优化探究2017届高考数学一轮复习 第三章 三角函数 理（课件+习题）（打包14套）新人教A版.zip

- 1 -【优化探究】2017 届高考数学一轮复习 第三章 第八节 正弦定理和余弦定理的应用课时作业 理 新人教 A 版A 组 考点能力演练1．如图，设 A， B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出AC 的距离为 50 m，∠ ACB＝45°，∠ CAB＝105°后，就可以计算出 A， B 两点的距离为( )A．50 m B．50 m2 3C．25 m D. m22522解析：本题考查正弦定理．依题意与正弦定理得 ＝ ， AB＝ ＝ACsin B ABsin C AC·sin Csin B＝50 m，故选 A.50×sin 45°sin 180°－ 45°－ 105° 2答案：A2．在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平平面上．为测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了 A， B 两个观测点，在 A 处测得该塔底部 C 在西偏北 α 的方向上；在 B 处测得该塔底部 C 在西偏北 β 的方向上，并测得塔顶 D 的仰角为 γ .已知 AB＝ a,0γ β α ，则此塔的高 CD 为( )π 2A. tan γ B. tan γasin α － β sin α asin αsin α － β C. tan γ D. tan γasin α － β  sin βsin α asin α sin βsin α － β 解析：本题考查正弦定理．依题意得，在△ ABC 中，∠ CAB＝π－ α ，∠ ACB＝ α － β ，由正弦定理得 ＝ ， BC＝ ；在△ BCD 中，ABsin α － β  BCsin π － α  asin αsin α － β ∠ CBD＝ γ ， CD＝ BCtan γ ＝ tan γ ，故选 B.asin αsin α － β 答案：B3．如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B， C 的俯角分别为 75°，30°，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于( )- 2 -A．240( －1) m B．180( －1) m3 2C．120( －1) m D．30( ＋1) m3 3解析：∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝ ＝2－ ，∴ BC＝60tan tan 60°－ tan 45°1＋ tan 60°tan 45° 360°－60tan 15°＝120( － 1)(m)，故选 C.3答案：C4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d＝0.6 km，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB＝1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为( )A．8 km/h B．6 km/h2C．2 km/h D．10 km/h34解析：设 AB 与河岸线所成的角为 θ ，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意知，sin θ ＝ ＝ ，从而 cos θ ＝ ，所以由余弦定理得0.61 35 452＝ 2＋1 2－2× ×2×1× ，解得 v＝6 .选 B.(110v) (110×2) 110 45 2答案：B5.(2015·南昌模拟)如图所示，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西 30°相距 10 海里 C 处的乙船，乙船立即朝北偏东 θ ＋30°角的方向沿直线前往 B 处营救，sin θ 的值为( )A. B.217 22C. D.32 5714解析：连接 BC.在△ ABC 中， AC＝10， AB＝20，∠ BAC＝120°， 由余弦定理，得 BC2＝ AC2＋ AB2－2 AB·AC·cos 120°＝700，∴ BC＝10 ，再由正弦定理，得 ＝ ，7BCsin∠ BAC ABsin θ- 3 -∴sin θ ＝ .217答案：A6．(2016·潍坊调研)为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正东方向上，测得点 A 的仰角为 60°，再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 米到位置 D，测得∠ BDC＝45°，则塔 AB 的高是________米．