2017届高考数学大一轮总复习 大题规范练 文（打包6套）北师大版.zip

1高考大题规范练(一) 函数与导数1．(2015·重庆卷)已知函数 f(x)＝ ax3＋ x2(a∈R)在 x＝－ 处取得极值。43(1)确定 a的值；(2)若 g(x)＝ f(x)ex，讨论 g(x)的单调性。解 (1)对 f(x)求导得 f′( x)＝3 ax2＋2 x，因为 f(x)在 x＝－ 处取得极值，所以 f′ ＝0，43 (－ 43)即 3a· ＋2· ＝ － ＝0，解得 a＝ 。169 (－ 43) 16a3 83 12(2)由(1)得 g(x)＝ ex，(12x3＋ x2)故 g′( x)＝ ex＋ ex(32x2＋ 2x) (12x3＋ x2)＝ ex(12x3＋ 52x2＋ 2x)＝ x(x＋1)( x＋4)e x。12令 g′( x)＝0，解得 x＝0， x＝－1 或 x＝－4。当 x0，故 g(x)为增函数；当－10时， g′( x)0，故 g(x)为增函数。综上知 g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数。2．(2015·北京卷)设函数 f(x)＝ － kln x， k0。x22(1)求 f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间(1， )上仅有一个零点。e解 (1)由 f(x)＝ － kln x(k0)得x22f′( x)＝ x－ ＝ 。kx x2－ kx由 f′( x)＝0 解得 x＝ 。kf(x)与 f′( x)在区间(0，＋∞)上的情况如下：x (0， )k k ( ，＋∞)k2f′( x) － 0 ＋f(x)  k 1－ ln k2 所以， f(x)的单调递减区间是(0， )，单调递增区间是( ，＋∞)， f(x)在 x＝ 处k k k取得极小值 f( )＝ 。kk 1－ ln k2(2)证明：由(1)知， f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为 f( )＝ 。kk 1－ ln k2因为 f(x)存在零点，所以 ≤0，从而 k≥e。k 1－ ln k2当 k＝e 时， f(x)在区间(1， )上单调递减，且 f( )＝0，e e所以 x＝ 是 f(x)在区间(1， ]上的唯一零点。e e当 ke时， f(x)在区间(0， )上单调递减，且 f(1)＝ 0， f( )＝ 0， f(x)在(0,1)上是增函数；当 x∈(1，＋∞)时， f′( x)0，∴ b≤1－ － 恒成立。1x ln xx令 g(x)＝1－ － ，可得 g′( x)＝ ，1x ln xx ln xx2∴ g(x)在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，∴ g(x)min＝ g(1)＝0，∴实数 b的取值范围是(－∞，0]。4．已知定义在正实数集上的函数 f(x)＝ x2＋2 ax， g(x)＝3 a2ln x＋ b，其中 a0，设12两曲线 y＝ f(x)， y＝ g(x)有公共点，且在该点处的切线相同。(1)用 a表示 b；3(2)求证： f(x)≥ g(x)(x0)。解 (1)设曲线 y＝ f(x)与 y＝ g(x)(x0)在公共点( x0， y0)处的切线相同，∵ f′( x)＝ x＋2 a， g′( x)＝ ，3a2x∴依题意得Error!即Error!由 x0＋2 a＝ ，得 x0＝ a或 x0＝－3 a(舍去)，3a2x0则 b＝ a2＋2 a2－3 a2ln a＝ a2－3 a2ln a。12 52(2)证明：设 F(x)＝ f(x)－ g(x)＝ x2＋2 ax－3 a2ln x－ b(x0)，12则 F′( x)＝ x＋2 a－ ＝ (x0)，3a2x  x－ a  x＋ 3ax由 F′( x)＝0 得 x＝ a或 x＝－3 a(舍去)。当 x变化时， F′( x)， F(x)的变化情况如下表：x (0， a) a (a，＋∞)F′( x) － 0 ＋F(x)  极小值 结合(1)可知函数 F(x)在(0，＋∞)上的最小值是 F(a)＝ f(a)－ g(a)＝0。故当 x0时，有 f(x)－ g(x)≥0，即当 x0时， f(x)≥ g(x)。5．(2015·福建卷)已知函数 f(x)＝ln x－ 。 x－ 1 22(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)证明：当 x1时， f(x)1，当 x∈(1， x0)时，恒有 f(x)k(x－1)。解 (1) f′( x)＝ － x＋1＝ ， x∈(0，＋∞)。1x － x2＋ x＋ 1x由 f′( x)0得Error!解得 01时， F(x)1时， f(x)1满足题意。当 k1时，对于 x1，有 f(x)1满足题意。当 k1。1－ k＋  1－ k 2＋ 42当 x∈(1， x2)时， G′( x)0，故 G(x)在[1， x2)内单调递增。