1、1【高考领航】2017 届高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 7.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图课时规范训练 文 北师大版A 级 基础演练1以下四个命题：正棱锥的所有侧棱相等；直棱柱的侧面都是全等的矩形；圆柱的母线垂直于底面；用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形其中，真命题的个数为( )A4 B3C2 D1解析：由正棱锥的定义可知所有侧棱相等，故正确；由于直棱柱的底面不一定是正多边形，故侧面矩形不一定全等，因此不正确；由圆柱母线的定义可知正确；结合圆锥轴截面的作法可知正确综上，正确的命题有 3 个答案：B2(2014高考福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该
2、几何体不可能是( )A圆柱 B圆锥C四面体 D三棱柱解析：由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选 A.答案：A3. (2016开封摸底)一个正四棱锥的所有棱长均为 2，其俯视图如图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为( )A. B. 2 3C2 D4解析：由题知，所求正视图是底边长为 2，腰长为 的等腰三角形，其面积为 2312 .(3)2 1 2答案：A4下面关于四棱柱的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；若四棱
3、柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱2其中，真命题的编号是_(写出所有真命题的编号)解析：错，必须是两个相邻的侧面；正确；错，反例，可以是斜四棱柱；正确，对角线两两相等，则此两对角线所在的平行四边形为矩形答案：5. (2016西城区检测)已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为_解析：由正三棱柱三视图还原直观图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长因为侧(左)视图中三角形的边长为 2，所以高为，所以正视图的面积为 2 .3 3答案：2 36有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观
4、图是直角梯形(如图所示)， ABC45， AB AD1， DC BC，则这块菜地的面积为_解析：过 A 作 AE BC 于 E，在 Rt ABE 中， AB1， ABE45， BE .22而四边形 AECD 为矩形， AD1， EC AD1. BC BE EC 1.22由此可还原原图形如图在原图形中， A D1， A B2，B C 1，且 A D B C， A B B C.22这块菜地的面积为 S (A D B C) A B123 22 .12(1 1 22) 22答案：2227圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，轴截面的面积等于 392，母线与轴的夹角为 45，求这个圆台的高、母线
5、长和底面半径解：作出圆台的轴截面如图设 O A r，则 SO r，一底面周长是另一底面周长的 3 倍， OA3 r，则 SO3 r， SA3 r，2 OO2 r.由轴截面的面积为 (2r6 r)2r392，得 r7.12故上底面半径为 7，下底面半径为 21，高为 14，母线长为 14 .28如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面为正方形， PC 与底面 ABCD 垂直，图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直角三角形(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求 PA.解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)，边长为 6 cm
6、 的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得PD PC2 CD2 6 .62 62 2由正视图可知 AD6 且 AD PD，所以在 Rt APD 中，4PA 6 (cm)PD2 AD2 62 2 62 3B 级 能力突破1(2015高考课标卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A. B.18 17C. D.16 15解析：由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥设正方体的棱长为 1，则三棱锥的体积为V1 111 ，13 12 16剩余部分的体积 V21 3
