊥b,b⊥c,则直线 a 与 c( )A.一定平行B.一定相交C.一定是异面直线D.平行、相交或异面5.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )A.l1⊥l 2,l2⊥l 3⇒l1⊥l 3B.l1⊥l 2,l2∥l 3⇒l1⊥l 3C.l1∥l 2∥l 3⇒l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共点⇒l 1,l2,l3共面6.如图,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中既与 AB 共面又与 CC1共面的棱有 条. 7.对于空间三条直线,有下列四个条件:①三条直线两两相交且不共点;②三条直线两两平行;③三条直线共点;④有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交.其中使三条直线共面的充分条件是 . 28.空间四边形两对角线的长分别为 6 和 8,所成的角为 45°,连接各边中点所得四边形的面积是 . 9.如图所示,在四面体 ABCD 中作截面 PQR,若 PQ、CB 的延 长线交于点 M,RQ、DB 的延长线交于点N,RP、DC 的 延长线交于点 K.求证:M、N、K 三点共线.10.如图所示,A 是△BCD 所 在平面外的一点,E,F 分别是 BC,AD 的中点.(1)求证:直线 EF 与 BD 是异面直线;(2)若 AC⊥BD,AC=BD,求 EF 与 BD 所成的角.B 组 提升题组11.(2015 广东,6,5 分)若直线 l1和 l2是异面直线,l 1在平面 α 内,l 2在平面 β 内,l 是平面 α 与平面β 的交线,则下列命题正确的是( )A.l 与 l1,l2都不相交B.l 与 l1,l2都相交C.l 至多与 l1,l2中的一条相交D.l 至少与 l1,l2中的一条相交12.如图,ABCD-A 1B1C1D1是长方体,O 是 B1D1的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M,则下列结论正确的是( )A.A,M,O 三 点共线 B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O 不共面 D.B,B1,O,M 共面313.如图,在三棱锥 A-BCD 中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点 M,N 分别为 AD,BC 的中点,则异面直线 AN,CM所成的角的余弦值是 . 14.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E、F 分别为 D1C1、C 1B1的中点,AC∩BD=P,A 1C1∩EF=Q.(1)求证:D、B、F、E 四点共面;(2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点,求证:P、Q、R 三点共线.15.如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,D 是 PC 的中点.已知∠BAC= ,AB=2,AC=2 ,PA=2.𝜋2 3(1)求三棱锥 P-ABC 的体积;(2)求异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值.4答案全解全析A 组 基础题组1.D 由异面直线的定义可知选 D.2.D 若三条线段共面,则直线 AB 与 CD 相交或平行;若三条线段不共面,则直线 AB 与 CD 是异面直线.3.C 若 AB=AC,DB=DC,AD 不一定等于 BC,C 不正确.4.D 当 a,b,c 共面时,a∥c;当 a,b,c 不共面时,a 与 c 可能异面也可能相交.5.B A 选项,l 1⊥l 2,l2⊥l 3,则 l1与 l3的位置关系 可能是相交、平行或异面;B 选项正确;C 选项,l1∥l 2∥l 3,则 l1,l2,l3可能共面,也可能不共面;D 选项不正确,如长方体中共顶点的三条棱所在直线,这三条直线不共面.6. 答案 5解析 与 AB 和 CC1都相交的棱有 BC;与 AB 相交且与 CC1平行的棱有 AA1,BB1;与 AB 平行且与 CC1相交的棱有 CD,C1D1.故符合条件的有 5 条.7. 答案 ①④解析 易知①中的三条直线一定共面;三棱柱三侧棱两两平行,但不共面,故②不符合;三棱锥三侧棱交于一点,但不共面,故③不 符合;④中两条直线平行可确定一个平面,第三条直线和这两条直线都相交,则第三条直线也在这个平面内,故三条直线共面.8. 