从而当 x∈(1， x2)时， G(x)G(1)＝0，即 f(x)k(x－1)，综上， k的取值范围是(－∞，1)。1高考大题规范练(二) 三角函数、解三角形1．(2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函数 f(x)＝ Asin(ωx ＋ φ )ω 0，| φ |0)，其图π 6像与 x 轴相邻两个交点的距离为 。π 2(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若将 f(x)的图像向左平移 m(m0)个长度单位得到函数 g(x)的图像恰好经过点，求当 m 取得最小值时， g(x)在 上的单调递增区间。(－π 3， 0) [－ π 6， 7π12]解 (1)函数 f(x)＝sin －4sin 2ωx ＋2＝ sin 2ωx － cos 2ωx －4×(2ω x－π 6) 32 12＋2＝ sin 2ωx ＋ cos 2ωx ＝ sin (ω 0)，1－ cos 2ω x2 32 32 3 (2ω x＋ π 3)根据函数 f(x)的图像与 x 轴相邻两个交点的距离为 ，可得函数 f(x)的最小正周期为π 22× ＝ ，得 ω ＝1。π 2 2π2ω故函数 f(x)＝ sin 。3 (2x＋π 3)(2)将 f(x)的图像向左平移 m(m0)个长度单位得到函数 g(x)＝ sin ＝ sin2x＋2 m＋ 的图像，根据 g(x)的图像恰好经过点3 [2 x＋ m ＋π 3] 3 π 3，(－π 3， 0)3可得 sin ＝ 0，3 (－2π3＋ 2m＋ π 3)即 sin ＝0，(2m－π 3)所以 2m－ ＝ kπ( k∈Z)， m＝ ＋ (k∈Z)，π 3 kπ2 π 6因为 m0，所以当 k＝0 时， m 取得最小值，且最小值为 。π 6此时， g(x)＝ sin 。3 (2x＋2π3)令 2kπ－ ≤2 x＋ ≤2 kπ＋ ， k∈Z，得 kπ－ ≤ x≤ kπ－ ， k∈Z，故函数π 2 2π3 π 2 7π12 π12g(x)的单调递增区间为 kπ－ ， kπ－ ， k∈Z。7π12 π12结合 x∈ ，可得 g(x)在 上的单调递增区间为 和[－π 6， 7π12] [－ π 6， 7π12] [－ π 6， － π12]。[5π12， 7π12]4．(2015·广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m＝ ， n＝(sin (22， － 22)x，cos x)， x∈ 。(0，π 2)(1)若 m⊥ n，求 tan x 的值；(2)若 m 与 n 的夹角为 ，求 x 的值。π 3解 (1)∵ m＝ ， n＝(sin x，cos x)，且 m⊥ n，(22， － 22)∴ m·n＝ ·(sin x，cos x)(22， － 22)＝ sin x－ cos x＝sin ＝0。22 22 (x－ π 4)又 x∈ ，∴ x－ ∈ 。(0，π 2) π 4 (－ π 4， π 4)∴ x－ ＝0，即 x＝ 。∴tan x＝tan ＝1。π 4 π 4 π 4(2)由(1)和已知得 cos ＝π 3 m·n|m|·|n|＝sin(x－ π 4)(22)2＋ (－ 22)2·sin2x＋ cos2x4＝sin ＝ ，(x－π 4) 12又 x－ ∈ ，∴ x－ ＝ ，即 x＝ 。π 4 (－ π 4， π 4) π 4 π 6 5π125．(2015·杭州一检)在△ ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c。已知 cos 2A＋ ＝2cos A。32(1)求角 A 的大小；(2)若 a＝1，求△ ABC 的周长 l 的取值范围。解 (1)根据二倍角公式：cos 2 x＝2cos 2x－1，得2cos2A＋ ＝2cos A，即 4cos2A－4cos A＋1＝0，12所以(2cos A－1) 2＝0，所以 cos A＝ 。12因为 0Aπ，所以 A＝ 。π 3(2)根据正弦定理： ＝ ＝ ，得asin A bsin B csin Cb＝ sin B， c＝ sin C，23 23所以 l＝1＋ b＋ c＝1＋ (sin B＋sin C)。23因为 A＝ ，所以 B＋ C＝ ，π 3 2π3所以 l＝1＋ ＝1＋2sin B＋ 。23[sin B＋ sin(2π3－ B)] π 6因为 0B ，所以 l∈(2,3]。2π36．(2015·山东卷)设 f(x)＝sin xcos x－cos 2x＋ 。π 4(1)求 f(x)的单调区间；(2)在锐角△ ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c。若 f ＝0， a＝1，求△ ABC(A2)面积的最大值。