优化探究2017届高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 理（课件+习题）（打包14套）新人教A版.zip

- 1 -【优化探究】2017 届高考数学一轮复习 第六章 第二节 一元二次不等式及其解法课时作业 理 新人教 A 版A 组 考点能力演练1．关于 x 的不等式 x2＋ px－20 的解集为{ x|－30 的解集是( )A.Error!B.Error!C.Error!D.Error!解析：本题考查一元二次不等式与一元二次方程之间的关系．由题意得方程ax2－5 x＋ b＝0 的两根分别为－3,2，于是Error!⇒Error!于是不等式 bx2－5 x＋ a0 即为30x2－5 x－50，即(3 x＋1)(2 x－1)0⇒ x .13 12答案：C3．已知集合 A＝{ x|x2－2 x－30}， B＝{ x|x2＋ ax＋ b≤0}，若 A∪ B＝R， A∩ B＝(3,4]，则有( )A． a＝3， b＝4 B． a＝3， b＝－4C． a＝－3， b＝4 D． a＝－3， b＝－4解析：由题意得集合 A＝{ x|x3}，又 A∪ B＝R， A∩ B＝(3,4]，所以集合 B 为{x|－1≤ x≤4}，由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得 a＝－3， b＝－4.易知 A＝{ x|x3}，又 A∩ B＝(3,4]，可得 4 为方程 x2＋ ax＋ b＝0 的一个根，则有 16＋4 a＋ b＝0，经验证可知选项 D 正确．答案：D4．(2015·重庆二诊)已知不等式 ax2＋ bx＋ c0 的解集为 ，对于系数 a， b， c 有(－12， 2)如下结论：① a0；② b0；③ c0；④ a＋ b＋ c0；⑤ a－ b＋ c0，其中正确结论的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4- 2 -解析：因为不等式 ax2＋ bx＋ c0 的解集为 ，则相对应的二次函数 f(x)(－12， 2)＝ ax2＋ bx＋ c 的图象开口向下，所以 a0，故 b0， c0，且 f(1)＝ a＋ b＋ c0， f(－1)＝ a－ b＋ c0 且 g(1)0，解得 x3.答案：(－∞，1)∪(3，＋∞)9．已知 f(x)＝－3 x2＋ a(6－ a)x＋ b.- 3 -(1)解关于 a 的不等式 f(1)0；(2)若不等式 f(x)0 的解集为(－1,3)，求实数 a， b 的值．解：(1)∵ f(1)0，∴－3＋ a(6－ a)＋ b0.即 a2－6 a＋3－ b0，即 b－6 时，方程 a2－6 a＋3－ b＝0 有两根 a1＝3－ ，6＋ ba2＝3＋ ，6＋ b∴不等式的解集为(3－ ，3＋ )．6＋ b 6＋ b综上所述：当 b≤－6 时，原不等式的解集为∅；当 b－6 时，原不等式的解集为(3－ ，3＋ )．6＋ b 6＋ b(2)由 f(x)0，得－3 x2＋ a(6－ a)x＋ b0，即 3x2－ a(6－ a)x－ b0.解：(1)证明：∵函数 f(x)＝ 为定义在 R 上的奇函数， f(0)＝0，即 b＝0，∴ f(x)x＋ b1＋ x2＝ (经检验满足题意)，xx2＋ 1∴ f′( x)＝ ＝ . x2＋ 1 － x·2x x2＋ 1 2 1－ x2 x2＋ 1 2当 x∈(1，＋∞)时， f′( x)0，得 f(1＋2 x2)－ f(－ x2＋2 x－4)．∵ f(x)是奇函数，∴ f(1＋2 x2)f(x2－2 x＋4)．又∵1＋2 x21， x2－2 x＋4＝( x－1) 2＋31，且 f(x)在(1，＋∞)上为减函数，∴1＋2 x20 的解集为{ x|－30)的解集为( x1， x2)，且x2－ x1＝15，则 a＝( )A. B.52 72C. D.154 152解析：由条件知 x1， x2为方程 x2－2 ax－8 a2＝0 的两根，则 x1＋ x2＝2 a， x1x2＝－8 a2，故( x2－ x1)2＝( x1＋ x2)2－4 x1x2＝(2 a)2－4×(－8 a2)＝36 a2＝15 2，得 a＝ .52答案：A3．(2013·高考安徽卷)已知一元二次不等式 f(x)0 的解集为( )A．{ x|x－lg 2}B．{ x|－1－lg 2}D．{ x|x0 可得(10 x＋1)· 0，即 10x ， x－lg 2.(x－12) (10x－ 12) 12答案：D4．(2015·高考江苏卷)不等式 2x2－ x4 的解集为________．解析：不等式 2x2－ x4⇒x2－ x2⇒－1 x2，故原不等式的解集为(－1,2)．