答案 6 2解析 如图,已知空间四边形 ABCD,对角线 AC=6,BD=8,易证四边形 EFGH 为平行四边形,∠EFG 或∠FGH为 AC 与 BD 所成的 45°角,故 S 四边形 EFGH=3×4sin 45°=6 .29. 证明 ∵M∈直线 PQ,直线 PQ⊂平面 PQR,M∈直线 BC,直线 BC⊂平面 BCD,∴M 是平面 PQR 与平面 BCD 的一个公共点,即 M 在平面 PQR 与平面 BCD 的交线上.同理可证:N、K 也在平面 PQR 与平面 BCD 的交线上.又如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,故 M、N、K 三点共线.10. 解析 (1)证明:假设 EF 与 BD 不是异面直线,则 EF 与 BD 共面 ,从而 DF 与 BE 共面,即 AD 与 BC 共面,所以 A,B,C,D 在同一平面内,这与 A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾.故直线 EF 与 BD 是异面直线.(2)取 CD 的中点 G,连接 EG,FG,则 AC∥FG,EG∥BD,所以相交直线 EF 与 EG 所成的角(或其补角)即为异面直线 EF 与 BD 所成的角.5又因为 AC⊥BD,AC=BD,则 FG⊥EG,FG=EG.所以∠FEG=45°,即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45°.B 组 提升题组11.D 解法一:如图 1,l1与 l2是异面直线,l 1与 l 平行,l 2与 l 相交,故 A,B 不正确;如图 2,l1与 l2是异面直线,l 1,l2都与 l 相交,故 C 不正确,选 D.解法二:因为 l 分别与 l1,l2共面,故 l 与 l1,l2要么都不相交,要么至少与 l1,l2中的一条相交.若 l 与l1,l2都不相交,则 l∥l 1,l∥l 2,从而 l1∥l 2,与 l1,l2是异面直线矛盾,故 l 至少与 l1,l2中的一条相交,选 D.12.A 连接 A1C1,AC,则 A1C1∥AC,所以 A1,C1,C,A 四点共面,所以 A1C⊂平面 ACC1A1,因为 M∈A 1C,所以 M∈平面 ACC1A1,又 M∈平面 AB1D1,所以 M 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上,同理,O 也在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上,所以 A,M,O 三点共线.13. 答案 78解析 如图所示,连接 DN,取线段 DN 的中点 K,连接 MK,CK.∵M 为 AD 的中点,∴MK∥AN,∴∠KMC(或其补角)为异面直线 AN,CM 所成的角.∵AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,N 为 BC 的中点,∴易求得 AN=DN=CM=2 ,∴MK= .2 2在 Rt△CKN 中,CK= = .( 2)2+12 36在△CKM 中,由余弦定 理,得 cos∠KMC= = .( 2)2+(22)2-( 3)22× 2×22 7814. 证明 (1)如图所示.因为 EF 是△D 1B1C1的中位线,所以 EF∥B 1D1.又在正方体 AC1中,B 1D1∥BD,所以 EF∥BD.所以 EF 与 BD 可确定一个平面,即 D、B、F、E 四点共面.(2)在正方体 AC1中,设平面 ACC1A1为 α,平面 DBFE 为 β.因为 Q∈A 1C1,所以 Q∈α,又 Q∈EF,所以 Q∈β,则 Q 是 α 与 β 的公共点,同理,P 也是 α 与 β 的公共点,所以 α∩β=PQ.又因为 A1C∩β=R,所以 R∈A 1C,R∈α 且 R∈β,则 R∈PQ,故 P、Q、R 三点共线.15. 解析 (1)因为 PA⊥底面 ABC,所以 PA 是三棱锥 P-ABC 的高.又 S△ABC = ×2×2 =2 ,所以三棱锥12 3 3P-ABC 的体积为 V= S△ABC ·PA= ×2 ×2= .13 13 3 433(2)如图,取 PB 的中点 E,连接 DE,AE,则 ED∥BC,所以∠ADE(或其补角)是异面直线 BC 与 AD 所成的角.易知 PB=2 ,PC=4,BC=4,则在△ADE 中,DE=2,AE= ,AD=2,2 2所以 cos∠ADE= = .22+22-( 2)22×2×2 34故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 .341第二节 空间几何体的表面积和体积A组 基础题组1.