解析：在△ BCD 中，由正弦定理，得 ＝ ，解得 BC＝10 米，∴在BCsin∠ BDC CDsin∠ DBC 2Rt△ ABC 中，塔 AB 的高是 10 米．6答案：10 67．如图，位于东海某岛的雷达观测站 A，发现其北偏东 45°，与观测站 A 距离 20 海里的 B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时2后，又测得该货船位于观测站 A 东偏北 θ (0°θ 45°)的 C 处，且cos θ ＝ .已知 A， C 两处的距离为 10 海里，则该货船的船速为45________海里/小时．解析：本题考查解三角形知识在实际问题中的应用．利用余弦定理求解．在△ ABC 中，AB＝20 ， AC＝10，∠ BAC＝ 45°－ θ ，又 cos(45°－ θ )＝ × ＋ × ＝ ，由余弦定222 45 22 35 7210理可得 BC2＝(20 )2＋10 2－ 2×20 ×10× ＝340，所以 BC＝2 .又行驶时间是 小时，2 27210 85 12所以该货船的速度为 ＝4 海里/小时．28512 85答案：4 858．如图，为了测量河对岸 A、 B 两点之间的距离，观察者找到一个点 C，从点 C 可以观察到点 A、 B；找到一个点 D，从点 D 可以观察到点 A、 C；找到一个点 E，从点 E 可以观察到点 B、 C.并测量得到一些数据： CD＝2， CE＝2 ，∠ D＝45°，∠ ACD＝105°，3∠ ACB＝48.19°，∠ BCE＝75°，∠ E＝60°，则 A、 B 两点之间的距离为________.(其 中 cos 48.19°取 近 似 值 23)- 4 -解析：依题意知，在△ ACD 中，∠ A＝30°，由正弦定理得 AC＝ ＝2 .在△CDsin 45°sin 30° 2BCE 中，∠ CBE＝45°，由正弦定理得 BC＝ ＝3 .CEsin 60°sin 45° 2在△ ABC 中，由余弦定理 AB2＝ AC2＋ BC2－2 AC×BCcos∠ ACB＝10，所以 AB＝ .10答案： 109.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度： A， B， C 三地位于同一水平面上，在 C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点 A， B 两地相距 100 米，∠ BAC＝60°，在 A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚 秒．在 A 地测得该仪器至最高点 H 时217的仰角为 30°，求该仪器的垂直弹射高度 CH.(声音在空气中的传播速度为 340 米/秒)解：由题意，设 AC＝ x，则 BC＝ x－ ×340＝ x－40，217在△ ABC 中，由余弦定理得BC2＝ AB2＋ AC2－2 AB·AC·cos∠ BAC，即( x－40) 2＝10 000＋ x2－100 x，解得 x＝420.在△ ACH 中， AC＝420，∠ CAH＝30°，∠ ACH＝90°，所以 CH＝ AC·tan∠ CAH＝140 (米)．3故该仪器的垂直弹射高度 CH 为 140 米．310.某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下方法：在岸边设置两个观察点 A， B，且 AB 长为 80 米，当航模在 C 处时，测得∠ ABC＝105°和∠ BAC＝30°，经过 20 秒后，航模直线航行到 D 处，测得∠ BAD＝90°和∠ ABD＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案保留根号)解：在△ ABD 中，∵∠ BAD＝90°，∠ ABD＝45°，∴∠ ADB＝45°，∴ AD＝ AB＝80，∴ BD＝80 .2在△ ABC 中， ＝ ，BCsin 30° ABsin 45°∴ BC＝ ＝ ＝40 .ABsin 30°sin 45°80×1222 2- 5 -在△ DBC 中， DC2＝ DB2＋ BC2－2 DB·BCcos 60°＝(80 )2＋(40 )2－2×80 ×40 × ＝9 600.2 2 2 212∴ DC＝40 ，航模的速度 v＝ ＝2 米/秒．640620 6B 组 高考题型专练1.