1、一次函数的应用典型例题例 1 某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程。开始时风速平均每小时增加 2 千米/时，4 小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加 4 千米/时。一段时间，风速保持不变。当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减少 1 千米/时，最终停止。结合风速与时间的图象，回答下列问题：（1）在 y 轴（ ）内填入相应的数值；（2）沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时？（3）求出当 25x时，风速 y（千米/时）与时间 x（小时）之间的函数关系式。例 2 某批发商欲将一批海产品由 A 地运往 B 地汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务已知运输路程为
2、120 千米，汽车和火车的速度分别为 60 千米/时、100千米/时两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示：运输工具运输费单价（元/吨千米）冷藏费单价（元/吨小时）过路费（元）装卸及管理费（元）汽车 2 5 200 0火车 1.8 5 0 1600注：“元/吨千米”表示每吨货物每千米的运费，“元/吨小时”表示每吨货物每小时的冷藏费（1）设该批发商待运的海产品有 x（吨），汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为 1y（元）和 2（元），试求 1y与 2与 x 的函数关系式；（2）若该批发商待运的海产品不少于 30 吨，为节省运费，他应该选择哪个货运公司承担运输业务？例 3 某市 20
3、位下岗职工在近郊承包了 50 亩土地，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩所需职工数和产值预测如下表：蔬 菜 烟 叶 小 麦每亩地所需职工数 213141每亩地预计产值 1100 750 600请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20 位职工都有工作，且使农作物预计总产值最多例 4 下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润，某汽车公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，并且每辆汽车只能装一种蔬菜）甲 乙 丙每辆汽车能满载的吨数 2 1 1.5每吨蔬菜可获利润（百元） 5 7 4（1）若用 8 辆汽车装运乙、丙两种蔬菜 11 吨到 A 地销售，问装运乙
4、、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？（2）公司计划用 20 辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜 36 吨到 B 地销售（每种蔬菜不少于一车），如何装运，可使公司获得最大利润？最大利润是多少？例 5 我省某水果种植场今年喜获丰收，据估计，可收获荔枝和芒果共 200 吨按合同，每吨荔枝售价为人民币 0.3 万元，每吨芒果售价为人民币 0.5 万元现设销售这两种水果的总收入为人民币 y 万元，荔枝的产量为 x 吨（0 x200）（1）请写出 y 关于 x 的函数关系式；（2）若估计芒果产量不小于荔枝和芒果总产量的 20，但不大于 60，请求出 y 值的范围例 6 A市和 B市分别有某种库存机器 12 台和 6 台
5、，现决定支援 C村 10 台，D村 8 台.已知从 市调运一台机器到 C村和 D村的运费分别是 400 元和 800 元，从 B市调运一台机器到 C村和 D村的运费分别是 300 元和 500 元.（1）设 B市运往 C村机器 x台，求总运费 W（元）关于 x的函数关系式；（2）若要求总运费不超过 9000 元，共有几种调运方案？（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？参考答案例 1 分析 （ 1）沙尘暴开始时，风速平均每小时增加 2 千米，那么 4 小时后，风速达到8 千米，后来的 6 个小时中，风速每小时增加 4 千米，那么 6 个小时风速增加 24 千米，达到 32 千米/时，后