答案：(－1,2)5．(2013·高考重庆卷)设 0≤ α ≤π，不等式 8x2－(8sin α )x＋cos 2α ≥0 对 x∈R恒成立，则 α 的取值范围为________．解析：由题意，要使 8x2－(8sin α )x＋cos 2α ≥0 对 x∈R 恒成立，需 Δ ＝64sin 2 α －32cos 2α ≤0，化简得 cos 2α ≥ .又 0≤ α ≤π， ∴0≤2 α ≤ 或 ≤2 α ≤2π，解12 π 3 5π3- 5 -得 0≤ α ≤ 或 ≤ α ≤π.π 6 5π6答案： ∪[0，π 6] [5π6， π ]- 1 -【优化探究】2017 届高考数学一轮复习 第六章 第六节 直接证明与间接证明课时作业 理 新人教 A 版A 组 考点能力演练1．已知函数 f(x)＝ x， a， b 是正实数， A＝ f ， B＝ f( )， C＝ f ，则(12) (a＋ b2 ) ab (aba＋ b)A、 B、 C 的大小关系为( )A． A≤ B≤ C B． A≤ C≤ BC． B≤ C≤ A D． C≤ B≤ A解析：∵ ≥ ≥ .a＋ b2 ab 2aba＋ b又 f(x)＝ x在 R 上为减函数．(12)∴ f ≤ f( )≤ f(a＋ b2 ) ab (2aba＋ b)即 A≤ B≤ C，选 A.答案：A2．(2016·宁波模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设 abc，且a＋ b＋ c＝0，求证 0 B． a－ c0C．( a－ b)(a－ c)0 D．( a－ b)(a－ c)0⇔(a－ c)(2a＋ c)0⇔(a－ c)(a－ b)0.答案：C3．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0 时， f(x)单调递减，若 x1＋ x20，则 f(x1)＋ f(x2)的值( )A．恒为负值 B．恒等于零C．恒为正值 D．无法确定正负解析：由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0 时， f(x)单调递减，可知 f(x)是 R 上的单调递减函数，由 x1＋ x20，可知 x1－ x2， f(x1)a ＋ b ，则 a， b 应满足的条件是a b b a________．解析：∵ a ＋ b a ＋ b ⇔( － )2·( ＋ )0⇔a≥0， b≥0 且 a≠ b.a b b a a b a b答案： a≥0， b≥0 且 a≠ b7．若 P＝ ＋ ， Q＝ ＋ (a≥0)，则 P， Q 的大小关系是________．a a＋ 7 a＋ 3 a＋ 4解析：∵ P2＝2 a＋7＋2 ＝2 a＋7＋2 ， Q2＝2 a＋7＋ 2 ＝2 a＋7＋2aa＋ 7 a2＋ 7a a＋ 3a＋ 4，∴ P20， Q0，∴ P0， ＋ ＝2 m－10，所以 m≥ .1a2 4b2 7210．已知 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c，若 a＋ c＝0， f(x)在[－1,1]上的最大值为 2，最小值为－.求证： a≠0 且 0，证明：d1， d2，…， dn－1 是等比数列．解：(1) d1＝2， d2＝3， d3＝6.(2)证明：因为 a10，公比 q1，所以 a1， a2，…， an是递增数列．因此，对 i＝1,2，…， n－1， Ai＝ ai， Bi＝ ai＋1 .于是对 i＝1,2，…， n－1，di＝ Ai－ Bi＝ ai－ ai＋1 ＝ a1(1－ q)qi－1 .因此 di≠0 且 ＝ q(i＝1,2，…， n－2)，di＋ 1di即 d1， d2，…， dn－1 是等比数列．- 1 -【优化探究】2017 届高考数学一轮复习 第六章 第七节 数学归纳法课时作业 理 新人教 A 版A 组 考点能力演练1．用数学归纳法证明：1＋ ＋ ＋…＋ 1， f(2)1；下面用数学归纳法证明：当 n≥3 时， f(n)1；当 n≥3 时， f(n)2， an＝ (n≥2， n∈N *)．an－ 1＋ 2(1)求证：对任意 n∈N *， an2；(2)判断数列{ an}的单调性，并说明你的理由；(3)设 Sn为数列{ an}的前 n 项和，求证：当 a＝3 时， Sn2(n∈N *)；①当 n＝1 时， a1＝ a2，结论成立；②假设 n＝ k(k≥1)时结论成立，即 ak2，则 n＝ k＋1 时， ak＋1 ＝ ＝2，所ak＋ 2 2＋ 2以 n＝ k＋1 时，结论成立．故由①②及数学归纳法原理，知对一切的 n∈N *，都有 an2 成立．(2){an}是单调递减的数列．