2017届高考数学大一轮复习 第七章 立体几何习题 文（打包7套）北师大版.zip

1【高考领航】2017 届高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 7.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图课时规范训练 文 北师大版[A 级 基础演练]1．以下四个命题：①正棱锥的所有侧棱相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆柱的母线垂直于底面；④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形．其中，真命题的个数为( )A．4 B．3C．2 D．1解析：由正棱锥的定义可知所有侧棱相等，故①正确；由于直棱柱的底面不一定是正多边形，故侧面矩形不一定全等，因此②不正确；由圆柱母线的定义可知③正确；结合圆锥轴截面的作法可知④正确．综上，正确的命题有 3 个．答案：B2．(2014·高考福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )A．圆柱 B．圆锥C．四面体 D．三棱柱解析：由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选 A.答案：A3. (2016·开封摸底)一个正四棱锥的所有棱长均为 2，其俯视图如图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为( )A. B. 2 3C．2 D．4解析：由题知，所求正视图是底边长为 2，腰长为 的等腰三角形，其面积为 ×2×312＝ .(3)2－ 1 2答案：A4．下面关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．2其中，真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．解析：①错，必须是两个相邻的侧面；②正确；③错，反例，可以是斜四棱柱；④正确，对角线两两相等，则此两对角线所在的平行四边形为矩形．答案：②④5. (2016·西城区检测)已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为________．解析：由正三棱柱三视图还原直观图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧(左)视图中三角形的边长为 2，所以高为，所以正视图的面积为 2 .3 3答案：2 36．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ ABC＝45°， AB＝ AD＝1， DC⊥ BC，则这块菜地的面积为________．解析：过 A 作 AE⊥ BC 于 E，在 Rt△ ABE 中， AB＝1，∠ ABE＝45°，∴ BE＝ .22而四边形 AECD 为矩形， AD＝1，∴ EC＝ AD＝1.∴ BC＝ BE＋ EC＝ ＋1.22由此可还原原图形如图．在原图形中， A′ D′＝1， A′ B′＝2，B′ C′＝ ＋1，且 A′ D′∥ B′ C′， A′ B′⊥ B′ C′.22∴这块菜地的面积为 S＝ (A′ D′＋ B′ C′)· A′ B′123＝ ×2＝2＋ .12(1＋ 1＋ 22) 22答案：2＋227．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，轴截面的面积等于 392，母线与轴的夹角为 45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．解：作出圆台的轴截面如图．设 O′ A′＝ r，则 SO′＝ r，∵一底面周长是另一底面周长的 3 倍，∴ OA＝3 r，则 SO＝3 r， SA＝3 r，2∴ OO′＝2 r.由轴截面的面积为 (2r＋6 r)·2r＝392，得 r＝7.12故上底面半径为 7，下底面半径为 21，高为 14，母线长为 14 .28．如图，在四棱锥 P－ ABCD 中，底面为正方形， PC 与底面 ABCD 垂直，图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求 PA.解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)，边长为 6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得PD＝ PC2＋ CD2＝ ＝6 .62＋ 62 2由正视图可知 AD＝6 且 AD⊥ PD，所以在 Rt△ APD 中，4PA＝ ＝ ＝6 (cm)．PD2＋ AD2  62 2＋ 62 3[B 级 能力突破]1．(2015·高考课标卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A. B.18 17C. D.16 15解析：由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为 1，则三棱锥的体积为V1＝ × ×1×1×1＝ ，13 12 16剩余部分的体积 V2＝1 3－ ＝ .16 56所以 ＝ ＝ ，故选 D.V1V21656 15答案：D2．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A．6 B．42 2C．6 D．45解析：将三视图还原为几何体再计算，几何体为三棱锥．如图，侧面 SBC⊥底面 ABC.