2017届高考数学一轮复习 选考部分 第十二篇 几何证明选讲 文（课件+习题）（打包4套）北师大版.zip

1第十二篇 几何证明选讲(选修 4-1)第 1 节 全等与相似【选题明细表】 知识点、方法 题号平行线截割定理及应用 4相似三角形的判定与性质 1,3直角三角形的射影定理 21. 如图所示,平行四边形 ABCD 中,E 是 CD 延长线上的一点,BE 与 AD 交于点 F,DE= CD.12(1)求证:△ABF∽△CEB;(2)若△DEF 的面积为 2,求平行四边形 ABCD 的面积.(1)证明:因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以∠A=∠C,AB∥CD.所以∠ABF=∠CEB.所以△ABF∽△CEB.(2)解:因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 AD∥BC,AB∥CD.所以△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.因为 DE= CD,12所以 = = ,𝑆△𝐷𝐸𝐹𝑆△𝐶𝐸𝐵(𝐷𝐸𝐸𝐶)219= = .𝑆△𝐷𝐸𝐹𝑆△𝐴𝐵𝐹(𝐷𝐸𝐴𝐵)214因为 S△DEF =2,所以 S△CEB =18,S△ABF =8.所以 S 四边形 BCDF=S△CEB -S△DEF =16.所以 S 平行四边形 ABCD=S 四边形 BCDF+S△ABF =16+8=24.2. 已知 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为 D,DF⊥AC,垂足为 F,DE⊥AB,垂足为 E.求证:(1)AB·AC=AD·BC;(2)AD3=BC·BE·CF.2证明:(1)因为∠BAC=90°,AD⊥BC,所以∠BAC=∠ADB,又因为∠B=∠B,所以△ABD∽△CBA,所以 = ,𝐴𝐵𝐴𝐷𝐵𝐶𝐴𝐶即 AB·AC=AD·BC.(2)由题 AD2=BD·DC,所以 AD4=BD2·DC2=BE·BA·CF·CA=BE·CF·AD·BC,所以 AD3=BC·BE·CF.3. 如图,在平行四边形 ABCD 中,过点 B 作 BE⊥CD,垂足为 E,连接 AE,F 为 AE 上一点,且∠BFE=∠C.(1)求证:△ABF∽△EAD;(2)若∠BAE=30°,AD=3,求 BF 的长.(1)证明:因为 AB∥CD,所以∠BAF=∠AED.又因为∠BFE=∠C,∠BFE+∠BFA=∠C+∠EDA,所以∠BFA=∠ADE.所以△ABF∽△EAD.(2)解:因为∠BAE=30°,所以∠AEB=60°,所以 =sin 60°= ,𝐴𝐵𝐴𝐸 32又 = ,𝐵𝐹𝐴𝐷𝐴𝐵𝐴𝐸所以 BF= ·AD= .𝐴𝐵𝐴𝐸 3324. 如图所示,梯形 ABCD 中,AD∥BC,EF 经过梯形对角线的交点 O,且 EF∥AD.(1)求证:OE=OF;(2)求: + 的值;𝑂𝐸𝐴𝐷𝑂𝐸𝐵𝐶(3)求证: + = .1𝐴𝐷1𝐵𝐶2𝐸𝐹3(1)证明:因为 EF∥AD,AD∥BC,所以 EF∥AD∥BC.因为 EF∥BC,所以 = , = .𝑂𝐸𝐵𝐶𝐴𝐸𝐴𝐵𝑂𝐹𝐵𝐶𝐷𝐹𝐷𝐶因为 EF∥AD∥BC,所以 = .𝐴𝐸𝐴𝐵𝐷𝐹𝐷𝐶所以 = ,𝑂𝐸𝐵𝐶𝑂𝐹𝐵𝐶所以 OE=OF.(2)解:因为 OE∥AD,所以 = .𝑂𝐸𝐴𝐷𝐵𝐸𝐴𝐵由(1)知 = ,𝑂𝐸𝐵𝐶𝐴𝐸𝐴𝐵所以 + = + = =1.𝑂𝐸𝐴𝐷𝑂𝐸𝐵𝐶𝐵𝐸𝐴𝐵𝐴𝐸𝐴𝐵𝐵𝐸+𝐴𝐸𝐴𝐵(3)证明:由(2)知 + =1,𝑂𝐸𝐴𝐷𝑂𝐸𝐵𝐶所以 + =2.又 EF=2OE,所以 + =2,2𝑂𝐸𝐴𝐷2𝑂𝐸𝐵𝐶 𝐸𝐹𝐴𝐷𝐸𝐹𝐵𝐶所以 + = .1𝐴𝐷1𝐵𝐶2𝐸𝐹1第 2 节 圆与直线、圆与四边形【选题明细表】 知识点、方法 题号圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题 1圆内接四边形的判定和性质 2四点共圆 3圆的综合问题 41. (2016 大同调研)如图,AB 是☉O 的直径,AC 是弦,∠BAC 的平分线 AD 交☉O 于 D,DE⊥AC交 AC 延长线于点 E,OE 交 AD 于点 F.