7、 .16 56所以 ，故选 D.V1V21656 15答案：D2(2014高考新课标全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A6 B42 2C6 D45解析：将三视图还原为几何体再计算，几何体为三棱锥如图，侧面 SBC底面 ABC.点 S 在底面 ABC 的射影点 O 是 BC 的中点， ABC 为直角三角形 AB4， BO2， AO ， SO底面 ABC，20 SO AO， SO4，最长的棱 AS 6.20 16答案：C3(2014高考北京卷)在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 A(2,0,0)， B(2,2,
8、0)，C(0,2,0)， D(1,1， )若 S1， S2， S3分别是三棱锥 DABC 在 xOy， yOz， zOx 坐标平面上2的正投影图形的面积，则( )A S1 S2 S3 B S2 S1且 S2 S3C S3 S1且 S3 S2 D S3 S2且 S3 S1解析：作出三棱锥在三个坐标平面上的正投影，计算三角形的面积如图所示， ABC 为三棱锥在坐标平面 xOy 上的正投影，所以 S1 222.三棱锥12在坐标平面 yOz 上的正投影与 DEF(E， F 分别为 OA， BC 的中点)全等，所以S2 2 .三棱锥在坐标平面 xOz 上的正投影与 DGH(G， H 分别为 AB， OC
9、 的中点)全12 2 2等，所以 S3 2 .所以 S2 S3且 S1 S3.故选 D.12 2 2答案：D4给出下列命题：在正方体上任意选择 4 个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4 个顶点；底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱其中正确命题的序号是_解析：正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体 ABCDA1B1C1D16中的四面体 ACB1D1；错误，反例如图所示，底面 ABC 为等边三角形，可令AB VB VC BC AC，则 VBC 为等边三角形， VAB 和 VCA 均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥
10、；错误，必须是相邻的两个侧面答案：5已知一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号)_矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；每个面都是等腰三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体解析：由三视图可知该几何体为底面是边长为 a 的正方形，高为 b 的长方体若以四个顶点为顶点的图形为平行四边形，则一定是矩形，故不正确答案：6(2016武邑一模)某几何体的一条棱长为 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投7影是长为 的线段，在
11、该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的6线段，则 a b 的最大值为_解析：本题构造长方体，体对角线长为 ，其在侧视图中为侧面对角线 a，在俯视图7中为底面对角线 b，设长方体底面宽为 1，则 b21 a216，即 a2 b28，利用不等式2 4，则 a b4.(a b2 ) a2 b22答案：477如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6米铁丝再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)(1)当圆柱底面半径 r 取何值时， S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到 0.01 平方米)；(2)若要制作一个如
12、图放置的、底面半径为 0.3 米的灯笼，请作出灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)解：(1)设圆柱的高为 h，由题意可知，4(4r2 h)9.6，即 2r h1.2.S2 rh r2 r(2.43 r)3( r0.4) 20.16，其中 0 r0.6.当半径 r0.4 米时， Smax0.481.51(平方米)(2)由 r0.3 及 2r h1.2，得圆柱的高 h0.6(米)则灯笼的三视图为：1【高考领航】2017 届高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 7.2 空间几何体的表面积与体积课时规范训练 文 北师大版A 级 基础演练1(2015高考福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体