点 S 在底面 ABC 的射影点 O 是 BC 的中点，△ ABC 为直角三角形．∵ AB＝4， BO＝2，∴ AO＝ ， SO⊥底面 ABC，20∴ SO⊥ AO， SO＝4，∴最长的棱 AS＝ ＝6.20＋ 16答案：C3．(2014·高考北京卷)在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 A(2,0,0)， B(2,2,0)，C(0,2,0)， D(1,1， )．若 S1， S2， S3分别是三棱锥 D­ABC 在 xOy， yOz， zOx 坐标平面上2的正投影图形的面积，则( )A． S1＝ S2＝ S3 B． S2＝ S1且 S2≠ S3C． S3＝ S1且 S3≠ S2 D． S3＝ S2且 S3≠ S1解析：作出三棱锥在三个坐标平面上的正投影，计算三角形的面积．如图所示，△ ABC 为三棱锥在坐标平面 xOy 上的正投影，所以 S1＝ ×2×2＝2.三棱锥12在坐标平面 yOz 上的正投影与△ DEF(E， F 分别为 OA， BC 的中点)全等，所以S2＝ ×2× ＝ .三棱锥在坐标平面 xOz 上的正投影与△ DGH(G， H 分别为 AB， OC 的中点)全12 2 2等，所以 S3＝ ×2× ＝ .所以 S2＝ S3且 S1≠ S3.故选 D.12 2 2答案：D4．给出下列命题：①在正方体上任意选择 4 个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4 个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确命题的序号是________．解析：①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体 ABCD­A1B1C1D16中的四面体 A­CB1D1；②错误，反例如图所示，底面△ ABC 为等边三角形，可令AB＝ VB＝ VC＝ BC＝ AC，则△ VBC 为等边三角形，△ VAB 和△ VCA 均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③错误，必须是相邻的两个侧面．答案：①5．已知一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号)________．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：由三视图可知该几何体为底面是边长为 a 的正方形，高为 b 的长方体．若以四个顶点为顶点的图形为平行四边形，则一定是矩形，故②不正确．答案：①③④⑤6．(2016·武邑一模)某几何体的一条棱长为 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投7影是长为 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的6线段，则 a＋ b 的最大值为________．解析：本题构造长方体，体对角线长为 ，其在侧视图中为侧面对角线 a，在俯视图7中为底面对角线 b，设长方体底面宽为 1，则 b2－1＋ a2－1＝6，即 a2＋ b2＝8，利用不等式2≤ ＝4，则 a＋ b≤4.(a＋ b2 ) a2＋ b22答案：477．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6米铁丝．再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．(1)当圆柱底面半径 r 取何值时， S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到 0.01 平方米)；(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为 0.3 米的灯笼，请作出灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．解：(1)设圆柱的高为 h，由题意可知，4(4r＋2 h)＝9.6，即 2r＋ h＝1.2.S＝2π rh＋π r2＝π r(2.4－3 r)＝3π[－( r－0.4) 2＋0.16]，其中 0＜ r＜0.6.∴当半径 r＝0.4 米时， Smax＝0.48π≈1.51(平方米)．(2)由 r＝0.3 及 2r＋ h＝1.2，得圆柱的高 h＝0.6(米)．则灯笼的三视图为：1【高考领航】2017 届高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 7.2 空间几何体的表面积与体积课时规范训练 文 北师大版[A 级 基础演练]1．(2015·高考福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A．8＋2 B．11＋22 2C．14＋2 D．152解析：由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为 ＝ ，所以底面周长为 4＋ ，侧面积为 2×(4＋ )12＋ 12 2 2 2＝8＋2 ，两底面的面积和为 2× ×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为2128＋2 ＋ 3＝11＋2 .2 2答案：B2．(2015·高考重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )2A. ＋2π B.13 13π6C. D.7π3 5π2解析：由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×1 2×2＋ × π×1 2×1＝ π.12 13 136答案：B3．