(1)求证:DE 是☉O 的切线;(2)若 = ,求 的值.𝐴𝐶𝐴𝐵35 𝐴𝐹𝐷𝐹(1)证明:连接 OD,因为 OA=OD,所以∠ODA=∠OAD,因为∠BAC 的平分线是 AD,所以∠OAD=∠DAC,所以∠DAC=∠ODA,可得 OD∥AE.又因为 DE⊥AE,所以 DE⊥OD,因为 OD 是☉O 的半径,所以 DE 是☉O 的切线.(2) 解:连接 BC,DB,过 D 作 DH⊥AB 于 H,因为 AB 是☉O 的直径,所以∠ACB=90°,Rt△ABC 中,cos∠CAB= = .𝐴𝐶𝐴𝐵35因为 OD∥AE,所以∠DOH=∠CAB,所以 cos∠DOH=cos∠CAB= .352因为 Rt△HOD 中,cos∠DOH= ,𝑂𝐻𝑂𝐷所以 = ,设 OD=5x,则 AB=10x,OH=3x,𝑂𝐻𝑂𝐷35所以 Rt△HOD 中,DH= =4x,𝑂𝐷2‒𝑂𝐻2AH=AO+OH=8x,Rt△HAD 中,AD 2=AH2+DH2=80x2,因为∠BAD=∠DAE,∠AED=∠ADB=90°.所以△ADE∽△ABD,可得 = ,𝐴𝐷𝐴𝐸𝐴𝐵𝐴𝐷所以 AD2=AE·AB=AE·10x,而 AD2=80x2,所以 AE=8x,又因为 OD∥AE,所以△AEF∽△DOF,可得 = = .𝐴𝐹𝐷𝐹𝐴𝐸𝐷𝑂852. (2016 银川市模拟)如图,已知四边形 ABCD 内接于圆 O,且 AB 是圆 O 的直径,过点 D 的圆O 的切线与 BA 的延长线交于点 M.(1)若 MD=6,MB=12,求 AB 的长;(2)若 AM=AD,求∠DCB 的大小.解: (1)因为 MD 为圆 O 的切线,所以由切割线定理知MD2=MA·MB,又 MD=6,MB=12,MB=MA+AB,所以 MA=3,AB=12-3=9.(2)因为 AM=AD,所以∠AMD=∠ADM,连接 DB,又 MD 为圆 O 的切线,所以由弦切角定理知∠ADM=∠ABD,又因为 AB 是圆 O 的直径,所以∠ADB 为直角,即∠BAD=90°-∠ABD.又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD,于是 90°-∠ABD=2∠ABD,3所以∠ABD=30°,所以∠BAD=60°.又四边形 ABCD 是圆内接四边形,所以∠BAD+∠DCB=180°,所以∠DCB=120°.3. 如图,D,E 分别为△ABC 的边 AB,AC 上的点,且不与△ABC 的顶点重合.已知 AE 的长为m,AC 的长为 n,AD,AB 的长是关于 x 的方程 x2-14x+mn=0 的两个根.(1)证明:C,B,D,E 四点共圆;(2)若∠A=90°,且 m=4,n=6,求 C,B,D,E 所在圆的半径.(1)证明:连接 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中,AD·AB=mn=AE·AC,即 = .𝐴𝐷𝐴𝐶𝐴𝐸𝐴𝐵又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB,因此∠ADE=∠ACB,所以∠ACB+∠EDB=180°,所以 C,B,D,E 四点共圆.(2)解:m=4,n=6 时,方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12,故 AD=2,AB=12.取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线,两垂线相交于 H 点,连接 DH.因为 C,B,D,E 四点共圆,所以 C,B,D,E 四点所在圆的圆心为 H,半径为 DH.由于∠A=90°,故 GH∥AB,HF∥AC,从而 HF=AG=5,DF= (12-2)=5,12故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 .24.