13、的表面积等于( )A82 B1122 2C142 D152解析：由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示直角梯形斜腰长为 ，所以底面周长为 4 ，侧面积为 2(4 )12 12 2 2 282 ，两底面的面积和为 2 1(12)3，所以该几何体的表面积为21282 3112 .2 2答案：B2(2015高考重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )2A. 2 B.13 136C. D.73 52解析：由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为1 22 1 21 .12 13 136答案：B3(2015高考安徽卷)一个四面体的三
14、视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A1 B123 2C2 D23 2解析：如图，该四面体有两个面为等腰直角三角形，另外两个面为正三角形故该四面体的表面积 S2 2 2 .12 2 2 12 2 2 32 3答案：C4(2015高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m 3.3解析：由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为 1m，圆柱的底面半径为 1m 且其高为 2m，故所求几何体的体积为V 1 2121 22 (m 3)13 83答案： 835(2016大连模拟)直三棱柱 ABCA1B1C1的六个顶点都在球 O 的球
15、面上若AB BC2， ABC90， AA12 ，则球 O 的表面积为_2解析：由题设可知，直三棱柱可以补成一个球的内接长方体，所以球的直径为长方体的体对角线长，即 4，故球 O 的表面积 S4 R216.22 22 22 2答案：166. 一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为 2 的正方形)，则该几何体外接球的体积为_解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线，2 R2 (R 为球的半径)， R .3 3球的体积 V R34 .43 3答案：4 37如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)4(1)画出这
16、个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积解：(1)这个几何体的直观图如图所示(2)这个几何体可看成是正方体 AC1及直三棱柱 B1C1Q A1D1P 的组合体由 PA1 PD1 ， A1D1 AD2，可得 PA1 PD1.2故所求几何体的表面积 S52 222 2 ( )2(224 )(cm2)，212 2 2所求几何体的体积 V2 3 ( )2210(cm 3)12 28有一根木料，形状为直三棱柱形，高为 6 cm，横截面三角形的三边长分别为 3 cm、4 cm、5 cm，将其削成一个圆柱形积木，求该木料被削去部分体积的最小值解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱
17、柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为 R，圆柱的高即为直三棱柱的高在 ABC 中，令 AB3， BC4， AC5， ABC 为直角三角形根据直角三角形内切圆的性质可得 72 R5， R1. V 圆柱 R2h6(cm 3)而三棱柱的体积为 V 三棱柱 34636(cm 3)12削去部分的体积为 3666(6)(cm 3)5即削去部分体积的最小值为 6(6)cm 3.B 级 能力突破1(2015高考课标卷)已知 A， B 是球 O 的球面上两点， AOB90， C 为该球面上的动点若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( )
18、A36 B64C144 D256解析：如图，设球的半径为 R， AOB90， S AOB R2.12 VOABC VCAOB，而 AOB 面积为定值，当点 C 到平面 AOB 的距离最大时， VO ABC最大，当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时，体积 VOABC最大为 R2R36，13 12 R6，球 O 的表面积为 4 R246 2144.故选 C.答案：C2(2015高考课标卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为 1620，则 r( )A1 B2C4 D8解析：6如图，该几何体是一个半球