(2015·高考福建卷)如图，在△ ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，AD⊥ AC，sin∠ BAC＝ ， AB＝3 ， AD＝3，则 BD 的长为 ________．223 2解析：因为 sin∠ BAC＝ ，且 AD⊥ AC，223所以 sin ＝ ，(π 2＋ ∠ BAD) 223所以 cos∠ BAD＝ ，在△ BAD 中，由余弦定理得，223BD＝ AB2＋ AD2－ 2AB·ADcos∠ BAD＝ ＝ . 32 2＋ 32－ 2×32×3×223 3答案： 32．(2014·高考重庆卷)在△ ABC 中， B＝120°， AB＝ ， A 的角平分线 AD＝ ，则2 3AC＝________.解析：如图，在△ ABD 中，由正弦定理，得 sin∠ ADB＝＝ ＝ .由题意知 0°∠ ADB60°，所以ABsin∠ BAD 2×323 22∠ ADB＝45°，则∠ BAD＝180°－∠ B－∠ ADB＝15°，所以∠ BAC＝2∠ BAD＝30°，所以∠ C＝180°－∠ BAC－∠ B＝30°，所以 BC＝ AB＝ ，于是由余2弦定理，得 AC＝AB2＋ BC2－ 2AB×BCcos 120°＝ ＝ . 2 2＋  2 2－ 22×2×(－ 12) 6答案： 63．(2015·高考湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD＝________________m.- 6 -解析：依题意，∠ BAC＝30°，∠ ABC＝105°.在△ ABC 中，由∠ ABC＋∠ BAC＋∠ ACB＝180°，所以∠ ACB＝45°，因为 AB＝600 m．由正弦定理可得＝ ，即 BC＝300 m．在 Rt△ BCD 中，因为∠ CBD＝30°， BC＝300 m，600sin 45° BCsin 30° 2 2所以 tan 30°＝ ＝ ，所以 CD＝100 m.CDBC CD3002 6答案：100 64.(2015·高考四川卷)如图， A， B， C， D 为平面四边形 ABCD 的四个内角．(1)证明：tan ＝ ；A2 1－ cos Asin A(2)若 A＋ C＝180°， AB＝6， BC＝3， CD＝4， AD＝5，求 tan ＋tan ＋tan ＋tan 的A2 B2 C2 D2值．解：(1)证明：tan ＝ ＝ ＝ .A2sinA2cosA22sin2A22sinA2cosA2 1－ cos Asin A(2)由 A＋ C＝180°，得 C＝180°－ A， D＝180°－ B.由(1)，有 tan ＋tan ＋tan ＋tanA2 B2 C2 D2＝ ＋ ＋1－ cos Asin A 1－ cos Bsin B 1－ cos 180°－ Asin 180°－ A＋ ＝ ＋ .1－ cos 180°－ Bsin 180°－ B 2sin A 2sin B连接 BD(图略)．在△ ABD 中，有 BD2＝ AB2＋ AD2－2 AB·ADcos A，在△ BCD 中，有 BD2＝ BC2＋ CD2－2 BC·CDcos C，所以 AB2＋ AD2－2 AB·ADcos A＝ BC2＋ CD2＋2 BC·CDcos A.则 cos A＝ ＝ ＝ .AB2＋ AD2－ BC2－ CD22 AB·AD＋ BC·CD 62＋ 52－ 32－ 422 6×5＋ 3×4 37于是 sin A＝ ＝ ＝ .1－ cos2A1－ (37)2 2107连接 AC.同理可得cos B＝ ＝ ＝ ，AB2＋ BC2－ AD2－ CD22 AB·BC＋ AD·CD 62＋ 32－ 52－ 422 6×3＋ 5×4 119于是 sin B＝ ＝ ＝ .1－ cos2B1－ (119)2 61019- 7 -所以 tan ＋tan ＋tan ＋tanA2 B2 C2 D2＝ ＋ ＝ ＋ ＝ .2sin A 2sin B 2×7210 2×19610 4103- 1 -【优化探究】2017 届高考数学一轮复习 第三章 第二节 同角三角函数关系式与诱导公式课时作业 理 新人教 A 版A 组 考点能力演练1．已知 cos ＝ ，且 α ∈ ，则 tan α ＝( )(π 2＋ α ) 35 (π 2， 3π2)A. B.43 34C．－ D．±34 34解析：因为 cos ＝ ，所以 sin α ＝－ ，显然 α 在第三象限，所以 cos α ＝－(π 2＋ α ) 35 35，故 tan α ＝ .45 34答案：B2．已知 α 为锐角，且 2tan(π－ α )－3cos ＋5＝0，tan(π＋ α )(π 2＋ β )＋6sin(π＋ β )＝1，则 sin α 的值是( )A. B.355 377C. D.31010 13解析：由已知可得－2tan α ＋3sin β ＋5＝0，tan α －6sin β ＝1，解得 tan α ＝3，故 sin α ＝ .31010答案：C3．