(2015 高考新课标全国卷Ⅱ) 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,☉O 与△ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高 AD 交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点.(1)证明:EF∥BC;4(2)若 AG 等于☉O 的半径,且 AE=MN=2 ,求四边形 EBCF 的面积 .3(1)证明:由于△ABC 是等腰三角形,AD⊥BC,所以 AD 是∠CAB 的平分线.又因为☉O 分别与 AB,AC 相切于点 E,F,所以 AE=AF,故 AD⊥EF.从而 EF∥BC.(2)解:由(1)知 AE=AF,AD⊥EF,故 AD 是 EF 的垂直平分线.又 EF 为☉O 的弦,所以 O 在 AD 上.连接 OE,OM,则 OE⊥AE.由 AG 等于☉O 的半径得 AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形.因为 AE=2 ,3所以 AO=4,OE=2.因为 OM=OE=2,DM= MN= ,所以 OD=1.12 3于是 AD=5,AB= .1033所以四边形 EBCF 的面积为 ×（ ） 2× - ×(2 )2× = .12 1033 3212 3 321633第十二篇 几何证明选讲 (选修 4-1)第 1节 全等与相似选考部分知识链条完善 把散落的知识连起来知识梳理1.平移、旋转、反射一个图形通过平移变换、旋转变换、反射变换变为另外一个图形 ,其对应线段的长度 ,对应角的大小 .因此 ,变换前后两个图形是 的 ,但图形的 可能发生改变 .2.平行线分线段成比例定理(1)定理三条平行线截两条直线 ,截得的对应线段 .(2)推论平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线 )截得的对应线段 .不变不变全等 位置成比例成比例(3)三角形内角平分线定理三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应.3.直角三角形的射影定理直角三角形的每一条直角边是它在斜边上的射影与斜边的 ;斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 .成比例比例中项比例中项夯基自测1.给出下列命题 :① 三角形相似不具有传递性 ;② 两组对应边成比例 ,一组对应边所对的角相等的两三角形相似 ;③ 两个三角形相似 ,则对应线段都成比例 ;④ 相似三角形的内切圆的半径之比等于相似比 .其中正确的是 ( )(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④C③ 正确 ,两个三角形相似时 ,对应边、对应中线、高线、角平分线都成比例 ;④ 正确 ,如图由相似三角形的定义知 ∠ BAC=∠B′A′C′,∠1=∠2, 由直角三角形相似的判定方法知 Rt△ADI∽Rt△A′D′I ′, 可知结论正确 . CD4.在 Rt△ABC 中 ,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,若 BD∶AD=1∶3, 则 ∠ BCD= .5.已知梯形 ABCD的上底 AD=8 cm,下底 BC=15 cm,在边 AB,CD上分别取E,F,使 AE∶EB=DF∶FC=3∶2, 则 EF= . 解析 :连接 AC交 EF于 P,因为 AE∶EB=3∶2,所以 AE∶AB=3∶5.所以 EP∶BC=3∶5, 因为 BC=15 cm,所以 EP=9 cm,同理 PF=3.2 cm.所以 EF=12.2 cm.