(2016 广东 3 月适应性考试)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.12 B.6 C.4 D.22.(2015 山东,9,5 分)已知等腰直角三角形的直角边的长为 2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A. B. C.2 π D.4 π22𝜋3 42𝜋3 2 23.(2015 课标Ⅱ,6,5 分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A. B. C. D.18 17 16 154.(2015 课标Ⅰ,6,5 分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺 ,高五尺 .问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有( )A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛5.(2017 福建南平模拟)如图,一个几何体的三视图分别为两个等腰直角三角形和一个边长为 2 的正方形(含一条对角线),则该几何体的侧面积为( )2A.8(1+ ) B.4(1+ ) C.2(1+ ) D.1+2 2 2 26.(2016 山西太原一模)如图,平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= ,BD⊥CD,将其沿对角线 BD 折成四2面体 A'-BCD,使平面 A'BD⊥平面 BCD,若四面体 A'-BCD 的顶点在同一个球面上,则该球的表面积为( )A.3π B. π C.4π D. π32 347.在棱长为 3 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,P 在线段 BD1上,且 = ,M 为 线段 B1C1上的动点,则三棱锥 M-𝐵𝑃𝑃𝐷112PBC 的体积为 . 8.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m 3. 9.已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面 α,H 为垂足,α 截球 O 所得截面的面积为 π,则球 O 的表面积为 . 10.(2015 课标Ⅱ,19,12 分)如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA 1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1上,A 1E=D1F=4.过点 E,F 的平面 α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画 法和理由);(2)求平面 α 把该长方体分成的两部分体积的比值.3B 组 提升题组11.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )A.6 B.9 C.12 D.1812.(2017 贵州遵义模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.24+12 B.24+5 C.12+15 D.12+123 3 3 313.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )4A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π14.(2015 课标Ⅱ,10,5 分)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( )A.36π B.64π C.144π D.256π15.(2017 安徽师大附中)某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )A.4 B.2 C.4 D.82 216.(2016 课标全国Ⅱ,19,12 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E,F 分别在 AD,CD 上,AE=CF,EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△D'EF 的位置.