19、与一个半圆柱的组合体，球的半径为 r，则圆柱的底面半径为 r，高为 2r，则表面积 S 4 r2 r24 r2 r2r(54) r2.又12S1620，(54) r21620， r24， r2，故选 B.答案：B3. (2016豫西五校联考)如图所示(单位：cm)，则图中的阴影部分绕 AB 所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为_解析：由题图中数据，根据圆台和球的体积公式，得V 圆台 ( AD2 BC2)13 AD2 BC2AB ( AD2 ADBC BC2)AB13 (2 2255 2)452(cm 3)，13V 半球 AD3 2 3 (cm 3)，所以旋转所形成几何体的体积 V V 圆台4
20、3 12 43 12 163 V 半球 52 (cm 3)163 1403答案： (cm 3)14034(2016大连双基检测) 如图，在边长为 1 的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A15 B13C12 D97解析：题中的几何体的直观图如图所示，其中底面 ABCD 是一个矩形(其中AB5， BC2)，棱 EF底面 ABCD，且 EF3，直线 EF 到底面 ABCD 的距离是 3.连接EB， EC，则题中的多面体的体积等于四棱锥 EABCD 与三棱锥 EFBC 的体积之和，而四棱锥EABCD 的体积等于 (52)310，三棱锥 EFBC 的体积等于13 23
21、，因此题中的多面体的体积等于 10313，选 B.13 (1233)答案：B5(2014高考江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1， S2，体积分别为 V1， V2.若它们的侧面积相等，且 ，则 的值是_S1S2 94 V1V2解析：根据底面积的比值、侧面积相同，找到底面半径和高的比值，再代入体积公式求出体积的比值设两个圆柱的底面半径和高分别为 r1， r2和 h1， h2，由 ，得 ，则 .S1S2 94 r21 r2 94 r1r2 32由圆柱的侧面积相等，得 2 r1h12 r2h2，即 r1h1 r2h2，则 ，所以 .h1h2 23 V1V2 r21h1 r2h2 32答案：3
22、26(2016大连模拟)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱 A1A 和 B1B 上各有一个动点P、 Q，且满足 A1P BQ， M 是棱 CA 上的动点，则的最大值是_VMABQPVABCA1B1C1 VMABQP解析：设 VABCA1B1C1 V， VMABQP VMB1BA VCB1BA VB1CBA V，即 M 与 C 重合时138VMABQP最大， .VMABQPVABCA1B1C1 VMABQPV3V V3 12答案：127如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AD AA11， AB1，点 E 在棱 AB 上移动，小蚂蚁从点 A 沿长方体的表面爬到点 C1，所爬的最短
23、路程为 2 .2(1)求 AB 的长度(2)求该长方体外接球的表面积解：(1)设 AB x，点 A 到点 C1可能有两种途径，如图甲的最短路程为| AC1| .x2 4如图乙的最短路程为|AC1| ， x 1 2 1 x2 2x 2图甲 图乙 x1， x22 x2 x222 x24，故从点 A 沿长方体的表面爬到点 C1的最短距离为 .x2 4由题意得 2 ，x2 4 2解得 x2.即 AB 的长度为 2.(2)设长方体外接球的半径为 R，则(2R)21 21 22 26， R2 ，32 S 表 4 R26.即该长方体外接球的表面积为 6.1【高考领航】2017 届高考数学大一轮复习 第七章
24、立体几何 7.3 空间图形的基本关系及公理课时规范训练 文 北师大版A 级 基础演练1(2016台州模拟)以下四个命题中：不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点 A、 B、 C、 D 共面，点 A、 B、 C、 E 共面，则点 A、 B、 C、 D、 E 共面；若直线 a、 b 共面，直线 a、 c 共面，则直线 b、 c 共面；依次首尾相接的四条线段必共面正确命题的个数是( )A0 B1C2 D3解析：中显然是正确的；中若 A、 B、 C 三点共线则 A、 B、 C、 D、 E 五点不一定共面构造长方体或正方体，如图显然 b、 c 异面故不正确中空间四边形中四条线段不共面，故只有正确答案：
25、B2(2016江西七校联考)已知直线 a 和平面 ， ， l， a ， a ，且a 在 ， 内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是( )A相交或平行 B相交或异面C平行或异面 D相交、平行或异面解析：依题意，直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面，故选 D.答案：D3(2016信阳模拟)平面 、 的公共点多于两个，则 、 垂直； 、 至少有三个公共点； 、 至少有一条公共直线； 、 至多有一条公共直线；以上四个判断中不成立的个数为 n，则 n 等于( )A0 B1C2 D3解析：由条件知当平面 、 的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则 、 2相交；若公