答案 :12.2 cm考点专项突破 在讲练中理解知识平行线分线段成比例定理及应用 考点一反思归纳 (1)利用平行线分线段成比例定理来计算或证明 ,首先要观察平行线组 ,再确定所截直线 ,进而确定比例线段及比例式 ,同时注意合比性质、等比性质的运用 .(2)平行线分线段成比例定理及推论是证明两条线段相等的重要依据 ,特别是在应用推论时 ,一定要明确哪一条线段平行于三角形的一边 ,是否过一边的中点 .【即时训练】 如图 ,在 △ ABC中 ,点 D是 AC的中点 ,点 E是 BD的中点 ,AE交 BC于点 F,则的值为 . 相似三角形的判定与性质考点二【例 2】 如图 ,已知 △ ABC中 ,AD,BE,CF分别是 BC,AC,AB边上的高 .求证 :△AFE∽△DFB∽△DCE. 反思归纳 证明相似三角形的一般思路(1)先找两对内角对应相等 ;(2)若只有一个角对应相等 ,再判定这个角的两邻边是否对应成比例 ;(3)若无角对应相等 ,就要证明三边对应成比例 .【即时训练】 (1)如图所示 ,D为 △ ABC中 BC边上一点 ,∠CAD=∠B, 若AD=5,AB=9,BD=6,则 DC的长为 . 直角三角形中的射影定理考点三【 例 3】 如图 ,在 △ ABC中 ,∠ACB=90 ° ,CD⊥AB 于 D,DE⊥AC 于 E,EF⊥AB 于F.求证 :CE2=BD· DF. 反思归纳 (1)运用直角三角形中的射影定理时要注意大前提是在直角三角形中 ,要确定好直角边及其射影 .(2)在证明问题中要注意等积式与比例式的相互转化 ,同时注意射影定理的其他变式 .【 即时训练 】 如图 ,在 △ ABC中 ,AD⊥BC 于 D,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F.求证 :AE·AB=AF·AC. 证明 :因为 AD⊥BC,所以 △ ADB为直角三角形 .又因为 DE⊥AB,由射影定理知 ,AD2=AE·AB.同理可得 AD2=AF·AC,所以 AE·AB=AF·AC.备选例题【 例 2】 如图所示 ,在梯形 ABCD中 ,AD∥BC,AB=CD,DE∥CA, 且交 BA的延长线于 E,求证 :ED·CD=EA·BD. 经典考题研析 在经典中学习方法三角形相似的判定【 典例 】 (2012高考新课标全国卷 )如图 ,D,E分别为 △ ABC边 AB,AC的中点,直线 DE交 △ ABC的外接圆于 F,G两点 .若 CF∥AB, 证明 :(1)CD=BC;(2)△BCD∽△GBD. 证明 :(1)因为 D,E分别为 AB,AC的中点 ,所以 DE∥BC. 又已知 CF∥AB, 故四边形 BCFD是平行四边形 ,所以 CF=BD=AD.而 CF∥AD, 连接 AF,所以四边形 ADCF是平行四边形 , 故 CD=AF.因为 CF∥AB, 所以 BC=AF,故 CD=BC.(2)因为 FG∥BC, 故 GB=CF.由 (1)可知 BD=CF,所以 GB=BD,所以 ∠ BGD=∠BDG.由 BC=CD知 ∠ CBD=∠CDB,又因为 ∠ DGB=∠EFC=∠DBC,所以 △ BCD∽△GBD.命题意图 :本题主要考查了三角形中位线定理 ,平行四边形的判定与性质,等弧所对的弦以及三角形相似的判定等基础知识 ,考查了逻辑推理能力,试题难度中等 .第 2节 圆与直线、圆与四边形最新考纲 2.会 证 明并 应 用相交弦定理、 圆 内接四 边 形的性 质 定理与判定定理、切割线 定理 .1.会证明并应用圆周角定理、圆的切线判定定理与性质定理 .知识链条完善 把散落的知识连起来知识梳理1.圆周角定理、弦切角定理(1)圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的 的一半 .圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半 .(2)圆周角定理的推论推论 1:同弧或等弧所对的 相等 ;在同圆或等圆中 ,相等的 .所对的弧也相等 .推论 2:半圆 (或直径 )所对的圆周角是 ;90° 的圆周角所对的弧是.