解 (1)由题意知 f(x)＝ －sin 2x2 1＋ cos(2x＋ π 2)2＝ － ＝sin 2 x－ 。sin 2x2 1－ sin 2x2 125由－ ＋2 kπ≤2 x≤ ＋2 kπ， k∈Z，可得－ ＋ kπ≤ x≤ ＋ kπ， k∈Z；π 2 π 2 π 4 π 4由 ＋2 kπ≤2 x≤ ＋2 kπ， k∈Z，可得 ＋ kπ≤ x≤ ＋ kπ， k∈Z。所以 f(x)π 2 3π2 π 4 3π4的单调递增区间是－ ＋ kπ， ＋ kπ( k∈Z)；单调递减区间是 (k∈Z)。π 4 π 4 [π 4＋ kπ ， 3π4＋ kπ ](2)由 f ＝sin A－ ＝0，得 sin A＝ ，(A2) 12 12由题意知 A 为锐角，所以 cos A＝ 。32由余弦定理 a2＝ b2＋ c2－2 bccos A，可得 1＋ bc＝ b2＋ c2≥2 bc，3即 bc≤2＋ ，且当 b＝ c 时取等号。3因此 bcsin A≤ ，12 2＋ 34所以△ ABC 面积的最大值为 。2＋ 341高考大题规范练(三) 数列1．(2015·重庆卷)已知等差数列{ an}满足 a3＝2，前 3 项和 S3＝ 。92(1)求{ an}的通项公式；(2)设等比数列{ bn}满足 b1＝ a1， b4＝ a15，求{ bn}的前 n 项和 Tn。解 (1)设{ an}的公差为 d，则由已知条件得 a1＋2 d＝2,3 a1＋ d＝ ，化简得3×22 92a1＋2 d＝2， a1＋ d＝ ，32解得 a1＝1， d＝ ，12故通项公式 an＝1＋ ，即 an＝ 。n－ 12 n＋ 12(2)由(1)得 b1＝1， b4＝ a15＝ ＝8。15＋ 12设{ bn}的公比为 q，则 q3＝ ＝8，从而 q＝2，b4b1故{ bn}的前 n 项和 Tn＝ ＝ ＝2 n－1。b1 1－ qn1－ q 1× 1－ 2n1－ 22．(2015·四川卷)设数列{ an}(n＝1,2,3，…)的前 n 项和 Sn满足 Sn＝2 an－ a1，且a1， a2＋1， a3成等差数列。(1)求数列{ an}的通项公式；(2)设数列 的前 n 项和为 Tn，求 Tn。{1an}解 (1)由已知 Sn＝2 an－ a1，有an＝ Sn－ Sn－1 ＝2 an－2 an－1 (n≥2)，即 an＝2 an－1 (n≥2)。从而 a2＝2 a1， a3＝2 a2＝4 a1。又因为 a1， a2＋1， a3成等差数列，即 a1＋ a3＝2( a2＋1)。所以 a1＋4 a1＝2(2 a1＋1)，解得 a1＝2。所以，数列{ an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列。故 an＝2 n。(2)由(1)得 ＝ ，1an 12n所以 Tn＝ ＋ ＋…＋ ＝ ＝1－ 。12 122 12n12[1－ (12)n]1－ 12 12n23．(2015·浙江卷)已知数列{ an}和{ bn}满足 a1＝2， b1＝1， an＋1 ＝2 an(n∈N *)，b1＋ b2＋ b3＋…＋ bn＝ bn＋1 －1( n∈N *)。12 13 1n(1)求 an与 bn；(2)记数列{ anbn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn。解 (1)由 a1＝2， an＋1 ＝2 an，得 an＝2 n(n∈N *)。由题意知：当 n＝1 时， b1＝ b2－1，故 b2＝2。当 n≥2 时， bn＝ bn＋1 － bn，整理得 ＝ ，1n bn＋ 1n＋ 1 bnn所以 bn＝ n(n∈N *)。(2)由(1)知 anbn＝ n·2n，因此 Tn＝2＋2·2 2＋3·2 3＋…＋ n·2n，2Tn＝2 2＋2·2 3＋3·2 4＋…＋ n·2n＋1 ，所以 Tn－2 Tn＝2＋2 2＋2 3＋…＋2 n－ n·2n＋1 。故 Tn＝( n－1)2 n＋1 ＋2( n∈N *)。4．(2015·合肥质检)已知函数 f(x)＝ x＋ (x0)，以点( n， f(n))为切点作函数图像1x的切线 ln(n∈N *)，直线 x＝ n＋1 与函数 y＝ f(x)图像及切线 ln分别相交于 An， Bn，记an＝| AnBn|。(1)求切线 ln的方程及数列{ an}的通项公式；(2)设数列{ nan}的前 n 项和为 Sn，求证： Sn0)求导，得 f′( x)＝1－ ，1x 1x2则切线 ln的方程为 y－ ＝ (x－ n)，(n＋1n) (1－ 1n2)即 y＝ x＋ 。(1－1n2) 2n易知 An ，(n＋ 1， n＋ 1＋1n＋ 1)Bn ，(n＋ 1， n＋ 1＋n－ 1n2)由 an＝| AnBn|知 an＝ ＝ 。|1n＋ 1－ n－ 1n2| 1n2 n＋ 1(2)证明：∵ nan＝ ＝ － ，1n n＋ 1 1n 1n＋ 1∴ Sn＝ a1＋2 a2＋…＋ nan＝1－ ＋ － ＋…＋ － ＝1－ 0。由已知，有Error!消去 d，整理得 q4－2 q2－8＝0。