(2015·高考安徽卷)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A．1＋ B．1＋23 2C．2＋ D．23 2解析：如图，该四面体有两个面为等腰直角三角形，另外两个面为正三角形．故该四面体的表面积 S＝2× × × ＋2× × × × ＝2＋ .12 2 2 12 2 2 32 3答案：C4．(2015·高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.3解析：由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为 1m，圆柱的底面半径为 1m 且其高为 2m，故所求几何体的体积为V＝ π×1 2×1×2＋π×1 2×2＝ π(m 3)．13 83答案： π835．(2016·大连模拟)直三棱柱 ABC­A1B1C1的六个顶点都在球 O 的球面上．若AB＝ BC＝2，∠ ABC＝90°， AA1＝2 ，则球 O 的表面积为__________．2解析：由题设可知，直三棱柱可以补成一个球的内接长方体，所以球的直径为长方体的体对角线长，即 ＝4，故球 O 的表面积 S＝4π R2＝16π.22＋ 22＋  22 2答案：16π6. 一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为 2 的正方形)，则该几何体外接球的体积为________．解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线，∴2 R＝2 (R 为球的半径)，∴ R＝ .3 3∴球的体积 V＝ π R3＝4 π.43 3答案：4 π37．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．4(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．解：(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体 AC1及直三棱柱 B1C1Q－ A1D1P 的组合体．由 PA1＝ PD1＝ ， A1D1＝ AD＝2，可得 PA1⊥ PD1.2故所求几何体的表面积 S＝5×2 2＋2×2× ＋2× ×( )2＝(22＋4 )(cm2)，212 2 2所求几何体的体积 V＝2 3＋ ×( )2×2＝10(cm 3)．12 28．有一根木料，形状为直三棱柱形，高为 6 cm，横截面三角形的三边长分别为 3 cm、4 cm、5 cm，将其削成一个圆柱形积木，求该木料被削去部分体积的最小值．解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为 R，圆柱的高即为直三棱柱的高．在△ ABC 中，令 AB＝3， BC＝4， AC＝5，∴△ ABC 为直角三角形．根据直角三角形内切圆的性质可得 7－2 R＝5，∴ R＝1.∴ V 圆柱 ＝π R2·h＝6π(cm 3)．而三棱柱的体积为 V 三棱柱 ＝ ×3×4×6＝36(cm 3)．12∴削去部分的体积为 36－6π＝6(6－π)(cm 3)．5即削去部分体积的最小值为 6(6－π)cm 3.[B 级 能力突破]1．(2015·高考课标卷Ⅱ)已知 A， B 是球 O 的球面上两点，∠ AOB＝90°， C 为该球面上的动点．若三棱锥 O­ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( )A．36π B．64πC．144π D．256π解析：如图，设球的半径为 R，∵∠ AOB＝90°，∴ S△ AOB＝ R2.12∵ VO­ABC＝ VC­AOB，而△ AOB 面积为定值，∴当点 C 到平面 AOB 的距离最大时， VO ­ABC最大，∴当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时，体积 VO­ABC最大为 × R2×R＝36，13 12∴ R＝6，∴球 O 的表面积为 4π R2＝4π×6 2＝144π.故选 C.答案：C2．(2015·高考课标卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为 16＋20π，则 r＝( )A．1 B．2C．4 D．8解析：6如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为 r，则圆柱的底面半径为 r，高为 2r，则表面积 S＝ ×4π r2＋π r2＋4 r2＋π r·2r＝(5π＋4) r2.又12S＝16＋20π，∴(5π＋4) r2＝16＋20π，∴ r2＝4， r＝2，故选 B.答案：B3. (2016·豫西五校联考)如图所示(单位：cm)，则图中的阴影部分绕 AB 所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为__________．解析：由题图中数据，根据圆台和球的体积公式，得V 圆台 ＝ ×(π× AD2＋ ＋π× BC2)13 π ×AD2×π ×BC2×AB＝ ×π×( AD2＋ AD×BC＋ BC2)×AB13＝ ×π×(2 2＋2×5＋5 2)×4＝52π(cm 3)，13V 半球 ＝ π× AD3× ＝ π×2 3× ＝ π(cm 3)，所以旋转所形成几何体的体积 V＝ V 圆台43 12 43 12 163－ V 半球 ＝52π－ π＝ π(cm 3)．