(3)弦切角定理弦切角等于它所夹弧所对的 ;弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半 .圆心角圆周角 圆周角直角半圆圆周角2.圆内接四边形的判定定理和性质定理定理 (或推论 ) 内容判定定理 如果一个四 边 形的内 对 角 ,那么 这 个四 边 形四个 顶 点共 圆判定定理的推论如果四 边 形的一个外角等于其 ,那么这 个四 边 形的四个 顶 点共 圆性质定理 圆 内接四 边 形的 对 角 .性质定理的推论 圆 内接四 边 形的任何一个外角都等于它的.互补内对角互补内对角3.圆的切线定义、定理及推论 内容定义 如果一条直 线 与一个 圆 有唯一公共点 ,则这 条直 线 叫做 这个 圆 的切 线 ,公共点叫做切点判定定理 经过 半径的 并且 这 条半径的直 线 是 圆 的切线性质定理 圆 的切 线 经过 切点的半径性 质定理的推论经过圆 心且垂直于切 线 的直 线 必 经过 .经过 切点且垂直于切 线 的直 线 必 经过 .外端 垂直于垂直于切点圆心4.直线与圆位置关系的有关定理定理及推论 内容切割线定理 过圆 外一点作 圆 的一条切 线 和一条割 线 ,切 线长 是割 线 上从 这 点到两个交点的 线 段 长 的 .切割线定理推论过圆 外一点作 圆 的两条割 线 ,在一条割 线 上从 这 点到两个交点的 线 段 长 的 ,等于另一条割 线 上对应线 段 长 的 积相交弦定理 圆 内的两条相交弦 ,被交点分成的两条 线 段 长 的相等切线长定理 过圆 外一点作 圆 的两条切 线 ,这 两条 相等比例中项积积切线长基础自测1.给出下列命题 :① 圆心角等于圆周角的 2倍 ;② 相等的圆周角所对的弧也相等 ;③ 等腰梯形一定有外接圆 ;④ 弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数 ;⑤ 在圆内接四边形 ABCD中 ,∠A∶∠B∶∠C∶∠D= m∶n∶p∶q ,则有 m+p=n+q.其中错误的是 ( )(A)①②⑤ (B)①②④ (C)③⑤ (D)①③⑤解析 :① 错误 ,若弧不一样 ,则圆心角与圆周角的关系不确定 ;② 错误 ,只有在同圆或等圆中 ,相等的圆周角所对的弧才相等 ;③ 正确 ,可以推出等腰梯形的对角互补 ,所以有外接圆 ;④ 错误 ,弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 ,所夹的弧的度数等于该弧所对圆心角的度数 ,所以弦切角所夹弧的度数等于弦切角度数的 2倍 ;⑤ 正确 ,圆内接四边形 ABCD的对角互补 .BAC4.(2015高考重庆卷 )如图 ,圆 O的弦 AB,CD相交于点 E,过点 A作圆 O的切线与DC的延长线交于点 P,若 PA=6,AE=9,PC=3,CE∶ED=2∶1, 则 BE= .答案 :25.(2015高考广东卷 )如图 ,已知 AB是圆 O的直径 ,AB=4,EC是圆 O的切线 ,切点为 C,BC=1.过圆心 O作 BC的平行线 ,分别交 EC和 AC于点 D和点 P,则 OD=. 答案 :8考点专项突破 在讲练中理解知识圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题考点一反思归纳 (1)证明直线是圆的切线可运用切线的判定定理 .(2)涉及圆的切线问题时常常利用弦切角定理实现弦切角与圆周角的相互转化 ,利用圆周角、圆心角定理及其推论实现圆周角、圆心角及所对弧的度数之间的相互转化 .四点共圆问题考点二【例 2】 如图 ,CD为 △ ABC外接圆的切线 ,AB的延长线交直线 CD于点 D,E、 F分别为弦 AB与弦 AC上的点 ,且 BC·AE=DC·AF,B 、 E、 F、 C四点共圆 .(1)证明 :CA是 △ ABC外接圆的直径 ;(2)若 DB=BE=EA,求过 B、 E、 F、 C四点的圆的面积与 △ ABC外接圆面积的比值 . 