(2015·枣庄模拟)已知 cos α ＝ ，－ ，∴ A － B0， B － A0，∴sin Asinπ 2 π 2 π 2＝cos B，sin Bsin ＝cos A，(π 2－ B) (π 2－ A)∴cos B－sin A0，∴点 P 在第二象限，选 B.答案：B6．已知 α ∈ ，cos α ＝ ，则 sin ＝________.(0，π 2) 45 (π － α )解析：因为 α ∈ ，所以 sin(π－ α )＝sin α ＝ ＝ .(0，π 2) 1－ cos2α 35答案：357．(2015·南昌调研)已知 tan α ＝2，则 cos ·cos 的值为________．(π ＋ α ) (π 2＋ α )解析：本题考查三角函数基本公式．依题意得 cos(π＋ α )cos ＝cos α sin (π 2＋ α )α ＝ ＝ ＝ .cos α sin αcos2α ＋ sin2α tan α1＋ tan2α 25- 3 -答案：258．(2015·长沙一模)设 f(x)＝sin ，则 f(1)＋ f(2)＋ f(3)＋…＋ f(2 015)xπ3＝________.解析：由于 f(x)＝sin ，所以 f(n＋6)xπ3＝sin ＝sin ＝sin ＝ f(n)，所以 f(x)是以 6 为周期的函数，由于 n＋ 6 π3 (2π ＋ nπ3) nπ3f(1)＝ f(2)＝ ， f(3)＝ f(6)＝0， f(4)＝ f(5)＝－ ，所以 f(1)＋ f(2)＋ f(3)＋…＋ f(2 32 32015)＝ f(1)＋ f(2)＋ f(3)＋ f(4)＋ f(5)＝0.答案：09．已知 π0，cos α 0.π 2(1)(sin α －cos α )2＝1－2sin α ·cos α ＝1－ ＝ ，(－79) 169∴sin α －cos α ＝ .43(2)sin3 ＋cos 3 ＝cos 3α －sin 3α(π 2－ α ) (π 2＋ α )＝(cos α －sin α )(cos2α ＋cos α ·sin α ＋sin 2α )＝－ × ＝－ .43 (1－ 718) 2227B 组 高考题型专练1．(2015·高考福建卷)若 sin α ＝－ ，且 α 为第四象限角，则 tan α 的值等于( )513A. B．－125 125C. D．－512 512解析：因为 sin α ＝－ ，且 α 为第四象限角，所以 cos α ＝ ，所以 tan 513 1213α ＝－ ，故选 D.512答案：D2．(2013·高考大纲全国卷改编)已知 α 是第二象限角，sin α ＝ ，则 tan α 的值513是( )A. B．－512 512C. D．－125 125解析：∵sin α ＝ ，且 α 是第二象限角，513∴cos α ＝－ ＝－ ，则 tan α ＝ ＝－ .1－ sin2α1213 sin αcos α 512答案：B3. (2013·高考浙江卷改编 )已知 sin α ＋2cos α ＝ (α ∈R)，则 tan 1022α ＝________.- 5 -解析：由 sin α ＋2cos α ＝ ，平方得102sin2α ＋4sin α cos α ＋4cos 2α ＝ ，52整理，3sin 2α －8sin α cos α －3cos 2α ＝0，∴3tan 2α －8tan α －3＝0，则 tan α ＝3 或 tan α ＝－ .13代入 tan 2α ＝ ，得 tan 2α ＝－ .2tan α1－ tan2α 34答案：－344．(2015·高考四川卷)已知 sin α ＋2cos α ＝0，则 2sin α cos α －cos 2α 的值是________．解析：sin α ＋2cos α ＝0⇔tan α ＝－2，所以 2sin α cos α －cos 2α ＝＝ ＝ ＝－1.2sin α cos α － cos2αsin2α ＋ cos2α 2tan α － 1tan2α ＋ 1 － 4－ 14＋ 1答案：－15．(2015·高考广东卷)已知 tan α ＝2.(1)求 tan 的值；(α ＋π 4)(2)求 的值．sin 2αsin2α ＋ sin α cos α － cos 2α － 1解：(1)tan ＝ ＝ ＝－3.(α ＋π 4)tan α ＋ tanπ 41－ tan α tanπ 4 2＋ 11－ 2×1(2)sin 2αsin2α ＋ sin α cos α － cos 2α － 1＝2sin α cos αsin2α ＋ sin α cos α －  2cos2α － 1 － 1＝2sin α cos αsin2α ＋ sin α cos α － 2cos2α＝2tan αtan2α ＋ tan α － 2＝ ＝1.2×222＋ 2－ 2- 1 -【优化探究】2017 届高考数学一轮复习 第三章 第六节 简单的三角恒等变换课时作业 理 新人教 A 版A 组 考点能力演练1．