1、第8章,解三角形,8.2 余弦定理(一),学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 1.以下问题可以使用正弦定理求解的是 . (1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角. (2)已知两角和一边，求其他角和边. (3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角. (4) 已知一个三角形的三条边，解三角形.,(1)(2),2.如图所示，在直角坐标系中，若A(0,0)，B(c,0)，C(
2、bcos A，bsin A).利用两点间距离公式表示出|BC|，化简后会得出怎样的结论？,解 a2|BC|2(bcos Ac)2(bsin A0)2 b2(sin 2Acos 2A)2bccos Ac2 b2c22bccos A. 得出a2b2c22bccos A.,预习导引 1.余弦定理 三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的 的余弦的积的 . 即a2 ，b2 ， c2 .,平方,平方,夹角,两倍,b2c22bccos A,c2a22cacos B,a2b22abcos C,2.余弦定理的推论 cos A ； cos B ；cos C .,b2c2a2 2bc,c2a2b
3、2 2ca,a2b2c2 2ab,要点一 已知两边及一角解三角形 例1 (1)在ABC中，已知b3，c3 3 ，B30，求角A、角C和边a. 解 方法一 由余弦定理b2a2c22accos B，,a29a180，得a3或6.,当a3时，由于b3，所以AB30，C120.,A90，C60.,由bc， C60或120， 当C60时，A90，,当C120时，A30，ABC为等腰三角形. a3.,解 由余弦定理知 b2a2c22accos B.,0A180，A60，C75.,0A180，A120，C15.,规律方法 已知两边及一角解三角形有以下两种情况： (1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一
4、种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解. (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角.,跟踪演练1 在ABC中，已知a5，b3，角C的余弦值是方程5x27x60的根，求第三边长c. 解 5x27x60可化为(5x3)(x2)0.,c4，即第三边长为4.,要点二 已知三边或三边关系解三角形 例2 (1)已知ABC的三边长为a2 3 ，b2 2 ，c 6 2 ，求ABC的各角度数.,A60.,B45，C180AB75.,(2)已知三角形ABC的三边长为a3，b4，c 37
5、，求ABC的最大内角. 解 ca，cb，角C最大. 由余弦定理，得c2a2b22abcos C， 即3791624cos C，cos C 1 2 ， 0C180，C120. ABC的最大内角为120.,规律方法 (1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解. (2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形.,跟踪演练2 在ABC中，已知BC7，AC8，AB9，试求AC边上的中线长.,即所求AC边上的中线长为7.,要点三 三角形形状的判定 例3 在ABC中，已知cos2
6、 A 2 bc 2c ，判断ABC的形状.,即a2b2c2. ABC是直角三角形.,方法二 在ABC中，设其外接圆半径为R，由正弦定理， b2Rsin B，c2Rsin C，,B(AC)，sin (AC)sin Ccos A，,sin Acos C0.A，C都是ABC的内角，A0，A.cos C0，,ABC是直角三角形.,规律方法 (1)判断三角形形状的常用手段有两种：一是用余弦定理将已知条件转化为边之间的关系式，二是借助于正弦定理，将已知条件转化为角的三角函数关系式. (2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用
7、正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用.,跟踪演练3 在ABC中，若(accos B)sin B(bccos A)sin A，判断ABC的形状.,整理得(a2b2c2)b2(a2b2c2)a2，,a2b2c20或a2b2， 故三角形为等腰三角形或直角三角形. 方法二 由正弦定理，原等式可化为 (sin Asin CcosB)sin B(sin Bsin CcosA)sin A， sin BcosBsin AcosA，sin 2Bsin 2A， 2B2A或2B2A，AB或AB 2 ， 故ABC为等腰三角形或直角三角形.,1.在ABC中，已知a2，b3，C60，则c等于( ) A
8、. 7 B.7 C. 19 D.19 解析 由余弦定理，得c249223cos 601367，所以c 7 .,1,2,3,4,A,1,2,3,4,2.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是 3 5 ，则三角形的另一边长为( ) A.52 B.2 13 C.16 D.4,B,1,2,3,4,解析 abc，C为最小角，,B,1,2,3,4,4.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2c2b2 3 ac，则角B的值为.,课堂小结 1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形. (2) 若已知两边和一边的对角，既可以
9、用正弦定理又可以用余弦定理解三角形. 2.当所给的条件是边角混合关系时，判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系,或边之间的关系.若统一为角之间的关系，则利用三角恒等变形化简；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简. 3.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例. (1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.,(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角. (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.,