(1)证明:AC⊥HD';(2)若 AB=5,AC=6,AE= ,OD'=2 ,求五棱锥 D'-ABCFE 的体积.54 25答案全解全析A 组 基础题组1.D 该几何体为四棱锥 P-ABCD,其中 PA⊥平面 ABCD,如图,则该几何体的体积为 V= ×2× ×(2+1)×2=2.13 122.B 依题意知,该几何体是以 为底面半径, 为高的两个同底圆锥组成的组合体,则其体积为 π( )2 213 22× ×2= π,故选 B.24233.D 如图,由已知条件可知,截去部分是以△ABC 为底面且三条侧棱两两垂直的 正三棱锥 D-ABC.设正方体的棱长为 a,则 截去部分的体积为 a3,剩余部分的体积为 a3- a3= a3,它们的体积之比为 .故选 D.16 16 56 154.B 设圆锥底面的半径为 R 尺,由 ×2πR=8 得 R= ,从而米堆的体积 V= × πR 2×5= (立方尺),因14 16𝜋 14 13 16×203𝜋此堆放的米约有 ≈22(斛).故选 B.16×203×1.62𝜋5.B 由已知中的三视图可得该几何体的直观图如图所示:底面为正方形,AB=AD=2,棱锥的高为 SA=2.SB=SD=2 ,CD⊥SD,CB⊥SB,2所以 S 侧 =S△SAB +S△SAD +S△SCB +S△SCD=2S△SAB +2S△SCB=2× ×2×2+2× ×2×212 12 26=4+4 .故选 B.26.A 由题意可得 BD=A'C= ,BC= ,△BDC 与△A'BC 都是以 BC 为斜边的直角三角形,由此可得 BC 中点2 3到 A',B,C,D 四个点的距离相等,故可得该三棱锥的外接球的直径为 ,所以该外接球的表面积 S=4π×3=3π.(32)27. 答案 32解析 ∵ = ,∴点 P 到平面 BC1C 的距离是点 D1到平面 BC1C 距离的 ,即为 =1,∵M 为线段 B1C1𝐵𝑃𝑃𝐷112 13𝐷1𝐶13上的点,∴S △MBC = ×3×3= ,∴V M-PBC=VP-MBC= × ×1= .12 92 13 92 328. 答案 20𝜋3解析 该几何体由一个圆锥和一个圆柱组成,故体积 V=π×1 2×4+ ×π×2 2×2= (m3).13 20𝜋39. 答案 9𝜋2解析 如图,设截面小圆的半径为 r,球的半径为 R,因为 AH∶HB=1∶2,所以 OH= R.由勾股定理,有13R2=r2+OH2,又由题意得 πr 2=π,则 r=1,故 R2=1+ ,即 R2= .由球的表面积公式,得所求表面积(13𝑅)2 98S=4πR 2= .9𝜋210. 解析 (1)交线围成的正方形 EHGF 如图:(2)作 EM⊥AB,垂足为 M,则 AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为 EHGF 为正方形,所以 EH=EF=BC=10.于是 MH= =6,AH=10,HB=6.𝐸𝐻2-𝐸𝑀27因为长方体被平面 α 分成两个高为 10 的直棱柱,所以其体积的比值为 .97(79也正确 )B 组 提升题组11.B 由三视图可得,该几何体为如图所示的三棱锥,其底面△ABC 为等腰三角形且 BA=BC,AC=6,AC 边上的高为 3,SB⊥底面 ABC,且 SB=3,所以该几何体的体积 V= × ×6×3×3=9.故选 B.13 1212.A 由已知可得该几何体为三棱柱,底面是斜边长为 4,斜边上的高为 的直角三角形,3棱柱的高为 4,故棱柱的表面积 S=2× ×4× +4×4+4×4sin 30°+4×4cos 30°=24+12 ,故选 A.12 3 313.A 由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成.其中长方体的长、宽、高分别为 4、2、2,圆柱的底面半径为 2,高为 4.所以该几何体的体积为 V=4×2×2+ π×2 2×4=16+8π.故选 A.1214.C △AOB 的面积为定值,当 OC 垂直于平面 AOB 时,三棱锥 O-ABC 的体积取得最大值.由 R3=36 得 R=6.从16而球 O 的表面积 S=4πR 2=144π.故选 C.15.D 根据题中三视图可得该几何体的直观图如图所示,则这个几何体的体积为 2×2×3× =8.故选 D.2316. 解析 (1)证明:由已知得 AC⊥BD,AD=CD.8又由 AE=CF 得 = ,故 AC∥EF.𝐴𝐸𝐴𝐷𝐶𝐹𝐶𝐷由此得 EF⊥HD,EF⊥HD',所以 AC⊥HD'.(2)由 EF∥AC 得 = = .𝑂𝐻𝐷𝑂𝐴𝐸𝐴𝐷14由 AB=5,AC=6 得 DO=BO= =4.