又因为 q0，解得 q＝2，所以 d＝2。所以数列{ an}的通项公式为 an＝2 n－1 ， n∈N *；数列{ bn}的通项公式为bn＝2 n－1， n∈N *。(2)由(1)有 cn＝(2 n－1)·2 n－1 ，设{ cn}的前 n 项和为 Sn，则Sn＝1×2 0＋3×2 1＋5×2 2＋…＋(2 n－3)×2 n－2 ＋(2 n－1)×2 n－1 ，2Sn＝1×2 1＋3×2 2＋5×2 3＋…＋(2 n－3)×2 n－1 ＋(2 n－1)×2 n，上述两式相减，得－ Sn＝1＋2 2＋2 3＋…＋2 n－(2 n－1)×2 n＝2 n＋1 －3－(2 n－1)×2n＝－(2 n－3)×2 n－3，所以， Sn＝(2 n－3)·2 n＋3， n∈N *。6．(2015·杭州质检)已知数列{ an}满足 a1＝1， an＋1 ＝1－ ，其中 n∈N *。14an(1)设 bn＝ ，求证：数列{ bn}是等差数列，并求出{ an}的通项公式；22an－ 1(2)设 cn＝ ，数列{ cncn＋2 }的前 n 项和为 Tn，是否存在正整数 m，使得 Tn4ann＋ 1对于 n∈N *恒成立？若存在，求出 m 的最小值；若不存在，请说明理由。1cmcm＋ 1解 (1)∵ bn＋1 － bn＝ －22an＋ 1－ 1 22an－ 1＝ －22(1－ 14an)－ 1 22an－ 1＝ － ＝2(常数)，4an2an－ 1 22an－ 1∴数列{ bn}是等差数列。∵ a1＝1，∴ b1＝2，因此 bn＝2＋( n－1)×2＝2 n，由 bn＝ 得 an＝ 。22an－ 1 n＋ 12n(2)由 cn＝ ， an＝ 得 cn＝ ，4ann＋ 1 n＋ 12n 2n4∴ cncn＋2 ＝ ＝2 ，4n n＋ 2 (1n－ 1n＋ 2)∴ Tn＝2 (1－13＋ 12－ 14＋ 13－ 15＋ …＋ 1n－ 1n＋ 2)＝2 3，(1＋12－ 1n＋ 1－ 1n＋ 2)依题意要使 Tn 对于 n∈N *恒成立，只需 ≥3，1cmcm＋ 1 1cmcm＋ 1即 ≥3，m m＋ 14解得 m≥3 或 m≤－4，又 m 为正整数，所以 m 的最小值为 3。1高考大题规范练(四) 立体几何1．如图，在等腰梯形 PDCB 中， PB∥ CD， PB＝3， DC＝1， PD＝ BC＝ ， A 为 PB 边上一2点，且 PA＝1，将△ PAD 沿 AD 折起，使平面 PAD⊥平面 ABCD。(1)求证：平面 PAD⊥平面 PCD；(2)若 M 为线段 PB 的中点，求多面体 PADCMA 的体积。解 (1)证明：在等腰梯形 PDCB 中，∵ PB＝3， PA＝1， DC＝1，∴ AD⊥ AB，又 CD∥ AB，∴ CD⊥ AD。∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且交线为 AD，∴ DC⊥平面 PAD。∵ DC⊂平面 PCD，∴平面 PAD⊥平面 PCD。(2)在梯形 PDCB 中， PA⊥ AD，∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且交线为 AD，∴ PA⊥平面 ABCD。∵ M 为 PB 的中点，∴点 M 到平面 ACB 的距离等于 PA＝ 。12 12∴ VM－ ACB＝ × ·S△ ACB＝ 。13 12 16∵ VP－ ABCD＝ PA·S 梯形 ABCD＝ ×1× ＝ ，13 13  1＋ 2 ×12 12∴多面体 PDCMA 的体积 VPDCMA＝ VP－ ABCD－ VM－ ACB＝ 。132．(2015·湖南卷)如图，直三棱柱 ABC－ A1B1C1的底面是边长为 2 的正三角形， E， F分别是 BC， CC1的中点。(1)证明：平面 AEF⊥平面 B1BCC1；(2)若直线 A1C 与平面 A1ABB1所成的角为 45°，求三棱锥 F－ ABC 的体积。2解 (1)证明：如图，因为三棱柱 ABC－ A1B1C1是直三棱柱，所以 AE⊥ BB1。又 E 是正三角形 ABC 的边 BC 的中点，所以 AE⊥ BC。因此， AE⊥平面 B1BCC1。而 AE⊂平面 AEF，所以平面 AEF⊥平面 B1BCC1。(2)设 AB 的中点为 D，连接 A1D， CD因为△ ABC 是正三角形，所以 CD⊥ AB。又三棱柱 ABC－ A1B1C1是直三棱柱，所以 CD⊥ AA1。因此 CD⊥平面 A1ABB1，于是∠ CA1D 为直线 A1C 与平面 A1ABB1所成的角。由题设，∠ CA1D＝45°，所以 A1D＝ CD＝ AB＝ 。32 3在 Rt△ AA1D 中， AA1＝ ＝ ＝ ，所以 FC＝ AA1＝ 。A1D2－ AD2 3－ 1 212 22故三棱锥 F－ AEC 的体积 V＝ S△ AEC·FC＝ × × ＝ 。13 13 32 22 6123．(2015·四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。