(2015·洛阳统考)已知 sin 2α ＝ ，则 cos2 ＝( )13 (α － π 4)A．－ B．－13 23C. D.13 23解析：∵cos 2 ＝ ＝ ，∴cos 2 ＝ .(α －π 4) 1＋ cos(2α － π 2)2 1＋ sin 2α2 (α － π 4) 23答案：D2．已知 2sin θ ＋3cos θ ＝0，则 tan 2θ ＝( )A. B.59 125C. D.95 512解析：∵2sin θ ＋3cos θ ＝0，∴tan θ ＝－ ，32∴tan 2 θ ＝ ＝ ＝ .2tan θ1－ tan2θ2×(－ 32)1－ 94 125答案：B3．sin 2 α ＝ ，0A，所以 cos(B－ A)＝ ，故选 D.tan B－ tan A1＋ tan Btan A 2－ 11＋ 2×1 13 31010答案：D5．若 α ∈ ，且 3cos 2α ＝sin ，则 sin 2α 的值为( )(π 2， π ) (π 4－ α )A. B．－118 118C. D．－1718 1718解析：依题意得 3(cos2α －sin 2α )＝ (cos α －sin α )，cos α ＋sin α ＝ ，(cos 22 26α ＋sin α )2＝ 2＝ ，即 1＋sin 2 α ＝ ，sin 2 α ＝－ ，故选 D.(26) 118 118 1718答案：D6．计算 ＝________.sin250°1＋ sin 10°解析：＝ ＝ ＝ ＝ .sin250°1＋ sin 10° 1－ cos 100°2 1＋ sin 10° 1－ cos 90°＋ 10°2 1＋ sin 10° 1＋ sin 10°2 1＋ sin 10° 12答案：127．化简 sin2 ＋sin 2 －sin 2α 的结果是________．(α －π 6) (α ＋ π 6)解析：法一：原式＝1－ cos(2α － π 3)2- 3 -＋ －sin 2α1－ cos(2α ＋ π 3)2＝1－ －sin 2α ＝1－cos 2α ·cos －sin 2α ＝1－12[cos(2α － π 3)＋ cos(2α ＋ π 3)] π 3－ ＝ .cos 2α2 1－ cos 2α2 12法二：令 α ＝0，则原式＝ ＋ ＝ .14 14 12答案：128．设 sin 2α ＝－sin α ， α ∈ ，则 tan 2α 的值是________．(π 2， π )解析：∵sin 2 α ＝2sin α cos α ＝－sin α ，∴cos α ＝－ ，12又 α ∈ ，∴sin α ＝ ，tan α ＝－ ，(π 2， π ) 32 3∴tan 2 α ＝ ＝ ＝ .2tan α1－ tan2α － 231－  － 3 2 3答案： 39．设函数 f(x)＝sin ωx ＋sin ， x∈R.(ω x－π 2)(1)若 ω ＝ ，求 f(x)的最大值及相应 x 的集合；12(2)若 x＝ 是 f(x)的一个零点，且 0ω 10，求 ω 的值和 f(x)的最小正周期．π 8解：由已知： f(x)＝sin ωx －cos ωx ＝ sin .2 (ω x－π 4)(1)若 ω ＝ ，则 f(x)＝ sin .12 2 (12x－ π 4)又 x∈R，则 sin ≤ ，2 (12x－ π 4) 2∴ f(x)max＝ ，此时 x－ ＝2 kπ＋ ， k∈Z，212 π 4 π 2即 x∈Error!.(2)∵ x＝ 是函数 f(x)的一个零点，π 8∴ sin ＝0，∴ ω － ＝ kπ， k∈Z，2 (π 8ω － π 4) π 8 π 4- 4 -又 0ω 10，∴ ω ＝2，∴ f(x)＝ sin ，此时其最小正周期为 π.2 (2x－π 4)10．(2016·沈阳模拟)已知函数 f(x)＝sin x－ cos x＋2，记函数 f(x)的最小正周期3为 β ，向量 a＝(2，cos α )， b＝ ，且 a·b＝ .(1， tan(α ＋β 2))(0α π 4) 73(1)求 f(x)在区间 上的最值；[2π3， 4π3](2)求 的值．2cos2α － sin 2 α ＋ β cos α － sin α解：(1) f(x)＝sin x－ cos x＋23＝2sin ＋2，(x－π 3)∵ x∈ ，∴ x－ ∈ ，[2π3， 4π3] π 3 [π 3， π ]∴ f(x)的最大值是 4，最小值是 2.