因为 a － a ＝ an＋2－ a ＝－( an－2)( an＋1)，又 an2，2n＋ 1 2n 2n所以 a － a 2(n∈N *)，所以 ＝ 0)，设 fn(x)为 fn－1 (x)的导数，sin xxn∈N *.(1)求 2f1 ＋ f2 的值；(π 2) π 2 (π 2)(2)证明：对任意的 n∈N *，等式 ＝ 都成立．|nfn－ 1(π 4)＋ π 4fn(π 4)| 22解：(1)由已知，得 f1(x)＝ f′ 0(x)＝ ′＝ － ，(sin xx ) cos xx sin xx2于是 f2(x)＝ f′ 1(x)＝ ′－ ′＝－ － ＋ ，(cos xx ) (sin xx2 ) sin xx 2cos xx2 2sin xx3所以 f1 ＝－ ， f2 ＝－ ＋ ，(π 2) 4π 2 (π 2) 2π 16π 3故 2f1 ＋ f2 ＝－1.(π 2) π 2 (π 2)(2)证明：由已知，得 xf0(x)＝sin x，等式两边分别对 x 求导，得 f0(x)＋ xf′ 0(x)＝cos x，即 f0(x)＋ xf1(x)＝cos x＝sin ，类似可得(x＋π 2)2f1(x)＋ xf2(x)＝－sin x＝sin( x＋π)，3f2(x)＋ xf3(x)＝－cos x＝sin ，(x＋3π2)4f3(x)＋ xf4(x)＝sin x＝sin( x＋2π)．下面用数学归纳法证明等式 nfn－1 (x)＋ xfn(x)＝sin 对所有的 n∈N *都成立．(x＋nπ2)①当 n＝1 时，由上可知等式成立．②假设当 n＝ k 时等式成立，即 kfk－1 (x)＋ xfk(x)＝sin .(x＋kπ2)因为[ kfk－1 (x)＋ xfk(x)]′＝ kf′ k－1 (x)＋ fk(x)＋ xf′ k(x)＝( k＋1) fk(x)＋ xfk＋1 (x)，′＝cos · ′[sin(x＋kπ2)] (x＋ kπ2) (x＋ kπ2)＝sin ，[x＋ k＋ 1 π2 ]所以( k＋1) fk(x)＋ xfk＋1 (x)＝sin .[x＋ k＋ 1 π2 ]因此当 n＝ k＋1 时，等式也成立．综合①②可知等式 nfn－1 (x)＋ xfn(x)＝sin 对所有的 n∈N *都成立．(x＋nπ2)- 4 -令 x＝ ，可得 nfn－1 ＋ fnπ 4 (π 4) π 4 (π 4)＝sin (n∈N *)(π 4＋ nπ2)所以 ＝ (n∈N *)．|nfn－ 1(π 4)＋ π 4fn(π 4)| 222．(2014·高考安徽卷)设实数 c0，整数 p1， n∈N *.(1)证明：当 x－1 且 x≠0 时，(1＋ x)p1＋ px.(2)数列{ an}满足 a1c ， an＋1 ＝ an＋ a .pp－ 1p cp1－ pn证明： anan＋1 c .证明：(1)用数学归纳法证明：①当 p＝2 时，(1＋ x)2＝1＋2 x＋ x21＋2 x，原不等式成立．②假设 p＝ k(k≥2， k∈N *)时，不等式(1＋ x)k1＋ kx 成立．当 p＝ k＋1 时，(1＋ x)k＋1 ＝(1＋ x)(1＋ x)k(1＋ x)(1＋ kx)＝1＋( k＋1)x＋ kx21＋( k＋1) x.所以 p＝ k＋1 时，原不等式也成立．综合①②可得，当 x－1 且 x≠0 时，对一切整数 p1，不等式(1＋ x)p1＋ px 均成立．(2)先用数学归纳法证明 anc .1p①当 n＝1 时，由题设 a1c 知 anc 成立．②假设 n＝ k(k≥1， k∈N *)时，不等式 akc 成立．1p由 an＋1 ＝ an＋ a 易知 an0， n∈N *.p－ 1p cp1－ pn当 n＝ k＋1 时， ＝ ＋ a ＝1＋ .ak＋ 1ak p－ 1p cp－ pk 1p(capk－ 1)由 akc 0 得－11＋ p· ＝ .(ak＋ 1ak ) [1＋ 1p(capk－ 1)] 1p(capk－ 1) capk因此 a c，即 ak＋1 c .pk＋ 1所以 n＝ k＋1 时，不等式 anc 也成立．1p综合①②可得，对一切正整数 n，不等式 anc 均成立．1p- 5 -再由 ＝1＋ 可得 an＋1 c ， n∈N *.- 1 -【优化探究】2017 届高考数学一轮复习 第六章 第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时作业 理 新人教 A 版A 组 考点能力演练1．(2016·唐山期末)设变量 x， y 满足Error!则目标函数 z＝2 x＋3 y 的最小值为( )A．7 B．8C．22 D．23解析：变量 x， y 满足的区域如图阴影部分所示：目标函数 z＝2 x＋3 y 在点(2,1)处取得最小值 7，故选 A.