163 1403答案： π(cm 3)14034．(2016·大连双基检测) 如图，在边长为 1 的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A．15 B．13C．12 D．97解析：题中的几何体的直观图如图所示，其中底面 ABCD 是一个矩形(其中AB＝5， BC＝2)，棱 EF∥底面 ABCD，且 EF＝3，直线 EF 到底面 ABCD 的距离是 3.连接EB， EC，则题中的多面体的体积等于四棱锥 E­ABCD 与三棱锥 E­FBC 的体积之和，而四棱锥E­ABCD 的体积等于 ×(5×2)×3＝10，三棱锥 E­FBC 的体积等于13× ×2＝3，因此题中的多面体的体积等于 10＋3＝13，选 B.13 (12×3×3)答案：B5．(2014·高考江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1， S2，体积分别为 V1， V2.若它们的侧面积相等，且 ＝ ，则 的值是________．S1S2 94 V1V2解析：根据底面积的比值、侧面积相同，找到底面半径和高的比值，再代入体积公式求出体积的比值．设两个圆柱的底面半径和高分别为 r1， r2和 h1， h2，由 ＝ ，得 ＝ ，则 ＝ .S1S2 94 π r21π r2 94 r1r2 32由圆柱的侧面积相等，得 2π r1h1＝2π r2h2，即 r1h1＝ r2h2，则 ＝ ，所以 ＝ ＝ .h1h2 23 V1V2 π r21h1π r2h2 32答案：326．(2016·大连模拟)如图，在三棱柱 ABC­A1B1C1的侧棱 A1A 和 B1B 上各有一个动点P、 Q，且满足 A1P＝ BQ， M 是棱 CA 上的动点，则的最大值是__________．VM­ABQPVABC­A1B1C1－ VM­ABQP解析：设 VABC­A1B1C1＝ V， VM­ABQP＝ VM­B1BA≤ VC­B1BA＝ VB1­CBA＝ V，即 M 与 C 重合时138VM­ABQP最大， ＝ ＝ .VM­ABQPVABC­A1B1C1－ VM­ABQPV3V－ V3 12答案：127．如图，在长方体 ABCD－ A1B1C1D1中， AD＝ AA1＝1， AB＞1，点 E 在棱 AB 上移动，小蚂蚁从点 A 沿长方体的表面爬到点 C1，所爬的最短路程为 2 .2(1)求 AB 的长度．(2)求该长方体外接球的表面积．解：(1)设 AB＝ x，点 A 到点 C1可能有两种途径，如图甲的最短路程为| AC1|＝ .x2＋ 4如图乙的最短路程为|AC1|＝ ＝ ， x＋ 1 2＋ 1 x2＋ 2x＋ 2图甲 图乙∵ x＞1，∴ x2＋2 x＋2＞ x2＋2＋2＝ x2＋4，故从点 A 沿长方体的表面爬到点 C1的最短距离为 .x2＋ 4由题意得 ＝2 ，x2＋ 4 2解得 x＝2.即 AB 的长度为 2.(2)设长方体外接球的半径为 R，则(2R)2＝1 2＋1 2＋2 2＝6，∴ R2＝ ，32∴ S 表 ＝4π R2＝6π.即该长方体外接球的表面积为 6π.1【高考领航】2017 届高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 7.3 空间图形的基本关系及公理课时规范训练 文 北师大版[A 级 基础演练]1．(2016·台州模拟)以下四个命题中：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点 A、 B、 C、 D 共面，点 A、 B、 C、 E 共面，则点 A、 B、 C、 D、 E 共面；③若直线 a、 b 共面，直线 a、 c 共面，则直线 b、 c 共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：①中显然是正确的；②中若 A、 B、 C 三点共线则 A、 B、 C、 D、 E 五点不一定共面．③构造长方体或正方体，如图显然 b、 c 异面故不正确．④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．答案：B2．(2016·江西七校联考)已知直线 a 和平面 α ， β ， α ∩ β ＝ l， a α ， a β ，且a 在 α ， β 内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是( )A．相交或平行 B．相交或异面C．平行或异面 D．相交、平行或异面解析：依题意，直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面，故选 D.答案：D3．(2016·信阳模拟)平面 α 、 β 的公共点多于两个，则① α 、 β 垂直；② α 、 β 至少有三个公共点；③ α 、 β 至少有一条公共直线；④ α 、 β 至多有一条公共直线；以上四个判断中不成立的个数为 n，则 n 等于( )A．0 B．1C．2 D．3解析：由条件知当平面 α 、 β 的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则 α 、 β2相交；若公共点不共线，则 α 、 β 重合．故①不一定成立；②成立；③成立；④不成立．答案：C4．已知 m， n 为异面直线， m⊥平面 α ， n⊥平面 β .直线 l 满足l⊥ m， l⊥ n， l α ， l β ，则( )A． α ∥ β 且 l∥ αB． α ⊥ β 且 l⊥ βC． α 与 β 相交，且交线垂直于 lD． α 与 β 相交，且交线平行于 l解析：结合给出的已知条件，画出符合条件的图形，然后判断得出．