1、1厦门市 20072008 学年高三数学（理科）练习（四）A 组题（共 100 分）一选择题：本大题共 6 题，每小题 5 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知直线 l1：y= x+1 和 l2：y=2, 则 l1 到 l2 的角是（ ）3A30 0 B60 0 C120 0 D150 02圆 x2+y2+4x=0 的圆心坐标和半径分别是（ ）A （-2，0） ，2 B （-2，0） ，4 C （2，0） ，2 D2，0） ，43椭圆 + =1 的焦点坐标是 （ ）516yA （3，0） ， （-3，0） B （0，3） ， （0，-3 ）C （ ，0）
2、 ， （- ，0） D （0， ） ， （0，- ）4441414抛物线 x2=4y 的准线方程是（ ）y=1 y=1 x=1 x=15等轴双曲线的一个焦点为 ，则它的标准方程是（ ）)23,(A B C D92x9yx182y182y6点（1，2）关于直线 y=x1 的对称点的坐标是（ ）A(3,2) B( 3,2) C(3,2) D(3,2)二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。7已知两平行直线 l1 ：3x-4y=0 与 l2：3x-4y+c=0 的距离为 1，则 c= 。8若 O、F 、 ,B 分别是椭圆的中心，焦点和短轴的端点， ，则此椭圆的离心3BFO率 e=
3、_9x 轴被圆 C：x 2+y2-6x+8y=0 截得的线段长是 .10若方程 =1 表示双曲线，则其焦距为 221my三解答题：本大题共 4 小题，共 50 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11自点（3，3）发出的光线 L 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射线所在直线与圆相切，求光线 L 所在直线方程072yx212椭圆中心为原点 O，焦点在 x 轴上，离心率 e= ，直线 y=x+1 交椭圆于 A,B 两点，2且AOB 的面积 ，求此椭圆的方程。32ABS13已知双曲线的渐近线方程为 ，焦点在 轴上，焦点到相应准线的距离为xy2.54求此双曲线方程；设 是双曲线的右焦点，
4、 、 在双曲线上，且 ，求直线 的方程.FABAB14已知圆(x4) 2y 225 的圆心为 M1，圆(x4) 2y 21 的圆心为 M2，一动圆与这两圆都外切求动圆圆心 P 的轨迹方程；若过点 M2 的直线与中所求轨迹有两个交点 A、B ，求|AM 1|BM1|的取值范围B 组题（共 100 分）四选择题：本大题共 6 题，每小题 5 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。15已知 R，则直线 的倾斜角的取值范围是 （ ）013sinyxA0，30 B 150，180) C0 ， 30 150，180) D30，15016已知实数 x，y 满足 的最小值为 （
5、 ）2,52yx那 么A B C2 D25 10 5 1017已知椭圆 的离心率 ,则实数 的值为 （ ）2kekA3 B3 或 C D 或5515318在平面直角坐标系中，不等式组 （a 为常数）表示的平面区域面积是xy049，那么实数 a 的值为 （ ）3A3 +2 B 3 +2 C5 D12219已知 F1、F 2 是双曲线 的两焦点，以线段 F1F2 为边作正三)0,(12bayx角形，若双曲线恰好平分正三角形的另两边，则双曲线的离心率是 （ ）A B C D324132131320动圆 C 恒过定点(0，1)并总与 y=-1 相切，则此动圆圆心的轨迹方程为 （ ）Ay 2=4x Bx
6、 2=4y Cy 2=2x Dx 2=2y五填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。21与方程 的图形关于 对称的图形的方程是 3x22直线 过双曲线 的右焦点 ，方向向量为 ，若原l21(0,)xyabFv(,)ab点到直线 的距离是原点到右准线距离的 倍，则双曲线的离心率为_l 223椭圆 的左、右焦点分别为 F1、F 2，点 P 在椭圆上，若 P、F 1、F 2 是一1462yx个直角三角形的三个顶点，则 P 到 x 轴距离为 .24过定点 P（1，4）作直线交抛物线 C：y=2x 2 于 A、B 两点，过 A、B 分别作抛物线C 的切线交于点 M，则点 M 的轨迹方程
7、为 .六解答题：本大题共 4 小题，共 50 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25求过点(0，2)的直线被椭圆 x22y 22 所截弦的中点的轨迹方程26已知圆 M：2x 2+2y28x8y10 和直线 ：x+y 90，过直线 上一点 A 作llABC，使BAC=45，AB 过圆心 M，且 B，C 在圆 M 上。427学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为 ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）1250yx后返回的轨迹是以 轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为y)764,(M. 观测点 同时跟踪航天)0