答案：A2．在平面直角坐标系 xOy 中， P 为不等式组Error!所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A．2 B.13C. D．112解析：作出可行域如图所示，当点 P 位于Error!的交点(1,1)时，( kOP)max＝1，故选 D.答案：D3．在平面直角坐标系 xOy 中，已知平面区域 A＝{( x， y)|x＋ y≤1，且 x≥0， y≥0}，则平面区域 B＝{( x＋ y， x－ y)|(x， y)∈ A}的面积为( )A．2 B．1C. D.12 14- 2 -解析：不等式Error!所表示的可行域如图所示，设a＝ x＋ y， b＝ x－ y，则此两目标函数的范围分别为 a＝ x＋ y∈[0,1]，b＝ x－ y∈[－1,1]，又 a＋ b＝2 x∈[0,2]， a－ b＝2 y∈[0,2]，∴点坐标( x＋ y， x－ y)，即点( a， b)满足约束条件Error!作出该不等式组所表示的可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积 S＝ ×2×1＝1，故选 B.12答案：B4．设 x， y 满足约束条件Error!若目标函数 z＝ ax＋ by(a0， b0)的最大值为 4，则 ab 的取值范围是( )A．(0,4) B．(0,4]C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)解析：作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知， z＝ ax＋ by(a0， b0)过点 A(1,1)时取最大值，∴ a＋ b＝4， ab≤ 2＝4，∵ a0， b0，∴ ab∈(0,4]，故选 B.(a＋ b2 )答案：B5．已知实数 x， y 满足：Error!则 z＝2 x－2 y－1 的取值范围是( )A. B．[0,5] C. D.[53， 5] [53， 5) [－ 53， 5)解析：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线 l：2 x－2 y－1＝0，平移 l 可知 2× －2× －1≤ z0)取得最大值的最优解有无穷多个，则 k 的值为________．解析：由目标函数 z＝ kx＋ y(k0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线 kx＋ y＝0 的倾斜角为 120°，于是有－ k＝tan 120°＝－ ，所以 k＝ .3 3答案： 37．已知实数 x， y 满足Error!则 w＝ x2＋ y2－4 x－4 y＋8 的最小值为________．解析：目标函数 w＝ x2＋ y2－4 x－4 y＋8＝( x－2) 2＋( y－2) 2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数 x， y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线x＋ y－1＝0 的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又＝ ，所以 wmin＝ .|2＋ 2－ 1|2 322 92答案：928．(2016·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水 3 吨、煤 2 吨；生产每吨乙产品要用水 1 吨、煤 3 吨．销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，销售每吨乙产品可获得利润 3 万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过 13 吨，煤不超过 18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．解析：设生产甲产品 x 吨，生产乙产品 y 吨，由题意知Error!利润 z＝5 x＋3 y，作出可行域如图中阴影部分 所示，求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当 x＝3， y＝4， 即生产甲产品 3 吨，乙产品 4 吨时可获得最大利润 27 万元．答案：27- 4 -9．已知实数 x， y 满足Error!求 z＝ 的取值范围．