(1)请将字母 F， G， H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线 DF⊥平面 BEG。解 (1)点 F， G， H 的位置如图所示。(2)平面 BEG∥平面 ACH。证明如下：3因为 ABCD－ EFGH 为正方体，所以 BC∥ FG， BC＝ FG，又 FG∥ EH， FG＝ EH，所以 BC∥ EH， BC＝ EH，于是 BCHE 为平行四边形。所以 BE∥ CH。又 CH⊂平面 ACH， BE⊄平面 ACH，所以 BE∥平面 ACH。同理 BG∥平面 ACH。又 BE∩ BG＝ B，所以平面 BFG∥平面 ACH。(3)证明：连接 FH。因为 ABCD－ EFGH 为正方体，所以 DH⊥平面 EFGH。因为 EG⊂平面 EFGH，所以 DH⊥ EG。又 EG⊥ FH， EG∩ FH＝ O，所以 EG⊥平面 BFHD。又 DF⊂平面 BFHD，所以 DF⊥ EG。同理 DF⊥ BG。又 EG∩ BG＝ G，所以 DF⊥平面 BEG。4.(2015·河北唐山二模)如图，四棱锥 P－ ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，PA＝ AD， M， N 分别是棱 PC， AB 的中点，且 MN⊥ CD。(1)求证： PN＝ CN；(2)直线 MN 与平面 PBD 相交于点 F，求 MF∶ FN。解 (1)证明：取 PD 中点 E，连接 AE， EM，则 EM∥ AN，且 EM＝ AN，四边形 ANME 是平行四边形， MN∥ AE。由 PA＝ AD 得 AE⊥ PD，故 MN⊥ PD。又因为 MN⊥ CD，所以 MN⊥平面 PCD，4则 MN⊥ PC， PN＝ CN。(2)设 M， N， C， A 到平面 PBD 的距离分别为 d1， d2， d3， d4，则 d3＝2 d1， d4＝2 d2。由 VP－ ABD＝ VP－ CBD，即 VA－ PBD＝ VC－ PBD，得 d3＝ d4，则 d1＝ d2，故 MF∶ FN＝ d1∶ d2＝1∶1。5.在如图所示的多面体中，四边形 ABB1A1和 ACC1A1都为矩形。(1)若 AC⊥ BC，证明：直线 BC⊥平面 ACC1A1；(2)设 D， E 分别是线段 BC， CC1的中点，在线段 AB 上是否存在一点 M，使直线 DE∥平面 A1MC？请证明你的结论。解 (1)证明：因为四边形 ABB1A1和 ACC1A1都是矩形，所以 AA1⊥ AB， AA1⊥ AC。因为 AB， AC 为平面 ABC 内两条相交直线，所以 AA1⊥平面 ABC。因为直线 BC⊂平面 ABC，所以 AA1⊥ BC。又由已知， AC⊥ BC， AA1， AC 为平面 ACC1A1内两条相交直线，所以 BC⊥平面 ACC1A1。(2)取线段 AB 的中点 M，连接 A1M， MC， A1C， AC1，设 O 为 A1C， AC1的交点。由已知， O 为 AC1的中点。连接 MD， OE，则 MD， OE 分别为△ ABC，△ ACC1的中位线。所以， MD 綉 AC， OE 綉 AC，12 12因此 MD 綉 OE。连接 OM，从而四边形 MDEO 为平行四边形，则 DE∥ MO。5因为直线 DE⊄平面 A1MC， MO⊂平面 A1MC，所以直线 DE∥平面 A1MC。即线段 AB 上存在一点 M(M 为线段 AB 的中点)，使直线 DE∥平面 A1MC。1高考大题规范练(五) 平面解析几何1．已知椭圆 C： ＋ y2＝1 的上、下顶点分别为 A， B，点 P 在椭圆上，且异于点x24A， B，直线 AP， BP 与直线 l： y＝－2 分别交于点 M， N。(1)设直线 AP， BP 的斜率分别为 k1， k2，求证： k1k2为定值；(2)求线段 MN 长的最小值。解 (1)证明：由题意， A(0,1)， B(0，－1)，令 P(x0， y0)，则 x0≠0，∴直线 AP 的斜率 k1＝ ， BP 的斜率 k2＝ 。y0－ 1x0 y0＋ 1x0又点 P 在椭圆上。∴ ＋ y ＝1( x0≠0)，x204 20从而有 k1k2＝ ＝ ＝－ 。y20－ 1x20 1－ x204－ 1x20 14即 k1k2为定值。(2)由题设可以得到直线 AP 的方程为 y－1＝ k1(x－0)，直线 BP 的方程为 y－(－1)＝ k2(x－0)，由Error! 得Error!由Error! 得Error!∴直线 AP 与直线 l 的交点 M ，(－3k1， － 2)直线 BP 与直线 l 的交点 N 。(－1k2， － 2)又 k1k2＝－ ，14∴| MN|＝ ＝ ＝ ＋|4 k1||－3k1＋ 1k2| |3k1＋ 4k1| |3k1|≥2 ＝4 ，|3k1|·|4k1| 3当且仅当 ＝|4 k1|，即 k1＝± 时取等号，|3k1| 32故线段 MN 长的最小值是 4 。