根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知 α 与 β 相交，且交线平行于 l，故选 D.答案：D5．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α 上，且 AB∥ CD，则直线 EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．解析：取 CD 的中点为 G，由题意知平面 EFG 与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而 EF 与正方体的左、右侧面所在的平面平行或 EF 在平面内．所以直线 EF 与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 4.答案：46．(2016·济南一模)在正四棱锥 V­ABCD 中，底面正方形 ABCD 的边长为 1，侧棱长为2，则异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为__________．解析：如图，设 AC∩ BD＝ O，连接 VO，因为四棱锥 V­ABCD 是正四棱锥，所以 VO⊥平面 ABCD，故 BD⊥ VO.又四边形 ABCD 是正方形，所以 BD⊥ AC，又因为 VO∩ AC＝ O，所以3BD⊥平面 VAC，所以 BD⊥ VA，即异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为 .π 2答案：π 27．(2016·宜城模拟)已知：空间四边形 ABCD(如图所示)， E、 F 分别是 AB、 AD 的中点，G、 H 分别是 BC、 CD 上的点，且 CG＝ BC， CH＝ DC.求证：13 13(1)E、 F、 G、 H 四点共面；(2)三直线 FH、 EG、 AC 共点．证明：(1)连接 EF、 GH.由 E、 F 分别为 AB、 AD 的中点，∴ EF 綊 BD，又 CG＝ BC， CH＝ DC，12 13 13∴ HG 綊 BD，13∴ EF∥ HG 且 EF≠ HG.∴ EF、 HG 可确定平面 α ，即 E、 F、 G、 H 四点共面．(2)由(1)知： EFHG 为平面图形，且 EF∥ HG， EF≠ HG.∴四边形 EFHG 为梯形，设直线 FH∩直线 EG＝ O，∵点 O∈直线 FH，直线 FH 面 ACD，∴点 O∈平面 ACD.同理点 O∈平面 ABC.又∵面 ACD∩面 ABC＝ AC，∴点 O∈直线 AC(公理 3)．∴直线 FH、 EG、 AC 交于点 O，即三直线共点．48．已知 ABCD－ A1B1C1D1是底面边长为 1 的正四棱柱，高 AA1＝2，求(1)异面直线 BD 与 AB1所成角的余弦值；(2)四面体 AB1D1C 的体积．解：(1)连 BD， AB1， B1D1， AD1.∵ BD∥ B1D1，∴异面直线 BD 与 AB1所成角为∠ AB1D1(或其补角)，记∠ AB1D1＝ θ ，由已知条件得 AB1＝ AD1＝ ，5在△ AB1D1中，由余弦定理得cos θ ＝ ＝AB21＋ B1D21－ AD212·AB1·B1D1 1010∴异面直线 BD 与 AB1所成角的余弦值为 .1010(2)连接 AC， CB1， CD1，则所求四面体的体积，V＝ VABCD－ A1B1C1D1－4 VC－ B1C1D1＝2－4× ＝ .13 23[B 级 能力突破]1．(2014·高考辽宁卷)已知 m， n 表示两条不同直线， α 表示平面．下列说法正确的是( )A．若 m∥ α ， n∥ α ，则 m∥ nB．若 m⊥ α ， n α ，则 m⊥ nC．若 m⊥ α ， m⊥ n，则 n∥ αD．若 m∥ α ， m⊥ n，则 n∥ α解析：利用直线与平面平行和垂直的判定定理直接判断或利用正方体判断．法一：若 m∥ α ， n∥ α ，则 m， n 可能平行、相交或异面，A 错；若 m⊥ α ， n α ，则 m⊥ n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B 正5确；若 m⊥ α ， m⊥ n，则 n∥ α 或 n α ，C 错；若 m∥ α ， m⊥ n，则 n 与 α 可能相交，可能平行，也可能 n α ，D 错．法二：如图，在正方体 ABCD－ A′ B′ C′ D′中，用平面 ABCD 表示 α .A 项中，若 m 为 A′ B′， n 为 B′ C′，满足 m∥ α ， n∥ α ，但 m 与 n 是相交直线，故A 错．B 项中， m⊥ α ， n α ，∴ m⊥ n，这是线面垂直的性质，故 B 正确．C 项中，若 m 为 AA′， n 为 AB，满足 m⊥ α ， m⊥ n，但 n α ，故 C 错．D 项中，若 m 为 A′ B′， n 为 B′ B，满足 m∥ α ， m⊥ n，但 n⊥ α ，故 D 错．答案：B2．设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1， 和 a，且长为 a 的棱与长为 的棱异面，2 2则 a 的取值范围是( )A．(0， ) B．(0， )2 3C．(1， ) D．(1， )2 3解析：根据题意构造四面体 ABCD， AB＝ a， CD＝ ， AC＝ AD＝ BC＝ BD＝1，取 CD 中点2E，连结 BE， AE，则 AE＝ BE＝ .又∵ a＜ ＋ ＝ ，∴0＜ a＜ .故选 A.22 22 22 2 2答案：A3．(2016·天津和平模拟)已知正四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1中， AA1＝2 AB， E 是 AA1的中点，则异面直线 D1C 与 BE 所成角的余弦值为( )A. B.15 31010C. D.1010 35解析：连接 A1B.