经济应用数学.微积分学习辅导.docx-道客多多

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1、普通高等教育 “十五 ”国家级规划教材(高职高专教育 )经济应用数学微积分学习辅导叶子祥于信宿金勇编高等教育出版社内容提要本书是与教育部高职高专规划教材经济应用数学微积分配套的学习指导书 ,是根据教育部最新制定的高职高专教育经济数学基础课程教学基本要求编写的。全书共六章 ,内容与经济应用数学微积分教材相呼应 ,包括极限与连续、导数

2、与微分、导数的应用、不定积分、定积分、多元函数微分学及综合测试题 (五套 )。每章均由学习指导 (基本要求、重点、难点) 、疑难解析、典型例题、习题选解及测试题 ( A, B 两套 )五部分所组成 , 各种测试题在其后都附有答案。本书可作为高等职业学校、高等专科学校、成人高校及本科院校举办的二级职业技术学院和民办高校经管类专业微积分课

3、程的教学用书 ,也可作为对微积分及其应用感兴趣的读者的参考资料。图书在版编目 ( CIP)数据经济应用数学 .微积分学习辅导叶 / 子祥 , 于信 ,宿金勇编 .北京 :高等教育出版社 ,2003.7ISB N 7 - 04 - 012409 - 2 .经 . . 叶 . 于 . 宿 . .微积分- 高等学校 :技术学校 - 教学参考资料 . F224.0中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2003)第 043825 号出版发行

4、高等教育出版社购书热线 010 - 64054588社址北京市西城区德外大街 4 号免费咨询 800 - 810 - 0598邮政编码 100011 网址 http: w w 总机 0 10 - 82028899 http: w w w.hep.co m .cn经销新华书店北京发行所印刷开本 7871092 1 1/6 版次年月第版印张 9.75 印次年月第次印刷字数 230 000 定价 10. 90 元本书如有缺页、倒页、脱页等质量问题 ,请到所购图

6、教育规划教材” 的目标 , 并将高职高专教育规划教材的建设工作分为两步实施 :先用 2 至 3 年时间 , 在继承原有教材建设成果的基础上 , 充分汲取近年来高职高专院校在探索培养高等技术应用性专门人才和教材建设方面取得的成功经验 , 解决好高职高专教育教材的有无问题 ;然后 , 再用 2 至 3 年的时间 ,在实施新世纪高职高专教育人才培养模式和

7、教学内容体系改革与建设项目计划立项研究的基础上 , 推出一批特色鲜明的高质量的高职高专教育教材。根据这一精神 ,有关院校和出版社从 2000 年秋季开始 ,积极组织编写和出版了一批 “ 教育部高职高专规划教材” 。这些高职高专规划教材是依据 1999 年教育部组织制定的高职高专教育基础课程教学基本要求 ( 草案 )和高职高专教育专业人才培

8、养目标及规格 ( 草案 )编写的 , 随着这些教材的陆续出版 ,基本上解决了高职高专教材的有无问题 , 完成了教育部高职高专规划教材建设工作的第一步。2002 年教育部确定了普通高等教育 “十五” 国家级教材规划选题 , 将高职高专教育规划教材纳入其中。 “十五” 国家级规划教材的建设将以 “实施精品战略 , 抓好重点规划” 为指导方针 , 重点抓好公

9、共基础课、专业基础课和专业主干课教材的建设 , 特别要注意选择一部分原来基础较好的优秀教材进行修订使其逐步形成精品教材 ;同时还要扩大教材品种 , 实现教材系列配套 , 并处理好教材的统一性与多样化、基本教材与辅助教材、文字教材与软件教材的关系 , 在此基础上形成特色鲜明、一纲多本、优化配套的高职高专教育教材体系。普通高

10、等教育 “十五” 国家级规划教材 (高职高专教育 ) 适用于高等职业学校、高等专科学校、成人高校及本科院校举办的二级职业技术学院、继续教育学院和民办高校使用。教育部高等教育司2002 年 11 月 30 日前言本书是与教育部高职高专规划教材经济应用数学微积分配套的学习指导书。在编写本书的过程中 ,我们注意到初学者对微积分的一些基本概念