𝐴𝐵2-𝐴𝑂2所以 OH=1,D'H=DH=3.于是 OD'2+OH2=(2 )2+12=9=D'H2,故 OD'⊥OH.2由(1)知 AC⊥HD',又 AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以 AC⊥平面 BHD',于是 AC⊥OD'.又由 OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以 OD'⊥平面 ABC.又由 = 得 EF= .𝐸𝐹𝐴𝐶𝐷𝐻𝐷𝑂 92五边形 ABCFE 的面积 S= ×6×8- × ×3= .12 12 92 694所以五棱锥 D'-ABCFE 的体积 V= × ×2 = .13 694 223221第五节 直线、平面垂直的判定与性质A组 基础题组1.已知在空间四边形 ABCD中,AD⊥BC,AD⊥BD,且△BCD 是锐角三角形,则必有( )A.平面 ABD⊥平面 ADC B.平面 ABD⊥平面 ABCC.平面 ADC⊥平面 BDC D.平面 ABC⊥平面 BDC2.如图所示,四边形 ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB 沿 BD折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成三棱锥 A-BCD,则在三棱锥 A-BCD中,下列结论正确的是( )A.平面 ABD⊥平面 ABC B.平面 ADC⊥平面 BDCC.平面 ABC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC3.(2016山东日照实验中学月考)设 a、b 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,则下列四个命题:①若 a⊥b,a⊥α,b⊄α,则 b∥α;②若 a∥α,a⊥β,则 α⊥β;③若 a⊥β,α⊥β,则 a∥α 或 a⊂α;④若 a⊥b,a⊥α,b⊥β,则 α⊥β.其中正确命题的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.44.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧棱长为 2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D 是 A1B1的中点,F 是 BB1上的动点,AB1,DF交于点 E,要使 AB1⊥平面 C1DF,则线段 B1F的长为( )A. B.1 C. D.212 325.如图,在三棱锥 D-ABC中,若 AB=CB,AD=CD,E是 AC的中点,则下列命题中正确的有 (写出全部正确命题的序号). ①平面 ABC⊥平面 ABD;②平面 ABD⊥平面 BCD;③平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ACD⊥平面 BDE;④平面 ABC⊥平面 ACD,且平面 ACD⊥平面 BDE.6.如图所示,在四棱锥 P-ABCD中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边长都相等,M 是 PC上的一动点,当点 M满足 时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可) 27.如图所示,矩形 ABCD的边 AB=a,BC=2,PA⊥平面 ABCD,PA=2,现有数据:① ;②1;③ ;④2;⑤4.12 3当在 BC边上存在点 Q(Q不在端点 B,C处),使 PQ⊥QD 时,a 可以取 .(填上一个你认为正确的数据序号即可) 8.(2016江苏,16,14 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,D,E 分别为 AB,BC的中点,点 F在侧棱 B1B上,且 B1D⊥A 1F,A1C1⊥A 1B1.求证:(1)直线 DE∥平面 A1C1F;(2)平面 B1DE⊥平面 A1C1F.9.(2015广东,18,14 分)如图,三角形 PDC所在的平面与长方形 ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC∥平面 PDA;(2)证明:BC⊥PD;(3)求点 C到平面 PDA的距离.3B组 提升题组10.(2016甘肃兰州质检)如图,在直角梯形 ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,且 E为 CD的中点,M,N 分别是 AD,BE的中点,将三角形 ADE沿 AE折起,连接 DC,则下列说法正确的是 .