由题意知 A1D1綊 BC，所以四边形 A1D1CB 为平行四边形，故 D1C∥ A1B.所以∠ A1BE 为异面直线 D1C 与 BE 所成的角．不妨设 AA1＝2 AB＝2，则6A1E＝1， BE＝ ， A1B＝ ，在△ A1BE 中，2 5cos∠ A1BE＝ ＝ ＝ ，故选 B.A1B2＋ EB2－ A1E22A1B·EB 5＋ 2－ 12×5×2 31010答案：B4．如图所示，在四面体 ABCD 中， E、 F 分别是 AC、 BD 的中点，若CD＝2 AB＝2， EF⊥ AB，则 EF 与 CD 所成的角等于________．解析：如图所示， H 为 DA 的中点，则 FH⊥ EF.在 Rt△ EFH 中， HE＝1， HF＝ ，12∴∠ EHF＝60°，即 EF 与 CD 所成的角为 30°.答案：30°5. 如图是正四面体的平面展开图， G， H， M， N 分别为 DE， BE， EF， EC 的中点，在这个正四面体中，① GH 与 EF 平行；② BD 与 MN 为异面直线；7③ GH 与 MN 成 60°角；以上四个命题中，正确命题的序号是__________．解析：还原成正四面体知 GH 与 EF 为异面直线， BD 与 MN 为异面直线， GH 与 MN 成60°角．答案：②③6．设 a， b， c 是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①若 a∥ b， b∥ c，是 a∥ c；②若 a⊥ b， b⊥ c，则 a∥ c；③若 a 与 b 相交， b 与 c 相交，则 a 与 c 相交；④若 a 平面 α ， b 平面 β ，则 a， b 一定是异面直线；⑤若 a， b 与 c 成等角，则 a∥ b.上述命题中正确的命题是________(只填序号)．解析：由公理 4 知①正确；当 a⊥ b， b⊥ c 时， a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当 a 与 b 相交， b 与 c 相交时， a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；a α ， b β ，并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面内” ，故④不正确；当 a， b 与 c 成等角时， a 与 b 可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确．答案：①7．在长方体 ABCD－ A1B1C1D1的面 A1C1上有一点 P，如图所示，其中 P 点不在对角线B1D1上．(1)过 P 点在空间中作一直线 l，使 l∥ BD，应该如何作图？并说明理由；(2)过 P 点在平面 A1C1内作一直线 m，使 m 与 BD 成 α 角，其中 α ∈ ，这样的(0，π 2]直线有几条，应该如何作图？解：(1)连接 B1D1，在平面 A1C1内过 P 作直线 l，使 l∥ B1D1，则 l 即为所求作的直线．∵ B1D1∥ BD， l∥ B1D1，∴ l∥ BD.(2)在平面 A1C1内作直线 m，使直线 m 与 B1D1相交成 α 角，∵ BD∥ B1D1，∴直线 m 与直线 BD 也成 α 角，8即直线 m 为所求作的直线．由图知 m 与 BD 是异面直线，且 m 与 BD 所成的角 α ∈ .(0，π 2]当 α ＝ 时，这样的直线 m 有且只有一条，π 2当 α ≠ 时，这样的直线 m 有两条．π 21【高考领航】2017 届高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 7.4 空间中的平行关系课时规范训练 文 北师大版[A 级 基础演练]1．(2015·高考北京卷)设 α ， β 是两个不同的平面， m 是直线且 m α ， “m∥ β ”是“α ∥ β ”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：当 m∥ β 时，过 m 的平面 α 与 β 可能平行也可能相交，因而m∥ β α ∥ β ；当 α ∥ β 时， α 内任一直线与 β 平行，因为 m α ，所以 m∥ β .综上知， “m∥ β ”是“ α ∥ β ”的必要而不充分条件．答案：B2．(2015·高考安徽卷)已知 m， n 是两条不同直线， α ， β 是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A．若 α ， β 垂直于同一平面，则 α 与 β 平行B．若 m， n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C．若 α ， β 不平行，则在 α 内不存在与 β 平行的直线D．若 m， n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面解析：A 项， α ， β 可能相交，故 A 错误；B 项，直线 m， n 的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故 B 错误；C 项，若 m α ， α ∩ β ＝ n， m∥ n，则 m∥ β ，故 C 错误；D 项，假设 m， n 垂直于同一平面，则必有 m∥ n，所以原命题正确，故 D 项正确．答案：D3．(2016·汕头质检)若 m， n 为两条不重合的直线， α ， β 为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是__________．