26、共点不共线，则 、 重合故不一定成立；成立；成立；不成立答案：C4已知 m， n 为异面直线， m平面 ， n平面 .直线 l 满足l m， l n， l ， l ，则( )A 且 l B 且 l C 与 相交，且交线垂直于 lD 与 相交，且交线平行于 l解析：结合给出的已知条件，画出符合条件的图形，然后判断得出根据所给的已知条件作图，如图所示由图可知 与 相交，且交线平行于 l，故选 D.答案：D5如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上，且 AB CD，则直线 EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_解析：取 CD 的中点为 G，由题意知平面 EFG 与正方体的左、右侧面
27、所在平面重合或平行，从而 EF 与正方体的左、右侧面所在的平面平行或 EF 在平面内所以直线 EF 与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交故直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 4.答案：46(2016济南一模)在正四棱锥 VABCD 中，底面正方形 ABCD 的边长为 1，侧棱长为2，则异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为_解析：如图，设 AC BD O，连接 VO，因为四棱锥 VABCD 是正四棱锥，所以 VO平面 ABCD，故 BD VO.又四边形 ABCD 是正方形，所以 BD AC，又因为 VO AC O，所以3BD平面 VAC，所以 BD VA，即异面直
28、线 VA 与 BD 所成角的大小为 . 2答案： 27(2016宜城模拟)已知：空间四边形 ABCD(如图所示)， E、 F 分别是 AB、 AD 的中点，G、 H 分别是 BC、 CD 上的点，且 CG BC， CH DC.求证：13 13(1)E、 F、 G、 H 四点共面；(2)三直线 FH、 EG、 AC 共点证明：(1)连接 EF、 GH.由 E、 F 分别为 AB、 AD 的中点， EF 綊 BD，又 CG BC， CH DC，12 13 13 HG 綊 BD，13 EF HG 且 EF HG. EF、 HG 可确定平面 ，即 E、 F、 G、 H 四点共面(2)由(1)知： EF
29、HG 为平面图形，且 EF HG， EF HG.四边形 EFHG 为梯形，设直线 FH直线 EG O，点 O直线 FH，直线 FH 面 ACD，点 O平面 ACD.同理点 O平面 ABC.又面 ACD面 ABC AC，点 O直线 AC(公理 3)直线 FH、 EG、 AC 交于点 O，即三直线共点48已知 ABCD A1B1C1D1是底面边长为 1 的正四棱柱，高 AA12，求(1)异面直线 BD 与 AB1所成角的余弦值；(2)四面体 AB1D1C 的体积解：(1)连 BD， AB1， B1D1， AD1. BD B1D1，异面直线 BD 与 AB1所成角为 AB1D1(或其补角)，记 AB
30、1D1 ，由已知条件得 AB1 AD1 ，5在 AB1D1中，由余弦定理得cos AB21 B1D21 AD212AB1B1D1 1010异面直线 BD 与 AB1所成角的余弦值为 .1010(2)连接 AC， CB1， CD1，则所求四面体的体积，V VABCD A1B1C1D14 VC B1C1D124 .13 23B 级 能力突破1(2014高考辽宁卷)已知 m， n 表示两条不同直线， 表示平面下列说法正确的是( )A若 m ， n ，则 m nB若 m ， n ，则 m nC若 m ， m n，则 n D若 m ， m n，则 n 解析：利用直线与平面平行和垂直的判定定理直接判断或利
31、用正方体判断法一：若 m ， n ，则 m， n 可能平行、相交或异面，A 错；若 m ， n ，则 m n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B 正5确；若 m ， m n，则 n 或 n ，C 错；若 m ， m n，则 n 与 可能相交，可能平行，也可能 n ，D 错法二：如图，在正方体 ABCD A B C D中，用平面 ABCD 表示 .A 项中，若 m 为 A B， n 为 B C，满足 m ， n ，但 m 与 n 是相交直线，故A 错B 项中， m ， n ， m n，这是线面垂直的性质，故 B 正确C 项中，若 m 为 AA， n 为 AB，满足 m ， m n，
32、但 n ，故 C 错D 项中，若 m 为 A B， n 为 B B，满足 m ， m n，但 n ，故 D 错答案：B2设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1， 和 a，且长为 a 的棱与长为 的棱异面，2 2则 a 的取值范围是( )A(0， ) B(0， )2 3C(1， ) D(1， )2 3解析：根据题意构造四面体 ABCD， AB a， CD ， AC AD BC BD1，取 CD 中点2E，连结 BE， AE，则 AE BE .又 a ，0 a .故选 A.22 22 22 2 2答案：A3(2016天津和平模拟)已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AA12 AB，