(2)∵ β ＝2π，∴ a·b＝2＋cos α tan(α ＋π)＝2＋sin α ＝ ，73∴sin α ＝ ，13∴ ＝ ＝2cos α2cos2α － sin 2 α ＋ β cos α － sin α 2cos2α － sin 2αcos α － sin α＝2 ＝ .1－ sin2α423B 组 高考题型专练1．(2015·高考北京卷)已知函数 f(x)＝ sin cos － sin2 .2x2 x2 2 x(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间[－π，0]上的最小值．解：(1)因为 f(x)＝ sin x－ (1－cos x)22 22＝sin － ，所以 f(x)的最小正周期为 2π.(x＋π 4) 22(2)因为－π≤ x≤0，所以－ ≤ x＋ ≤ .3π4 π 4 π 4当 x＋ ＝－ ，即 x＝－ 时， f(x)取得最小值．π 4 π 2 3π4所以 f(x)在区间[－π，0]上的最小值为 f ＝－1－ .(－3π4) 22- 5 -2．(2013·高考陕西卷)已知向量 a＝ ， b＝( sin x，cos 2x)， x∈R，设(cos x， －12) 3函数 f(x)＝ a·b.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在 上的最大值和最小值．[0，π 2]解： f(x)＝ ·( sin x，cos 2 x)(cos x， －12) 3＝ cos xsin x－ cos 2x＝ sin 2x－ cos 2x312 32 12＝cos sin 2x－sin cos 2x＝sin .π 6 π 6 (2x－ π 6)(1)f(x)的最小正周期 T＝ ＝ ＝π，2πω 2π2即函数 f(x)的最小正周期为 π.(2)∵0≤ x≤ ，∴－ ≤2 x－ ≤ .π 2 π 6 π 6 5π6当 2x－ ＝ ，即 x＝ 时， f(x)取得最大值 1.π 6 π 2 π 3当 2x－ ＝－ ，即 x＝0 时， f(0)＝－ ，π 6 π 6 12当 2x－ ＝ π，即 x＝ 时， f ＝ ，π 6 56 π 2 (π 2) 12∴ f(x)的最小值为－ .因此， f(x)在 上的最大值是 1，最小值是－ .12 [0， π 2] 123．(2014·高考天津卷)在△ ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知a－ c＝ b.sin B＝ sin C.66 6(1)求 cos A 的值；(2)求 cos 的值．(2A－π 6)解：(1)在△ ABC 中，由 ＝ ，及 sin B＝ sin C，可得 b＝ c.又由 a－ c＝bsin B csin C 6 6b，有 a＝2 c.66所以 cos A＝ ＝ ＝ .b2＋ c2－ a22bc 6c2＋ c2－ 4c226c2 64(2)在△ ABC 中，由 cos A＝ ，可得 sin A＝ .64 104- 6 -于是，cos 2 A＝2cos 2A－1＝－ ，14sin 2A＝2sin A·cos A＝ .154所以 cos ＝cos 2 A·cos ＋sin 2 A·sin ＝ .(2A－π 6) π 6 π 6 15－ 38- 1 -【优化探究】2017 届高考数学一轮复习 第三章 第七节 正弦定理和余弦定理课时作业 理 新人教 A 版A 组 考点能力演练1．(2016·兰州一模)在锐角△ ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 b＝2 asin B，则 A＝( )A．30° B．45°C．60° D．75°解析：因为在锐角△ ABC 中， b＝2 asin B，由正弦定理得，sin B＝2sin Asin B，所以sin A＝ ，又 0A ，所以 A＝30°，故选 A.12 π 2答案：A2．在△ ABC 中，三内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，面积为 S，若 S＋ a2＝( b＋ c)2，则 cos A 等于( )A. B．－45 45C. D．－1517 1517解析： S＋ a2＝( b＋ c)2⇒a2＝ b2＋ c2－2 bc ，由余弦定理得 sin A－1＝cos (14sin A－ 1) 14A，结合 sin2A＋cos 2A＝1，可得 cos A＝－ .1517答案：D3．已知△ ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 a2＝ b2＋ c2－ bc， bc＝4，则△ ABC 的面积为( )A. B．112C. D．