8、,8(D),4(BA、器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在 轴上方时，观测点x测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天BA、器发出变轨指令？28设 上的两点，满足)0(1),(),( 221 baxyxByA是 椭 圆，椭圆的离心率 短轴长为 2，0 为坐标原点.0,21abx ,3e（1）求椭圆的方程；（2）若直线 AB 过椭圆的焦点 F（0，c） ， （c 为半焦距） ，求直线 AB 的斜率 k 的值；（3）试问：AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.C 组题（共 50 分）七选择题：本大题共 2 题，每小题 5 分，共 1
9、0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。29双曲线 的左焦点为 F1，顶点为 A1，A 2，P 是该双曲线右支上任意一点，12byax则分别以线段 PF1，A 1A2 为直径的两圆一定 （ ）A相交 B内切 C外切 D相离30抛物线 上与点 A（0，a）距离最小的点恰好是该抛物线的顶点，这个结论成2xy立的充要条件是（ ）A. B. C. D. 0a1212a5八填空题：本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分。31过 轴上一点 ，向圆 作切线，切点分别为 ，则 面xP22:1Cxy,ABC积的最大值为 。32若 、 为双曲线 的左、右焦点，O 为坐标原点，点 在双
10、曲线的左1F22ba P支上，点 在双曲线的右准线上，且满足 ，则该M)(,11OMFPMF0(双曲线的离心率为 。九解答题：本大题共 2 小题，共 30 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。33已知ABC 的两顶点 A、B 分别是双曲线 的左、右焦点, 且 sinC 是21xysinA、sinB 的等差中项. （）求顶点 C 的轨迹 T 的方程； （）设 P(-2,0), M、N 是轨迹 T 上不同两点，当 PMPN 时，证明直线 MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.34 （上海 2007 卷）我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称12byax(0)x 12cxby(0)作“果圆”
11、 ，其中 ， ， 2cc如图，点 ， ， 是相应椭圆的焦点， ， 和 ， 分别是“果圆”与 ，0F1 1A21B2x轴的交点y（1）若 是边长为 1 的等边三角形，求012“果圆”的方程； （2）当 时，求 的取值范围；21A21Bab（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦试研究：是否存在实数 ，使斜率为 的“果kk圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求y 1BO1A22AF02x.6出所有可能的 值；若不存在，说明理由k7厦门市 20072008 学年高三数学（理科）练习（四）参考答案A 组题答案： 1. C 2. A 3.A 4. A 5. A 6. D 7. 8.
12、 9. 6 10. 5213211. 解：已知圆的标准方程是(x2) 2(y2) 21，它关于 x 轴的对称圆的方程是(x2) 2(y2) 21。设光线 L 所在直线方程是：y3k(x3) 。 由题设知对称圆的圆心 C（2，2）到这条直线的距离等于 1，即 1|5|2kd整理得 解得 ,01512k34k或故所求的直线方程是 ，或 ，)3(4xy )(xy即 3x4y30，或 4x3y3012. 解： 12x13. 解：（1） （2）4y )5(12xy14.解：（1）|PM 1|5|PM 2|1，|PM 1| |PM2|4动圆圆心 P 的轨迹是以 M1、M 2 为焦点的双曲线的右支。c4，a
13、2，b 212，故所求轨迹方程为 1（x2） 。4xy（2）当过 M2 的直线倾斜角不等于 时，设其斜率为 k，2直线方程为 yk(x4)与双曲线 3x2y 2120 联立，消去 y 化简得(3k 2)x28k 2x16k 2120 又设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 10，x 20由 解得 k23。0)34)(316408221kkxk由双曲线左准线方程 x1 且 e2，有|AM1|BM1|e|x 11|e|x 21|4x 1x2(x 1x 2)14( 1)100 362k8k36k8k2 30， |AM1|BM1|100又当直线倾斜角等于 时，A(4，y 1)，B(4，y