32．(2015·北京西城模拟)已知 A， B 是抛物线 W： y＝ x2上的两个点，点 A 的坐标为2(1,1)，直线 AB 的斜率为 k(k0)。设抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方。(1)求 k 的取值范围；(2)设 C 为 W 上一点，且 AB⊥ AC，过 B， C 两点分别作 W 的切线，记两切线的交点为D，判断四边形 ABDC 是否为梯形，并说明理由。解 (1)抛物线 y＝ x2的焦点为 。(0，14)由题意，得直线 AB 的方程为 y－1＝ k(x－1)，令 x＝0，得 y＝1－ k，即直线 AB 与 y 轴相交于点(0,1－ k)。因为抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方，所以 1－ k ，解得 k0，所以 0b0)过点 P(－1，－1)， c 为椭圆的半焦距，且x2a2 y2b2c＝ b。过点 P 作两条互相垂直的直线 l1， l2与椭圆 C 分别交于另两点 M， N。2(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l1的斜率为－1，求△ PMN 的面积；(3)若线段 MN 的中点在 x 轴上，求直线 MN 的方程。解 (1)由条件得 ＋ ＝1，又 c2＝2 b2，所以 a2＝3 b2，所以 b2＝ ， a2＝4，1a2 1b2 43所以椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1。x24 3y24(2)易知 l1的方程为 y＋1＝－( x＋1)，即 y＝－ x－2。由Error!消去 y，得 x2＋3 x＋2＝0，所以 M(－2,0)，同理易得 N(1,1)。因为 P(－1，－1)，所以| PM|＝ ，| PN|＝2 ，2 2所以△ PMN 的面积为 × ×2 ＝2。12 2 2(3)设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则Error!两式相减得( x1＋ x2)(x1－ x2)＋3( y1＋ y2)(y1－ y2)＝0。因为线段 MN 的中点在 x 轴上，所以 y1＋ y2＝0，从而可得( x1＋ x2)(x1－ x2)＝0。若 x1＋ x2＝0，则 N(－ x1，－ y1)。因为 PM⊥ PN，所以 · ＝0，得 x ＋ y ＝2。PM→ PN→ 21 21又因为 x ＋3 y ＝4，所以 x1＝±1，所以 M(－1,1)， N(1，－1)或 M(1，－1)，21 21N(－1,1)，所以直线 MN 的方程为 y＝－ x。若 x1－ x2＝0，则 N(x1，－ y1)。因为 PM⊥ PN，所以 · ＝0，得 y ＝( x1＋1) 2＋1。PM→ PN→ 21又因为 x ＋3 y ＝4，所以 x1＝－ 或 x1＝－1。21 2112经检验： x＝－ 满足条件， x＝－1 不满足条件。12综上，直线 MN 的方程为 x＋ y＝0 或 x＝－ 。1244.如图，曲线 C 由上半椭圆 C1： ＋ ＝1( ab0， y≥0)和部分抛物线y2a2 x2b2C2： y＝－ x2＋1( y≤0)连接而成， C1与 C2的公共点为 A， B，其中 C1的离心率为 。32(1)求 a， b 的值；(2)过点 B 的直线 l 与 C1， C2分别交于 P， Q(均异于点 A， B)，若 AP⊥ AQ，求直线 l 的方程。解 (1)在 C1， C2的方程中，令 y＝0，可得 b＝1，且 A(－1,0)， B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点。设 C1的半焦距为 c，由 ＝ 及 a2－ c2＝ b2＝1 得 a＝2。ca 32∴ a＝2， b＝1。(2)由(1)知，上半椭圆 C1的方程为 ＋ x2＝1( y≥0)。y24易知，直线 l 与 x 轴不重合也不垂直，设其方程为 y＝ k(x－1)( k≠0)，代入 C1的方程，整理得( k2＋4) x2－2 k2x＋ k2－4＝0。(*)设点 P 的坐标为( xP， yP)，∵直线 l 过点 B，∴ x＝1 是方程(*)的一个根。由根与系数的关系，得 xP＝ ，从而 yP＝－ ，k2－ 4k2＋ 4 8kk2＋ 4∴点 P 的坐标为 。(k2－ 4k2＋ 4， － 8kk2＋ 4)同理，由Error!得点 Q 的坐标为(－ k－1，－ k2－2 k)。∴ ＝ (k，－4)， ＝－ k(1， k＋2)。AP→ 2kk2＋ 4 AQ→ ∵ AP⊥ AQ，∴ · ＝0，即 [k－4( k＋2)]＝0，AP→ AQ→ － 2k2k2＋ 45∵ k≠0，∴ k－4( k＋2)＝0，解得 k＝－ 。83经检验， k＝－ 符合题意，83故直线 l 的方程为 y＝－ (x－1)。835．