11、理解不透或产生错误 , 对解题方法的掌握感到困难 ,而教材本身由于受篇幅等诸多因素的限制 , 不可能对学生在学习过程中所遇到的各种问题都给出详细的解答。为此 , 我们编写了这本学习指导书。其目的是帮助微积分的初学者正确理解与掌握基本概念和有关的基本理论 ; 帮助学生开阔视野、活跃思路 , 逐步解决学习中的困难 ,总结解题规律 ,

12、提高解题能力并用数学方法分析经济现象 , 运用计算机及数学软件 M athe m atica 解决实际问题 ;同时也是对经济应用数学微积分教材的一种补充。全书共六章 ,包括极限与连续、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分、多元函数微分学及综合测试题 (五套 ) 。每章均由学习指导 (基本要求、重点、难点 ) 、疑难解析、典型例题、习题选

13、解及测试题 ( A , B 两套 )五部分所组成 , 各种测试题在其后都附有答案。本书由于信 (第一、二章 )、叶子祥 (第三、六章 )、宿金勇 ( 第四、五章 ) 编写。全书由叶子祥统稿。高等教育出版社的编辑为本书的出版付出了辛勤的劳动 ,在此表示衷心感谢 !限于作者水平 , 加之时间仓促 , 书中不妥之处在所难免 , 敬请专家、同仁和广大读者批评指正。编

14、者2003 年 3 月目录第一章极限与连续 1第一节函数 1一、学习指导 1二、疑难解析 1三、典型例题 4四、习题选解 5第二节极限与连续 7一、学习指导 7二、疑难解析 7三、典型例题 12四、习题选解 15章后测试题 18章后测试题参考答案 24第二章导数与微分 26一、学习指导 26二、疑难解析 26三、典型例题 29四、习题选解 33章后测试题 37章后测试题参考答案 42第三章导数

15、的应用 44一、学习指导 44二、疑难解析 44三、典型例题 45四、习题选解 51章后测试题 68章后测试题参考答案 72第四章不定积分 74一、学习指导 74二、疑难解析 74三、典型例题 75四、习题选解 79章后测试题 90章后测试题参考答案 92第五章定积分 94一、学习指导 94二、疑难解析 94三、典型例题 95四、习题选解 99章后测试题 111章后测试题参考答案 11

16、3第六章多元函数微分学 114一、学习指导 114二、疑难解析 114三、典型例题 115四、习题选解 122章后测试题 127章后测试题参考答案 131综合测试题 ( A) 133综合测试题 (B) 135综合测试题 ( C) 137综合测试题 ( D) 139综合测试题 ( E) 142综合测试题参考答案 145第一章极限与连续这一章的内容可分为两部分 ,第一部分主要介绍了函数的概念 , 性

17、质以及经济问题中常见的函数 .第二部分介绍了数列与函数的极限的概念、性质和运算法则 , 并在这基础上给出了连续函数的概念、闭区间上连续函数的性质以及函数间断点的分类 .第一节函数一、学习指导(一 ) 基本要求1. 理解函数的定义 ,会求函数的定义域、函数值 ,能作出简单函数的图像 .2. 掌握函数的性质 ,会判断函数的奇偶性、单调性、有

18、界性、周期性 ,清楚具有这些特性的函数的图形特征 .3. 理解反函数和复合函数的概念 , 清楚函数与其反函数的图形关系 . 会求简单函数的反函数 ,清楚复合函数的复合过程 .4. 熟悉基本初等函数的定义、图像、性质 .5. 了解经济问题中常见函数表述的经济意义 . (二 ) 重点与难点重点 :函数的概念与性质 . 难点 :定义域 , 函数值 ,复合函数 . 二、