(写出所有正确说法的序号) ①无论 D折至何位置(不在平面 ABC内),都有 MN∥平面 DEC;②无论 D折至何位置(不在平面 ABC内),都有 MN⊥AE;③无论 D折至何位置(不在平面 ABC内),都有 MN∥AB;④在折起过程中,一定存在某个 位置,使 EC⊥AD.11.如图,在四棱锥 P-ABCD中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形,已知AD=4,BD=4 ,AB=2CD=8.3(1)设 M是 PC上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD;(2)求四棱锥 P-ABCD的体积.12.(2016北京,18,14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD中,PC⊥平面 ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(1)求证:DC⊥平面 PAC;(2)求证:平面 PAB⊥平面 PAC;(3)设点 E为 AB的中点.在棱 PB上是否存在点 F,使得 PA∥平面 CEF?说明理由.45答案全解全析A组 基础题组1.C ∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,∴AD⊥平面 BDC,又 AD⊂平面 ADC,∴平面 ADC⊥平面 BDC.2.D 易证 BD⊥CD.因为平面 ABD⊥平面 BCD,且平面 ABD∩平面 BCD=BD,CD⊂平面 BCD,故 CD⊥平面 ABD,则 CD⊥AB.又 AD⊥AB,AD∩CD=D,AD⊂平面 ADC,CD⊂平面 ADC,故 AB⊥平面 ADC.又 AB⊂平面 ABC,∴平面 ADC⊥平面 ABC.3.D ①由 a⊥b,a⊥α,可得 b∥α 或 b⊂α,又 b⊄α,∴b∥α ,①是正确命题;②由 a∥α 得在 α 内存在一条直线 m满足 m∥a,结合 a⊥β,得 m⊥β,又 m⊂α,∴α⊥β,②是正确命题;③由 a⊥β,α⊥β 可得出 a∥α 或 a⊂α,故③是正确命题;④由 a⊥b,a⊥α 可推出 b∥α 或 b⊂α,结合 b⊥β,可得出 α⊥β,故④是正确命题.4.A 设 B1F=x,因为 AB1⊥平面 C1DF,DF⊂平面 C1DF,所以 AB1⊥DF,由已知可得 A1B1= ,设 Rt△AA 1B1斜边2AB1上的高为 h,则 DE= h.12又 2× =h ,所以 h= ,DE= .2 22+( 2)2233 33在 Rt△DB 1E中,B 1E= = .(22)2-( 33)2 66由面积相等得 × = x,得 x= .66 𝑥2+( 22)2 22 125. 答案 ③解析 因为 AB=CB,且 E是 AC的中点,所以 BE⊥AC,同理,DE⊥AC,由于 DE∩BE=E,于是 AC⊥平面 BDE.因为 AC⊂平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 BDE.又 AC⊂平面 ACD,所以平面 ACD⊥平面 BDE.6. 答案 DM⊥PC(或 BM⊥PC)解析 连接 AC,由题意知四边形 ABCD为菱形,∴AC⊥BD,又∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BD,又 AC∩PA=A,∴BD⊥平面 PAC,∴BD⊥PC.∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时,即有 PC⊥平面 MBD,6而 PC⊂平面 PCD,∴平面 MBD⊥平面 PCD.7. 答案 ①(或②)解析 当 PQ⊥QD 时,有 QD⊥平面 PAQ,所以 QD⊥AQ.在矩形 ABCD中,设 BQ=x(0x2),则 CQ=2-x,在 Rt△ABQ 中 ,AQ2=a2+x2,在 Rt△DCQ 中,DQ 2=a2+(2-x)2,又由 AQ2+DQ2=4,得 2a2+2x2-4x=0,则 a2=-(x-1)2+1(0x2),故 a2∈(0,1],即 a∈(0,1],故①②符合,③④⑤不符合.8. 证明 (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,A 1C1∥AC.在△ABC 中,因为 D,E分别为 AB,BC的中点,所以 DE∥AC,于是 DE∥A 1C1.又因为 DE⊄平面 A1C1F,A1C1⊂平面 A1C1F,所以直线 DE∥平面 A1C1F.