已知椭圆 C： ＋ ＝1( ab0)的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点x2a2 y2b2构成正三角形。(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设 F 为椭圆 C 的左焦点， T 为直线 x＝－3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C于点 P， Q。①证明： OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点)；②当 最小时，求点 T 的坐标。|TF||PQ|解 (1)由已知可得Error!解得 a2＝6， b2＝2，所以椭圆 C 的标准方程是 ＋ ＝1。x26 y22(2)①证明：由(1)可得， F 的坐标是(－2,0)，设 T 点的坐标为(－3， m)。则直线 TF 的斜率 kTF＝ ＝－ m。m－ 0－ 3－  － 2当 m≠0 时，直线 PQ 的斜率 kPQ＝ 。直线 PQ 的方程是 x＝ my－2。1m当 m＝0 时，直线 PQ 的方程是 x＝－2，也符合 x＝ my－2 的形式。设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立，得Error!消去 x，得( m2＋3) y2－4 my－2＝0，其判别式 Δ＝16 m2＋8( m2＋3)0。所以 y1＋ y2＝ ， y1y2＝ ，4mm2＋ 3 － 2m2＋ 3x1＋ x2＝ m(y1＋ y2)－4＝ 。－ 12m2＋ 3所以 PQ 的中点 M 的坐标为 。(－ 6m2＋ 3， 2mm2＋ 3)所以直线 OM 的斜率 kOM＝－ ，m3又直线 OT 的斜率 kOT＝－ ，所以点 M 在直线 OT 上，因此 OT 平分线段 PQ。m36②由①可得，|TF|＝ ，m2＋ 1|PQ|＝  x1－ x2 2＋  y1－ y2 2＝  m2＋ 1 [ y1＋ y2 2－ 4y1y2]＝  m2＋ 1 [( 4mm2＋ 3)2－ 4·－ 2m2＋ 3]＝ 。24 m2＋ 1m2＋ 3所以 ＝ |TF||PQ| 124· m2＋ 3 2m2＋ 1＝ ≥ ＝ 。124·(m2＋ 1＋ 4m2＋ 1＋ 4) 124· 4＋ 4 33当且仅当 m2＋1＝ ，即 m＝±1 时，取等号，此时 取得最小值。4m2＋ 1 |TF||PQ|所以当 最小时， T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1)。|TF||PQ|1高考大题规范练(六) 概率与统计1．(2015·北京卷)某超市随机选取 1 000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买， “×”表示未购买。商品顾客人数 甲 乙 丙 丁100 √ × √ √217 × √ × √200 √ √ √ ×300 √ × √ ×85 √ × × ×98 × √ × ×(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解 (1)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 ＝0.2。2001 000(2)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中，有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2 种商品。所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为 ＝0.3。100＋ 2001 000(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 ＝0.2，2001 000顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 ＝0.6，100＋ 200＋ 3001 000顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 ＝0.1。1001 000所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大。2．(2015·福建卷)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标。根据相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示。2组号 分组 频数1 [4,5) 22 [5,6) 83 [6,7) 74 [7,8] 3(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研，求至少有 1 家的融合指数在[7,8]内的概率；(2)根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数。