2x＋ y－ 1x－ 1解：由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数 z＝＝2＋ 的取值范围可转化为点( x， y)与(1，－1)所在直线的2x＋ y－ 1x－ 1 y＋ 1x－ 1斜率加上 2 的取值范围，由图形知， A 点坐标为( ，1)，则点(1，－1)与( ，1)所在直线2 2的斜率为 2 ＋2，点(0,0)与 (1，－1)所在直线的斜率为－1，所以 z 的取值范围为(－∞，1]2∪[2 ＋ 4，＋∞)．210．若 x， y 满足约束条件Error!(1)求目标函数 z＝ x－ y＋ 的最值；12 12(2)若目标函数 z＝ ax＋2 y 仅在点(1,0)处取得最小值，求 a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得 A(3,4)， B(0,1)，C(1,0)．平移初始直线 x－ y＋ ＝0，过 A(3,4)取最小值－2，过12 12C(1,0)取最大值 1.所以 z 的最大值为 1，最小值为－2.(2)直线 ax＋2 y＝ z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1－ 2，解得－4 a2.a2故所求 a 的取值范围为(－4,2)．B 组 高考题型专练1．(2015·高考天津卷)设变量 x， y 满足约束条件Error!则目标函数 z＝ x＋6 y 的最大值为( )A．3 B．4C．18 D．40解析：作出约束条件对应的平面区域如图所示 ，当目标函数经过点(0,3)时， z 取得最大值 18.- 5 -答案：C2．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设 x， y 满足约束条件Error!且 z＝ x＋ ay 的最小值为7，则 a＝( )A．－5 B．3C．－5 或 3 D．5 或－3解析：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．当 a＝－5 时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．由Error!得交点 A(－3，－2)，则目标函数 z＝ x－5 y 过 A 点时取得最大值．zmax＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除 A，C 选项．当 a＝3 时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．由Error!得交点 B(1,2)，则目标函数 z＝ x＋3 y 过 B 点时取得最小值． zmin＝1＋3×2＝7，满足题意．答案：B3．(2015·高考广东卷)若变量 x， y 满足约束条件Error!则 z＝3 x＋2 y 的最小值为( )A．4 B.235C．6 D.315解析：作出如图中阴影部分所示的可行域，当直线 y＝－ x＋32- 6 -经过点 A 时 z 取得最小值．由Error!z2得Error!此时， zmin＝3×1＋2× ＝ .45 235答案：B4．(2014·高考安徽卷)不等式组Error!表示的平面区域的面积为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知 S△ ABC＝ ×2×(2＋2)12＝4.答案：45．(2015·高考北京卷)如图，△ ABC 及其内部的点组成的集合记为 D， P(x， y)为 D 中任意一点，则 z＝2 x＋3 y 的最大值为________．解析：由题意，目标函数 z＝2 x＋3 y 的可行域为△ ABC 边界及其内部(如图所示)，令 z＝0，即 2x＋3 y＝0，平移直线 2x＋3 y＝0 至目标函数的可行域内，可知当 2x＋3 y＝ z 过点 A(2,1)时， z 取得最大值，即 zmax＝2×2＋3×1＝7.答案：7- 1 -【优化探究】2017 届高考数学一轮复习 第六章 第四节 基本不等式课时作业 理 新人教 A 版A 组 考点能力演练1．(2016·汉中一模)“ a≥0， b≥0”是“ ≥ ”的( )a＋ b2 abA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由 a≥0， b≥0 可得 ≥ ，当且仅当 a＝ b 时取等号．反之，若 ≥ ，a＋ b2 ab a＋ b2 ab则 ab≥0，可得 a≥0， b≥0，故选 C.答案：C2．(2016·杭州一模)设 a0， b0.若 a＋ b＝1，则 ＋ 的最小值是( )1a 1bA．2 B.14C．4 D．8解析：由题意 ＋ ＝ ＋ ＝2＋ ＋ ≥2＋2 ＝4.