33、E 是 AA1的中点，则异面直线 D1C 与 BE 所成角的余弦值为( )A. B.15 31010C. D.1010 35解析：连接 A1B.由题意知 A1D1綊 BC，所以四边形 A1D1CB 为平行四边形，故 D1C A1B.所以 A1BE 为异面直线 D1C 与 BE 所成的角不妨设 AA12 AB2，则6A1E1， BE ， A1B ，在 A1BE 中，2 5cos A1BE ，故选 B.A1B2 EB2 A1E22A1BEB 5 2 1252 31010答案：B4如图所示，在四面体 ABCD 中， E、 F 分别是 AC、 BD 的中点，若CD2 AB2， EF AB，则 EF 与
34、 CD 所成的角等于_解析：如图所示， H 为 DA 的中点，则 FH EF.在 Rt EFH 中， HE1， HF ，12 EHF60，即 EF 与 CD 所成的角为 30.答案：305. 如图是正四面体的平面展开图， G， H， M， N 分别为 DE， BE， EF， EC 的中点，在这个正四面体中， GH 与 EF 平行； BD 与 MN 为异面直线；7 GH 与 MN 成 60角；以上四个命题中，正确命题的序号是_解析：还原成正四面体知 GH 与 EF 为异面直线， BD 与 MN 为异面直线， GH 与 MN 成60角答案：6设 a， b， c 是空间中的三条直线，下面给出五个命题
35、：若 a b， b c，是 a c；若 a b， b c，则 a c；若 a 与 b 相交， b 与 c 相交，则 a 与 c 相交；若 a 平面 ， b 平面 ，则 a， b 一定是异面直线；若 a， b 与 c 成等角，则 a b.上述命题中正确的命题是_(只填序号)解析：由公理 4 知正确；当 a b， b c 时， a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故不正确；当 a 与 b 相交， b 与 c 相交时， a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故不正确；a ， b ，并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面内” ，故不正确；当 a， b 与 c 成等角时， a 与 b 可以相交
36、、平行，也可以异面，故不正确答案：7在长方体 ABCD A1B1C1D1的面 A1C1上有一点 P，如图所示，其中 P 点不在对角线B1D1上(1)过 P 点在空间中作一直线 l，使 l BD，应该如何作图？并说明理由；(2)过 P 点在平面 A1C1内作一直线 m，使 m 与 BD 成 角，其中 ，这样的(0， 2直线有几条，应该如何作图？解：(1)连接 B1D1，在平面 A1C1内过 P 作直线 l，使 l B1D1，则 l 即为所求作的直线 B1D1 BD， l B1D1， l BD.(2)在平面 A1C1内作直线 m，使直线 m 与 B1D1相交成 角， BD B1D1，直线 m 与直
37、线 BD 也成 角，8即直线 m 为所求作的直线由图知 m 与 BD 是异面直线，且 m 与 BD 所成的角 .(0， 2当 时，这样的直线 m 有且只有一条， 2当 时，这样的直线 m 有两条 21【高考领航】2017 届高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 7.4 空间中的平行关系课时规范训练 文 北师大版A 级 基础演练1(2015高考北京卷)设 ， 是两个不同的平面， m 是直线且 m ， “m ”是“ ”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：当 m 时，过 m 的平面 与 可能平行也可能相交，因而m ；当 时， 内任一直线与 平行，
38、因为 m ，所以 m .综上知， “m ”是“ ”的必要而不充分条件答案：B2(2015高考安徽卷)已知 m， n 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行B若 m， n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线D若 m， n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面解析：A 项， ， 可能相交，故 A 错误；B 项，直线 m， n 的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故 B 错误；C 项，若 m ， n， m n，则 m ，故 C 错误；D 项，假设 m， n 垂直于同一平面，则必有