解 解法一：(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为 A1， A2， A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为 B1， B2。从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有基本事件是：{A1， A2}，{ A1， A3}，{ A2， A3}，{ A1， B1}，{ A1， B2}，{ A2， B1}，{ A2， B2}，{ A3， B1}，{A3， B2}，{ B1， B2}，共 10 个。其中，至少有 1 家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{ A1， A2}，{ A1， A3}，{ A2， A3}，{A1， B1}，{ A1， B2}，{ A2， B1}，{ A2， B2}，{ A3， B1}，{ A3， B2}，共 9 个。所以所求的概率 P＝ 。910(2)这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4.5× ＋5.5× ＋6.5× ＋7.5× ＝6.05。220 820 720 320解法二：(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为 A1， A2， A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为 B1， B2。从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有的基本事件是：{A1， A2}，{ A1， A3}，{ A2， A3}，{ A1， B1}，{ A1， B2}，{ A2， B1}，{ A2， B2}，{ A3， B1}，{A3， B2}，{ B1， B2}，共 10 个。其中，没有 1 家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{ B1， B2}，共 1 个。所以所求的概率 P＝1－ ＝ 。110 910(2)同解法一。3．(2015·广东卷)某城市 100 户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图。3(1)求直方图中 x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？解 (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋ x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，得x＝0.007 5，所以直方图中 x 的值是 0.007 5。(2)月平均用电量的众数是 ＝230。220＋ 2402因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45 ，因此可看出 A 药的疗效更好。x－ y－ (2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有 的叶集中在茎 2,3 上，而 B 药疗效710的试验结果有 的叶集中在茎 0,1 上，由此可看出 A 药的疗效更好。7105．(2015·河北唐山一模)为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得如下实验数据：天数 t(天) 3 4 5 6 7繁殖个数 y(千个) 2.5 3 4 4.5 6(1)求 y 关于 t 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，预测 t＝8 时，细菌的繁殖个数。附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：5＝ ， ＝ － 。b^ n∑i＝ 1 ti－ t－   yi－ y－ n∑i＝ 1 ti－ t－  2 a^y－ b^ t－ 解 (1)由表中数据计算得， ＝5， ＝4， (ti－ )·(yi－ )＝8.5， (ti－t－ y－ n∑i＝ 1 t－ y－ n∑i＝ 1)2＝10，t－ ＝ ＝0.85， ＝ － ＝－0.25。b^ n∑i＝ 1 ti－ t－   yi－ y－ n∑i＝ 1 ti－ t－  2 a^y－ b^ t－ 所以回归方程为 ＝0.85 t－0.25。y^ (2)将 t＝8 代入(1)的回归方程中得 ＝0.85×8－0.25＝6.55。y^ 故预测 t＝8 时，细菌繁殖个数为 6.55 千个。