当且仅当 ＝ ，即 a＝ b＝1a 1b a＋ ba a＋ bb ba ab ba×ab ba ab时取等号，所以最小值为 4.12答案：C3．若 a0， b0 且 a＋ b＝7，则 ＋ 的最小值为( )4a 1b＋ 2A. B．189C. D.98 10277解析：本题考查利用基本不等式求最值．因为 b＝7－ a，所以＋ ＝ ＋ ＝ (a＋9－ a)· ＝ ≥ (4＋1＋4)＝1，4a 1b＋ 2 4a 19－ a 19 (4a＋ 19－ a) 19[4＋ 1＋ 4 9－ aa ＋ a9－ a] 19当且仅当 ＝ 时取得等号，故选 B.4 9－ aa a9－ a答案：B4．设 x， y∈R， a1， b1.若 ax＝ by＝2， a2＋ b＝4，则 ＋ 的最大值为( )2x 1y- 2 -A．1 B．2C．3 D．4解析：由 ax＝ by＝2 得 x＝log a 2＝ ， y＝log b 2＝ ， ＋ ＝2log 2 a＋log 2 1log2 a 1log2 b 2x 1yb＝log 2 (a2·b)≤log 2 2＝2(当且仅当 a2＝ b＝2 时取等号)．(a2＋ b2 )答案：B5．若直线 ax＋ by－1＝0( a0， b0)过曲线 y＝1＋sin π x(00， b0，由条件得 a2＋ b2＝2( a＋ b)，∵( a＋ b)2＝ a2＋ b2＋2 ab≤2( a2＋ b2)，当且仅当 a＝ b 时取等号，∴( a＋ b)2≤4( a＋ b)，∴ a＋ b≤4，又( a＋ b)2－2( a＋ b)＝2 ab0.∴ a＋ b2，∴20 且 a≠1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线＋ －4＝0( m0， n0)上，则 m＋ n 的最小值为________．xm yn解析：由题意可知函数 y＝log a x＋1 的图象恒过定点 A(1,1)，∵点 A 在直线- 3 -＋ －4＝0 上，∴ ＋ ＝4，∵ m0， n0，∴ m＋ n＝ (m＋ n) ＝ ≥xm yn 1m 1n 14 (1m＋ 1n) 14(2＋ nm＋ mn) 14＝ 1，当且仅当 m＝ n＝ 时等号成立，∴ m＋ n 的最小值为 1.(2＋ 2nm·mn) 12答案：19．已知 x， y， z 是互不相等的正数，且 x＋ y＋ z＝1，求证： 8.(1x－ 1)(1y－ 1)(1z－ 1)证明：因为 x， y， z 是互不相等的正数，且 x＋ y＋ z＝1，所以－1＝ ＝ ，①1x 1－ xx y＋ zx 2yzx－1＝ ＝ ，②1y 1－ yy x＋ zy 2xzy－1＝ ＝ ，③1z 1－ zz x＋ yz 2xyz又 x， y， z 为正数，由①×②×③，得 8.(1x－ 1)(1y－ 1)(1z－ 1)10．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形 A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区 A1B1C1D1的面积为 4 000 平方米，人行道的宽分别为 4 米和 10 米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比 ＝ x(x1)，求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数|A1B1||B1C1|S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区 A1B1C1D1的长和宽该如何设计？解：(1)设休闲区的宽为 a 米，则长为 ax 米，由 a2x＝4 000，得 a＝ .2010x则 S(x)＝( a＋8)( ax＋20)＝ a2x＋(8 x＋20) a＋160＝4 000＋(8 x＋20)· ＋1602010x＝80 ＋4 160( x1)．10(2x＋ 5x)(2)80 ＋4 160≥80 ×2 ＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，当10(2x＋ 5x) 10 2x×5x且仅当 2 ＝ ，即 x＝2.5 时，等号成立，此时 a＝40， ax＝100.x5x所以要使公园所占面积最小，休闲区 A1B1C1D1应设计为长 100 米，宽 40 米．B 组 高考题型专练1．(2015·高考湖南卷)若实数 a， b 满足 ＋ ＝ ，则 ab 的最小值为( )1a 2b ab- 4 -A. B．22C．2 D．42解析：由已知得 ＋ ＝ ＝ ，且 a0， b0，1a 2b b＋ 2aab ab∴ ab ＝ b＋2 a≥2 ，∴ ab≥2 .ab 2ab 2答案：C2．