14、2)，|AM 1| |BM1|e(41)102|AM1|BM1|100 故 |AM1|BM1|100。B 组题答案：15. C 16. A 17. B 18. D 19. D 20. B21. 22. 23. 1 或 24. y=4x43yx63225.解：设直线方程为 ykx2，把它代入 x22y 22整理得 (2k21)x 28kx60要使直线和椭圆有两个不同交点，则 0，即k ，6k或设直线与椭圆两个交点为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，中点坐标为 C(x，y)，则x 241ky 1从参数方程 (k 或 k )1242kyx62消去 k 得 x22(y1) 22且x ，0y
15、6综上，所求轨迹方程为 ，其中 ，2)1(x226|x1y026.解：(1)当 A 的横坐标为 4 时，求直线 AC 的方程；（2）求点 A 的横坐标的取值范围。解：依题意 M（2，2） ，A（4，5） ， ，设直线 AC 的斜率为 ，则 ,解3AMkk1239得 或 ，故所求直线 AC 的方程为 或 ；5k1 025yx021yx圆的方程可化为 ，设 A 点的横坐标为 。则纵坐标为 ；222)34()()yx aa9 当 时， ，设 AC 的斜率为 ，把BAC 看作 AB 到 AC 的角，2a7akABk则可得 ，直线 AC 的方程为95 )(925)(axay即 ，0812)2(yx又点
16、C 在圆 M 上，所以只需圆心到 AC 的距离小于等于圆的半径，即，化简得 ，解得 ；234)92(5a 01892a63a当 时，则 A（2，7）与直线 成 45角的直线为 ，即x27xy，0yxM 到它的距离 ，这样点 C 不在圆 M 上，还有 ，23452d 09yx显然也不满足条件，故 A 点的横坐标范围为 3，6 。27.解: 解：（1）设曲线方程为 ，742axy由题意可知， . . 曲线方程为 .7640a176412xy（2）设变轨点为 ，根据题意可知),(yxC消去 得 ,解得 或 （不合题意，舍去）)2(,764152xy 03642y4y9.得 或 （不合题意,舍去）x
17、点的坐标为 ， 此时 .C)4,6( 4|,52|BCA答：当观测点 测得 距离B、 、10分别为 时，应向航天器发出变轨指令.452、28. 解：（1） 3.23,1.2eaabceb椭圆的方程为 42xy（2）设 AB 的方程为 3k由 41,432012)4(143 2122 kxkxkxxyk由已知 43)(43)1()3)(40 2121212121 xxkxxayb2 kk解 得,3)(4222（3）当 A 为顶点时，B 必为顶点 .SAOB=1 当 A， B 不为顶点时，设 AB 的方程为 y=kx+b 42042)4(14 1222 kbxbkxkxybk 得 到21kb :0
18、4)(04212112 代 入 整 理 得bkxxyx（ 11 分）kb 416|4)(|21|21 22121 kbxxbxS111|24bk所以三角形的面积为定值. C 组题答案：29. B 30. C 31. 32. 23433. 解：() 由条件知 A (-1 , 0 ) , B (1 , 0 )，且 sinA + sinB = 2sinC|BC| + |AC| = 2|AB| = 4点 C 的轨迹是以 A、B 为焦点，长轴长 2a = 4 的椭圆（不包括 x 轴上两点）.点 C 的轨迹 T 的方程是 =1 (x2) 3yx2()设 M (x1 , y1)、N (x 2 , y2)，直
19、线 MN：x = my + b由 ，得 (3m2 + 4) y2 + 6mby + 3b2 12 = 04x3bm2y1 + y2 = ，y 1y2 = 624m3bPMPN， = (x1 +2 , y1)， = (x2 +2 , y2)PPN = ( x1 + 2) (x2 + 2) + y1y2 = (my1 + b +2 ) (my2 + b + 2) + y1y2 = 0MN整理，得(m 2 + 1) y1y2 + m (b + 2) (y1 + y2) + (b + 2)2 = 0 (m2 + 1) + m (b + 2)( ) + (b + 2) 2 = 043b436化简，得 7
20、b2 + 16b + 4 = 0解得 b = 或 b = -2（舍去）7故直线 MN：x = my 过定点 ( , 0 ) 7234. 解（1）F 0（c，0）F 1（0， ） ，F 2（0， ）2cb2cb| F0F1 | ，| F 1F2 |)(21于是 ， ，所求“果圆”方程为432c472ca（x 0） ， （x0） 7y3y12（2）由题意，得 ac2b，即 aba22（ 2b） 2b 2c 2，a 2b 2（2ba） 2，得 54又 b2c 2a 2b 2， 1 )54,(（3）设“果圆”的方程为 （x0） （x0）12bya12aby记平行弦的斜率为 k当 k0 时，直线 yt（bt b）与半椭圆 （x0）的交点是12bya，与半椭圆 （x 0）的交点是 Q（ ） ),1(2tap12tbc,2P、 Q 的中点 M（x ，y ）满足 tbtca2得 221()acba 2b， 022 bca综上所述，当 k0 时， “果圆” 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆当 k0 时，以 k 为斜率过 B1 的直线 l 与半椭圆 （x0）的交点是12bya),2(23ba由此，在直线 l 右测，以 k 为斜率的13平行弦的中点轨迹在直线 上，即不在某一椭圆上xkby2当 k0 时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上