39、 m n，所以原命题正确，故 D 项正确答案：D3(2016汕头质检)若 m， n 为两条不重合的直线， ， 为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是_若 m， n 都平行于平面 ，则 m， n 一定不是相交直线；若 m， n 都垂直于平面 ，则 m， n 一定是平行直线；已知 ， 互相平行， m， n 互相平行，若 m ，则 n ；若 m， n 在平面 内的射影互相平行，则 m， n 互相平行解析：为假命题，为真命题，在中， n 可以平行于 ，也可以在 内，故是假命题，在中， m， n 也可能异面，故为假命题答案：4棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中， M 是棱 AA1
40、的中点，过 C、 M、 D1作正方体的截面，则截面的面积是_2解析：由面面平行的性质知截面与面 AB1的交线 MN 是 AA1B 的中位线，所以截面是梯形 CD1MN，易求其面积为 .92答案：925已知 、 是不同的两个平面，直线 a ，直线 b ，命题 p： a 与 b 没有公共点；命题 q： ，则 p 是 q 的_条件解析： a 与 b 没有公共点，不能推出 ，而 时， a 与 b 一定没有公共点，即 p/q， qp， p 是 q 的必要不充分条件答案：必要不充分6如图，正方体 ABCD A1B1C1D1中， AB2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上若EF平面 AB1C，则
41、线段 EF 的长度等于_解析：因为直线 EF平面 AB1C， EF 平面 ABCD，且平面 AB1C平面 ABCD AC，所以EF AC.又因为点 E 是 DA 的中点，所以 F 是 DC 的中点，由中位线定理可得 EF AC.又因12为在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AB2，所以 AC2 ，所以 EF .2 2答案： 27一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中 M， N 分别是 AB， AC 的中点， G 是 DF上的一动点(1)求该多面体的体积与表面积；(2)当 FG GD 时，在棱 AD 上确定一点 P，使得 GP平面 FMC，并给出证明解：(1)由题中图可知该多面体为直三棱
42、柱，在 ADF 中， AD DF， DF AD DC a，所以该多面体的体积为 a3，表面积为 a22 a2 a2 a2(3 )a2.12 12 2 2(2)点 P 与点 A 重合时， GP平面 FMC.3取 FC 的中点 H，连接 GH， GA， MH. G 是 DF 的中点， GH 綊 CD.12又 M 是 AB 的中点， AM 綊 CD.12 GH AM 且 GH AM，四边形 GHMA 是平行四边形 GA MH. MH 平面 FMC， GA 平面 FMC， GA平面 FMC，即当点 P 与点 A 重合时， GP平面FMC.8(2016石家庄二中一模)如图，在四棱锥 PABCD 中， P
43、A平面ABCD， ABC ACD90， BAC CAD60， E 为 PD 的中点， F 在 AD 上，且 FCD30.(1)求证： CE平面 PAB；(2)若 PA2 AB2，求四面体 PACE 的体积解：(1)证明 ACD90， CAD60， FDC30.又 FCD30， ACF60， AF CF DF，即 F 为 AD 的中点又 E 为 PD 的中点， EF PA， AP 平面 PAB， EF 平面 PAB， EF平面 PAB.又 BAC ACF60， CF AB，可得 CF平面 PAB.又 EF CF F，平面 CEF平面 PAB，而 CE 平面 CEF， CE平面 PAB.(2) E
44、F AP， AP 平面 APC， EF 平面 APC， EF平面 APC.又 ABC ACD90， BAC60， PA2 AB2， AC2 AB2， CD 2 .ACtan 30 34 VPAEC VEPAC VFPAC VPACF S ACDPA 22 2 .13 12 13 12 12 3 233B 级 能力突破1(2015高考福建卷)若 l， m 是两条不同的直线， m 垂直于平面 ，则“ l m”是“l ”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析： m ，若 l ，则必有 l m，即 l l m.但 l m/l ， l m 时， l 可能在
45、内故“ l m”是“ l ”的必要而不充分条件答案：B2(2016北京模拟)以下命题中真命题的个数是( )(1)若直线 l 平行于平面 内的无数条直线，则直线 l ；(2)若直线 a 在平面 外，则 a ；(3)若直线 a b， b ，则 a ；(4)若直线 a b， b ，则 a 平行于平面 内的无数条直线A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析：命题(1) l 可以在平面 内，不正确；命题(2)直线 a 与平面 可以是相交关系，不正确；命题(3) a 可以在平面 内，不正确；命题(4)正确答案：A3如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E， F 分别是棱 BC，