(2014·高考重庆卷)若 log4(3a＋4 b)＝log 2 ，则 a＋ b 的最小值是( )abA．6＋2 B．7＋23 3C．6＋4 D．7＋43 3解析：由 log4(3a＋4 b)＝log 2 ，得 log2(3a＋4 b)＝ log2(ab)，所以 3a＋4 b＝ ab，ab12 12即 ＋ ＝1.3b 4a所以 a＋ b＝( a＋ b) ＝ ＋ ＋7≥4 ＋7，当且仅当 ＝ ，即(3b＋ 4a) 3ab 4ba 3 3ab 4baa＝2 ＋ 4， b＝3＋2 时取等号，故选 D.3 3答案：D3．(2015·高考陕西卷)设 f(x)＝ln x,0p D． p＝ rp解析：∵0 ，又 f(x)＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故 f( )p，∵ r＝ (f(a)＋ f(b))＝ (ln a＋ln b)＝ ln ＝ f( )＝ p，∴ p＝ r0， y0 时， x⊗y＋(2 y)⊗x 的最小值为________．解析：因为 x0， y0，所以 x⊗y＋(2 y)⊗x＝ ＋ ＝ ＝ ≥x2－ y2xy 4y2－ x22xy x2＋ 2y22xy 12(xy＋ 2yx)，当且仅当 ＝ ，即 x＝ y 时取等号．故 x⊗y＋(2 y)⊗x 的最小值为 .2xy 2yx 2 2答案： 2- 1 -【优化探究】2017 届高考数学一轮复习 第六章 第五节 合情推理与演绎推理课时作业 理 新人教 A 版A 组 考点能力演练1．(2016·合肥模拟)正弦函数是奇函数， f(x)＝sin( x2＋1)是正弦函数，因此 f(x)＝sin( x2＋1)是奇函数，以上推理( )A．结论正确 B．大前提不正确C．小前提不正确 D．全不正确解析：因为 f(x)＝sin( x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．答案：C2．在等差数列{ an}中，若 an0，公差 d0，则有 a4·a6a3·a7，类比上述性质，在等比数列{ bn}中，若 bn0，公比 q1，则 b4， b5， b7， b8的一个不等关系是( )A． b4＋ b8b5＋ b7 B． b4＋ b8b5＋ b8 D． b5·b80，∴ b4＋ b8b5＋ b7，故选 A.答案：A3．(2015·西安八校联考)观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子 3⊗5 是第( )A．22 项 B．23 项C．24 项 D．25 项解析：两数和为 2 的有 1 个，和为 3 的有 2 个，和为 4 的有 3 个，和为 5 的有 4 个，和为 6 的有 5 个，和为 7 的有 6 个，前面共有 21 个，3⊗5 为和为 8 的第 3 项，所以为第 24项．故选 C.答案：C4．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第 60 个“整数对”是( )A．(7,5) B．(5,7)C．(2,10) D．(10,1)解析：依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第 n 组中每个“整数对”的和均为 n＋1，且第 n 组共有 n 个“整数对” ，这样的前 n 组一共有 个“整数对” ，n n＋ 12注意到 0， x＋ ≥2 ＝2， x＋ ＝ ＋ ＋ ≥3 ＝3， x＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ≥41x x·1x 4x2 x2 x2 4x2 3x2·x2·4x2 27x3 x3 x3 x3 27x3＝4，….在 x0 的条件下，请根据上述不等式归纳出一个一般性的不等式4x3·x3·x3·27x3________．解析：根据题意，分析所给不等式的变形过程可得，先对左式变形，再利用基本不等式化简，消去根号，得到右式，则x＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＋ ≥( n＋1)· ＝ n＋1( n∈N *)．nnxn xn xn xn nnxn n＋ 1xn·xn·…·xn·nnxn答案： x＋ ≥ n＋1( n∈N *)nnxn9．给出下面的数表序列：表 1 表 2 表 31 1 3 1 3 5 …4 4 812其中表 n(n＝1,2,3，…)有 n 行，第 1 行的 n 个数是 1,3,5，…，2 n－1，从第 2 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表 4，验证表 4 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 n(n≥3)(不要求证明)．