19、疑难解析1. 确定函数的两要素函数的定义域和对应规律称为确定函数的两要素 ,要判定两个函数是否相同 , 就是看它们的两要素是否相同 .例 1 判断下列两组函数中 f( x) 与 g( x)是否表示同一个函数 .2(1) f( x) = x - 1; g( x) = x + 1.x - 1(2) f( x) = x2 ; g( x) = x.解 (1) f( x)的定义域 D1 = ( - ,1) (1, + ), g( x)的定义域 D2 = (

20、 - , + ).f( x) 与 g( x)的定义域不同 , 所以 f( x) 与 g( x)不是相同的函数 . (2) f( x)的定义域与 g( x)的定义域都是 ( - , + ).但对任意 x0 ( - ,0), 有 f( x0 ) 0, 而 g( x0 ) 0; sin x 0.由得 - 5 01 - x2 | x| 0,求 f( x).解设 x + 1 = t, x = t - 1.f( t) = 2( t - 1) + 1 t - 1 0( t - 1)2 - 2( t - 1) t - 1 02 t - 1 t1将 t 换成

21、 x,得= .t - 4 t + 3 t 12 x - 1 x 1f( x) = . x2 - 4 x + 3 x 1例 2 已知 f x + 1x= x2 + 1 , 求 f( x).x2解因为 x 1 1+ 2 = x +x x - 2,2所以 f x + 1x= x + 1x2- 2.所以 f( x) = x - 2.例 3 已知 y = f( x)的定义域为 - 1,2),求 y = f( x - 2)的定义域 .解因为 f( x)的定义域为 - 1,2),故有 - 1 x 4- 1解 x ( - ,1) 时 , f( x) ( - ,1). f

22、 ( x) = x.x 1,4时 , f( x) 1,16. f- 1 ( x) = x.- 1x (4, + ) 时 . f( x) (16, + ). f所以 f( x)的反函数为( x) = log2 x.f- 1 ( x) =x x 16例 7 设 f( x) 是以 3 为周期的奇函数 ,且 f( - 1) = 2, 求 f(7)的值 .解因为 f( x)以 3 为周期 , 所以 f( x + 3) = f( x). 所以 f(7) = f(4 + 3) = f(4).由已知 f( - 1) = 2,而 f( - 1) = f( - 4 + 3

23、) = f( - 4).因为 f( x)为奇函数 , f( - 4) = - f(4) = 2. 所以 f(7) = f(4) = - 2.四、习题选解习题一 (函数部分 )2. 已知 f( x) = ax + b,且 f(0) = - 2, f(3) = 5, 求 a 和 b.解 a0 + b = - 2, a3 + b = 5.解之得 a = 7 , b = - 2.34. 求下列函数的定义域 :(3) y = lg 11 - x+ x + 2 (5) y = arc sin x - 12 5 2222x - x3 + 3- 1解 (3)

24、1 1 - x 0 即 x 12=解 f(0) = 0 = 0, f( - 1) = - 1 + 2 = 1,f(1) = 12 = 1, f( - 2) = - 2 + 2 = 0,f(2) = 2 - 2 = 0.图 1 - 3 即为 f( x) 的图像 .7. 设 f( x) = 1 + x, ( x) = 1 , 求 f ( x),x f( x).解 f ( x) = 1 + ( x) = ( x)x1 + 1x = x + 1.1x f( x) = 1f( x) =11 + xxx1 + x.图 1 - 310. 求下列函数的反函数 :(2) y = x + 1

25、 (4) y = 1 - lg( x + 2) x - 1解 (2) 由 y = x + 1 解出 x: x = 1 + yx - 1将 x 与 y 互换 . 得 y = x + 1.x - 1y - 1 .(4) 由 y = 1 - lg( x + 2) 解出 x: x = 101 - y - 2.1 - x将 x 与 y 互换 . 得 y = 10 - 2.第二节极限与连续一、学习指导(一 ) 基本要求1. 理解数列和函数极限的概念 ,清楚极限存在的判定准则 , 掌握极限的性质 .2. 理解无