(2)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,A 1A⊥平面 A1B1C1.因为 A1C1⊂平面 A1B1C1,所以 A1A⊥A 1C1.又因为 A1C1⊥A 1B1,A1A⊂平面 ABB1A1,A1B1⊂平面 ABB1A1,A1A∩A 1B1=A1,所以 A1C1⊥平面 ABB1A1.因为 B1D⊂平面 ABB1A1,所以 A1C1⊥B 1D.又因为 B1D⊥A 1F,A1C1⊂平面 A1C1F,A1F⊂平面 A1C1F,A1C1∩A 1F=A1,所以 B1D⊥平面 A1C1F.因为直线 B1D⊂平面 B1DE,所以平面 B1DE⊥平面 A1C1F.9. 解析 (1)证明:因为四边形 ABCD是长方形,所以 AD∥BC.又因为 AD⊂平面 PDA,BC⊄平 面 PDA,所以 BC∥平面 PDA.(2)证明:取 CD的中点,记为 E,连接 PE,因为 PD=PC,所以 PE⊥DC.又因为平面 PDC⊥平面 ABCD,平面 PDC∩平面 ABCD=DC,PE⊂平面 PDC,所以 PE⊥平面 ABCD.又 BC⊂平面 ABCD,所以 PE⊥BC.因为四 边形 ABCD为长方形,所以 BC⊥DC.又因为 PE∩DC=E,所以 BC⊥平面 PDC.而 PD⊂平面 PDC,所以 BC⊥PD.(3)连接 AC.由(2)知,BC⊥PD,又因为 AD∥BC,所以 AD⊥PD,7所以 S△PDA = AD·PD= ×3×4=6.12 12在 Rt△PDE 中,PE= = = .𝑃𝐷2-𝐷𝐸2 42-32 7S△ADC = AD·DC= ×3×6=9.12 12由(2)知,PE⊥平面 ABCD,则 PE为三棱锥 P-ADC的高.设点 C到平面 PDA的距离为 d,由 VC-PDA=VP-ADC,即 d·S△PDA = PE·S△ADC ,亦即 ×6d= × ×9,得 d= .13 13 13 13 7 372故点 C到平面 PDA的距离为 .372B组 提升题组10. 答案 ①②④解析 由已知得,在未折叠的原梯形中,AB￿DE,所以四边形 ABED为平 行四边形,所以 BE=AD.折叠后的图形如图所示.①过点 M作 MP∥DE,交 AE于点 P,连接 NP.因为 M是 AD的中点,所以点 P为 AE的中点,又 N为 BE的中点,故 NP∥EC.又 MP∩NP=P,DE∩CE=E,所以平面 MNP∥平面 DEC,故 MN∥平面 DEC,①正确.②由已 知可得 AE⊥ED,AE⊥EC,所以 AE⊥MP,AE⊥NP,又 MP∩NP=P,所以 AE⊥平面 MNP,又 MN⊂平面 MNP,所以 MN⊥AE,②正确.③假设 MN∥AB,则 MN与 AB确定平面 MNBA,从而 BE⊂平面 MNBA,AD⊂平面 MNBA,与 BE和 AD是异面直线矛盾,③ 错误.④当 EC⊥ED 时,EC⊥AD.因为 EC⊥EA,EC⊥ED,EA∩ED=E,所以 EC⊥平面 AED,又 AD⊂平面 AED,所以 EC⊥AD,④正确.11. 解析 (1)证明:在△ABD 中,∵AD=4,BD=4 ,AB=8,38∴AD 2+BD2=AB2.∴AD⊥BD.又平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,BD⊂平面 ABCD,∴BD⊥平面 PAD.又 BD⊂平面 MBD,∴平面 MBD⊥平面 PAD.(2)过点 P作 PO⊥AD 于 O,∵平面 PAD⊥平面 ABCD,∴PO⊥平面 ABCD.即 PO为四棱锥 P-ABCD的高.又△PAD 是边长为 4的等边三角形,∴PO=4× =2 .32 3在 Rt△ADB 中,斜边 AB上的高为 =2 ,此即为梯形 ABCD的高 .4×438 3∴S 梯形 ABCD= ×2 =12 .4+82 3 3∴V P-ABCD= ×12 ×2 =24.13 3 312. 解析 (1)证明:因为 PC⊥平面 ABCD,所以 PC⊥DC.又因为 DC⊥AC,AC∩PC=C,所以 DC⊥平面 PAC.(2)证明:因为 AB∥DC,DC⊥AC,所以 AB⊥AC.因为 PC⊥平面 ABCD,所以 PC⊥AB.又 AC∩PC=C,所以 AB⊥平面 PAC.又 AB⊂平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 PAC.(3)棱 PB上存在点 F,使得 PA∥平面 CEF.证明如下:取 PB中点 F,连接 EF,CE,CF.9又因为 E为 AB的中点,所以 EF∥PA.又因为 PA⊄平面 CEF,所以 PA∥平面 CEF.