解：表 4 为1 3 5 74 8 1212 2032它的第 1,2,3,4 行中的数的平均数分别是 4,8,16,32，它们构成首项为 4，公比为 2 的等比数列．10．如图所示，点 P 为斜三棱柱 ABC－ A1B1C1的侧棱 BB1上一点，PM⊥ BB1交 AA1于点 M， PN⊥ BB1交 CC1于点 N.(1)求证： CC1⊥ MN；(2)在任意三角形 DEF 中有余弦定理：DE2＝ DF2＋ EF2－2 DF·EFcos∠ DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．- 4 -解：(1)证明：因为 PM⊥ BB1， PN⊥ BB1，所以 BB1⊥平面 PMN，所以 BB1⊥ MN.又 CC1∥ BB1，所以 CC1⊥ MN.(2)在斜三棱柱 ABC－ A1B1C1中，有 S2ABB1A1＝ S2BCC1B1＋ S2ACC1A1－2 SBCC1B1·SACC1A1cos α ，其中 α 为平面 CC1B1B 与平面 CC1A1A 所成的二面角．证明如下：因为 CC1⊥平面 PMN，所以上述的二面角的平面角为∠ MNP.在△ PMN 中，因为 PM2＝ PN2＋ MN2－2 PN·MNcos ∠ MNP，所以 PM2·CC ＝ PN2·CC ＋ MN2·CC －2( PN·CC1)·(MN·CC1)cos ∠ MNP，21 21 21因为 SBCC1B1＝ PN·CC1， SACC1A1＝ MN·CC1， SABB1A1＝ PM·BB1＝ PM·CC1，所以 S2ABB1A1＝ S2BCC1B1＋ S2ACC1A1－2 SBCC1B1·SACC1A1cos α .B 组 高考题型专练1．(2013·高考陕西卷)观察下列等式12＝112－2 2＝－312－2 2＋3 2＝612－2 2＋3 2－4 2＝－10…照此规律，第 n 个等式可为________．解析：观察规律可知，第 n 个式子为 12－2 2＋3 2－4 2＋…＋(－1) n＋1 n2＝(－1) n＋1.n n＋ 12答案：1 2－2 2＋3 2－4 2＋…＋(－1) n＋1 n2＝(－1) n＋1n n＋ 122．(2014·高考陕西卷)已知 f(x)＝ ， x≥0，若 f1(x)＝ f(x)， fn＋1 (x)＝ f(fn(x))，x1＋ xn∈N ＋ ，则 f2 014(x)的表达式为________．解析：由 f1(x)＝ ⇒f2(x)＝ f ＝ ＝ ；又可得 f3(x)＝ f(f2(x))＝x1＋ x ( x1＋ x)x1＋ x1＋ x1＋ x x1＋ 2x＝ ，故可猜想 f2 014(x)＝ .x1＋ 2x1＋ x1＋ 2x x1＋ 3x x1＋ 2 014x- 5 -答案： f2 014(x)＝x1＋ 2 014x3．(2015·高考山东卷)观察下列各式：C ＝4 0；01C ＋C ＝4 1；03 13C ＋C ＋C ＝4 2；05 15 25C ＋C ＋C ＋C ＝4 3；07 17 27 37…照此规律，当 n∈N *时，C ＋C ＋C ＋…＋C ＝________.02n－ 1 12n－ 1 22n－ 1 n－ 12－解析：第一个等式， n＝1，而右边式子为 40＝4 1－1 ；第二个等式， n＝2，而右边式子为 41＝4 2－1 ；第三个等式， n＝3，而右边式子为 42＝4 3－1 ；第四个等式， n＝4，而右边式子为 43＝4 4－1 ；…归纳可知，第 n 个等式的右边为 4n－1 .答案：4 n－14．(2012·高考福建卷)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－ sin 30°＝ .12 34(2)归纳三角恒等式为 sin2 α ＋cos 2(30°－ α )－sin α cos(30°－ α )＝ .34证明如下：sin2α ＋cos 2(30°－ α )－sin α cos(30°－ α )- 6 -＝ ＋ －sin α (cos 30°cos α ＋sin 30°sin α )1－ cos 2α2 1＋ cos 60°－ 2α 2＝ － cos 2α ＋ ＋ (cos 60°cos 2α ＋sin 60°sin 2α )－ sin α cos α － sin2 12 12 12 12 32 12α＝ － cos 2α ＋ ＋ cos 2α ＋ sin 2α － sin 2α － (1－cos 2 α )12 12 12 14 34 34 14＝1－ cos 2α － ＋ cos 2α ＝ .14 14 14 34