1、7.3.1正弦函数的性质与图像最新课程标准：(1)能正确使用“五点法”“几何法”作出正弦函数的图像(难点)(2)理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调区间及最值(重点)知识点一正弦函数的图像(1)利用正弦线可以作出ysinx，x0，2的图像，要想得到ysinx(xR)的图像，只需将ysinx，x0，2的图像_即可，此时的图像叫做正弦曲线(2)“五点法”作ysinx，x0，2的图像时，所取的五点分别是(0，0)，_，(，0)，_和(2，0)知识点二正弦函数的性质(1)函数的周期性周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个_，使得定义域内的_x值，都满足_，那么函数f(x)就叫做
2、周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期最小正周期：对于一个_函数f(x)，如果在它的_存在一个_，那么这个_就叫做它的最小正周期(2)正弦函数的性质函数ysinx定义域(，)值域1，1奇偶性奇函数周期性最小正周期：_单调性在_(kZ)上递增；在_(kZ)上递减最值x_时，y最大值1；x_时，y最小值1状元随笔观察正弦函数的图像是否具有对称性，它的对称性是怎样的？提示由图(图略)可以看出，正弦函数的图像关于原点成中心对称，除了原点这个对称点外，对于正弦函数图像，点(，0)，点(2，0)，点(k，0)也是它的对称中心，由此正弦函数图像有无数个对称中心，且为(k，0)(kZ)，即图像与x轴的交点，正
3、弦函数的图像还具有轴对称性，对称轴是xk2，(kZ)，是过图像的最高或最低点，且与x轴垂直的直线基础自测1以下对于正弦函数ysinx的图像描述不正确的是()A在x2k，2k2，kZ上的图像形状相同，只是位置不同B关于x轴对称C介于直线y1和y1之间D与y轴仅有一个交点2下列图像中，符合ysinx在0，2上的图像的是()3点M2，-m在函数ysinx的图像上，则m等于()A0B1C1D24若sinx2m1且xR，则m的取值范围是_题型一正弦函数的图像例1作函数ysinx，x0，2与函数y1sinx，x0，2的简图，并研究它们之间的关系可以用“五点法”原理在同一坐标系中作出两函数的图像，然后比较它
4、们的关系x02322sinx010101sinx10121【解析】按五个关键点列表：利用正弦函数的性质描点作图，如图：由图像可以发现，把ysinx，x0，2的图像向下平移1个单位长度即可得y1sinx，x0，2的图像方法归纳(1)解答本题的关键是要抓住五个关键点，使函数中x取0，2，32，2，然后相应求出y值，作出图像(2)五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向(3)ysinxb的图像可以由ysinx的图像上、下平移获得跟踪训练1用“五点法”画出函数y12sinx，x0，2上的图像题型二正弦函数的单调性及应用例2比较下列各
5、组数的大小(1)sin194和cos160；(2)sin74和cos53；(3)sinsin38和sincos38.先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小方法归纳(1)求正弦函数的单调区间和最值时要联系正弦函数的图像，同时注意三角函数的周期性(2)比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较跟踪训练2比较大小：(1)sin250与sin260；(2)sin (235)与sin (174)题型三正弦函数的值域与最值问题状元随笔函数yAsinxb，xR的最大值一定
6、是Ab吗？提示不是因为A0时最大值为Ab，若A0时最大值应为Ab.例3求下列函数的值域(1)y32sin2x-3；(2)y12sin2xsinx.状元随笔(1)用|sin|1构建关于y的不等式，从而求得y的取值范围(2)用t代替sinx，然后写出关于t的函数，再利用二次函数的性质及|t|1即可求出y的取值范围方法归纳(1)换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性(2)将复合函数转化成一个函数，要注意不要一见sinx就有1sinx1，要根据x的范围确定跟踪训练3求y2sin2x+3-6x6的最大值和最小值教材反思(1)“几何法”和“五点法”画正弦函数图像的优缺点“几何法”就是利用单位圆中正弦
7、线作出正弦函数图像的方法该方法作图较精确，但较为繁琐“五点法”是画三角函数图像的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法(2)正弦函数周期性的释疑由正弦函数的图像和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期为2.(3)正弦函数的奇偶性正弦函数是奇函数，反映在图像上，正弦曲线关于原点O对称正弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形(4)正弦函数单调性的说明正弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间求解(或判断)正弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步确定含有正弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断(5)正弦函数
8、最值的释疑明确正弦函数的有界性，即|sinx|1.对有些正弦函数，其最值不一定是1或1，要依赖函数定义域来决定易错点忽略自变量的范围而出错设|x|4，求函数f(x)cos2xsinx的最小值错解：f(x)cos2xsinx1sin2xsinx-sinx-12254.令sinxt，则1t1，所以当sinx1时取最小值1.正解：f(x)cos2xsinx1sin2xsinx-sinx-12254.|x|4，22sinx22，当sinx22时取最小值为1-22.错误原因：忽略了自变量的范围纠错心得：要注意不要一见sinx就有1sinx1，要根据x的范围确定73.1正弦函数的性质与图像新知初探自主学习
9、知识点一(1)沿x轴平移2，4，(2)2，132，-1知识点二(1)非零常数T每一个f(xT)f(x)周期所有周期中最小的正数最小正数(2)22k2，2k22k2，2k322k2(kZ)2k2(kZ)基础自测1解析：观察ysinx图像可知A，C，D项正确，且关于原点中心对称，故选B.答案：B2解析：把ysinx，x0，2上的图像关于x轴对称，即可得到ysinx，x0，2上的图像，故选D.答案：D3解析：由题意msin2，m1，m1.答案：C4解析：因为1sinx1，sinx2m1，所以12m11，解得1m0.答案：1，0课堂探究素养提升跟踪训练1解析：取值列表如下：x02322sinx0101
10、012sinx1232121212描点，并将它们用光滑的曲线连接起来(如图)例2【解析】(1)sin194sin (18014)sin14.cos160cos (18020)cos20sin70.0147090，sin14sin70，即sin194cos160.(2)cos53sin2+53，又2742+53sin2+53cos53，即sin74cos53.(3)cos38sin8，0cos38sin3812.而ysinx在0，2内递增，sincos38sin25，即sin-235sin-174.例3【解析】(1)1sin (2x3)11y5值域为1，5(2)y12sin2xsinx，令sinxt，则1t1，y2t2t12t-14298.由二次函数y2t2t1的图像可知2y98，即函数y12sin2xsinx的值域为2，98.跟踪训练3解析：6x6，02x323，0sin2x+31.当sin2x+31时，ymax2；当sin2x+30时，ymin0.