26、穷大量、无穷小量的概念 , 清楚它们之间的关系 ,会对无穷小的阶进行比较 .3. 能运用极限的四则运算法则和两个重要极限熟练地进行极限运算 .4. 会利用极限存在的充要条件讨论分段函数在分界点处的极限 .5. 理解连续函数的概念 , 掌握连续函数的四则运算法则 , 会判定分段函数在分界点处的连续性 .6. 清楚基本初等函数和初等函数的连续

27、性 .7. 会求函数的间断点并判定间断点的类型 .8. 清楚闭区间上连续函数的性质 . (二 ) 重点与难点重点 :数列与函数的极限的概念 . 连续函数的概念求极限的方法 .初等函数的连续性 . 难点 :极限概念 . 判断函数的连续性 .闭区间上连续函数的性质 .二、疑难解析1. 数列与函数的极限定义 7 2x22x在数列的极限定义 1.9 中“ , 如果当 n 无限变大时

28、, xn 无限趋近于确定的常数 A ”的意思是 ,对于任意给定的很小的正数 , 数列 xn 中总有一项 xN , 自这项后的数列中的无穷多项 x N + 1 , x N + 2 , , xN + k , 与常数 A 之间的距离 | xn - A | ( n N ) 要比给定的正数还要小 , 即| xn - A| N ). 从几何上看 ,若数列 xn 收敛于常数 A , 则在小区间 ( A - , A + )外就只有数列的有限项 x1 , x2

29、 , , xN , 而数列的无穷多项 xN + 1 , xN + 2 , , xN + k , 都落在小区间 ( A- , A + )内 .在函数极限的定义 1.10 中 .“当自变量 x 无限增大时 , 函数 f( x) 无限趋近于某个确定的常数 A ”的意思是 ,对任意给定的很小的正数 , 存在一个正数 N .在区间 ( N , + ) 内的所有 x 对应的函数值 f( x) 与常数 A 之间的距离 | f( x) - A | 比给定的正

30、数还要小 ,即 | f( x) - A | N ). 从几何上看 ,就是在区间 ( N , + ) 内对应的函数图像位于两条平行于 O x 轴的直线 y= A - , y = A + 之间 .在 limx xf( x) 的定义中 , 特别强调了 x x0 时 x x0 , 这说明 , f ( x) 在点 x0 处的极限limx x0f( x)是否存在与 f( x) 在点 x0 的值 f( x0 ) 以及在 x0 处是否有定义没有关系 .0例 1 设 f( x) = x - 1.

31、 f(1)不存在 .x - 1但 lim f( x) = lim x - 1x 1 x 1 x - 12. 极限 limx xf( x)存在的充要条件= lim ( x + 1)x 1= 20limx x 0f( x) = A limx x -0f( x) = limx x +0f( x) = A.由此可知 ,若 limx x -0f( x) 和 limx x +0f( x) 中有一个不存在或都存在但二者不相等 , 则 limx x 0f( x) 不存在 .这两个结论常用来判定分段函数在分界点处的

32、极限是否存在 .x2例 2 设 f( x) =| x| 1, x 0,2 - x | x| 1问 (1) lim f( x),(2) lim f( x),(3) lim f( x)是否存在 ?x - 1 x 0 x 12 2解 (1) limx - 1 -f( x) = limx - 1 -(2 - x2) = 2 - ( - 1)2= 1.limx - 1 +f( x) = lim xx - 1 + x= ( - 1)- 1 = - 1.因为 lim-x - 1f( x) lim+x - 1f( x),所以 limx - 12f( x)不存在 .(2) limx 0

33、-f( x) = limx 0 +f( x) = limx 02x = lim x = 0. x x 0(3) lim-x 1f( x) = lim x-x 1= 1, lim+x 1f( x) = lim+x 1(2 - x2 ) = 1. 8 2x因为 limx 1 -f( x) = limx 1 +f( x) = 1, 所以 lim f( x) = 1.x 13. 无穷小量与无穷大量(1) 无穷小量与无穷大量都是极限概念 , 常数中只有 0 是无穷小量 ,而无论多么大的常数都不能称为无穷大量