23解析：∵ a2＝ b2＋ c2－ bc，∴cos A＝ ，∴ A＝ ，又 bc＝4，∴△ ABC 的面积为 bcsin 12 π 3 12A＝ ，故选 C.3答案：C4．在△ ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，若 c＝1， B＝45°，cos A＝ ，35则 b 等于( )A. B.53 107- 2 -C. D.57 5214解析：因为 cos A＝ ，所以 sin A＝ ＝ ＝ ，所以 sin 35 1－ cos2A 1－ (35)2 45C＝sin[π－( A＋ B)]＝sin( A＋ B)＝sin Acos B＋cos A·sin B＝ cos 45°＋ sin 45°＝45 35.7210由正弦定理 ＝ ，得 b＝ ×sin 45°＝ .bsin B csin C 17210 57答案：C5．(2015·唐山一模)在直角梯形 ABCD 中， AB∥ CD，∠ ABC＝90°， AB＝2 BC＝2 CD，则cos∠ DAC＝( )A. B.1010 31010C. D.55 255解析：由已知条件可得图形，如图所示，设 CD＝ a，在△ ACD 中，CD2＝ AD2＋ AC2－2 AD×AC×cos∠ DAC，∴ a2＝( a)2＋( a)2 52－2× a× a×cos∠ DAC，∴cos∠ DAC＝ .2 531010答案：B6．(2015·高考重庆卷)设△ ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 a＝2，cos C＝－ ，3sin A＝2sin B，则 c＝________.14解析：由 3sin A＝2sin B 及正弦定理，得 3a＝2 b，所以 b＝ a＝3.由余弦定理 cos C＝32，得－ ＝ ，解得 c＝4.a2＋ b2－ c22ab 14 22＋ 32－ c22×2×3答案：47．(2015·高考北京卷)在△ ABC 中， a＝4， b＝5， c＝6，则 ＝________.sin 2Asin C解析：由正弦定理得 sin A∶sin B∶sin C＝ a∶ b∶ c＝4∶5∶6，又由余弦定理知 cos A＝ ＝ ＝ ，所以 ＝ ＝2× ×cos b2＋ c2－ a22bc 25＋ 36－ 162×5×6 34 sin 2Asin C 2sin Acos Asin C sin Asin C- 3 -A＝2× × ＝1.46 34答案：18．在△ ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2 B＝1.若 C＝ ，则 ＝________.2π3 ab解析：∵sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1，∴sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin 2B.由正弦定理可得 ab＋ bc＝2 b2，即 a＋ c＝2 b，∴ c＝2 b－ a，∵ C＝ ，由余弦定理可得2π3(2b－ a)2＝ a2＋ b2－2 abcos ，可得 5a＝3 b，∴ ＝ .2π3 ab 35答案：359．在△ ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 2 asin B＝5 c，cos B＝ .31114(1)求角 A 的大小；(2)设 BC 边的中点为 D，| AD|＝ ，求△ ABC 的面积．192解：(1)由 cos B＝ 得 sin B＝ .1114 5314又 2 asin B＝5 c，代入得 3a＝7 c，3由 ＝ 得 3sin A＝7sin C，asin A csin C3sin A＝7sin( A＋ B)，3sin A＝7sin Acos B＋7cos Asin B，得 tan A＝－ ， A＝ .32π3(2)AB2＋ BD2－2 AB·BDcos B＝ ，194c2＋ 2－2 c· c· ＝ ， c＝3，则 a＝7.(76c) 76 1114 194S＝ acsin B＝ ×3×7× ＝ .12 12 5314 153410．(2016·杭州模拟)设△ ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 acos C－ c＝ b.12(1)求角 A 的大小；(2)若 a＝1，求△ ABC 周长的取值范围．