①若 m， n 都平行于平面 α ，则 m， n 一定不是相交直线；②若 m， n 都垂直于平面 α ，则 m， n 一定是平行直线；③已知 α ， β 互相平行， m， n 互相平行，若 m∥ α ，则 n∥ β ；④若 m， n 在平面 α 内的射影互相平行，则 m， n 互相平行．解析：①为假命题，②为真命题，在③中， n 可以平行于 β ，也可以在 β 内，故是假命题，在④中， m， n 也可能异面，故为假命题．答案：②4．棱长为 2 的正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， M 是棱 AA1的中点，过 C、 M、 D1作正方体的截面，则截面的面积是________．2解析：由面面平行的性质知截面与面 AB1的交线 MN 是△ AA1B 的中位线，所以截面是梯形 CD1MN，易求其面积为 .92答案：925．已知 α 、 β 是不同的两个平面，直线 a α ，直线 b β ，命题 p： a 与 b 没有公共点；命题 q： α ∥ β ，则 p 是 q 的________条件．解析：∵ a 与 b 没有公共点，不能推出 α ∥ β ，而 α ∥ β 时， a 与 b 一定没有公共点，即 p⇒/q， q⇒p，∴ p 是 q 的必要不充分条件．答案：必要不充分6．如图，正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， AB＝2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上．若EF∥平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于________．解析：因为直线 EF∥平面 AB1C， EF 平面 ABCD，且平面 AB1C∩平面 ABCD＝ AC，所以EF∥ AC.又因为点 E 是 DA 的中点，所以 F 是 DC 的中点，由中位线定理可得 EF＝ AC.又因12为在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， AB＝2，所以 AC＝2 ，所以 EF＝ .2 2答案： 27．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中 M， N 分别是 AB， AC 的中点， G 是 DF上的一动点．(1)求该多面体的体积与表面积；(2)当 FG＝ GD 时，在棱 AD 上确定一点 P，使得 GP∥平面 FMC，并给出证明．解：(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱，在△ ADF 中， AD⊥ DF， DF＝ AD＝ DC＝ a，所以该多面体的体积为 a3，表面积为 a2×2＋ a2＋ a2＋ a2＝(3＋ )a2.12 12 2 2(2)点 P 与点 A 重合时， GP∥平面 FMC.3取 FC 的中点 H，连接 GH， GA， MH.∵ G 是 DF 的中点，∴ GH 綊 CD.12又 M 是 AB 的中点，∴ AM 綊 CD.12∴ GH∥ AM 且 GH＝ AM，∴四边形 GHMA 是平行四边形．∴ GA∥ MH.∵ MH 平面 FMC， GA 平面 FMC，∴ GA∥平面 FMC，即当点 P 与点 A 重合时， GP∥平面FMC.8．(2016·石家庄二中一模)如图，在四棱锥 P­ABCD 中， PA⊥平面ABCD，∠ ABC＝∠ ACD＝90°，∠ BAC＝∠ CAD＝60°， E 为 PD 的中点， F 在 AD 上，且∠ FCD＝30°.(1)求证： CE∥平面 PAB；(2)若 PA＝2 AB＝2，求四面体 P­ACE 的体积．解：(1)证明∵∠ ACD＝90°，∠ CAD＝60°，∴∠ FDC＝30°.又∠ FCD＝30°，∴∠ ACF＝60°，∴ AF＝ CF＝ DF，即 F 为 AD 的中点．又 E 为 PD 的中点，∴ EF∥ PA，∵ AP 平面 PAB， EF 平面 PAB，∴ EF∥平面 PAB.又∠ BAC＝∠ ACF＝60°，∴ CF∥ AB，可得 CF∥平面 PAB.又 EF∩ CF＝ F，∴平面 CEF∥平面 PAB，而 CE 平面 CEF，∴ CE∥平面 PAB.(2)∵ EF∥ AP， AP 平面 APC， EF 平面 APC，∴ EF∥平面 APC.又∠ ABC＝∠ ACD＝90°，∠ BAC＝60°， PA＝2 AB＝2，∴ AC＝2 AB＝2， CD＝ ＝2 .ACtan 30° 34∴ VP­AEC＝ VE­PAC＝ VF­PAC＝ VP­ACF＝ × ×S△ ACD·PA＝ × × ×2×2 ×2＝ .13 12 13 12 12 3 233[B 级 能力突破]1．(2015·高考福建卷)若 l， m 是两条不同的直线， m 垂直于平面 α ，则“ l⊥ m”是“l∥ α ”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵ m⊥ α ，若 l∥ α ，则必有 l⊥ m，即 l∥ α ⇒l⊥ m.但 l⊥ m⇒/l∥ α ，∵ l⊥ m 时， l 可能在 α 内．故“ l⊥ m”是“ l∥ α ”的必要而不充分条件．答案：B2．(2016·北京模拟)以下命题中真命题的个数是( )(1)若直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线，则直线 l∥ α ；(2)若直线 a 在平面 α 外，则 a∥ α ；(3)若直线 a∥ b， b α ，则 a∥ α ；(4)若直线 a∥ b， b α ，则 a 平行于平面 α 内的无数条直线．