34、.(2) 要分清无穷大量和无界变量是两个不同的概念 , 无穷大量一定是无界变量 , 但无界变量不一定是无穷大量 .例 3 设有 xn :0,1,0,2,0,3,则 xn 是无界变量 ,但它不是无穷大量 .(3) 无穷多个无穷小的和不一定是无穷小量 .例 4 当 n 时 , 1 0, 1 是 n 时的无穷小量 ,但 1 1n n1 nn + n + + n = n = 1, 不再是无穷小量 .n 个(4) 等价无穷小代换定理

35、 . 如果在自变量的同一个变化过程中 , , 1 , , 1 都是无穷小量 , 且 1 , 1 则有lim = lim 1 ; lim 1f( x) = lim f( x). 1 1在求极限时 ,利用等价无穷小代换常可使复杂的计算简化 , 因此 , 掌握一批等价无穷小量会很方便 .常用的有 : x 0 时 ,x sin x tan x arcsin x arctan x ln(1 + x) ex - 1. x 0 时 ,1 - cos x 1 x .2 x 0 时 ,n 1 +

36、x - 1 x .nx 3例 5 求极限 limx + ln(1 + 2 )ln 1 + x .解 x + 时 , 3 0,ln 1 + 3 3 .所以 limxln(1 + 2x x)ln 1 + 3x + = limx + = limx3 ln(1 + 2 x ) x3 ln2 x 1 + 1x + x= lim 3x + x2 xx 1ln2 + ln 1 + 2 x= lim 3 xln 2 + 3 ln 1 + 1x + x x 2 x 9 x xxx - 1 1x0x= lim 3ln 2 + lim 3 1 x + 时 ,ln 1 + 1 1x + = 3ln 2.4. 两

37、个重要极限x + x 2x2 2 xlimx 0sin x = 1 与 limx 1 + 1x = e 称为两个重要极限 . 在应用这两个重要极限求其他函数的极限时 ,常用下列的形式 :lim 0sin = 1; lim 1 1 + = e只要上面两式中内的形式完全相同 ,就可利用上述结论 .例 6 lim sin ( x - 1) 1 sin( x - 1) 1x 12 = limx 1 x + ( x - 1) = 2 .例 7 lim 1 + 1e x = e.x + e5.

38、连续函数的概念若函数 y = f( x)在 x0 及其附近有定义且有 lim y = 0,则称 y = f( x)在 x0 点连续 . x 0条件 lim y = 0 等价于 lim f( x) = f( x0 ). x 0 x x0因此 ,函数 y = f( x)在点 x0 处连续必须满足三个条件 : (1) f( x0 )存在 ;(2) limx xf( x) 存在 ;0(3) limx x f( x) = f( x0 ).0讨论分段函数在分界点处的连续性时 ,常要据此进行判

39、断 .e x 0因为 lim f( x) = lim ex = e0 = 1, lim f( x) = lim sin x = 1, 所以 lim f( x) = 1.x 0 - x 0 - x 0 + x 0 + x x 0因为 lim f( x) = 1 f(0), 所以 f( x) 在 x0 = 0 处不连续 .x 06. 函数的间断点如果函数 f( x)有下列情况之一 , 点 x0 就是 f( x)的间断点 : (1) f( x0 )不存在 ;(2) limx xf( x) 不存在 ;0(3) limx x f( x) f(

40、x0 ).0函数的间断点分为两类 .设 x0 为 f( x)的间断点 . 10 2n第一类间断点 : limx x -0f( x)与 limx x +0f( x)都存在 .第一类间断点有两种 :(1) 如果 limx x -0(2) 如果 limx x -0f( x) = limx x +0f( x) limx x -0f( x), x0 为第一类间断点中的可去型间断点 ; f( x), x0 为第一类间断点中的跳跃型间断点 .第二类间断点 :非第一类的间断