解：(1)由 acos C－ c＝ b 得 sin Acos C－ sin C＝sin B.12 12- 4 -又 sin B＝sin( A＋ C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以 sin C＝－cos Asin C.12因为 sin C≠0，所以 cos A＝－ .12又因为 0Aπ，所以 A＝ .2π3(2)由正弦定理得 b＝ ＝ sin B， c＝ sin C.asin Bsin A 23 23l＝ a＋ b＋ c＝1＋ (sin B＋sin C)23＝1＋ [sin B＋sin( A＋ B)]23＝1＋23(12sin B＋ 32cos B)＝1＋ sin .23 (B＋ π 3)因为 A＝ ，所以 B∈ ，2π3 (0， π 3)所以 B＋ ∈ .π 3 (π 3， 2π3)所以 sin ∈ .(B＋π 3) (32， 1]所以△ ABC 的周长的取值范围为 .(2，233＋ 1]B 组 高考题型专练1．(2015·高考广东卷)设△ ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 a＝ ，sin 3B＝ ， C＝ ，则 b＝________.12 π 6解析：由 sin B＝ 得 B＝ 或 ，因为 C＝ ，所以 B≠ ，所以 B＝ ，于是 A＝12 π 6 5π6 π 6 5π6 π 6.由正弦定理，得 ＝ ，所以 b＝1.2π3 3sin2π3 b12答案：12．(2015·高考天津卷)在△ ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知△ ABC的面积为 3 ， b－ c＝2，cos A＝－ ，则 a 的值为________．1514- 5 -解析：由 cos A＝－ 得 sin A＝ ，所以△ ABC 的面积为 bcsin 14 154 12A＝ bc× ＝3 ，解得 bc＝24，又 b－ c＝2，所以 a2＝ b2＋ c2－2 bccos A＝( b－ c)12 154 152＋2 bc－2 bccos A＝2 2＋2×24－2×24× ＝64，故 a＝8.(－14)答案：83．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知 a， b， c 分别为△ ABC 内角 A， B， C 的对边，sin2B＝2sin Asin C.(1)若 a＝ b，求 cos B；(2)设 B＝90°，且 a＝ ，求△ ABC 的面积．2解：(1)由题设及正弦定理可得 b2＝2 ac.又 a＝ b，可得 b＝2 c， a＝2 c.由余弦定理可得 cos B＝ ＝ .a2＋ c2－ b22ac 14(2)由(1)知 b2＝2 ac.因为 B＝90°，由勾股定理得 a2＋ c2＝ b2.故 a2＋ c2＝2 ac，得 c＝ a＝ .2所以△ ABC 的面积为 1.4．(2015·高考湖南卷)设△ ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， a＝ btan A.(1)证明：sin B＝cos A；(2)若 sin C－sin Acos B＝ ，且 B 为钝角，求 A， B， C.34解：(1)证明：由 a＝ btan A 及正弦定理，得 ＝ ＝ ，sin Acos A ab sin Asin B所以 sin B＝cos A.(2)因为 sin C－sin Acos B＝sin[180°－( A＋ B)]－ sin Acos B＝sin( A＋ B)－sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝cos Asin B，所以 cos Asin B＝ .34由(1)sin B＝cos A，因此 sin2B＝ .又 B 为钝角，所以 sin B＝ ，故 B＝120°.34 32由 cos A＝sin B＝ 知 A＝30°，从而 C＝180°－( A＋ B)＝30°.32综上所述， A＝30°， B＝120°， C＝30°.5．(2015·高考浙江卷)在△ ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知 tan- 6 -＝2.(π 4＋ A)(1)求 的值；sin 2Asin 2A＋ cos2A(2)若 B＝ ， a＝3，求△ ABC 的面积．π 4解：(1)由 tan ＝2，得(π 4＋ A)tan A＝ ，所以 ＝ ＝ .13 sin 2Asin 2A＋ cos2A 2tan A2tan A＋ 1 25(2)由 tan A＝ ， A∈(0，π)，得13sin A＝ ，cos A＝ .1010 31010又由 a＝3， B＝ 及正弦定理 ＝ ，得 b＝3 .π 4 asin A bsin B 5由 sin C＝sin( A＋ B)＝sin ，得 sin C＝ .设△ ABC 的面积为 S，则 S＝ absin (A＋π 4) 255 12C＝9.