6、来风速平均每小时减少 1 千米，那么已达到 32 千米/时的沙尘暴要 32 个小时才平息。解 （1）8，32.（2） 573（小时）， 沙尘暴从发生到结束共经过 57 小时。（3）设所求函数解析式为 bkxy，由图象可知，该函数图象过点（25，32）和（57，0），则 .057,32bk 解得 .57,1 xy， .例 2 分析 在列函数式时要注意： 1y等于运费加上冷藏费再加过路费， 2y等于运费加上冷藏费再加上装卸及管理费解 （1）根据题意，得 .025601201 xx.528.602xy（2）分三种情况：若 21， 1600，解得 50x；若 y， 25xx，解得 ；若 21， ，解得
7、 x.综上所述，当所运海产品不少于 30 吨且不足 50 吨时，应选择汽车货运公司承担运输业务，当所运海产品刚好 50 吨时，可选择汽车货运公司，铁路货运公司中的任意一家承担运输业务；当所运海产品多于 50 吨时，应选择铁路货运公司承担运输业务例 3 分析 本题中有两个相等的关系：（1）三种作物面积之和为 50，（2）共有职工 20人，有三个未知量：蔬菜、烟叶、小麦的种植亩数由于未知数比相等关系多一个，因此无法求出这三种作物种植的亩数，只能找到它们之间的关系，从而通过分析这些关系得出问题的解解 设种植蔬菜 x 亩、烟叶 y 亩，则种植小麦 )50(yx亩，根据题意，得20)5(4132yx.即
8、 90， 3xy设预计总产值为 W，则 3015)5(671 yyx，把 y390代入上式，得 x430. x， x，又由每亩蔬菜所需职工人数为 21可知 x 为偶数由一次函数的性质知，当 30时， 205,yxy，此时 W 的值最大，为45000 元此时种蔬菜的人数为 15 人，种小麦的人数为 5 人答：种蔬菜 30 亩，小麦 20 亩，不种烟叶，这时所有职工都有工作，且农作物预计总产值为 45000 元例 4 分析 （1）第（1）问比较简单，可以用一元一次方程求得其解（2）第（2）问中，由于现在有甲、乙、丙三种蔬菜，而条件只有两个：20 辆汽车、36 吨菜，这样列式就比较困难如果用 y 辆
9、汽车装运甲种蔬菜， z 辆汽车装运乙种蔬菜，则用 )(20zy辆汽车装运丙种蔬菜，根据蔬菜一共 36 吨，找到 y 与 z 之间的关系，由于每种蔬菜不少于一车，这样可以求出 y 的取值范围在此基础上，可以列出所获利润 S 与 y 的函数关系，通过讨论 y 的值的情况，求出所获最大利润的情况解 （1）设用 x 辆汽车装运乙种蔬菜，则用 )8(x辆汽车装运丙种蔬菜根据题意，得 1)8(5.， .62，即应安排 2 辆汽车装运乙种蔬菜，6 辆汽车装运丙种蔬菜（2）设安排 y 辆汽车装运甲种蔬菜， z 辆汽车装运乙种蔬菜，则用 )(20zy辆汽车装运丙种蔬菜，根据题意： 36)(205.1zyzy，化
10、简，得 12yz， 2, ， 5.3.设获得利润为 S 百元，则 4)(05.172zyy.1085)23(6)(0 y当 y时， 8最 大S，此时 2)(zyz， ， 安排 15 辆汽车装运甲种蔬菜，3 辆汽车装运乙种蔬菜，2 辆汽车装运丙种蔬菜，可获得最大利润 1.83 万元说明：从本题的解题过程中看到，一次函数虽然没有最大值或最小值，但当自变量在某一个确定的范围内变化时，一次函数就有最大值或最小值了例 5 解:（1）因为荔枝为 x 吨，所以芒果为 )20(x吨.依题意，得.02.)(53xy即所求函数关系式为： )2(1.y.（2）芒果产量最小值为： 40%（吨）此时， 16x（吨）；最
11、大值为： 22（吨）.此时， 80（吨）.由函数关系式 1xy知， y 随 x 的增大而减少，所以， y 的最大值为：42.0y（万元）最小值为： 681.（万元）. y值的范围为 68 万元 y84 万元.说明：本题主要考查一次函数的应用，用一次函数来解决实际问题。例 6 分析：本题的已知条件比较多，读了题目后，要依据题意列出下列表格，各个数量之间的关系就容易看出，就可以列出等量关系了。解：由已知条件分析得下表库存机器 支援 C村 支援 D村B市 6 台 x台 （ x6）台A市 12 台 （10- ）台 8-（6- ）台（1）依题意得 )6(80)1(4)6(503 xxxW82x 所以 与 的函数关系式为 60)6(x（2）由 98xW得 .又因为 必须是正整数.所以 可以取 0，1，2 三个数，共有三种调运方案.（3）因为 86x是一次函数，且 W随 x的增大而增大.所以当 取最小值时， 最小.即当 0时， )(86020min 元W.答：当从 A市调运 10 台给 C村，调 2 台给 D村，从 B市调 6 台给 D村时，总运费最低，最低运费是 8600 元.说明：题目中如果数量关系比较多，等量关系不容易找，可以考虑列出表格，来帮助理解题意。