41、点 . 第二类间断点也有两种 :(1) 如果 limx x +0f( x)与 limx x -0f( x) 中至少有一个为无穷大 , x0 为第二类间断点中的无穷型间断点 ;(2) 如果 limx xf( x) 振荡不存在 , x0 为第二类间断点中的振荡型间断点 .0例 9 设 f( x) =sin xx x 1求 f( x)的间断点并判断其类型 .解因为 lim f( x) = lim sin x = 1, lim f( x) = lim x + 12 = - 1.x

42、 0 - x 0 - x x 0 + x 0 + x - 1所以 x0 = 0 是 f( x)的跳跃型间断点 . 属于第一类间断点 .因为 lim f( x) = lim x + 12 = lim 1 = x 1 - x 1 - x - 1 x 1 - x - 1lim f( x) = lim x - 12 = lim 1 = 1x 1 + x 1 + x - x x 1 + x所以 x0 = 1 是 f( x)的第二类间断点中的无穷型间断点 . 7. 求极限的方法归纳(1) 利用初等函数的连续性 ,

43、也称 “代入法” 求极限 ,函数值即为极限值 . limx x f( x) = f( x0 ).(2) 分解因式约去非零因子 .(3) 根式有理化 .(4) 利用极限的四则运算法则 .(5) 利用无穷小、无穷大的性质以及二者之间的关系 .(6) 利用两个重要极限 .(7) 利用等价无穷小代换定理 .(8) 利用无穷小量分出法及其结论 :00 n m 11 2 22 22 22 2.- 2xx3(9) 利用 “ 两边夹” 定

44、理 .三、典型例题例 1 求 lim ( xx + + x - x - x).解 lim ( xx + + x - x - x)2 2 2 2= limx + = limx + = limx + = 1( x + x - x - x)( x + x + x - x)x2 + x + x2 - x2 xx + x + x - x21 + 1 + 1 - 1x x注 : lim ( xx + + x - x - x) = - = 0 是错误的 .例 2 求 limx - 1解因为 lim( x + 1)sin 1x + 1( x + 1) = 0, sin 1 1.x - 1

45、 x + 1所以 ,由无穷小量的性质 , limx - 1( x + 1)sin 1x + 1 = 0.例 3 求 lim sin xx x - 解因为 sin( - x) = sin x.所以 lim sin x = lim sin( - x)x x - x - ( - x) = - 1.例 4 求 limx 0xx1 - 2 x.1解 limx 01 - 2 x = lim (1 - 2 x) xx 01= limx 0= e(1 - 2 x) - 2 x - 2.例 5 求 limx 2 - x .3 - x解 (法一 ) 令 2 - x = 1 + 1 ,解得

46、 x = t + 3. x 时 t .3 - x t于是 ,有 limx 2 - x3 - x = limt 1 + 1tt + 3= limt 1 + 1ttlimt 1 + 1t 12 = e13 = e.2 2 2 22 2 2 222 12 1x xx2 2 2(法二 ) limx 2 - x3 - x = limx x - 2x - 3= limx 1 - 2x 31 - xx= limx 1 - 2x1 - 3xe- 2 x = e- 3 = e.例 6 求 lim 1 + 2 + + n - 1 + n .n n n n n解 lim 1 + 2 + + n - 1 + nn

47、 n n n n= limn 1 (1 + 2 + + n - 1 + n)n2= lim 1 n( n + 1)2n n 2= 1 2注 : lim 1 + 2 + + n - 1 + nn n2 n2 n2 n2= lim 1 + lim 2 + + lim n - 1 + lim nn n n n n n n n= 0 + 0 + + 0 + 0 = 0.这种解法是错误的 .因为当 n 时 .括号内是无穷多项的和 ,不能用极限代数和的运算法则 .例 7 求 limn 解因为1 + n2 + 11 + + n2 + 21 .n2 + nnn2 + n 1解 f( x) 的定义区间为 ( - , + ). 在区间 ( - ,0),(0,1),(1, + ) 内 , f( x) 为初等函数 .所以 f( x)在这三个区间内是连续的 ,在区间的分界点 x = 0 处 :因为 limx 0 -f( x) = limx 0 -( x + a) = a; limx 0 +f( x

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