1、在冲力作用下台球运动的力学分析李洁（西北师范大学继续教育学院物理学专业06 级 ）摘要：作为刚体运动的例证，讨论了在冲力作用下台球的运动情形，计算了在不同的击打条件下，台球进入无滑滚动状态的绕质心转动的速度。关键词：刚体运动；冲量；摩擦力；台球中图分类号：O313.3 文献标识码：B在冲力作用下，台球在水平桌面上的奇妙运动，使许多人感到极大兴趣，其实，台球在桌面上的运动就是小球的质心平动和绕质心转动的两种运动的合成，它是刚体运动的一个可以重复试验的极好的例证。在台球作复杂而奇妙的运动中，粗糙的桌面对台球的摩擦力起着重要的作用。下面，我们对台球的运动作力学分析。如图 1 所示，一个质量为 M、半
2、径为 R 的匀质实心球静止在水平桌面上，用球杆沿水平方向击打小球的上半部，设冲力 F 沿水平方向距球心 C 的距离为 h，台球受到的冲量为 ，沿 x 正方向，因此21tPd击打施于台球沿顺时针方向的冲量矩为 J=Ph，另外台球还受到竖直向下的重力 Mg 和竖直向上的正压力 FN的作用。根据刚体质心运动的动量定理和动量矩定理可知，球心获得沿 x 正向的平动速度 u0和顺时针转动的角速度分别满足以下关系（以下的讨论均已化为标量的关系）：0， （1）0MuP0IJ我们规定沿顺时针的转动方向为正方向，式中 为球对质心的转25IMR动惯量，台球与桌面接触点的速度 V0为（2）00VuR将式（1）代入式（
3、2） ，则得FN FhCy RFfO xMg图 1 沿水平方向击打台球的上半部（3）0 5(1)2PhRhVMI由式（3）可见，当 h=0.4R 时，V 0=0，这时球心的速度与滚动角速度满足不滑动的判据，因此，滑动摩擦力不存在，只有相对滑动摩擦力很小的滚动摩擦力，于是小球将沿 x 正方向匀速地持续滚动下去。当 h0.4R 时，V 00，小球将作有滑滚动。下面我们分别对 h0.4R 和 h0.4R 的情形由式（3）可知，在这种情形下，小球与桌面的接触点的速度 V00，桌面对小球的摩擦力朝负 x 方向，因此小球的质心作减速运动，同时，F f施于球心沿顺时针方向的fuMg力矩为 FfR，根据刚体的
4、运动定理，质心平动的加速度 和角速度 分别为u(10)uMgIugMR则在 t 时刻，球心的速度 u(t)和绕球心沿顺时针方向的转动角速度 分()t别为 （11）0()utgt0()ugttI小球与桌面接触点的速度为75()()(1)22PhVtuRttMR当既滑又滚的运动经过一段时间 后，V=0，由上式可求得 为0 0t（12）025(1)07PhtugMR当 t 时，小球作无滑的纯滚动，其质心速度和转动角速度可由式0t（12）代入式（11）求得，其结果和式（9） 、式（8）相同。由上面分析可以看出，当水平方向的冲力 F 距球心的高度 h=0.4R 时，台球作纯滚动，转动的角速度 与冲量 P
5、 成正比，当水平方向的冲力 F 作用的高0度 h0.4R 时，台球首先作既滑又滚的运动，经过一定的时间 t0、 后，在桌面对台球摩擦力的作用下，都将转变为角速度相同的纯滚运动，转动的角速度都与冲量 P 的 成正比。57用球杆沿水平方向击打台球的下半部，如图 2 所示，和前面一样，我们仍规定沿水平方向的冲力 F 的方向为 x 轴的正方向，冲力 F 沿水平方向距球心的距离为 h。击打后，台球的球心获得的初始速度 u0和绕球心转动的初始角速度 与式（1）形式相同； ， ，不0PuM0I同的是，这时的初始角速度 沿逆时针方向转动，是负的转动方向，因此， 为负值。 0这时台球与桌面接触点的速度为（13）
6、0 5(1)2PhRhVuMIFN Cy R F O Ff x Mg图 2 沿水平方向击打台球的下半部h显然接触点沿 x 正向滑动，作用于台球的摩擦力指向负 x 方向，因此，摩擦力 ，摩擦力施于相对于球心的力矩 FfR，为顺时针转动方向。根据fFuMg刚体的质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，有uIugMt 时刻台球球心的平动速度 u(t)和绕球心转动的角速度 分别为()t（14）0()tgt0()RttI即 Pu（15）5()()2phuMtPht ugtIR由上式可知，在较早的时刻，u(t)0，台球沿 x 正向运动，到了时刻，球心速度 u(t1)=0，此后，u(t)t2，因此在 t1tt
7、2的这2()t段时间内，台球沿 x 正向前进，相对于球心作顺时针方向转动，在这段时间内，必有某个时刻 ，台球的平动和转动相配合，使球与桌面的接触点的速度0tV=0，即（16）20000()()PhRugMVtuRtugttI则 （17）025(1)7tgM在 时刻，台球开始作无滑滚动，沿 x 正向前进，将 代入式（15）则得0t 0t球心的平动速度和绕球心的转动速度： 05()(1)7PhutRM这时台球将以速度 、 作无滑滚动，沿 x 正向一直持续滚动下去。0()t0t由上述讨论可知，用球杆击打台球的上部或下部，经过一段时间后，都将进入无滑动的惯性滚动状态，沿冲力 F 的方向一直向前滚动下去
8、，但击打台球下部所得的无滑滚动的球心速度 u 和转动角速度 要比击打上半部所获得的u、 都小一些。参考文献：1 梁昆淼.力学 上册M. 北京：人民教育出版社，1979.2272 周衍柏.理论力学教程 第二版 高等教育出版社Go out of power the mechanics analysis of the ball sportin the momentum functionLijie( The northwest Normal University continues to educate the professional 06 class s of the college physic
9、s)Summary:Conduct and actions just the instance of the body sport, discussed in the sport situation that the momentum function goes out of power the ball, compute under the condition that different shot beat, the billiards enter to did not slip to roll over the appearance to round the quality heart to become the dynamic speed.Keyword:Just the body sport;Blunt quantity;Friction;Billiards