反思归纳 圆内接四边形的性质定理是圆中探求角的相等或互补关系的常用定理 ,使用时要注意观察图形 ,要弄清四边形的外角和它的内对角的位置 ,其性质定理是沟通角的相等关系的重要依据 ,解题时要注意相关角的定理的灵活应用 .【 即时训练 】 (2015高考湖南卷 )如 图 ,在 ☉ O中 ,相交于点 E的两弦 AB,CD的中点分别是 M,N,直线 MO与直线 CD相交于点 F.证明 :(1)∠MEN+∠NOM=180°;(2)FE·FN=FM·FO. 证明 :(1)因为 M,N分别是弦 AB,CD的中点 ,所以 OM⊥AB,ON⊥CD,即 ∠ OME=90°,∠ENO=90°,因此 ∠ OME+∠ENO=180°.又四边形的内角和等于 360°,故 ∠ MEN+∠NOM=180°.(2)由 (1)知 O,M,E,N四点共圆 ,故由割线定理即得 FE·FN=FM·FO.与圆有关的比例线段考点三【 例 3】 (2014高考新课标全国卷 Ⅱ) 如图 ,P是 ☉ O外一点 ,PA是切线 ,A为切点 ,割线 PBC与 ☉ O相交于点 B,C,PC=2PA,D为 PC的中点 ,AD的延长线交 ☉ O于点 E.证明 :(1)BE=EC;(2)AD·DE=2PB 2. 证明 :(2)由切割线定理得 PA2=PB·PC,因为 PA=PD=DC,所以 DC=2PB,BD=PB,由相交弦定理得 AD·DE=BD·DC,所以 AD·DE=2PB 2.反思归纳 证明与圆有关的比例线段 ,常用到三角形相似、相交弦定理、割线定理以及切割线定理等 ,同时要注意圆的有关性质 ,直角三角形中的射影定理、角平分线的性质的灵活运用 .【 即时训练 】 (2016贵阳一测 )AB是 ☉ O的一条切线 ,切点为 B,过 ☉ O外一点 C作直线 CE交 ☉ O于 G,E,连接 AE交 ☉ O于 D,连接 CD交 ☉ O于 F,连接AC,FG,已知 AC=AB.(1)证明 :AD·AE=AC 2;(2)证明 :FG∥AC.证明 :(1)因为 AB是 ☉ O的一条切线 ,AE为割线 , 所以 AB2=AD·AE, 又因为 AB=AC,所以 AC2=AD·AE.备选例题【 例 1】 (2016赤峰模拟 )如图所示 ,圆 O的直径为 BD,过圆上一点 A作圆 O的切线 AE,过点 D作 DE⊥AE 于点 E,延长 ED与圆 O交于点 C.(1)证明 :DA平分 ∠ BDE;(1)证明 :因为 AE是 ☉ O的切线 ,所以 ∠ DAE=∠ABD,因为 BD是 ☉ O的直径 ,所以 ∠ BAD=90°,所以 ∠ ABD+∠ADB=90°,又 ∠ ADE+∠DAE=90°,所以 ∠ ADB=∠ADE. 所以 DA平分 ∠ BDE.(2)若 AB=4,AE=2,求 CD的长 . (2)求证 :BF=FG. 【 例 3】 (2016乌鲁木齐一诊 )过以 AB为直径的圆上 C点作直线交圆于 E点 ,交 AB延长线于 D点 ,过 C点作圆的切线交 AD于 F点 ,交 AE延长线于 G点 ,且 GA=GF.(1)求证 CA=CD;证明 :(1)因为 GF是圆的切线 ,所以 ∠ GCE=∠GAC, 又因为 ∠ GCE=∠DCF,所以 ∠ DCF=∠GAC.因为 GA=GF,所以 ∠ GAF=∠AFG.又 ∠ GAF=∠GAC+∠CAF,∠AFG=∠D+∠DCF,所以 ∠ CAF=∠D.所以 CA=CD.(2)设 H为 AD的中点 ,求证 BH·BA=BF·BD. 解题规范夯实 把经典问题的解决程序化与圆有关的比例线段【 典例 】 (2016保定一模 )如图所示 ,已知 ☉ O1与 ☉ O2相交于 A,B两点 ,过点 A作 ☉ O1的切线交 ☉ O2于点 C,过点 B作两圆的割线 ,分别交 ☉ O1,☉O 2于点 D,E,DE与 AC相交于点 P.(1)求证 :AD∥EC;(2)若 AD是 ☉ O2的切线 ,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD的长 .