A．1 个 B．2 个C．3 个 D．4 个解析：命题(1) l 可以在平面 α 内，不正确；命题(2)直线 a 与平面 α 可以是相交关系，不正确；命题(3) a 可以在平面 α 内，不正确；命题(4)正确．答案：A3．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD－ A1B1C1D1中，点 E， F 分别是棱 BC， CC1的中点，P 是侧面 BCC1B1内一点，若 A1P∥平面 AEF，则线段 A1P 长度的取值范围是( )A. B.[1，52] [324， 52]C. D．[ ， ][52， 2] 2 3解析：取 B1C1的中点 M， BB1的中点 N，连接 A1M， A1N， MN，可以证明平面 AMN∥平面5AEF，所以点 P 位于线段 MN 上，因为 A1M＝ A1N＝ ＝ ， MN＝ ＝ ，1＋ (12)2 52 (12)2＋ (12)2 22所以当点 P 位于 M， N 处时， A1P 的长度最长，当 P 位于 MN 的中点 O 时， A1P 的长度最短，此时 A1O＝ ＝ ，所以 A1O≤ A1P≤ A1M，即 ≤ A1P≤ ，所以线段 A1P 长(52)2－ (24)2 324 324 52度的取值范围是 ，选 B.[324， 52]答案：B4．如图所示， ABCD－ A1B1C1D1是棱长为 a 的正方体， M、 N 分别是下底面的棱A1B1、 B1C1的中点， P 是上底面的棱 AD 上的一点， AP＝ ，过 P、 M、 N 的平面交上底面于a3PQ， Q 在 CD 上，则 PQ＝________.解析：∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1，∴ MN∥ PQ.∵ M、 N 分别是 A1B1、 B1C1的中点， AP＝ ，a3∴ CQ＝ ，从而 DP＝ DQ＝ ，∴ PQ＝ a.a3 2a3 223答案： a2235．如图所示，在正四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1中， E、 F、 G、 H 分别是棱CC1、 C1D1、 D1D、 DC 的中点， N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 满足条件________时，有 MN∥平面 B1BDD1.解析：由题意， HN∥面 B1BDD1， FH∥面 B1BDD1.∵ HN∩ FH＝ H，∴面 NHF∥面 B1BDD1.∴当 M 在线段 HF 上运动时，有 MN∥面 B1BDD1.答案： M∈线段 HF66．如图，正方体 ABCD－ A1B1C1D1的棱长为 1， P 为 BC 的中点， Q 为线段 CC1上的动点，过点 A， P， Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①当 0CQ 时， S 为四边形；12②当 CQ＝ 时， S 为等腰梯形；12③当 CQ＝ 时， S 与 C1D1的交点 R 满足 C1R＝ ；34 13④当 CQ1 时， S 为六边形；34⑤当 CQ＝1 时， S 的面积为 .62解析：①当 0CQ 时，如图(1)．12在平面 AA1D1D 内，作 AE∥ PQ，显然 E 在棱 DD1上，连接 EQ，则 S 是四边形 APQE.②当 CQ＝ 时，如图(2)．12显然 PQ∥ BC1∥ AD1，连接 D1Q，则 S 是等腰梯形．③当 CQ＝ 时，如图(3)．34作 BF∥ PQ 交 CC1的延长线于点 F，则 C1F＝ .12作 AE∥ BF，交 DD1的延长线于点 E，D1E＝ ， AE∥ PQ，连接 EQ 交 C1D1于点 R，127由于 Rt△ RC1Q∽Rt△ RD1E，∴ C1Q∶ D1E＝ C1R∶ RD1＝1∶2，∴ C1R＝ .13④当 CQ1 时，如图(3)，连接 PM(点 M 为 AE 与 A1D1交点)，显然 S 为五边形 APQRM.34⑤当 CQ＝1 时，如图(4)．同③可作 AE∥ PQ 交 DD1的延长线于点 E，交 A1D1于点 M，显然点 M 为 A1D1的中点，所以 S 为菱形 APQM，其面积为 MP×AQ＝ × × ＝ .12 12 2 3 62答案：①②③⑤7．(2016·潍坊市模拟)如图，已知平行四边形 ABCD 与直角梯形 ABEF 所在的平面互相垂直，且AB＝ BE＝ AF＝1， BE∥ AF， AB⊥ AF，∠ CBA＝ ， BC＝ ， P 为 DF 的中点．12 π 4 2(1)求证： PE∥平面 ABCD；(2)求三棱锥 A­BCE 的体积．解：证明：(1)取 AD 的中点 M，连接 MP， MB，在△ ADF 中， FP＝ PD， DM＝ MA，∴ MP∥ AF，且 MP＝ AF.128又 BE∥ AF， BE＝ AF，∴ MP∥ BE，且 MP＝ BE，12∴四边形 BMPE 为平行四边形．∴ PE∥ BM.又 PE 平面 ABCD， BM 平面 ABCD，∴ PE∥平面 ABCD.(2)在△ ABC 中， AB＝1，∠ CBA＝ ， BC＝ ，π 4 2∴由余弦定理 AC2＝ BC2＋ AB2－2 BC·ABcos∠ CBA＝1 2＋( )2－2× ×1× ＝1，2 222得 AC2＋ AB2＝ BC2，∴ AC⊥ AB.∵平面 ABCD⊥平面 ABEF，又平面 ABCD∩平面 ABEF＝ AB，∴ AC⊥平面 ABEF.又 BE∥ AF， AB⊥ AF，∴ BE⊥ AB，又 AB＝ BE＝1，∴ S△ ABE＝ ×1×1＝ ，12 12∴ VA­BCE＝ VC­ABE＝ S△ ABE·AC＝ × ×1＝ .13 13 12 16