46、CC1的中点，P 是侧面 BCC1B1内一点，若 A1P平面 AEF，则线段 A1P 长度的取值范围是( )A. B.1，52 324， 52C. D ， 52， 2 2 3解析：取 B1C1的中点 M， BB1的中点 N，连接 A1M， A1N， MN，可以证明平面 AMN平面5AEF，所以点 P 位于线段 MN 上，因为 A1M A1N ， MN ，1 (12)2 52 (12)2 (12)2 22所以当点 P 位于 M， N 处时， A1P 的长度最长，当 P 位于 MN 的中点 O 时， A1P 的长度最短，此时 A1O ，所以 A1O A1P A1M，即 A1P ，所以线段 A1P
47、长(52)2 (24)2 324 324 52度的取值范围是 ，选 B.324， 52答案：B4如图所示， ABCD A1B1C1D1是棱长为 a 的正方体， M、 N 分别是下底面的棱A1B1、 B1C1的中点， P 是上底面的棱 AD 上的一点， AP ，过 P、 M、 N 的平面交上底面于a3PQ， Q 在 CD 上，则 PQ_.解析：平面 ABCD平面 A1B1C1D1， MN PQ. M、 N 分别是 A1B1、 B1C1的中点， AP ，a3 CQ ，从而 DP DQ ， PQ a.a3 2a3 223答案： a2235如图所示，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， E、 F
48、、 G、 H 分别是棱CC1、 C1D1、 D1D、 DC 的中点， N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 满足条件_时，有 MN平面 B1BDD1.解析：由题意， HN面 B1BDD1， FH面 B1BDD1. HN FH H，面 NHF面 B1BDD1.当 M 在线段 HF 上运动时，有 MN面 B1BDD1.答案： M线段 HF66如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1， P 为 BC 的中点， Q 为线段 CC1上的动点，过点 A， P， Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S，则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)当 0CQ 时
49、， S 为四边形；12当 CQ 时， S 为等腰梯形；12当 CQ 时， S 与 C1D1的交点 R 满足 C1R ；34 13当 CQ1 时， S 为六边形；34当 CQ1 时， S 的面积为 .62解析：当 0CQ 时，如图(1)12在平面 AA1D1D 内，作 AE PQ，显然 E 在棱 DD1上，连接 EQ，则 S 是四边形 APQE.当 CQ 时，如图(2)12显然 PQ BC1 AD1，连接 D1Q，则 S 是等腰梯形当 CQ 时，如图(3)34作 BF PQ 交 CC1的延长线于点 F，则 C1F .12作 AE BF，交 DD1的延长线于点 E，D1E ， AE PQ，连接 E
50、Q 交 C1D1于点 R，127由于 Rt RC1QRt RD1E， C1Q D1E C1R RD112， C1R .13当 CQ1 时，如图(3)，连接 PM(点 M 为 AE 与 A1D1交点)，显然 S 为五边形 APQRM.34当 CQ1 时，如图(4)同可作 AE PQ 交 DD1的延长线于点 E，交 A1D1于点 M，显然点 M 为 A1D1的中点，所以 S 为菱形 APQM，其面积为 MPAQ .12 12 2 3 62答案：7(2016潍坊市模拟)如图，已知平行四边形 ABCD 与直角梯形 ABEF 所在的平面互相垂直，且AB BE AF1， BE AF， AB AF， CBA
51、 ， BC ， P 为 DF 的中点12 4 2(1)求证： PE平面 ABCD；(2)求三棱锥 ABCE 的体积解：证明：(1)取 AD 的中点 M，连接 MP， MB，在 ADF 中， FP PD， DM MA， MP AF，且 MP AF.128又 BE AF， BE AF， MP BE，且 MP BE，12四边形 BMPE 为平行四边形 PE BM.又 PE 平面 ABCD， BM 平面 ABCD， PE平面 ABCD.(2)在 ABC 中， AB1， CBA ， BC ， 4 2由余弦定理 AC2 BC2 AB22 BCABcos CBA1 2( )22 1 1，2 222得 AC2 AB2 BC2， AC AB.平面 ABCD平面 ABEF，又平面 ABCD平面 ABEF AB， AC平面 ABEF.又 BE AF， AB AF， BE AB，又 AB BE1， S ABE 11 ，12 12 VABCE VCABE S ABEAC 1 .13 13 12 16
